第2章 第6讲 幂函数与指、对数式的运算 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦指数对数运算与幂函数性质，通过一题多解构建运算转化体系，强化数学思维的逻辑性与严谨性。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数对数运算|6题|指数对数互化、换底公式应用、运算法则逆向推演|从定义出发，构建“指数式-对数式-代数式”转化链条| |幂函数性质|3题|幂函数定义辨析、单调性比较大小、参数求解|以系数特征为起点，衔接定义域与单调性的应用| |综合应用|5题|实际问题建模、方程思想、函数性质综合运用|整合指数对数与幂函数，形成“概念-运算-应用”完整逻辑链|

1．已知a＞0，则＝(　　) A．a B．a C．a－ D．a 解析：选B．＝＝a2-－＝a. 2．(2026·南京学情调研)已知ax＝4，loga3＝y，则ax＋y＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．12 解析：选D．方法一(指数运算)：由loga3＝y，得ay＝3，所以ax＋y＝ax·ay＝4×3＝12. 方法二(对数运算)：由ax＝4，a＞0且a≠1得loga4＝x，所以x＋y＝loga4＋loga3＝loga12，所以ax＋y＝12. 3．计算2log32－log3＋(－1)0＋log38－25log53的结果为(　　) A．－7 B．－3 C．0 D．－6 解析：选D．原式＝log34－log3＋log38＋1－52log53＝log3(4××8)＋1－5log59＝log39＋1－9＝－6. 4．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c 解析：选B．因为f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.因为函数f(x)的图象过点(，2)，所以()n＝2，解得n＝3.故函数f(x)＝x3，且函数f(x)为增函数．因为ln 2＜m＜n，故c<a<b. 5．某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b)”．某学生在用计算器计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按成“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．a＝b2 D．b＝a2 解析：选C．由题意，得logba＝4logab， 所以＝，即(ln a)2＝(2ln b)2. 因为a>1且b>1，所以ln a＝2ln b，即a＝b2. 6．(多选)下列选项中正确的有(　　) A．()2+＝4 B．log89×log2732＝ C．若a＋a-1＝3，则a2＋a-2－31＋log32＝2 D．若3x＝4y＝M，且＋＝1，则M＝36 解析：选ABD．()2+＝(22-)2+＝22＝4，故A正确；log89×log2732＝×＝×＝，故B正确；a2＋a-2－31＋log32＝(a＋a-1)2－2－3×3log32＝9－2－3×2＝1，故C错误；由3x＝4y＝M，＋＝1，得M>0且M≠1，x＝log3M，y＝log4M，即＝logM3，＝logM4，则＋＝2logM3＋logM4＝logM36＝1，解得M＝36，故D正确． 7．求值：＋＋0.1-2－×π0＝________．　 解析：原式＝()＋[()]2＋102－＝＋＋100－＝100. 答案：100 8．若2m＋5n＝，则log2(4m×32n)＝________． 解析：因为4m×32n＝(22)m×(25)n ＝22m×25n＝22m+5n＝2， 所以log2(4m×32n)＝log22＝. 答案： 9．(13分)已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm+2在(0，＋∞)上单调递减． (1)求m的值；(6分) (2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围．(7分) 解：(1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1， 即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3. 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以m＋2<0，即m<－2，则m＝－3. (2)由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m， 即(2a－1)3<(a＋3)3， 则2a－1<a＋3，解得a<4， 所以a的取值范围为(－∞，4). 10．(2026·重庆月考)已知f(x)＝ 若存在实数t使得方程f(x)＝t有两个不同的正实数根，则正实数m的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(0，1) D．(0，1] 解析：选C．由y＝x，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，若存在实数t使得方程f(x)＝t有两个不同的正实数根，只需m＞m⇒m2＞m3⇒m2(m－1)＜0，又m＞0，所以0＜m＜1. 11．(2026·成都诊断性检测)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m＝－lg ，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为(　　) A．10 B．10－ C．10 D．10－ 解析：选D．设北极星与牛郎星的亮度分别为I1，I2，则由题意，得两式相减得＝－lg ，所以lg ＝－，所以＝10－. 12．已知2a＝32，loga2·log4x＝a，则log5x＋logx5＝________． 解析：因为2a＝32＝25，所以a＝5，所以loga2·log4x＝log52·log22x＝log52·log2x＝log5x＝×5，即log5x＝4，所以x＝54，所以log5x＋logx5＝4＋log545＝4＋＝. 答案： 13．(15分)某工厂产生的废气需过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正常数．如果在前5 h消除了10%的污染物，请回答下列问题： (1)10 h后还剩百分之几的污染物？(7分) (2)污染物减少50%大约需要花多长时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(8分) 解：(1)由题意知，当t＝0时，P＝P0， 当t＝5时，P＝(1－10%)P0， 于是有(1－10%)P0＝P0e-5k， 解得k＝－ln 0.9，则P＝P00.9， 所以当t＝10时，P＝0.81 P0， 即10 h后还剩下81%的污染物． (2)当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.9，解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×＝－5×≈33，即污染物减少50%大约需要花33 h． 14．(多选)已知3a＝8b＝24，则a，b满足的关系是(　　) A．＋＝1 B．＋＝2 C．(a－1)2＋(b－1)2＜2 D．(a－1)2＋(b－1)2＞2 解析：选AD．由3a＝8b＝24，得(3a)b＝24b，(8b)a＝24a，即3ab＝24b，8ab＝24a，两式相乘得(24)ab＝24a＋b，所以ab＝a＋b，又因为a≠0，b≠0，有＋＝1，A选项正确，B选项错误；由a≠b，有a2＋b2＞2ab，则(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2＞2ab－2(a＋b)＋2＝2，C选项错误，D选项正确． 学科网（北京）股份有限公司 $