第一次月考压轴题汇总（有理数）（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 聚焦七年级上册有理数核心内容，通过10类解题通法归纳、9大题型精讲（含典例与变式）及压轴挑战，系统提升运算能力与抽象思维，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |数轴动态问题|多题|数轴与距离计算|结合折叠、翻转等动态情境，培养几何直观与空间观念| |新定义运算|多题|自定义规则应用|通过符号抽象与规则迁移，发展数学抽象能力| |找规律与探究题|多题|数列与图形规律|从特殊到一般推理，强化推理意识与创新思维| |程序流程图|多题|算法逻辑与计算|模拟计算机程序运算，渗透计算思维与应用意识|

第一次月考压轴题汇总 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的运算 题型二、相反数与绝对值综合 题型三、数轴动态问题 题型四、数轴与含字母的绝对值化简 题型五、有理数的乘方 题型六、科学记数法与近似数综合 题型七、程序流程图与有理数计算 题型八、新定义运算 题型九、找规律与探究题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 【通法1 数形结合画图法】凡涉及“数轴上点与数的对应、两点距离、比较大小”的问题，先画出数轴（原点、正方向、单位长度三要素齐全），把有关数标到数轴上，再依据两个基本事实解题：①右边的数总比左边的大；②两点距离＝右边点表示的数−左边点表示的数（或取绝对值 |a−b|）。 【通法2 去绝对值“符号判定法”】化简含绝对值的式子前，先判定绝对值内式子的正负，再按定义拆绝对值：|a|＝a（a＞0），|a|＝0（a＝0），|a|＝−a（a＜0），即“正得其本身，负得其相反数”。 【通法3 比较大小“四法”】①数轴法：右边的数总比左边的大；②符号判断法：正数＞0＞负数，正数大于一切负数；③两负数比较：先比绝对值，绝对值大的反而小；④作差法：a−b＞0 ⇔ a＞b，a−b＜0 ⇔ a＜b（比较较复杂的两个式子时使用）。 【通法4 加减混合“化加为和”】计算加减混合式，先把减法统一成加法（减去一个数等于加上它的相反数），再省略括号与加号写成“代数和”形式，最后按加法法则与运算律计算。步骤：去括号→化加为和→定符号（同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取绝对值较大者的符号、用大绝对值减小绝对值）→计算。 【通法5 乘除混合“三看”】①看符号：负因数有奇数个则积为负，偶数个则积为正（奇负偶正）；②看倒数：除以一个不为 0 的数等于乘以这个数的倒数；③看约分：能约分的先约分，再算绝对值相乘。 【通法6 乘方“底数判断法”】做乘方题先“看底数、看括号”：(−2)⁴ 的底数是 −2（带括号，指数作用于整个 −2），结果为正 16；−2⁴ 的底数是 2（不带括号，负号在乘方之外，表示 2⁴ 的相反数），结果为 −16。符号规律：负数的偶次幂为正、奇次幂为负；正数的任何次幂为正；0 的任何正整数次幂为 0。 【通法7 混合运算“三先三后”】运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减；有括号先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）；同级运算从左到右依次计算。步骤：①观察算式结构，确定运算顺序；②分步书写，每步只做一件事，不跳步；③每步检查符号与数值。 【通法8 近似数“定位法”与科学记数法】①四舍五入取近似数：精确到哪一位，就看该位的后一位，后一位≥5 进 1、＜5 舍去；末尾的 0 不能丢（1.50 与 1.5 精确度不同）。②科学记数法：a×10ⁿ（1≤|a|＜10，n＝整数位数−1），如 384000＝3.84×10⁵。③带单位或科学记数法形式的近似数，先还原成原数再判断精确度（如 3.0×10⁴ 精确到千位）。 【通法9新定义运算】“按定义代入，先内后外”：新定义本质是“按给定规则计算”，把运算符号前后的数照规则代入即可，注意运算顺序与括号；有括号先算括号。 【通法10找规律与探究题】“从特殊到一般”：写出前几项（或前几步）→ 观察数与序号 n 的关系（和、差、倍、方等）→ 猜想第 n 项的表达式 → 代回检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的四则运算 【典例1】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．利用有理数的混合运算法则计算． 【详解】解： 【变式2】．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的运算定律，正确进行计算是解题的关键； （1）利用乘法分配律展开，再计算加减即可； （2）把带分数化为假分数，除法变为乘法，再利用乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据运算法则进行计算． （1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算； （3）根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，再用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型二、相反数与绝对值综合 【典例2】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）下列各数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、正负数的定义、相反数的定义 【分析】本题考查了正数，先化简各数，进而即可判断求解，掌握绝对值的性质和相反数的定义的解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴是正数，该选项不合题意； 、∵， ∴是负数，该选项符合题意； 、是正数，该选项不合题意； 、∵， ∴是正数，该选项不合题意； 故选：． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、正负数的定义、相反数的定义 【分析】本题考查正数和负数，相反数，绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．逐句判断：①错误，因的符号取决于a；②正确，与4互为相反数；③正确，所有有理数均有相反数；④错误，绝对值等于相反数时该数为非正数． 【详解】解：①当a为负数时，为正数，故不一定是负数，①错误； ②与4只有符号不同，且和为0，故互为相反数，②正确； ③任何有理数a都有相反数，满足，③正确； ④若，则，即非正数，而非非负数，④错误． ∴ 正确的是②和③， 故选：B． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②一定是一个负数；③正整数、负整数统称为整数；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑤总是大于0，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、整数、相反数的定义．根据整数、相反数、绝对值的定义，也可通过举反例逐个判断得结论． 【详解】解：与的符号相反，但它们不是相反数，故①说法不正确； 当a是正数时是负数，当a是0或负数时，不是负数，故②说法不正确； 正整数、0、负整数统称为整数，故③说法不正确； 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，故④说法正确； 当时，总是大于0，当时，，故⑤说法不正确． 综上，只有④正确， 故选：D． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若与互为相反数，则_____． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了相反数、绝对值的非负性、平方的非负性、乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零；再根据平方和绝对值的非负性，可得每个表达式均为零，进而解题． 【详解】解：∵ 与 互为相反数， ∴ ， 又∵ ，， ∴ 且 ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ； ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 题型三、数轴动态问题 【典例3】．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】B 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，依次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， ， 数轴上的数2025所对应的点将与圆周上的字母B重合， 故选：B． 【典例4】．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是___________ 【答案】5或11 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键．分两种情况：当点A落在B点的左侧时和当点A落在B点的右侧时，可求出点A的对应点所表示的数，再利用中点公式即可求解． 【详解】解：设是点的对应点，由题意可知点是和的中点， 当点在的右侧，， 表示的数为， C表示的数为：；， 当点在的左侧，， 表示的数为， C表示的数为：， 故答案：5或11． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键． 根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， ， 数轴上所对应的顶点是． 故选：C． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础，如图，现有一木棍紧贴着数轴放置，左端点A与表示的点重合，右端点B与原点重合． (1)如图1，将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为 ；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为 ． (2)如图2，M是木棍上任意一点，是木棍按照（1）沿着数轴负方向平移后的对应点，是木棍按照（1）沿着数轴正方向平移后的对应点，设对应的有理数为，对应的有理数为，则 ． (3)小明问爷爷现在的年龄是多少，爷爷说：“我像你这么大时，你还有40年才出生；等你到我这个年纪时，我已经110岁高龄了．”问小明和爷爷现在的年龄各是多少？ 【答案】(1)； (2)6 (3)爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴和数轴上两点间的距离，对数轴和数轴上两点间距离公式的概念的正确理解是解题的关键． （1）求得，由题意即可求出点、点所表示的数； （2）由（1），据此结合木棒的长，求得；；据此求解即可； （3）借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，把爷爷比小明大看作点移动到点，此时点所对应的数为，接下来可把小明比爷爷大时看作点移动到点，此时点所对应的数为110，据此可求出爷爷比小明大的岁数，进而可知爷爷和小明的年龄． 【详解】（1）解：由题意得， 将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为； 故答案为：；； （2）解：设M对应的数为， 由题意得；； ∴， 故答案为：6； （3）解：由图可知，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷是小明现在年龄时看作当点移动到点时，此时点所对应的数位， 当点移动到点时，此时点所对应的数为110， 爷爷比小明大（岁， 爷爷的年龄为（岁， 小明的年龄为（岁， 答：爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】（）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为，再根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； 本题数轴与有理数，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； ②由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，点表示的数为， ∴的长度可以表示为， 故答案为：； （3）解：设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为， ∴点，在数轴上表示的数分别为，， ∵， ∴， 即， ∴或， ∴或． 题型四、数轴与含字母的绝对值化简 【典例5】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若整数满足，则的值等于（    ） A．0或2 B．2或 C．0 D．0或 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键，根据绝对值的意义和已知条件，推出或两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵整数满足，， ∴或， ∴当时：，或，则：或； 当时，，，则：或； 故选A． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）若，则的值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】有理数的加减混合运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的化简和有理数的加减运算． 根据题意分、，、，、，、四种情况讨论即可． 【详解】解：因为， 则有、，、，、，、四种情况， ①当、时， ； ②当、时， ； ③当、时， ； ④当、时， ； 综上，的值的个数为、或2共3个， 故选：C． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段检测）若有理数，则代数式____________． 【答案】或 【知识点】有理数加减混合运算的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的化简以及有理数的加减运算，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键； 分，或，或，或，，四种情况，讨论即可求解； 【详解】解：①当，，； ②当，，； ③当，，； ④当，，． 故答案为：或 【变式3】．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)比较大小：_________，_________．（填“”“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查利用数轴比较大小，涉及到数轴的性质、绝对值的意义和整式加减运算，熟练掌握相关性质及法则是解决问题的关键． （1）根据数轴的性质和绝对值的几何意义直接比较大小即可； （2）根据数轴上各个数对应的点确定大小和符号，进而根据绝对值的性质去绝对值，再结合整式加减运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 题型五、有理数的乘方 【典例6】．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数乘法运算律、有理数的乘方运算 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 【典例7】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）下列有理数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，需按照运算顺序（先乘除后加减，同级运算从左到右）和符号法则（同号得正、异号得负）进行计算判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、．原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 【典例8】．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）若有理数，满足，则记作．例如：因为，所以．根据上述规定得________． 【答案】3 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查乘方运算、新定义等知识点，理解新定义运算是解题的关键． 根据题中所给新定义可直接进行求解． 【详解】解：∵，有理数，满足，则记作． ∴． 故答案为：3． 【典例9】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）一个不透明的盒子中装有2026个硬币（大小完全相同），现依次取出这2026个硬币，正面朝上记为“1”，反面朝上记为“”． （1）若取出的硬币正面有1013个，则这2026个数字之积为_________； （2）若取出的硬币正面有个，则这2026个数字之积可表示为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数乘方的应用，硬币正面记为1，反面记为，所有数字之积取决于反面硬币的个数：当反面个数为奇数时积为，为偶数时积为1， 对于（1），正面个数已知，可求反面个数； 对于（2），用正面个数n表示反面个数，进而表示积． 【详解】解：（1）总硬币数为2026，正面有1013个，则反面有个， 积为， 故答案为：； （2）总硬币数为2026，正面有n个，则反面有个， 积为， 故答案为：． 【变式1】．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）求的值，可令，则，因此，即．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、有理数的乘方运算 【分析】本题考查代数式的变形与运算，理解题意中的推理方法是解题关键． 仿照例题的推理方法，令等于所求和的表达式，然后乘以，再相减即可求解． 【详解】解：令， 则， 则， 即， 故． 故选：． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）现有一根长的铁丝，小明第一次剪去铁丝的，第二次剪去剩下铁丝的，第三次再剪去剩下铁丝的，…，如此剪下去，则第次剪完后剩下铁丝的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的乘方，明确题意，准确得到规律是解题的关键．根据题意可得第一次剪去铁丝剩下的铁丝长度，依次求得第二次剪去铁丝剩下的铁丝长度，第三次剪去铁丝剩下的铁丝长度， 由此发现规律，即可求解第次剪完后剩下铁丝的长度． 【详解】解： 第一次剪去铁丝的，剩下的铁丝长度为， 第二次剪去剩下铁丝的，剩下的铁丝长度为， 第三次再剪去剩下铁丝的，剩下的铁丝长度为， ， 则第次剪完后剩下铁丝的长度是． 故选：C ． 【变式3】．（2023七年级上·安徽合肥·竞赛）计算：______． 【答案】21 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】原式分子分母先算括号中及绝对值里边的乘方及减法，再计算乘方及乘除，即可得到结果． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4】．（25-26七年级上·安徽六安·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)36 【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值、有理数乘法运算律、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘方、有理数乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先运用绝对值、有理数乘方化简，然后再计算即可； （2）直接运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式5】．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）计算下面各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六、科学记数法与近似数综合 【典例10】．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）国庆期间，宣城市主城区核酸检测累计采样达到人，则近似数是精确到（    ） A．百分位 B．个位 C．千位 D．十万位 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、求近似数的精确度 【分析】将还原为原数，根据4所在的位数即可求解． 【详解】解：， ∴近似数精确到千位． 故选：C． 【点睛】本题考查了近似数的精确度，考虑近似数的精确度时，一般要将科学记数法表示的数还原为原数，再进一步确定近似数的精确度． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【知识点】近似数推断取值范围、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）计算机存储容量的基本单位是字节，常用B表示．计算机一般用（千字节），（兆字节），（吉字节）等表示存储容量的计量单位，它们之间的关系为，，． (1)若一台电脑的硬盘存储容量为，相当于多少千字节？（结果用科学记数法表示） (2)现有一本约50万字的无图片纯文本小说，根据编码，每个汉字通常占3字节，即这样一本书的容量约为．那么的硬盘可存储多少本这样的书？（结果精确到千位） 【答案】(1) (2)本 【知识点】多个有理数的乘法运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，有理数的混合运算等知识． （1）根据，代入计算即可得出． （2）用转化成，然后除以即可得出答案． 【详解】（1）解：； 则相当于． （2）解：（本） 答：的硬盘可存储本这样的书． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（单位：万人） (1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人 (2)该风景区在这七天假期的旅游总收入约为元． 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，科学记数法，正负数的实际应用： （1）用表格中人数变化最大的数减去最小的数即可得到答案； （2）先求出这七天的旅游总人数，再求出旅游总收入即可得到答案． 【详解】（1）解：万人， 答：七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人； （2）解： 元， 答：该风景区在这七天假期的旅游总收入约为元． 题型七、程序流程图与有理数计算 【典例11】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 【典例12】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机，如图，小李同学设置了一个数值转换机， （1）若输入的值为，则输出的结果为______； （2）若输出结果为0，则输入的______． 【答案】 4 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． （1）把代入程序中计算即可得到输出结果； （2）根据输出结果确定出x的值即可． 【详解】解：（1）当时，输出的结果为： （2）当时，， 解得：； 当时，， 解得：，不符合题意，舍去； 故答案为：4；． 【典例13】．（25-26七年级上·安徽滁州·阶段检测）小红同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解决此类问题的关键是理解题目中所给的程序，当计算的结果的绝对值小于100时，要从头再输入，直到绝对值大于100才可以输出结果． （1）根据题意，把输入，得，其绝对值大于100，所以就是输出的数． （2）根据题意，把2输入，得，其绝对值小于100，所以再把从头输入，计算输出的数． 【详解】（1）解：． 而， ∴输出的数是． （2）解：把2输入，得， ∵， ∴再把从头输入，得． ∵， ∴输出的数是． 【变式1】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）将分数输入如图所示的流程图，则输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据流程图计算即可求解，理解流程图是解题的关键． 【详解】解：∵是负数， ∴输出的结果为， 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是_____； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则_____。 【答案】 2 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据卡片顺序为，计算，即可求解； （2）根据题意得，，即可求解． 【详解】解：（1）依题意， ； （2）依题意，得， 解得：． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 【答案】(1)输出的值为124 (2)5或 (3)6380 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算： （1）根据流程图可得算式，计算出该结果，若大于100，则输出，若不大于100，则计算的结果作为新输入的数，再计算，如此反复，直至能输出对应的结果即可； （2）根据输出的结果为380，得到平方后的结果为400，根据的平方为400，得到x乘以负4的结果为，据此求解即可； （3）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：）当时，，故输出的值为124． （2）解：，的平方为400， 或． （3）解：当时，，， 此时输出的值为6380． 题型八、新定义运算 【典例14】．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）定义一种幂的新运算：，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是根据新定义运算的规则．把转化为一般的运算，再根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ； 故选：C． 【典例15】．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 先算，列式为，然后再算即可． 【详解】解： ， 则 ， 故选：C． 【典例16】．（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 【答案】14 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，根据题目中给出的定义代入数字进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：14． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数混合运算，属于中档题．根据新运算定义，先计算内层运算 ，再计算． 【详解】解：根据题意：， ∴， 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）对于有理数，定义一种新运算“”．如下，求的值． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据新定义列出算式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 【答案】(1)，，“※”不具有交换律，理由如下： ※ ， ※ ， 则“※”不具有交换律，理由是4※※； (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据定义的新运算列式计算，然后猜想是否具有交换律并说明理由即可； （2）根据定义的新运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：略； （2）解：※※ ※ ※ ※ 【变式4】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： (1)归纳*运算的法则，并用符号语言直接表示： (2)计算：___________． (3)是否存在有理数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)存在， 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】题目主要考查新定义运算，规律总结，理解题意是解题关键． （1）根据题意总结新的运算法则即可； （2）根据（1）中运算法则计算即可； （3）根据题意得出且，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： （2）， 故答案为：17； （3）存在，理由如下： ，且 当时，且 存在有理数使得 此时且， 解得：． 题型九、找规律与探究题 【典例17】．（24-25七年级·安徽合肥·阶段检测）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（   ） A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108 【答案】D 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，理解题意，掌握有理数的混合法则是解题的关键． 根据题意，分别表示每行的二进制编码，再转换成10进制进行判定即可． 【详解】解：黑色代表1，白色代表0， ∴图2中，第一行，转换成10进制数为：， 第二行，转换成10进制数为：， 第三行，转换成10进制数为：， 第四行，转换成10进制数为：， 第五行，转换成10进制数为：， ∴小张的准考证号为， 故选：D ． 【典例18】．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，，，，… (1) （根据规律写算式，不要直接写结果）； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律 ； (3)求式子的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到式子的规律，裂项相减是解题的关键． （1）根据规律拆为两个分数的差即可求解； （2）根据（1）的运算，总结规律即可求解； （3）根据规律化简式子，然后根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）归纳可得：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式1】．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段检测）观察算式：；；；，…根据你发现的规律填空： (1)________； (2)用含n的等式表示上面的规律：________； (3)应用：计算的结果为________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数混合运算，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，是解题关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 故答案为：； （2）根据题意可得：； （3） ． 【变式2】．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段检测）观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【答案】(1) (2)①306；②468． 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可； （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 【点睛】本题主要考查了对数字变化规律的考查，有理数的乘法，熟练掌握运算规律是解此题的关键． 【变式3】．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：____________； (2)利用规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可； （2）根据（1）中的规律可得第个等式为：，从而得出，，，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式为：； ， 第个等式为：， ，，，， ． 【点睛】本题考查了数字类规律题、有理数的四则混合运算，得出规律：第个等式为：，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）若，，且，那么的值是（   ） A．5或1 B．－5或1 C．5或－1 D．－5或－1 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加法，运用分类讨论思想是解题的关键． 根据绝对值的意义可得，，再分情况讨论的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 当，，则，符合题意，则； 当，，则，符合题意，则； 当，，则，不符合题意，舍去； 当，，则，不符合题意，舍去； 综上所述，的值是1或5， 故选：A． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）规定一种新运算：，则的值是（   ） A．6 B． C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算定义，先计算括号内的运算，继而再利用新运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①；②；③；④其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法，有理数的除法，掌握相应的运算法则是关键．根据数轴可得，，然后利用有理数运算法则逐个判断即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ，，， 故正确的有：①③④， 故选：C． 4．（25-26七年级上·安徽淮南·阶段检测）在如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为36，则第一次输出的结果为18，第二次输出的结果为9，…，第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．6 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了流程图与有理数计算，数字类规律探究，解题的关键是找到规律．首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2025次输出的结果为多少即可． 【详解】解：依题意，第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， 第7次输出的结果为：， 第8次输出的结果为：， ， ∴从4次开始，每次输出的结果都是、、、3、，偶数次输出的结果为6，奇数次输出的结果为3， ∴第2025次输出的结果为3． 故选：C． 5．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第次操作，再将其对折、压平，称作第次操作，，假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第次操作后的厚度最接近于（    ） A．数学课本的厚度 B．数学张老师的身高 C．一层楼房的高度 D．一支粉笔的长度 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，乘方的应用等知识点，依次求出每次操作后纸张的厚度，找出规律即可解决问题，能根据题意找出每次操作后纸张厚度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 第次操作后的厚度为：， 第次操作后的厚度为：， 第次操作后的厚度为：， 第次操作后的厚度为：， ； 第次操作后的厚度为：，厚度最接近于一支粉笔的长度， 故选：． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是219，则m的值是（   ） A．12 B．15 C．25 D．32 【答案】B 【分析】本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出219所在的奇数的范围，即可得解． 【详解】解：，，，…， ∴分裂后的第一个数是，共有个奇数， ， ∴奇数211是底数为15的数的立方分裂后的第一个奇数，奇数219是底数为15的数的立方分裂后的第五个奇数，共有个奇数， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，，a，小明写出的是0，，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的有关运算，由小明的数中有0，可得小聪的数中必有0．又由分数有意义，可得分母．因此只能是，即．由于小聪的数中有1，可得小明的数中必有1．因此或．再求解即可． 【详解】解：由题意，小聪写的三个数是1，，a，小明写的三个数是0，，b，且两组数完全相同． 因为小明的数中有0， 所以小聪的数中必有0． 又因为分数有意义， 所以分母． 因此只能是，即． 因为小聪的数中有1， 所以小明的数中必有1． 因此或． 若，将代入得，即，此式不成立，故舍去． 所以只能是． 将代入得，解得． 检验：当时，小聪的数为，小明的数为，两组数相同且互不相等，符合题意． 故． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为． （1）若、，点表示的有理数是，并且满足，则为______； （2）结合数轴探究：存在的值，使式子有最大值，这个最大值是______． 【答案】 或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离的表示方法，熟记数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）根据两点距离公式，得到、，由得，解绝对值方程即可得到答案； （2）由题意可知，表示数轴上点到和的距离之差，分区间讨论其取值范围，从而求出最大值． 【详解】解：（1）由题意可知，、， ， ， 则或， 解得或， 故答案为：或； （2）由题意可知，指数轴上表示的点与表示的点之间的距离，指数轴上表示的点与表示的点之间的距离， 表示数轴上点到和的距离之差， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，， 即式子有最大值，这个最大值是， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个二阶幻圆模型，现将，2，，4，，6，，8分别填入圆圈内，使得横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等． （1）b的值为_______； （2）的值是_______． 【答案】 5或 【分析】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是依据八个数的和与横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等得到：两个圈的和为2；横、竖的和也为2． 由八个数的和为4及横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等可得，两个圈的和为2，横、竖的和也是2，从而可设出两空白圈的数，列等式求解即可． 【详解】解：， ∵横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，且， ∴， 即， ∴，解得， 将代入，得 解得， ∵， ∴， ①当时，，符合题意； 则， 当时，，符合题意； 则， 综上所述，，或． 故答案为：（1），（2）5或． 10．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1． （1）如：取自然数1，经过3步运算可得______； （2）如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有______个． 【答案】 1 4 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是正确理解题意． （1）按照流程图计算三步即可； （2）运用逆推法，分别根据题意求出前一步所有满足条件的值，然后可得答案． 【详解】（1）解：，，， ∴取自然数1，经过3步运算可得， 故答案为：1； （2）解：运用逆推法， ∵第7步运算可得到1， ∴第6步得到的数为， 第5步得到的数为， 第4步得到的数为， 第3步得到的数为， 第2步得到的数为或， 第1步得到的数为或， 则m的值为：或或或， ∴符合条件的的值为：或或或， 故答案为：4． 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 三、解答题 12．（25-26七年级上·安徽淮南·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的法则和运算顺序是解题的关键： （1）根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可； （2）根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 13．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，、、、分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是哪个点，并说明理由？ 【答案】原点可能是或， 理由：由题意，、、、分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，分四种情况： 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 时， 成立； 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 此时不成立； 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 不成立； 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 时，成立； 综上所述，若，则原点可能是或， 故答案为：或． 【分析】本题主要考查了数轴上点表示有理数，两点之间的距离，绝对值的性质， 分四种情况：当表示的数是原点，由可得； 当表示的数是原点，由，判断即可； 当表示的数是原点，由，判断即可； 当表示的数是原点，由题意可得，可得答案． 【详解】略 14．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）在下列各有理数，，，中． (1)补全下面的数轴，并把各有理数在数轴上表示出来． (2)把各有理数按从小到大的顺序用“”连接起来． (3)把各有理数分类： 正分数集合：______…； 负整数集合：______…． 【答案】(1) 补全数轴，各数表示在数轴上为： (2) (3)，； 【分析】本题考查了有理数、数轴、有理数的大小比较，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大； （1）补充完整数轴，再把各数表示在数轴上即可； （2）观察数轴，把数轴上的各数按照从左到右的顺序用小于号连接起来即可； （3）根据有理数的分类解答即可． 【详解】（1）解： （2）解：各数用小于号连接起来为：； （3）解：正分数集合：…； 负整数集合：…； 故答案为：，；． 15．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）2025年国庆，全国从1日到8日放假八天，各地景区游人如织．其中因为《黑神话》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的八天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为_______万人，八天假期里，游客人数最多的是10月_______日，达到_______万人．游客人数超过万人的天数有_______天． (2)在国庆八天，该风景区一共接待了多少游客？（结果四舍五入到千人） 【答案】(1)；2；；5 (2)万人 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算的实际应用，正负数的实际应用，求一个数的近似数． （1）将加上10月1，2，3的变化量即可求解；分别计算每天的游客数量即可得到答案； （2）把（1）中每天的游客量相加，即可求解． 【详解】（1）解：万人， 10月3日的人数为万人； 10月1日的人数为万人， 10月2日的人数为万人， 10月3日的人数为：万人， 10月4日的人数为：万人， 10月5日的人数为：万人， 10月6日的人数为：万人， 10月7日的人数为：万人 10月8日的人数为：万人， ∴八天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人，游客人数超过万人的天数有5天； 故答案为：；2；；5； （2）解：万人， ∴该风景区在这八天内大约一共接待了万游客． 16．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）周末，小明骑车从家出发到同学家去玩，他首先向东走了2千米到达小亮家，继续向东走了3.5千米到达小海家，然后又向西走了7.5千米到达小军家，最后回到家，以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1千米，点O，A、B、C分别表示小明家、小亮家、小海家和小军家． (1)画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置； (2)小亮家距小军家多远？ (3)若小亮步行到小海家每小时走5千米；小军骑自行车到小海家每小时骑12千米，若两个人同时分别从自己家出发，问两个人能否同时到达小海家？若不能同时，谁先到达？ 【答案】(1) (2) 小亮家距小军家4千米 (3) 两个人不能同时到达，小军先到达 【分析】（1）计算各点对应有理数，结合数轴三要素作图； （2）利用数轴上两点间距离为两数差的绝对值计算； （3）分别计算两人到小海家的时间，比较时间长短判断． 【详解】（1）解：由题意知，取原点O表示数0（对应小明家），规定向右为正方向并标注箭头，选取1个单位长度表示1千米并标注刻度；在数轴上标出点A（表示数2，对应小亮家）、点B（表示数5.5，对应小海家）、点C（表示数，对应小军家）． （2）解：由（1）中的数轴可知，小亮家为点A，表示数2，小军家为点C，表示数， ∴（千米）， ∴小亮家距小军家4千米． （3）解：两个人不能同时到达，小军先到达， 理由：小亮从家到小海家的路程为（千米），所需时间为（小时）， 小军从家到小海家的路程为（千米），所需时间为（小时）， ∵， ∴ 小军先到达． 17．（25-26七年级上·安徽六安·期中）数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 【答案】(1)， (2)， (3)5 (4)或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及两点间距离公式，熟练掌握绝对值的意义及两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式得出结论即可； （2）根据两点间距离公式得出结论即可； （3）根据绝对值的意义得出结论即可； （4）根据绝对值的意义得出结论即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为，； （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点到与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当在与之间时，有最小值， 故答案为； （4）解：当时，， 解得：， 此时符合； 当时，， 此时不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 此时符合； 故答案为或． 18．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；…… 请解答下列问题： (1)按以上规律写出第个等式：_____=_____； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是归纳推出等式规律． （1）根据上述等式，找出规律，根据规律，即可求出第五个等式； （2）根据（1）得到的等式规律，进而根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ∴第个等式：； ∴第五个等式为：； ∴． 故答案为：，； （2）由（1）得，第个等式：， ∵， ， ， …… ， ∴ ． 19．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)计算：； (4)请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， ∴； （4）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考压轴题汇总 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的运算 题型二、相反数与绝对值综合 题型三、数轴动态问题 题型四、数轴与含字母的绝对值化简 题型五、有理数的乘方 题型六、科学记数法与近似数综合 题型七、程序流程图与有理数计算 题型八、新定义运算 题型九、找规律与探究题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 【通法1 数形结合画图法】凡涉及“数轴上点与数的对应、两点距离、比较大小”的问题，先画出数轴（原点、正方向、单位长度三要素齐全），把有关数标到数轴上，再依据两个基本事实解题：①右边的数总比左边的大；②两点距离＝右边点表示的数−左边点表示的数（或取绝对值 |a−b|）。 【通法2 去绝对值“符号判定法”】化简含绝对值的式子前，先判定绝对值内式子的正负，再按定义拆绝对值：|a|＝a（a＞0），|a|＝0（a＝0），|a|＝−a（a＜0），即“正得其本身，负得其相反数”。 【通法3 比较大小“四法”】①数轴法：右边的数总比左边的大；②符号判断法：正数＞0＞负数，正数大于一切负数；③两负数比较：先比绝对值，绝对值大的反而小；④作差法：a−b＞0 ⇔ a＞b，a−b＜0 ⇔ a＜b（比较较复杂的两个式子时使用）。 【通法4 加减混合“化加为和”】计算加减混合式，先把减法统一成加法（减去一个数等于加上它的相反数），再省略括号与加号写成“代数和”形式，最后按加法法则与运算律计算。步骤：去括号→化加为和→定符号（同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取绝对值较大者的符号、用大绝对值减小绝对值）→计算。 【通法5 乘除混合“三看”】①看符号：负因数有奇数个则积为负，偶数个则积为正（奇负偶正）；②看倒数：除以一个不为 0 的数等于乘以这个数的倒数；③看约分：能约分的先约分，再算绝对值相乘。 【通法6 乘方“底数判断法”】做乘方题先“看底数、看括号”：(−2)⁴ 的底数是 −2（带括号，指数作用于整个 −2），结果为正 16；−2⁴ 的底数是 2（不带括号，负号在乘方之外，表示 2⁴ 的相反数），结果为 −16。符号规律：负数的偶次幂为正、奇次幂为负；正数的任何次幂为正；0 的任何正整数次幂为 0。 【通法7 混合运算“三先三后”】运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减；有括号先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）；同级运算从左到右依次计算。步骤：①观察算式结构，确定运算顺序；②分步书写，每步只做一件事，不跳步；③每步检查符号与数值。 【通法8 近似数“定位法”与科学记数法】①四舍五入取近似数：精确到哪一位，就看该位的后一位，后一位≥5 进 1、＜5 舍去；末尾的 0 不能丢（1.50 与 1.5 精确度不同）。②科学记数法：a×10ⁿ（1≤|a|＜10，n＝整数位数−1），如 384000＝3.84×10⁵。③带单位或科学记数法形式的近似数，先还原成原数再判断精确度（如 3.0×10⁴ 精确到千位）。 【通法9新定义运算】“按定义代入，先内后外”：新定义本质是“按给定规则计算”，把运算符号前后的数照规则代入即可，注意运算顺序与括号；有括号先算括号。 【通法10找规律与探究题】“从特殊到一般”：写出前几项（或前几步）→ 观察数与序号 n 的关系（和、差、倍、方等）→ 猜想第 n 项的表达式 → 代回检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的四则运算 【典例1】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）计算： 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算： 【变式2】．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 题型二、相反数与绝对值综合 【典例2】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）下列各数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【变式2】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②一定是一个负数；③正整数、负整数统称为整数；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑤总是大于0，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若与互为相反数，则_____． 题型三、数轴动态问题 【典例3】．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【典例4】．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是___________ 【变式1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【变式2】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础，如图，现有一木棍紧贴着数轴放置，左端点A与表示的点重合，右端点B与原点重合． (1)如图1，将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为 ；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为 ． (2)如图2，M是木棍上任意一点，是木棍按照（1）沿着数轴负方向平移后的对应点，是木棍按照（1）沿着数轴正方向平移后的对应点，设对应的有理数为，对应的有理数为，则 ． (3)小明问爷爷现在的年龄是多少，爷爷说：“我像你这么大时，你还有40年才出生；等你到我这个年纪时，我已经110岁高龄了．”问小明和爷爷现在的年龄各是多少？ 【变式3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 题型四、数轴与含字母的绝对值化简 【典例5】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若整数满足，则的值等于（    ） A．0或2 B．2或 C．0 D．0或 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）若，则的值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段检测）若有理数，则代数式____________． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)比较大小：_________，_________．（填“”“”或“”） (2)化简：． 题型五、有理数的乘方 【典例6】．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【典例7】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）下列有理数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例8】．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）若有理数，满足，则记作．例如：因为，所以．根据上述规定得________． 【典例9】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）一个不透明的盒子中装有2026个硬币（大小完全相同），现依次取出这2026个硬币，正面朝上记为“1”，反面朝上记为“”． （1）若取出的硬币正面有1013个，则这2026个数字之积为_________； （2）若取出的硬币正面有个，则这2026个数字之积可表示为_________．（用含的代数式表示） 【变式1】．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）求的值，可令，则，因此，即．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）现有一根长的铁丝，小明第一次剪去铁丝的，第二次剪去剩下铁丝的，第三次再剪去剩下铁丝的，…，如此剪下去，则第次剪完后剩下铁丝的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（2023七年级上·安徽合肥·竞赛）计算：______． 【变式4】．（25-26七年级上·安徽六安·期中）计算： (1)． (2)． 【变式5】．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）计算下面各题： (1)； (2) 题型六、科学记数法与近似数综合 【典例10】．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）国庆期间，宣城市主城区核酸检测累计采样达到人，则近似数是精确到（    ） A．百分位 B．个位 C．千位 D．十万位 【变式1】．（25-26七年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）计算机存储容量的基本单位是字节，常用B表示．计算机一般用（千字节），（兆字节），（吉字节）等表示存储容量的计量单位，它们之间的关系为，，． (1)若一台电脑的硬盘存储容量为，相当于多少千字节？（结果用科学记数法表示） (2)现有一本约50万字的无图片纯文本小说，根据编码，每个汉字通常占3字节，即这样一本书的容量约为．那么的硬盘可存储多少本这样的书？（结果精确到千位） 【变式3】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（单位：万人） (1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示） 题型七、程序流程图与有理数计算 【典例11】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【典例12】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机，如图，小李同学设置了一个数值转换机， （1）若输入的值为，则输出的结果为______； （2）若输出结果为0，则输入的______． 【典例13】．（25-26七年级上·安徽滁州·阶段检测）小红同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 【变式1】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）将分数输入如图所示的流程图，则输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是_____； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则_____。 【变式3】．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 题型八、新定义运算 【典例14】．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）定义一种幂的新运算：，则的值为（ ） A． B． C． D． 【典例15】．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 【典例16】．（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）对于有理数，定义一种新运算“”．如下，求的值． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 【变式4】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： (1)归纳*运算的法则，并用符号语言直接表示： (2)计算：___________． (3)是否存在有理数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 题型九、找规律与探究题 【典例17】．（24-25七年级·安徽合肥·阶段检测）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（   ） A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108 【典例18】．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，，，，… (1) （根据规律写算式，不要直接写结果）； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律 ； (3)求式子的值． 【变式1】．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段检测）观察算式：；；；，…根据你发现的规律填空： (1)________； (2)用含n的等式表示上面的规律：________； (3)应用：计算的结果为________． 【变式2】．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段检测）观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【变式3】．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：____________； (2)利用规律计算：的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）若，，且，那么的值是（   ） A．5或1 B．－5或1 C．5或－1 D．－5或－1 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）规定一种新运算：，则的值是（   ） A．6 B． C． D．10 3．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①；②；③；④其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 4．（25-26七年级上·安徽淮南·阶段检测）在如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为36，则第一次输出的结果为18，第二次输出的结果为9，…，第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．6 C．3 D．4 5．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第次操作，再将其对折、压平，称作第次操作，，假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第次操作后的厚度最接近于（    ） A．数学课本的厚度 B．数学张老师的身高 C．一层楼房的高度 D．一支粉笔的长度 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是219，则m的值是（   ） A．12 B．15 C．25 D．32 二、填空题 7．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，，a，小明写出的是0，，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是________． 8．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为． （1）若、，点表示的有理数是，并且满足，则为______； （2）结合数轴探究：存在的值，使式子有最大值，这个最大值是______． 9．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个二阶幻圆模型，现将，2，，4，，6，，8分别填入圆圈内，使得横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等． （1）b的值为_______； （2）的值是_______． 10．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1． （1）如：取自然数1，经过3步运算可得______； （2）如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有______个． 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 三、解答题 12．（25-26七年级上·安徽淮南·阶段检测）计算： (1)； (2)． 13．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，、、、分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是哪个点，并说明理由？ 14．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）在下列各有理数，，，中． (1)补全下面的数轴，并把各有理数在数轴上表示出来． (2)把各有理数按从小到大的顺序用“”连接起来． (3)把各有理数分类： 正分数集合：______…； 负整数集合：______…． 15．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）2025年国庆，全国从1日到8日放假八天，各地景区游人如织．其中因为《黑神话》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的八天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为_______万人，八天假期里，游客人数最多的是10月_______日，达到_______万人．游客人数超过万人的天数有_______天． (2)在国庆八天，该风景区一共接待了多少游客？（结果四舍五入到千人） 16．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）周末，小明骑车从家出发到同学家去玩，他首先向东走了2千米到达小亮家，继续向东走了3.5千米到达小海家，然后又向西走了7.5千米到达小军家，最后回到家，以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1千米，点O，A、B、C分别表示小明家、小亮家、小海家和小军家． (1)画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置； (2)小亮家距小军家多远？ (3)若小亮步行到小海家每小时走5千米；小军骑自行车到小海家每小时骑12千米，若两个人同时分别从自己家出发，问两个人能否同时到达小海家？若不能同时，谁先到达？ 17．（25-26七年级上·安徽六安·期中）数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 18．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；…… 请解答下列问题： (1)按以上规律写出第个等式：_____=_____； (2)求的值． 19．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)计算：； (4)请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $