幂函数与指数、对数式的运算专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦幂、指、对函数运算，以定义-性质-应用为逻辑链，融合秒杀技巧与高考真题，强化抽象能力与运算推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数|定义+5种图象+性质|聚焦高考常考2种函数，强化图象与单调性|从定义到图象再到性质，衔接初中基础| |指数运算|根式+有理指数幂+3法则|分数指数幂转化与运算律应用|概念（根式）→表示（分数指数幂）→运算（3性质）| |对数运算|定义+3类对数+4法则+秒杀结论|“两个一致”判断对数值正负，图象底数比较法|定义→性质（恒等式）→运算（换底公式）→秒杀技巧|

指数函数+对数函数+幂函数运算 一、幂函数 1.(1)幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减. 高考只考查当时的五种函数，其中是我们初中非常熟悉的三个函数，所以我们只需熟记两个函数即可，熟练掌握其图象、单调性、奇偶性。 二、指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数 0的n次实数方根是0 当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝(n为偶数)；②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； ②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； ③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)． 三、对数运算 1.对数的定义 (1)一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0. 2.几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 3.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①＝N(a>0且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0且a≠1)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝(a，b均大于零且不等于1)． (3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④＝logaM 4.秒杀结论一致性原理 且()，恒过点，图象恒在轴右边。 ①当时，是增函数；当时，是减函数； ②在同一坐标系作出多个对数函数的图象，在第一象限作垂直于轴的直线，交点越靠右，底数越大； ③确定对数值正负满足两个一致原理：即对数真数与底数范围一致为正，不一致为负，对应区间为： 【例1 】（1）已知，求的值； （2）已知，化简； 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）由立方和公式将目标式化为，结合已知条件即可求值； （2）利用指数幂的运算性质即可化简； 【详解】（1）； （2）； 【变式1】（1）（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. （2）已知为正实数，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】：，选D 【例2】化简或计算下列对数式 (1) (2). (3) (4)． 【答案】 (1)1；(2)520；(3) ；(4)9 【解析】(1) (2)原式 (3) ， (4)原式 ，故答案为：. 【变式2】化简或计算下列对数式 (1) (2)． (3). (4) 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【解析】(1) (2)原式 (3) . (4) 【例3】(高考题改编)设函数则 【解析】：分别代入到三个幂函数中得 【变式3】若幂函数为奇函数，则的值为 . 【答案】0 【详解】由是幂函数，得，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，是奇函数，符合题意，所以. 【跟踪训练】 1. 计算(高考题或高考母题) （1） 【详解】原式= (2) 【详解】原式= (3) 【详解】原式= 2.填空题 (1)已知 ，则 _____. 【答案】/0.5 【分析】由指数的运算性质即可得解. 【详解】由题意，所以. 故答案为： (2)若求 【详解】法一：化为指数式，，原式=。 法二：，由对数恒等式知原式= (3)已知，若，，则= ,= 【详解】设，，得，，代入得 (4)________ 【详解】原式=。 (5)若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则＝ 。 【详解】当时，，，为减函数；当时，，，符合题意. 3.单选题 (1) （2026·广东·模拟预测）设大于1的实数a满足，令，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】大于1的实数a满足， 又，所以， 所以，即，又， 所以，即. (2)（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】 (3)（2026·北京·模拟预测）设，，为非零实数，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数式化为对数式，再根据对数运算的性质即可求解． 【详解】设，则， 所以．选D (4)设，且，则 ( ) A. B.10 C.20 D.100 【答案】A 【详解】：，，，选A (5)（2026·湖北十堰·模拟预测）已知，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，，， 则， 又因， 则得.选D (6)已知，，，，则下列等式一定成立的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】，选B。 (7)设，则= ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】，，，选B。 (8)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公 布数据建立了某地区传染病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3） ( ) A.60 B.63 C.66 D.69 【答案】C 【详解】：代入得，两边取对数得：，选C。 (9)已知则 ( ) A. B. C.或 D. 【答案】C 【详解】：或，或，选C。 (10)已知函数，若、、互不相等，且 ，则的取值范围是 ( 　) A. B. 　C. D. 【答案】C 【详解】可知，，，即，选C (11)设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 ( ) A. B.2 C. D.4 【答案】D 【详解】：，，选D (12)函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为 ( ) A. B. C.2 D.4 【答案】B 【详解】：与增减性一致，，，选B (13)若，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】：构造函数，为增函数，，，，选B (14)若,,则 ( ) A., B., C., D., 【答案】D 【详解】：由秒杀结论一致性原理知，，选D (15)若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】：，由秒杀结论一致性原理知，，选C (16)如果则 ( ) A. B. C. D. 【详解】：由秒杀结论一致性原理知，由底数越小则对数越大知，选A (17)若点在的图象上，，则下列点也在此图象上的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】：，代入知选D (18)已知函数，若且，则的取值范围是 (　　　) A. 　 B.　 　 C. 　 D. 【答案】C 【详解】：，(舍去)或，，选C （19）（2026·天津高考真题第6题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，因为函数在上单调递增，所以，又因函数在上单调递增，则，所以，因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 故选：A. ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数函数+对数函数+幂函数运算 一、幂函数 1.(1)幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减. 高考只考查当时的五种函数，其中是我们初中非常熟悉的三个函数，所以我们只需熟记两个函数即可，熟练掌握其图象、单调性、奇偶性。 二、指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数 0的n次实数方根是0 当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝(n为偶数)；②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； ②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； ③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)． 三、对数运算 1.对数的定义 (1)一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0. 2.几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 3.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①＝N(a>0且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0且a≠1)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝(a，b均大于零且不等于1)． (3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④＝logaM 4.秒杀结论一致性原理 且()，恒过点，图象恒在轴右边。 ①当时，是增函数；当时，是减函数； ②在同一坐标系作出多个对数函数的图象，在第一象限作垂直于轴的直线，交点越靠右，底数越大； ③确定对数值正负满足两个一致原理：即对数真数与底数范围一致为正，不一致为负，对应区间为： 【例1 】（1）已知，求的值； （2）已知，化简 【变式1】（1）（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． （2）已知为正实数，则 ( ) A. B. C. D. 【例2】化简或计算下列对数式 (1) (2). (3) (4)． 【变式2】化简或计算下列对数式 (1) (2)． (3). (4) 【例3】(高考题改编)设函数则 【变式3】若幂函数为奇函数，则的值为 . 【跟踪训练】 1. 计算(高考题或高考母题) （1） (2) (3) 2.填空题 (1)已知 ，则 _____. (2)若求 (3)已知，若，，则= ,= (4)________ (5)若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则＝ 。 3.单选题 (1) （2026·广东·模拟预测）设大于1的实数a满足，令，则（   ） A． B． C． D． (2)（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 (3)（2026·北京·模拟预测）设，，为非零实数，且，则（     ） A． B． C． D． (4)设，且，则 ( ) A. B.10 C.20 D.100 (5)（2026·湖北十堰·模拟预测）已知，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． (6)已知，，，，则下列等式一定成立的是 ( ) A. B. C. D. (7)设，则= ( ) A. B. C. D. (8)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公 布数据建立了某地区传染病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3） ( ) A.60 B.63 C.66 D.69 (9)已知则 ( ) A. B. C.或 D. (10)已知函数，若、、互不相等，且 ，则的取值范围是 ( 　) A. B. 　C. D. (11)设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 ( ) A. B.2 C. D.4 (12)函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为 ( ) A. B. C.2 D.4 (13)若，则 ( ) A. B. C. D. (14)若,,则 ( ) A., B., C., D., (15)若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. (16)如果则 ( ) A. B. C. D. (17)若点在的图象上，，则下列点也在此图象上的是 ( ) A. B. C. D. (18)已知函数，若且，则的取值范围是 (　　　) A. 　 B.　 　 C. 　 D. (19)（2026·天津高考真题第6题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $