第一章 全等三角形模型 截长补短 培优专题讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

全等三角形经典模型——截长补短专题 话说在两千多年前的汉朝，有位县令要统计一块形状奇怪的田地的面积。这块田就像一块被咬了一口的饼，边缘凹凸不平。按照当时的技术，没人能直接算出它的面积。这时，县衙里的一位“算圣”想了个绝妙的主意：他没用复杂的公式，而是拿来一把“剪刀”和一个“量角器”，将田地凸出的部分“咔嚓”剪下来，正好补到凹陷的地方去。三下五除二，这块怪田瞬间就变成了一个规规矩矩的长方形！面积，自然也就迎刃而解了。核心含义：“盈”指图形中多余、凸出的部分；“虚”指不足、凹陷的部分。这个方法就是通过分割和移动，把图形中凸出的“盈”填补到凹陷的“虚”处，从而将一个复杂或不规则的图形，转变为一个面积不变但形状更规则的图形（如长方形或正方形） 这位“算圣”，就是我国古代伟大的数学家刘徽。“以盈补虚”是《九章算术》及其注者刘徽推导图形面积公式的基本方法，也就是我们今天要深入探究的 “截长补短” 的源头。 你会发现，“截长补短”不只是一道简单的几何题，它更像是一种朴素的“转化”智慧。 在刘徽手里，它用来转化图形，把未知的形状变成长方形来计算面积。 而在我们八年级的几何世界里，它会变成一把更厉害的钥匙。 当你在证明“线段和差”的题目，面对一条较长的线段，总觉得它等于另外两条较短线段之和，却苦于不知如何证明时，“截长补短” 就会出现，帮你转化条件。它就像一个神奇的“几何开关”： 三角形面积推导：以三角形为例，刘徽在《九章算术注》中解释，将三角形沿中线等分，把凸出的部分切割下来，拼到另一侧凹陷处，就变成了一个长方形。这个长方形的长是三角形高（“正从”），宽是底边的一半（“半广”），因此面积就等于 “半广以乘正从”，也就是我们熟知的 底 × 高 ÷ 2。 应用：这个方法不仅用于三角形，也被用来推导梯形、圆形、环形等平面图形的面积公式，是解决几何问题的有力工具“截长补短”的思想与“以盈补虚”一脉相承，但其应用更广，也衍生出了哲学意味。 今天，我们就要像两千年前的刘徽那样，拿起手中的“圆规和直尺”这把“剪刀”，通过添加辅助线，把复杂、陌生的问题，剪剪拼拼成我们熟悉、简单的全等三角形模型。 准备好了吗？从今天起，你遇到的每一个“线段和差”问题，都不再是拦路虎，而是一次有趣的“拼图游戏”。 现在，让我们拿起手中的笔，一起“截”开迷雾，“补”出真相！ 【学习目标】 1.理解截长补短的几何思想，熟练掌握截长法、补短法两种辅助线规范作法； 2.精准识别适用截长补短的题型特征，规范书写辅助线描述与全等证明过程； 3.规避常见解题陷阱，杜绝生搬硬套模型，学会灵活切换解题思路。 【模型原理与识别标志】 两种方法定义✅截长：在最长线段上截取一段，使其等于其中一条短线段，再证余下线段相等； ✅补短：延长其中一条短线段，向外补一段等于另一条短线段，再证明总长等于长线段。 核心思想：构造全等，转移分散线段。当条件出现中点时，同样依靠SAS全等转移线段，是线段等量证明重要拓展手段 载体特征：角分线、二倍角、半角是截长补短最常见的题干条件 题型一：角平分线+二倍角模型 【例1-1】如图1，在中，AD平分，．求证：． 【详解】方法一：在AC上截取，连接DE，如图2 ∵AD平分，∴， 在和中，∴，∴，BD=DE， ∵，∴而， ∴，∴DE=CE，∴AB+BD=AE+CE=AC， 方法二：如图3，延长AB至点F，使，∴∴ ∴∴ 在和中，∴，∴AC=AF，∴AC=AB+BF=AB+BD， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式． 【例1-2】如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ，，， ，，； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中，，，， ，， ，， 在和中，，，，． 【例1-3】如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P． (1)求∠APC的度数； (2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长． 【详解】（1）解：∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°， ∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB， ∴∠PAC＋∠PCA（∠BAC＋∠BCA）＝60°，∴∠APC＝120°； （2）解：在AC上截取AF＝AE，连接PF，如图所示： ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， 在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（SAS）， ∴∠APE＝∠APF，AF=AE， ∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF， 在△CPF和△CPD中，，∴△CPF≌△CPD（ASA） ∴CF＝CD，∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD＝4＋4＝8． 【例1-4】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知，为射线上一点，，． (1)证明：平分； (2)若与交，，证明：． 【答案】(1)证明：过点作于点，于点， ． ，，，． ，，平分； (2)证明：在上截取，连接． 由（1）得平分，． ，，． ，． ，，，． 题型二：半角模型（正方形/三角形半角） 【例2-1】如图点E、F分别在正方形的边，上，，连接，证明， 【证明】∵正方形， ∴，， 如图：延长到G使，连接， ∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 【例2-2】如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，它的两边分别交于，交于N，连接，求证：． 【详解】证明：延长到E点，使，连接， 为等边三角形，为等腰三角形，且， ，， 又，，，，， ， 在和中，，， ． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质的综合运用． 【例2-3】我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证_______其判断理由是______，可得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，． 与互补（、都不是直角），求证：； （3）联想拓展 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．若，求的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． ∴， ∴，即， 在和中，∵，∴， ∴； （2）解：时，；理由如下： ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．如图 ∴， ∴，∴， ∵，∴，点F、D、G共线， 在和中， ∵，∴，∴； （3）猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则， ∴，∴ ∵，，∴， 在和中，∵，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴是直角三角形， ∴，∴， 当时，∴， ∵，∴当时，取得最小值，最小值为12，∴的最小值为． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的应用，完全平方公式的应用，属四边形的综合题，解题的关键是正确画出图形，证明．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫． 题型三：进阶拓展题型（带系数线段和差变式） 【例3】如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【详解】（1）证明：，， 交的延长线于点，，， ， 在中，， ，，； （2）解：如下图所示，过点作，由可知， 为的角平分线，，， ，， 在中，，，解得：， ，，， ，， ，， ，， 在和中，，，； （3）证明：如下图所示，过点作，， ， 由可知，， 在和中，，，， ，，， ，，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 题型四：拓展模型：倍长中线 【例4-1】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明的做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中，∴，∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边），∴（等量代换）． (1)补全小明的证明过程． (2)请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； 【详解】（1）解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴，∴（全等三角形的对应边相等）， ∵（三角形两边之和大于第三边），∴（等量代换）． （2）解：∵，，∴，∴在中， ∵，∴，∴． 【例4-2】阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中，，∴（依据1），∴， 在中，（依据2），∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可． （2）依题意，与（1）同理，得出，再利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）先运用证明，再证明，即可作答． 【详解】解：（1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）如图，延长至点，使，连接． 是的中线， ， 在与中， ，，， 在中，，即，．故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点，∴， 又 ∴，，， ∵，∴，，即， 又∵，∴，∴，∴． 题型五：陷阱辨析 【例5】（25-26八年级上·湖北·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． (1)求的度数； (2)求证：．． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含角直角三角形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到，由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）由角平分线的性质得，根据含角直角三角形的性质得到，进而可得证． 【详解】（1）解：垂直平分，，． 又平分，， ，又，； （2）证明：∵平分，且，∴， 由（1）可知，，．， ． 【核心逻辑】截长补短、倍长中线底层思想同源：线段转移、构造全等，实现等量代换 区别：✅截长补短：多用于线段和差等式；依托角平分线、二倍角 ✅倍长中线：多用于中点条件，处理线段2倍关系、线段和差，属于中点背景下的同类思想拓展 截长补短的核心：构造全等，转移分散线段。 当中点作为核心条件出现时，我们使用另一套同源思路——倍长中线，同样依靠全等实现线段、角度转移，是线段等量证明的重要拓展手段。 五、课后小结 1.基础原型：a+b=c，优先截长/补短； 2.倍分、带根号题型谨慎使用模型；和差优先截长短，倍数先寻等腰、三十度； 3.辅助线尝试无果，及时切换旋转、等腰转化思路。 4.底层逻辑统一：构造全等，转移线段。解题先抓题干关键信号：中点优先倍长；角平分线、线段和差优先考虑截长补短；存在垂直平分线、特殊直角三角形，优先直接使用性质，两种辅助线都不必强行构造。 5.所有模型底层统一思想：构造全等、转移线段：先看条件信号，不强行套辅助线。 6.优先使用角平分线、垂直平分线、特殊直角三角形性质；条件不足再考虑构造辅助线。 思想升华：更重要的是，这个词的意义早已超越了数学。像“取长补短”一样，它被用来形容在更广泛的生活和工作中，吸取他人的长处来弥补自己的不足，成为一种充满智慧的生活哲学。 同步检测-综合提升训练 1.如图，已知四边形的面积为16，平分，且，． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且，∴， ∵， ∴， 解得，∴的长为； (2)证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴，∴，∴． 2．已知四边形是正方形，E、F分别在、的延长线上，．求证：．    【答案】见解析 【分析】延长到G，使，连接，证明，得到，，求出，得到，进而证得，推出． 【详解】证明：延长到G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质及作出辅助线是解题的关键． 3．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)证明：方法一，   ∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴，， ∵，∴，∴，∴，∴； 方法二：   ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴； (2)解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，　　　　 ∵，∴， ∵，∴， 在和中，，，，∴， ∴，， ∵，∴，∴，∴， 又∵，∴． 4．如图1，为等腰直角三角形，，D、E为底边上的两个动点，且，试探究三条线段之间的数量关系．      (1)图2是小明为探究作的辅助线，他的作法是将绕着点A顺时针旋转，得，连接．请根据小明的探究思路直接写出的数量关系为 ． (2)如果将图1中的等腰直角三角形变为等边三角形，如图3，D、E为边上，的动点，，求证： (3)如图4，D、E是正方形的边上的动点，，直接写出之间的数量关系． 【分析】（1）根据旋转性质和等腰直角三角形的性质可得即，根据证明可得，即可证明； （2）连接，根据旋转性质证明，利用三角形三边关系即可证明； （3）延长到点G，使，连接，根据正方形性质证明，从而证明，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据绕着点A顺时针旋转得， ∴， ∴，， 在中，∵，∴， ∴，即，∴， ∵ ，∴，∴，即 ， ∴，∴，∴ ； （2）证明：将绕着点A顺时针旋转得，连接，   则． ∵，∴， 又∵，∴ ∴， 在中，，∴； （3）解：延长到点G，使，连接，如图，   ∵四边形是正方形， ∴，，∴， ∵ ，，， ∴，∴， ∵，∴， ∵ ，∴，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查几何旋转问题，涉及到全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等，正确作出辅助线是关键． 5．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证_______其判断理由是______，可得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，． 与互补（、都不是直角），求证：； （3）联想拓展 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．若，求的最小值． 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理可得，然后由完全平方公式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． ∴， ∴，即， 在和中，∵，∴， ∴； （2）解：时，；理由如下： ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．如图 ∴， ∴，∴， ∵，∴，点F、D、G共线， 在和中， ∵，∴， ∴； （3）猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则， ∴，∴ ∵，，∴， 在和中，∵，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴是直角三角形， ∴，∴， 当时，∴， ∵，∴当时，取得最小值，最小值为12， ∴的最小值为． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的应用，完全平方公式的应用，属四边形的综合题，解题的关键是正确画出图形，证明．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫． 6．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵，∴， 又∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴； (2)解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，，，， ，， 在和中，，，， ，，， ，， 即，． 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 学科网（北京）股份有限公司 $ 全等三角形经典模型——截长补短专题 话说在两千多年前的汉朝，有位县令要统计一块形状奇怪的田地的面积。这块田就像一块被咬了一口的饼，边缘凹凸不平。按照当时的技术，没人能直接算出它的面积。这时，县衙里的一位“算圣”想了个绝妙的主意：他没用复杂的公式，而是拿来一把“剪刀”和一个“量角器”，将田地凸出的部分“咔嚓”剪下来，正好补到凹陷的地方去。三下五除二，这块怪田瞬间就变成了一个规规矩矩的长方形！面积，自然也就迎刃而解了。核心含义：“盈”指图形中多余、凸出的部分；“虚”指不足、凹陷的部分。这个方法就是通过分割和移动，把图形中凸出的“盈”填补到凹陷的“虚”处，从而将一个复杂或不规则的图形，转变为一个面积不变但形状更规则的图形（如长方形或正方形） 这位“算圣”，就是我国古代伟大的数学家刘徽。“以盈补虚”是《九章算术》及其注者刘徽推导图形面积公式的基本方法，也就是我们今天要深入探究的 “截长补短” 的源头。 你会发现，“截长补短”不只是一道简单的几何题，它更像是一种朴素的“转化”智慧。 在刘徽手里，它用来转化图形，把未知的形状变成长方形来计算面积。 而在我们八年级的几何世界里，它会变成一把更厉害的钥匙。 当你在证明“线段和差”的题目，面对一条较长的线段，总觉得它等于另外两条较短线段之和，却苦于不知如何证明时，“截长补短” 就会出现，帮你转化条件。它就像一个神奇的“几何开关”： 今天，我们就要像两千年前的刘徽那样，拿起手中的“圆规和直尺”这把“剪刀”，通过添加辅助线，把复杂、陌生的问题，剪剪拼拼成我们熟悉、简单的全等三角形模型。 【学习目标】 1.理解截长补短的几何思想，熟练掌握截长法、补短法两种辅助线规范作法； 2.精准识别适用截长补短的题型特征，规范书写辅助线描述与全等证明过程； 3.规避常见解题陷阱，杜绝生搬硬套模型，学会灵活切换解题思路。 【模型原理与识别标志】 两种方法定义✅截长：在最长线段上截取一段，使其等于其中一条短线段，再证余下线段相等； ✅补短：延长其中一条短线段，向外补一段等于另一条短线段，再证明总长等于长线段。 核心思想：构造全等，转移分散线段。当条件出现中点时，同样依靠SAS全等转移线段，是线段等量证明重要拓展手段 载体特征：角分线、二倍角、半角是截长补短最常见的题干条件 题型一：角平分线+二倍角模型 【例1-1】如图1，在中，AD平分，．求证：． 【例1-2】如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【例1-3】如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P． (1)求∠APC的度数； (2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长． 【例1-4】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知，为射线上一点，，． (1)证明：平分； (2)若与交，，证明：． 题型二：半角模型（正方形/三角形半角） 【例2-1】如图点E、F分别在正方形的边，上，，连接，证明， 【例2-2】如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，它的两边分别交于，交于N，连接，求证：． 【例2-3】我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证_______其判断理由是______，可得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，． 与互补（、都不是直角），求证：； （3）联想拓展 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．若，求的最小值． 题型三：进阶拓展题型（带系数线段和差变式） 【例3】如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)求证：． 题型四：拓展模型：倍长中线 【例4-1】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明的做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中，∴，∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边），∴（等量代换）． (1)补全小明的证明过程． (2)请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 【例4-2】阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中，，∴（依据1），∴， 在中，（依据2），∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 题型五：陷阱辨析 【例5】（25-26八年级上·湖北·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． (1)求的度数； (2)求证：．． 【核心逻辑】截长补短、倍长中线底层思想同源：线段转移、构造全等，实现等量代换 思想升华：更重要的是，这个词的意义早已超越了数学。像“取长补短”一样，它被用来形容在更广泛的生活和工作中，吸取他人的长处来弥补自己的不足，成为一种充满智慧的生活哲学。 同步检测-综合提升训练 1.如图，已知四边形的面积为16，平分，且，． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 2．已知四边形是正方形，E、F分别在、的延长线上，．求证：．    3．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 4．如图1，为等腰直角三角形，，D、E为底边上的两个动点，且，试探究三条线段之间的数量关系．      (1)图2是小明为探究作的辅助线，他的作法是将绕着点A顺时针旋转，得，连接．请根据小明的探究思路直接写出的数量关系为 ． (2)如果将图1中的等腰直角三角形变为等边三角形，如图3，D、E为边上，的动点，，求证： (3)如图4，D、E是正方形的边上的动点，，直接写出之间的数量关系． 5．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证_______其判断理由是______，可得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，． 与互补（、都不是直角），求证：； （3）联想拓展 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．若，求的最小值． 6．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $