1.7 角平分线的性质10大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦“角平分线的性质”核心知识点，系统梳理角平分线的定义、性质定理（角平分线上的点到两边距离相等）、判定定理（到两边距离相等的点在角平分线上）及尺规作图方法，构建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”“典例精析”“变式巩固”分层设计，结合几何符号语言规范训练培养数学语言能力，借助作图原理探究与综合题型分析发展几何直观和推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

第一章 认识三角形 1.7 角平分线的性质 课标要点 1. 理解角平分线的基本定义，能够准确区分角平分线与线段平分线，熟练运用文字、图形、符号三种语言进行规范表述。 2. 自主探究角平分线的性质定理，掌握定理的推导过程，能规范完成几何证明，理清定理成立的前提条件。 3. 熟记角平分线性质内容，明确角平分线上的点到角两边垂线段相等，可运用定理进行线段长度计算和简单推理。 4. 掌握尺规作角平分线的方法步骤，理解作图原理，规范保留作图痕迹，独立完成标准的角平分线作图。 5. 学会结合几何综合题型运用角平分线性质，挖掘题目隐藏条件，提升几何推理与数形结合解题能力。 学习重难点 重点： 1. 掌握角平分线性质定理，熟练运用定理实现线段转化，解决基础计算与几何证明问题。 2. 熟练掌握尺规作角平分线的步骤，理解作图原理，规范作图格式与留存痕迹。 3. 准确运用几何符号语言表述角平分线性质，规范书写几何解题推理过程。 难点： 1. 精准识别角的垂线段，易错将斜线段当作垂线段，导致性质定理误用出错。 2. 灵活结合三角形题型，挖掘图形中隐藏的角平分线条件，完成等量代换解题。 知识点一 角平分线的性质定理 1角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 即学即练 1．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 2．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，已知，，，则的面积等于 ___________． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分，且，． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 知识点二 角平分线的画法 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 即学即练 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知，用直尺和圆规作一点P，使它到点A和点C的距离相等，且到线段与线段所在直线的距离也相等（保留作图痕迹，不必写出作法）． 5．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知，． (1)用尺规作图法作出的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)作的中垂线（不写作法，保留作图痕迹）． 6．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，． (1)请你用直尺，圆规作出的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 题型01 角平分线的概念 解题贴士 角平分线是平分角的射线，从顶点出发；需分成两个完全相等的角，三角形角平分线为线段，不可混淆射线、线段两种形式。 典｜例｜精｜析 1．已知是的平分线，是上一点，、分别、上一点．有如下两个说法：①若于，于，则；②若，则，．关于这两个说法，正确的是（    ） A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①和②均正确 D．①和②均错误 变｜式｜巩｜固 2．已知是一个任意三角形，用尺规作出，的平分线，如果两条角平分线交于点O，下列说法不正确的是（    ） A．点O到三个顶点的距离一定相等 B．的平分线一定经过点O C．点O到三边的距离一定相等 D．点O一定在的内部 3．下列说法错误的是（　　） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 4．如图，在中，，是上两点，平分，平分，那么下列说法中不正确的是（      ） A．的长度等于D到的距离 B．是的高 C． D．是的角平分线 题型02 与角平分线有关的内角和问题 解题贴士 分清内外角平分线类型，结合三角形内角和列式，记得作垂线用等距性质，找准角度等量关系再计算。 典｜例｜精｜析 5．如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 6．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 7．如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 8．如图，在直角中，，于D，平分交于点E，交于点F． (1)试说明． (2)若，求的度数． 题型03 角平分线的判定定理 解题贴士 需满足点在角内部，到角两边垂线段长度相等，缺一不可；不可用斜线段判定，分清判定与性质的条件结论，避免颠倒。 典｜例｜精｜析 9．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F，连接，．当与满足什么条件时，是的角平分线？为什么？ 11．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 12．如图，的角平分线相交于点P．求证： (1)点P到三边的距离相等； (2)的三条角平分线交于一点． 题型04 利用角平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 13．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 14．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 16．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 题型05 利用角平分线的性质求长度 典｜例｜精｜析 17．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C．6 D．12 变｜式｜巩｜固 18．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 19．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 20．如图，在中，平分交于点，于点，于点，．若，求的长． 题型06 利用角平分线的性质求面积 典｜例｜精｜析 21．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 变｜式｜巩｜固 22．如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 23．如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 24．阅读与思考 下面是小明同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日                                  星期日                             晴 巧用角平分线构造比例关系 在学习完角平分线的性质一节后，我经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，是的角平分线，，，，之间的关系为：．   思路：“关联”角平分线的性质，过点D分别作垂足为E，作垂足为F，再结合“等面积法”即可得到结论． 证明：如图2，过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，因为是的角平分线，且，，   所以（依据）． 因为，， 所以． 因为， 所以   …… 解后反思： 关联思想是数学的核心思维之一．当题目涉及角平分线时，可向角的两边作垂线，利用角平分线的性质完成线段、面积等条件转化，进而简化问题． 任务： (1)任务一：材料中证明过程中的依据指的是： ； (2)任务二：请将小明同学的证明过程补充完整； (3)任务三：如图3，在中，点E为的中点，平分，，与交于点O，于点P，于点Q，已知的面积为6，则的面积为 ．    题型07 角平分线与垂直平分线结合问题 典｜例｜精｜析 25．如图，是的角平分线，分别是和的高，得到下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 变｜式｜巩｜固 26．如图，在中，，是的角平分线，根据图中尺规作图的痕迹推断，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在中，是角平分线，，直线垂直平分，交于点．若，，的周长为24，则的面积为____________． 28．如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 题型08 尺规作角平分线 典｜例｜精｜析 29．如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若，求的面积． 变｜式｜巩｜固 30．如图，请在图①中作出的内角平分线，在图②中作出的边上的中线，在图③中作出的边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作线段用实线） 31．如图，是中边上的高． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 32．用无刻度直尺和圆规作图： ①画出的角平分线； ②在线段上找一点E，使得和面积相等 题型09 角平分线的辅助线添加问题 典｜例｜精｜析 33．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 变｜式｜巩｜固 34．如图，在四边形中，平分，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 35．已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 36．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 题型10 角平分线的新定义问题 典｜例｜精｜析 37．我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______． 变｜式｜巩｜固 38．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； (2)如图，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系． 39．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 40．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 基础通关 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，点P是的角平分线上一点，于点E，点F是射线上任意一点，则（       ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（25-26八年级上·四川南充·期末）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 5．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 7．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是30，，，则____________           8．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，作于点，作于点，交于点．若，则两平行线与之间的距离为_________． 9．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，． (1)画出的角平分线； (2)求的度数． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 素养提升 11．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（    ） A．9 B．6 C．5 D．5.5 13．（25-26九年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图所示，垂直于的平分线于点，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 15．（15-16八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 16．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，的面积为42，平分，为的中点，点在上，，若阴影部分的面积为，则的值为______． 17．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点．且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的长不变；②的值不变；③四边形的面积不变；④，其中，正确的结论有______（填序号） 18．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，，平分交于点D，点E，F分别是，上的动点，则： （1）的长为______； （2）的最小值为______． 19．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 20．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 迁移创新 21．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在的边，上取点，，连接，平分平分，若，的面积是4，的面积是6，则的长是_____． 23．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为_____ ． 24．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于． (1)如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________； (2)如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明； (3)若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件． 25．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 认识三角形 1.7 角平分线的性质 课标要点 1. 理解角平分线的基本定义，能够准确区分角平分线与线段平分线，熟练运用文字、图形、符号三种语言进行规范表述。 2. 自主探究角平分线的性质定理，掌握定理的推导过程，能规范完成几何证明，理清定理成立的前提条件。 3. 熟记角平分线性质内容，明确角平分线上的点到角两边垂线段相等，可运用定理进行线段长度计算和简单推理。 4. 掌握尺规作角平分线的方法步骤，理解作图原理，规范保留作图痕迹，独立完成标准的角平分线作图。 5. 学会结合几何综合题型运用角平分线性质，挖掘题目隐藏条件，提升几何推理与数形结合解题能力。 学习重难点 重点： 1. 掌握角平分线性质定理，熟练运用定理实现线段转化，解决基础计算与几何证明问题。 2. 熟练掌握尺规作角平分线的步骤，理解作图原理，规范作图格式与留存痕迹。 3. 准确运用几何符号语言表述角平分线性质，规范书写几何解题推理过程。 难点： 1. 精准识别角的垂线段，易错将斜线段当作垂线段，导致性质定理误用出错。 2. 灵活结合三角形题型，挖掘图形中隐藏的角平分线条件，完成等量代换解题。 知识点一 角平分线的性质定理 1角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 即学即练 1．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，作，垂足为，根据角平分线的性质，得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，垂足为， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，已知，，，则的面积等于 ___________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线，求出的长． 先作辅助线交于点，然后根据角平分线的性质，可以得到，再根据三角形的面积公式，即可求得的面积． 【详解】解：如下图所示，作交于点， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分，且，． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)的长为 (2) 证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）略 知识点二 角平分线的画法 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 即学即练 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知，用直尺和圆规作一点P，使它到点A和点C的距离相等，且到线段与线段所在直线的距离也相等（保留作图痕迹，不必写出作法）． 【答案】图见详解 【分析】本题主要考查线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可先作线段的垂直平分线，然后再作的角平分线，两线交于一点P，则问题可求解 【详解】解：所作点P如图所示： 5．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知，． (1)用尺规作图法作出的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)作的中垂线（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了尺规作图，解决本题的关键是掌握用尺规作图作已知角的平分线、用尺规作图作线段的垂直平分线． 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，线段即为所求； 分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接作直线，直线即为所求． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点， 连接并延长交于点， 线段即为所求； （2）解：如下图所示，分别以点、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接作直线， 直线即为所求． 6．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，． (1)请你用直尺，圆规作出的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) 解：图形如图所示： (2) 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型01 角平分线的概念 解题贴士 角平分线是平分角的射线，从顶点出发；需分成两个完全相等的角，三角形角平分线为线段，不可混淆射线、线段两种形式。 典｜例｜精｜析 1．已知是的平分线，是上一点，、分别、上一点．有如下两个说法：①若于，于，则；②若，则，．关于这两个说法，正确的是（    ） A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①和②均正确 D．①和②均错误 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质，对两种说法逐个判断即可，角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：∵是的平分线，是上一点 ∴点到的距离相等 ∵，， ∴，说法①正确， 由，不能得出，，说法②错误 故选B 【点睛】此题考查了角平分线的性质，理解并掌握角平分线的性质是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 2．已知是一个任意三角形，用尺规作出，的平分线，如果两条角平分线交于点O，下列说法不正确的是（    ） A．点O到三个顶点的距离一定相等 B．的平分线一定经过点O C．点O到三边的距离一定相等 D．点O一定在的内部 【答案】A 【分析】根据三角形角平分线交点的性质判断各选项，找出错误说法即可. 【详解】解：∵任意三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于同一点，该交点（三角形的内心）到三角形三边的距离相等， ∴点O一定在内部，的平分线一定经过点O，点O到三边的距离一定相等，故选项B、C、D说法均正确， ∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，不是角平分线的交点， ∴选项A说法不正确. 3．下列说法错误的是（　　） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查角平分线和线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线和线段垂直平分线的性质与判定逐一判断即可． 【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等（角平分线的性质），故A正确； B、到角两边距离相等的点一定在角的平分线上（角平分线的判定定理），选项中是“不一定”，故B不正确； C、到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定），故C正确； D、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（线段垂直平分线的性质），故D正确． 故选：B． 4．如图，在中，，是上两点，平分，平分，那么下列说法中不正确的是（      ） A．的长度等于D到的距离 B．是的高 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的性质定理．根据三角形的高线，三角形的角平分线定义逐一分析判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴的长度等于D到的距离，选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴是的高，选项B说法正确，不符合题意； ∵平分，∴， ∵平分，∴， ∴，选项C说法正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 题型02 与角平分线有关的内角和问题 解题贴士 分清内外角平分线类型，结合三角形内角和列式，记得作垂线用等距性质，找准角度等量关系再计算。 典｜例｜精｜析 5．如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 6．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 7．如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 【答案】 【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出，再根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出． 【详解】解：∵、分别是、的一个外角 ∴，， 又 ∵、 分别是、的平分线， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵中，、分别是和的平分线， ∴，， ∴ ． 8．如图，在直角中，，于D，平分交于点E，交于点F． (1)试说明． (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据余角的性质可得，即可解答； （2）先求出的度数，再结合角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型03 角平分线的判定定理 解题贴士 需满足点在角内部，到角两边垂线段长度相等，缺一不可；不可用斜线段判定，分清判定与性质的条件结论，避免颠倒。 典｜例｜精｜析 9．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F，连接，．当与满足什么条件时，是的角平分线？为什么？ 【答案】解：当垂直平分时，是的角平分线； 理由如下：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴是的角平分线． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据角平分线的判定定理即可证得是的角平分线． 【详解】略 11．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2) 证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ．平分． 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质和判定是关键． （1）根据角平分线和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2） 略 12．如图，的角平分线相交于点P．求证： (1)点P到三边的距离相等； (2)的三条角平分线交于一点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是掌握角平分线的判定定理和性质定理． （1）作，由角平分线的性质，可得，即可证得结论； （2）由（1）可知，根据角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：作于点D，于点E，于点F， ∵的角平分线相交于点P， ∴根据角平分线的性质可得，， 即， 所以点P到三边的距离相等； （2）解：根据（1）可知， 又∵， ∴点P在的角平分线上， 又∵的角平分线相交于点P， 所以的三条角平分线交于一点． 题型04 利用角平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 13．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，可知平分，即，根据三角形外角的性质求出的值即可． 【详解】解：如图，作于，于，于， ∵， ∴平分， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 14．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，得到，，再得到，根据题意得到是的角平分线，得到，进一步得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵点到的距离相等， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． 根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，再根据三角形外角的性质，可求，进而，最后根据角平分线的定义，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ，， 同理可得，， ， ，， 是的平分线， ， ， ，即 ， ， ， ， 即． 故答案为：． 16．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵平分，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了角平分线的概念，三角形的内角和的应用，解题的关键是根据题意，灵活变化，最终求出所要求的问题的答案． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）同（1）的思路进行推导，即可证明． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）略 题型05 利用角平分线的性质求长度 典｜例｜精｜析 17．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C．6 D．12 【答案】A 【分析】过点作于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再利用三角形面积公式即可求出的长． 【详解】解：过点作于点， 是的角平分线，，， ， ， ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 18．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】过点I作于点E，根据角平分线的性质得到，根据得到，，根据求解即可． 【详解】解：过点I作于点E， 平分交于点，于点， ， ，， ，， ，， ， ， 解得． 19．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 20．如图，在中，平分交于点，于点，于点，．若，求的长． 【答案】 【分析】该题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，根据角平分线的性质得出，再根据等面积得出，即可求解． 【详解】解：平分，，， ， 设中边上的高为， ， 又， ， ∵， ， ． 题型06 利用角平分线的性质求面积 典｜例｜精｜析 21．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 变｜式｜巩｜固 22．如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，于点，由角平分线的性质推出，由三角形的面积求出，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵平分，，， ， ∵平分，，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∴ ． 23．如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得； （2）如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，进而利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，， ∴， ∴． 24．阅读与思考 下面是小明同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日                                  星期日                             晴 巧用角平分线构造比例关系 在学习完角平分线的性质一节后，我经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，是的角平分线，，，，之间的关系为：．   思路：“关联”角平分线的性质，过点D分别作垂足为E，作垂足为F，再结合“等面积法”即可得到结论． 证明：如图2，过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，因为是的角平分线，且，，   所以（依据）． 因为，， 所以． 因为， 所以   …… 解后反思： 关联思想是数学的核心思维之一．当题目涉及角平分线时，可向角的两边作垂线，利用角平分线的性质完成线段、面积等条件转化，进而简化问题． 任务： (1)任务一：材料中证明过程中的依据指的是： ； (2)任务二：请将小明同学的证明过程补充完整； (3)任务三：如图3，在中，点E为的中点，平分，，与交于点O，于点P，于点Q，已知的面积为6，则的面积为 ．    【答案】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)补充如下： 所以，， 所以， 所以 (3)30 【分析】（1）依据为角平分线的性质； （2）利用三角形的面积为底乘以高除以2即可求证； （3）先求出，进一步得出，再利用中线平分三角形面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵在中， 平分，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 已知的面积为6， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴． 题型07 角平分线与垂直平分线结合问题 典｜例｜精｜析 25．如图，是的角平分线，分别是和的高，得到下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，可证明得到，进而可证明垂直平分，据此逐一分析判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴正确的有②③④， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 26．如图，在中，，是的角平分线，根据图中尺规作图的痕迹推断，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据作图得到有作图痕迹且过点的直线为线段的垂直平分线，即，，根据是的角平分线，即可得到的度数． 【详解】解：由作图知，有作图痕迹且过点的直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵是的角平分线，即， ∴， 即， 故选：． 27．如图，在中，是角平分线，，直线垂直平分，交于点．若，，的周长为24，则的面积为____________． 【答案】30 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，根据线段垂直平分线的性质得出，结合已知可求出，过D作于F，根据角平分线的性质得出，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵直线垂直平分， ∴， ∵的周长为24， ∴， 又，， ∴， ∴， 过D作于F， ， ∵是角平分线，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：30． 28．如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1) 证明∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质等知识． （1）证明，得到，即可得到点、点都在的垂直平分线上，从而得到垂直平分； （2）先求出，根据三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为，， ∴， 即， ∴． 题型08 尺规作角平分线 典｜例｜精｜析 29．如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若，求的面积． 【答案】(1)所作图形如图所示： (2)16 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径，画弧分别交，于点，再以为圆心，大于长为半径画弧，交内一点P，连接，交于点D． （2）过点D作，由题意易得，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作，如图所示： 由作图可知：平分， ∵，， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 30．如图，请在图①中作出的内角平分线，在图②中作出的边上的中线，在图③中作出的边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作线段用实线） 【答案】由题意，作图如下，即为所求. 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用尺规作垂线的方法确定中点，连接即可； （3）利用尺规作垂线的方法作图即可. 【详解】略 31．如图，是中边上的高． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)如图，线段就是所要求作的的角平分线． (2) 【分析】（1）根据尺规作一个角的平分线的基本作图方法，作图即可； （2）先根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：是中边上的高， ， ， ， ， ， 是的角平分线，， ， ． 32．用无刻度直尺和圆规作图： ①画出的角平分线； ②在线段上找一点E，使得和面积相等 【答案】 【分析】①作的角平分线； ②作的垂直平分线交于点，则和面积相等 【详解】略 题型09 角平分线的辅助线添加问题 典｜例｜精｜析 33．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 【答案】(1)4 (2) 理由：如图1，过点作于点，则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ； (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可求解； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明即可； （3）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵点是平分线上一点，，， ∴点到的距离是4； （2）解：； 理由略； （3）解：过点作于点，如图， 则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 34．如图，在四边形中，平分，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作交的延长线于， 平分，，， ，， ，， ， 在和中， ， ； (2)22 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，再根据四边形周长定义及线段的和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ，，， 平分， ， 在和中， ， ∴． 四边形的周长 ， ，， 四边形的周长． 35．已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ①证明：如图，过点作于点， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，补角的性质，线段的和与差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据角的和差得出，根据角平分线定义得出，证明，即可得出结论； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明，即可得出结论； ②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵， ∴， ∵，， ∴， 由①得，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 题型10 角平分线的新定义问题 典｜例｜精｜析 37．我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______． 【答案】． 【分析】根据题意作出图形，然后根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积和最小角割比Ω的定义计算即可． 【详解】解：如图示，，，， 则，根据题意，作的角平分线交于点， 过点，作交于点， 过点，作交于点， 则 ∵，， 则（） 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质和三角形的面积计算，熟悉相关性质是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 38．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； (2)如图，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2）平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 在上取一点，使得，连接，如图 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 39．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1)③； (2)，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，，, ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 【答案】（1）③ ； （2），理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2） 略 （3） 略 基础通关 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，点P是的角平分线上一点，于点E，点F是射线上任意一点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合角平分线的性质得点到的距离，又因为垂线段最短得出，即可作答． 【详解】解：∵点P是的角平分线上一点，于点E， ∴点到的距离， ∵点F是射线上任意一点， ∴． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵平分，，， ∴． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】由角平分线的性质定理可得，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·四川南充·期末）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【详解】解：如图，过F点作于H点， ，， ， 由作图知，平分， ， ， ， 点到的距离为2． 5．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 【答案】/25度 【详解】解：由尺规作图可知是的角平分线， ． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 【答案】4 【分析】过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4． 7．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是30，，，则____________           【答案】/ 【分析】根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】为的平分线，，， ， ∵面积是30， ， 即， 解得． 8．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，作于点，作于点，交于点．若，则两平行线与之间的距离为_________． 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；由的平分线与的平分线相交于点，可得,，然后由即可求解. 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴. 故答案为：4. 9．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，． (1)画出的角平分线； (2)求的度数． 【答案】(1) 由题意，画图如下： (2) 【分析】1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）解：略； （2）解：∵，，为的角平分线， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键。 （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，根据推出，再由的周长是40，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵， ∴ ， ∵的周长是40， ∴， ∴． 素养提升 11．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（    ） A．9 B．6 C．5 D．5.5 【答案】B 【详解】解：过点作于点，于点， 平分，，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（25-26九年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J，根据题意可得平分，可得，再通过两种方法表示出和面积，进而即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，平分，过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J， ∴， 由图可得，；， ∴， ∴ 解得． 14．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图所示，垂直于的平分线于点，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形中线的性质，延长交于点，由为的角平分线，则，又，所以，然后证明，所以，可得，，从而有，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：． 15．（15-16八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 16．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，的面积为42，平分，为的中点，点在上，，若阴影部分的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质与三角形面积的结合，利用角平分线的 “到角两边距离相等” 及面积比例关系是解题关键．先根据线段比例推出三角形面积关系，再结合角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），通过面积比建立的比例关系． 【详解】解：， ， 又， ， ， 为的中点， ， ， ， 如图，过点作，， ， 又平分， ， ， 即． 17．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点．且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的长不变；②的值不变；③四边形的面积不变；④，其中，正确的结论有______（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作于于，只要证明，即可一一判断， 【详解】解：作于于． ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴定值，故③正确， ∵到的距离相等， ∴，故④正确； 定值，故②正确； ，是等腰三角形， ∵P固定不动，M和N在动， ∴和长度会变，导致底边长度是变化的，故①错误． 故答案为：②③④ 18．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，，平分交于点D，点E，F分别是，上的动点，则： （1）的长为______； （2）的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． （1）过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长； 过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作，   平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，连，   平分交于点， 点与点关于对称， 在中，， ， ， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 【答案】(1) 已知：平分，于E点，于D点，如图1， 求证： 证明：平分， ， 于E点，于D点， ， 在和中， ， ， ， ∴角平分线上的点到角两边的距离相等； (2) 证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2， 平分，DE平分， ，， ， 在和中， ， ， 【分析】本题考查了命题，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题关键． （1）先结合图1写出已知、求证，然后证明，从而得到， （2）证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2，根据角平分线的性质可证明，然后证明，从而得到 【详解】（1）略 （2）略 迁移创新 21．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作交的延长线于点F，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵平分，于E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 22．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在的边，上取点，，连接，平分平分，若，的面积是4，的面积是6，则的长是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查角平分线；过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接．得到，，根据的面积是6，求出，得到，即可求出结果． 【详解】解：过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接． ∵P是外角平分线的交点， ∴， ∵，的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 23．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为_____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点C作交于点G，作交于点H，连接，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：过点C作交于点G，作交于点H，连接，如图： ∵平分交于点， ∴点与点H关于对称， ∴， ∴， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 24．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于． (1)如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________； (2)如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明； (3)若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 证明：过点C作于M，于N． ∵平分， ∴①，②，． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． 即③ 由①②③得． ∴； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）根据角平分线性质定理即可求解； （2）过点C作于M，于N，证明即可； （3）过点C作于M，于N，证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：当，（2）中结论仍然成立， 证明：过点C作于M，于N． ∵平分， ∴①，②， ∵， ∴． ∴． ∴． 即③ 由①②③得． ∴． 25．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1) 证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； (2)①；② (3)1或2或3或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $