1.6 线段垂直平分线的性质 讲义 [杭州专用] 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦线段垂直平分线的性质这一核心知识点，系统梳理其定义、性质及尺规作图方法，通过基础夯实（求值、证明题型）到综合培优（与三角形全等综合）的递进设计，构建完整学习支架。 资料以知识梳理与题型精析结合为特色，例题及变式题选自浙江各地期末期中试题，培养学生几何直观与推理意识，巩固检测分层设置，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

1.6线段垂直平分线的性质讲义（知识梳理+题型精析+巩固检测）[杭州专用]2026-2027八年级上学期浙教版新教材答案解析 【题型1】利用线段垂直平分线性质求值 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，的边，的垂直平分线交于点，若，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 C 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质是解决问题的关键． 由题意，结合垂直平分线的性质得到，再结合即可得到答案． 【详解】解：的边，的垂直平分线交于点， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为30，则的周长为_________． 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，而，代换即有，从而得到的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， ∵的周长是，即， ， ， 即的周长是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________． 8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为8． 故答案为：8 【题型2】利用线段垂直平分线性质证明 【例题2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 D 【分析】本题考查了反例法证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条中垂线交点在三角形外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵钝角三角形的三条中垂线交点在三角形外部， ∴该命题为假命题，钝角三角形符合反例要求． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，如果和分别垂直平分和，那么的度数为（    ） A． B． C． D． A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和性质，先运用三角形内角和性质得，结合和分别垂直平分和，则，即，结合角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， 则． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为14，，求的长． (1) (2)4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据于点D，，可得，从而得到，从而得到，再由线段垂直平分线的性质，可得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质，即可求解； （2）根据题意可得，再由三角形的周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴在中， ∵垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， 且的周长为14， ∴， ∴ 即 ∴． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． (1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理和等边对等角进行计算即可． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 的周长为，即， ； （2）解：由题意得，，， ， ， ． 【题型3】尺规作图——线段垂直平分线 【例题3】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A． B． C． D． C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形． 故选：C． 【变式1】（2025八年级上·浙江·专题练习）在下列选项中的尺规作图，能推出的是(   ) A． B． C． D． B 【分析】本题考查了基本作图的方法．熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键．根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案． 【详解】解：A．由作图痕迹可知，，不能得出， 故A选项不符合题意； B．由作图痕迹可知，所作为线段的垂直平分线， ， 故B选项符合题意； C．由作图痕迹可知，所作为线段的垂直平分线， ，不能得出， 故C选项不符合题意； D．由作图痕迹可知，所作为的平分线，不能得出， 故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． (1) 边的中垂线，如图1即为所求； (2)的长为5 【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质． （1）如图，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线； （2）连接，设，，则，由题意列出方程，解得，再由的周长是25，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，，连接， 由作图知，， 设，，则， ∵的周长是25，将的周长分成， ∴， 即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∴的长为5． 【变式3】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，已知，，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点； (2)求的度数． (1) 解：如图所示： 图中垂直平分线即为所求； (2) 【分析】本题考查基本作图-作垂直平分线、三角形中求角度，熟练掌握垂直平分线的作法、三角形相关性质是解决问题的关键． （1）直接由垂直平分线的尺规作图方法作图即可得到答案； （2）由垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形性质得到，接着由三角形内角和定理求出，从而三角形结合表示出求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示： 由（1）知，是线段的垂直平分线， ， 则， 在中，，，则， ． 【题型4】尺规作图——作垂直 【例题4】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知点A，B以及直线l． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交直线l于点P（要求保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，M，N是直线l上的两点．若．求证：． (1) 由题意，作图如下： (2) 证明：由作图可知，， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，画出中垂线，确定点即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，请根据要求作图并完成计算． (1)用直尺和圆规作边上的垂直平分线，分别交，于点和点． (2)连接，若，，求的周长． (1) 垂直平分线即为所作： ； (2) 如图所示； ， 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再由三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长． 【变式2】（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规作图． (1)作的中线； (2)作，使得． (1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求作的三角形． 【分析】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握作一条线段等于已知线段，线段的垂直平分线，是解题的关键． （1）先作线段的垂直平分线，找出的中点M，连接即可； （2）先作，再以点G为圆心，为半径画弧，然后以点F为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据作图可知：，，，根据可知，． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，． (1)用直尺和圆规作的中垂线交于D（保留痕迹）． (2)若，连结，判断的形状，并说明理由． (1) 如图所示，即为所求作； (2) 是等腰三角形，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴. ∵， ∴， ∴， 则是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了尺规作中垂线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），分别以点A，B为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，过两点作直线交于点D； 对于（2），先根据线段垂直平分线的性质得，再根据等角对等边得，然后根据三角形的外角的性质得，即可得，，最后根据等角对等边得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【题型5】线段垂直平分线与三角形全等综合 【例题5】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．下列两个结论： ①≌；    ②． 判断正确的是（    ）． A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 B 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 根据是的高，结合是的角平分线，利用全等三角形的判定和性质，可判定①正确；延长交于点N，得到，得到，可以判断②错误，解答即可． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵ ∴，故①正确； 延长交于点N， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 故不成立， 故②错误， 故选：B 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图在中，点是的中点，点在边上，连接，过点作，交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的取值范围是____． /# 【分析】本题考查的知识点涵盖全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及垂直平分线的性质；先通过平行线性质、中点性质结合判定定理，证出和全等，得出；再结合的条件，推出垂直平分，得到；最后依据三角形三边关系，结合的长度，确定的取值范围，进而得出的取值范围． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴（两直线平行，内错角相等） 在和中： ∴， ∴， ∵，且， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）风筝起源于东周春秋时期，距今已有两千多年的历史．2006年5月20日，风筝制作技艺列入国家第一批非物质文化遗产名录．图1是制作风筝的简易结构图，图2是风筝的骨架示意图．在制作骨架的过程中，要保证，，请证明． 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定定理． 由题意得垂直平分，则，再由即可证明． 【详解】略 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． (1) ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）易得垂直平分，得到，根据全等三角形的对应边相等，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵是边上的中线，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：， ∴． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． (1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 同步检测参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D B C B C C D 1．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法及其性质是解题的关键．根据题意可知，到三角形三个顶点距离相等的点为三条边的垂直平分线的交点，再根据线段垂直平分线的作法，逐项分析即可解答． 【详解】解：∵小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点， ∴该点为三角形三边的垂直平分线的交点， 选项中只有选项B中的作图痕迹为其中两条边的线段垂直平分线，故可用直尺找到此点， 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了全等三角形判定定理、线段垂直平分线性质、直角三角形性质、三角形外角性质根据全等三角形判定定理、线段垂直平分线性质、直角三角形性质、三角形外角性质，逐一判断各命题的真假． 【详解】解：A、全等三角形的判定定理中，仅两边及其夹角对应相等可判定全等，两边和其中一边的对角对应相等无法判定两个三角形全等，则选项A是假命题． B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是线段垂直平分线的性质定理，则选项B是真命题． C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是直角三角形的性质定理，则选项C是真命题． D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是三角形外角的性质定理，则选项D是真命题． 故选A． 3．D 【分析】本题考查了反例法证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条中垂线交点在三角形外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵钝角三角形的三条中垂线交点在三角形外部， ∴该命题为假命题，钝角三角形符合反例要求． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， 又的周长， ∴的周长， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的概念．先根据尺规作图确定是的垂直平分线，再利用垂直平分线性质得到，最后结合的周长求出的长即可解答． 【详解】解：由题意可得是线段的垂直平分线， 则， 的周长为， ， ， ， ， ， 即， 故选：． 6．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是将的长度转化为，将的长度转化为． 根据线段垂直平分线的性质可得，，再由周长为三边相加求解即可． 【详解】解：∵点关于直线的对称点分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴周长为． 故选：C ． 7．B 【分析】本题考查了基本作图的方法．熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键．根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案． 【详解】解：A．由作图痕迹可知，，不能得出， 故A选项不符合题意； B．由作图痕迹可知，所作为线段的垂直平分线， ， 故B选项符合题意； C．由作图痕迹可知，所作为线段的垂直平分线， ，不能得出， 故C选项不符合题意； D．由作图痕迹可知，所作为的平分线，不能得出， 故D选项不符合题意． 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，据此根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了三角形内角和，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理，则，最后由角度和差计算即可，熟练应用三角形内角和与等腰三角形的性质求解角的度数，利用垂直平分线证边相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 11． 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 在等腰中，∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：． 12．/度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 根据角平分线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，可得出 ，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ， 的垂直平分线交的平分线于， ， ， 设， ，， 在中，， ∴， 解得：， ， 故答案为：． 13．5 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得出，然后根据，求出即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， ， ． 故答案为5． 14． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，分别垂直平分边，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要是考查了三角形内角和、垂直平分线以及等腰三角形的性质． 根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16． /70度 /140度 【分析】本题考查了三角形角平分线和垂直平分线的性质，解题的关键是利用角平分线性质得出角的关系，以及利用垂直平分线性质和圆周角定理求解角度． 连接，根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，，，进而得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是三个内角平分线的交点， ． 在中，，已知，则． ． 在中，， 点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， 故答案为：，． 17．(1) 即为所求； (2) (3)作的垂直平分线与的交于，点即为所求． 【分析】本题考查了作图的应用与设计，则网格线的特点和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据垂直的意义和网格线的特点作图； （2）根据三角形的面积公式求解； （3）根据垂直平分线的性质作图． 【详解】（1）略 （2）的面积为：； （3）略 18．(1) (2)4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据于点D，，可得，从而得到，从而得到，再由线段垂直平分线的性质，可得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质，即可求解； （2）根据题意可得，再由三角形的周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴在中， ∵垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， 且的周长为14， ∴， ∴ 即 ∴． 19．(1) ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）易得垂直平分，得到，根据全等三角形的对应边相等，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵是边上的中线，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：， ∴． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性质． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解的垂直平分线交于点， ， ， ； （2）解：的周长 ， ，， 的周长． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形面积计算公式可求出，可证明，得到；可证明的周长的周长，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，的面积为， ∴； ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ∵的周长，的周长， ∴的周长的周长， ∵与的周长之差为， ∴， ∴． 22．(1)6 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线、三角形内角和、等腰三角形的知识，理解垂直平分线的性质是解题的关键； （1）结合题意，根据垂直平分线的性质，得，，从而完成求解； （2）结合（1）的结论，根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵，分别垂直平分，， ∴，， ∴的周长． （2）由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴． 23．(1) (2)5 【分析】（1）由线段的垂直平分线得到，则，而，则； （2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴的周长 ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形的外角和内角和定理，等腰三角形的性质． 24． （1）；理由如下： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，，且， ， ， ， ； （2）证明：延长到，使得，连结，． 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：．理由如下： 延长到，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接，．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6线段垂直平分线的性质讲义（知识梳理+题型精析+巩固检测）2026-2027八年级上学期浙教版新教材 目录 一．知识梳理与题型精析（基础夯实） 【知识点一】垂直平分线 【题型1】利用线段垂直平分线性质求值 【题型2】利用线段垂直平分线性质证明 【知识点二】尺规作图——线段的垂直平分线 【题型3】尺规作图——线段垂直平分线 【题型4】尺规作图——作垂直 二．题型精析（综合培优） 【题型5】线段垂直平分线与三角形全等综合 三．巩固检测 （一）选择题（共10题，每小题3分，合计30分） （二）填空题（共6题，每小题3分，合计18分） （三）解答题（共8题，每小题9分，合计72分） 一．知识梳理与题型精析（基础夯实） 【知识点一】垂直平分线 定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线． 定义 图示 数学语言 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线． 直线于点，且．直线就是线段的垂直平分线． 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 性质 图示 数学语言 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 是线段的垂直平分线． 【题型1】利用线段垂直平分线性质求值 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，的边，的垂直平分线交于点，若，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为30，则的周长为_________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________． 【题型2】利用线段垂直平分线性质证明 【例题2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，如果和分别垂直平分和，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为14，，求的长． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【知识点二】尺规作图——线段的垂直平分线 类型 图示 作图步骤 线段垂直平分线 1．分别以点，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点；2．作直线． 直线就是线段的垂直平分线． 【题型3】尺规作图——线段垂直平分线 【例题3】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级上·浙江·专题练习）在下列选项中的尺规作图，能推出的是(   ) A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【变式3】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，已知，，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点； (2)求的度数． 【题型4】尺规作图——作垂直 【例题4】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知点A，B以及直线l． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交直线l于点P（要求保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，M，N是直线l上的两点．若．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，请根据要求作图并完成计算． (1)用直尺和圆规作边上的垂直平分线，分别交，于点和点． (2)连接，若，，求的周长． 【变式2】（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规作图． (1)作的中线； (2)作，使得． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，． (1)用直尺和圆规作的中垂线交于D（保留痕迹）． (2)若，连结，判断的形状，并说明理由． 二．题型精析（综合培优） 【题型5】线段垂直平分线与三角形全等综合 【例题5】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．下列两个结论： ①≌；    ②． 判断正确的是（    ）． A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图在中，点是的中点，点在边上，连接，过点作，交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的取值范围是____． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）风筝起源于东周春秋时期，距今已有两千多年的历史．2006年5月20日，风筝制作技艺列入国家第一批非物质文化遗产名录．图1是制作风筝的简易结构图，图2是风筝的骨架示意图．在制作骨架的过程中，要保证，，请证明． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 三．同步检测 （一）选择题（共10题，每小题3分，合计30分） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，垂直平分，垂足为，，的周长为13，那么的周长为（   ） A．10 B．13 C．16 D．19 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的周长为，则的长为（ ） A．8 B．9 C．10 D．17 6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，点是内一点，分别作点关于直线的对称点，连接交于点，交于点，若，则周长为（    ） A． B． C． D． 7．（2025八年级上·浙江·专题练习）在下列选项中的尺规作图，能推出的是(   ) A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，垂直平分交于D，交于E，，则∠B等于（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于，两点，是上一点，且，连接，．则下列说法正确的是；；．（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共6题，每小题3分，合计18分） 11．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等腰中，，的垂直平分线交于点，则周长是__________． 12．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交的平分线于E，连接，如果，，那么的大小是______． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长是_____． 14．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在钝角三角形中，，分别垂直平分边，，交于点M，N，与在的下方交于点F．若，则的度数为 ________ ． 15．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是______． 16．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知△ABC是三边都不相等的三角形，点P是这个三角形三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边的内部时，且，则________，________． （三）解答题（共8题，每小题9分，合计72分） 17．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称做格点． (1)画出的高； (2)求的面积； (3)在边上找到一点E，满足． 18．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为14，，求的长． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 20．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 21．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点H． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积． 22．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 23．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． (1)若，求的度数． (2)若，的周长为17，求的长． 24．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $