课时作业评价(7) 一元二次不等式的恒(能)成立问题(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 聚焦一元二次不等式恒（能）成立问题，通过分类讨论、参数分离、换元转化等方法构建系统性解题体系，强化数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-6、9-11|分类讨论（a=0/≠0）、参数分离求最值|从二次不等式解法到恒成立等价转化，构建“概念-性质-应用”链条| |综合提升|7-8、12-13|换元法（t=y/x）、二次函数区间最值|结合集合、单调性，深化“函数-不等式”交叉应用| |能力进阶|14-15|存在性转化、值域包含关系|融合命题真假、双变量问题，培养数学语言表达与复杂问题解决能力|

课时作业评价(七)　一元二次不等式的恒(能)成立问题 (标号的为重点讲评题目,选择、填空题请在后面的答题区内作答) 一、单选题 1.若不等式kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为 (　　) A.(-3,0) B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0] 2.设a∈R,若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,则a的取值范围为 (　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C. D. 3.若存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立,则实数m的取值范围为 (　　) A.(-∞,2) B.(-∞,0]∪ C. D.(-∞,1) 4.已知条件q:“不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集”,则条件p:“-2≤a<1”是条件q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.对于所有的正实数x,y,都有x+≤a(x+y)成立,则整数a的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知命题p:任意1≤x≤2,x2-a≥0,命题q:关于x的不等式x2+2ax+2-a≤0有解,若命题p、命题q一真一假,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-2,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-2]∪{1} D.(-2,1)∪(1,+∞) 7.已知不等式(4x2+4ax+1)(2x2+x+a)>0对于一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 8.若不等式10xy≤ax2+2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.[8,+∞) B.[12,+∞) C. D. 二、填空题 9.(2026·洛阳阶段练习)对于任意的x,y∈R,定义运算:x☉y=x(y+1).若不等式x☉(x+a)+1>0对任意实数x恒成立,则a的取值范围是　　　　.  10.(2026·合肥模拟)若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1,3]恒成立,则a的最小值为　　　　.  11.已知∀x∈[1,2],∀y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　 三、解答题 12.(10分)已知集合A={x|x2+x-2<0},B={x|x2-3mx+2m2<0}. (1)若m=-1,且A,B同时成立,求x的取值范围;(4分) (2)设命题p:∀x∈A,x2+(1-2a)x+a2+a>8,若命题􀱑p为真命题,求a的取值范围.(6分) 13.(10分)已知函数f(x)=x2-3x+a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立,求实数a的取值范围;(4分) (2)若f(x)<0在x∈(-1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.(6分) |能力进阶|备选题| 14.已知∀x∈[-1,4],∃a∈R,满足不等式x2-2x+3≥a2-2am+3m,则实数m的取值范围是　　　　　　.  15.(15分)已知函数f(x)=x2-(a+6)x+6(a∈R). (1)若∀x∈[1,4],f(x)+a+8≥0恒成立,求a的取值范围;(7分) (2)已知g(x)=mx+7-3m,当a=1时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.(8分) 答案 课时作业(七)　一元二次不等式的恒(能)成立问题 1.选D　当k=0时,-<0恒成立,即有k=0,符合题意;当k≠0时, 解得-3<k<0,所以实数k的取值范围是(-3,0].故选D. 2.选C　由x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,得≥a在1≤x≤2上有解,则a≤.由于=x+,而y=x+在[1,2]上单调递增,故当x=2时,x+取得最大值,故a≤. 3.选C　①当m=0时,不等式化为2x<0,解得x<0,符合题意;②当m>0时,y=mx2-(m-2)x+m为图象开口方向向上的二次函数,只需Δ=(m-2)2-4m2=-3m2-4m+4>0,即0<m<;③当m<0时,y=mx2-(m-2)x+m为图象开口方向向下的二次函数,则必存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立.综上所述,实数m的取值范围为. 第3题·易错提醒 若不等式ax2+bx+c>0没有明确是一元二次不等式,一定不要忽视对a=0的讨论. 4.选A　因为不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,所以不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1<0的解集是R,当a2-4=0,即a=±2 时,若a=2 ,则 4x-1<0,x<(舍去);若a=-2 ,则 -1<0,x∈R ;当a2-4≠0时,则解得-2<a< .综上所述,-2≤a<,所以条件p是条件q的充分不必要条件.故选A. 5.选B　由题设得1+≤a,令t=>0,则1+t≤a(1+t2)⇒at2-t+a-1≥0,所以f(t)=at2-t+a-1≥0,在t∈(0,+∞)上恒成立,当a=0时,则f(t)=-t-1<0,不满足题设;当a≠0时,f(t)的对称轴为t=,只需可得a≥.综上,a≥,故整数a的最小值为2.故选B. 第5题·解题关键 利用换元法,把不等式转化为一元二次不等式的形式. 6.选D　当命题p为真时,即∀x∈[1,2],x2-a≥0,即当x∈[1,2]时,a≤,又当x=1时,x2取得最小值1,即得a≤1;当命题q为真时,即关于x的不等式x2+2ax+2-a≤0有解,所以Δ=4a2-4(2-a)≥0,所以a≤-2或a≥1.又命题p,q一真一假,当p真q假时,即所以-2<a<1,当p假q真时,即所以a>1.故实数a的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞). 7.选B　因为4x2+4ax+1=4+1-a2,2x2+x+a=2+a-,令1-a2>0,即-1<a<1,此时4x2+4ax+1>0对于一切实数x恒成立,因此2x2+x+a>0对于一切实数x恒成立,所以a->0,即a>,故<a<1;当1-a2≤0时,关于x的方程4x2+4ax+1=0有实数解,即存在实数x使得(4x2+4ax+1)(2x2+x+a)=0,不满足题意,故实数a的取值范围为. 8.选D　因为不等式10xy≤ax2+2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立,所以a≥-2+10对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立,令t=,因为1≤x≤2及2≤y≤3,所以1≤t≤3,则a≥-2t2+10t在上恒成立,因为g(t)=-2t2+10t=-2+的图象的对称轴为t=∈,所以g(t)的最大值为g=,所以a≥,所以实数a的取值范围是. 第8题·解题关键 换元后,利用不等式的性质判断新元的范围. 9.解析:由已知得x☉(x+a)+1=x(x+a+1)+1=x2+(a+1)x+1>0对任意实数x恒成立,所以Δ=(a+1)2-4<0,解得-3<a<1. 答案:(-3,1) 10.解析:∵当x∈[1,3]时,x2+ax+4≥0恒成立,∴a≥-恒成立,又当x∈[1,3]时,x+≥2=4,当且仅当x=2时取等号,∴-x+≤-4,∴a≥-4,故a的最小值为-4. 答案:-4 11.解析:因为x∈[1,2],y∈[2,3],则∈,所以∈[1,3].又y2-xy-mx2≤0,可得m≥-.令t=∈[1,3],则原命题等价于∀t∈[1,3],m≥t2-t,即m≥(t2-t)max,t2-t=-,当t=3时,y=t2-t取到最大值ymax=9-3=6,所以实数m的取值范围是[6,+∞). 答案:[6,+∞) 12.解:(1)解不等式x2+x-2<0,得-2<x<1,故A={x|-2<x<1}. 当m=-1时,解不等式x2+3x+2<0,得-2<x<-1,故B={x|-2<x<-1}.因为A,B同时成立,所以x的取值范围为(-2,-1). (2)因为p:∀x∈A,x2+(1-2a)x+a2+a>8,所以􀱑p:∃x∈A,x2+(1-2a)x+a2+a≤8为真命题,设f(x)=x2+(1-2a)x+a2+a-8,则f(x)≤0在(-2,1)上有解,①由f(-2)≤0,得a2+5a-6≤0,解得-6≤a≤1.经验证,a=-6不符合题意,故-6<a≤1.②由f(1)≤0,得a2-a-6≤0,解得-2≤a≤3.经验证,a=3不符合题意.故-2≤a<3.综上,a∈(-6,3). 13.解:(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立,则Δ=(-3)2-4a<0,得a>, 所以实数a的取值范围是. (2)由题意知,a<-x2+3x在x∈(-1,2]上恒成立,则a<(-x2+3x)min,-x2+3x=-+,当x∈(-1,2]时,-x2+3x的范围为,所以a≤-4, 故实数a的取值范围是(-∞,-4]. 14.解析:∀x∈[-1,4],∃a∈R,满足不等式x2-2x+3≥a2-2am+3m,故只需(x2-2x+3)min≥(a2-2am+3m)min,其中y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,当且仅当x=1时,等号成立,关于a的函数y=a2-2ma+3m=(a-m)2+3m-m2≥3m-m2,当且仅当a=m时,等号成立,所以2≥3m-m2,解得m≥2或m≤1,综上,实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞). 答案:(-∞,1]∪[2,+∞) 15.解:(1)由题意得,x2-ax-6x+6+a+8≥0对于∀x∈[1,4]恒成立,∴ax-a≤x2-6x+14,即a(x-1)≤x2-6x+14在x∈[1,4]恒成立.①当x=1时,0≤1-6+14=9,恒成立. ②当x≠1时,此时x∈(1,4],则a≤==(x-1)+-4在x∈(1,4]恒成立.∴a≤(x-1)+-4在x∈(1,4]上的最小值,∵(x-1)+-4≥2-4=2,当且仅当x-1=,即x=4时取等号,∴a≤2.故a的取值范围为(-∞,2]. (2)当a=1时,f(x)=x2-7x+6,当x∈[1,4]时,f(x)=-,则f(x)的值域为,∵对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立, ∴f(x)的值域为g(x)值域的子集. ∵g(x)=mx+7-3m,∴①当m>0时,g(x)∈[7-2m,m+7],则 ⇒m≥, ②当m<0时,g(x)∈[m+7,7-2m],则 ⇒m≤-, ③当m=0时,g(x)=7,不符合题意.综上,m≥或m≤-. 故m的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $