专题05 轴对称（期中真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

**基本信息** 轴对称专题期中试题汇编，覆盖5大高频考点，精选山西各地期中真题，融合文化情境与分层设计 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|选择(约15题)、填空(约10题)、解答(约15题)|轴对称性质、垂直平分线、轴对称作图、等腰三角形、等边三角形|结合运动图标、二十四节气、剪纸艺术等文化素材，设置折叠探究、手拉手模型等综合题，梯度覆盖基础到创新应用|

专题05 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）下列是实验室中常见的仪器示意图，其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）为弘扬体育精神，学校组织了“运动图标赏析”活动．下列运动图标中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点A的直线折叠该纸片，使点C的对应点落在边上，折痕与边交于点D，展开后连接；再沿过点D的直线折叠该纸片，使点C的对应点落在边上，折痕交边于点E．若，，则的面积为　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）综合与探究： 问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知中，，点P是边的中点，点D是射线上的一个动点，过点D作直线，点P关于直线l的对称点为点Q．    特例分析：（1）如图1，当直线l经过点A时，点Q恰好落在边上，连接，交直线l于点O．猜想此时与的位置关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线l与线段交于点E（不与A，P重合）时，点Q落在内部，连接并延长交线段于点G，连接并延长，交直线l于点O，交线段于点F，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由； （3）若直线l与线段的延长线交于点E，连接并延长交射线于点G，连接交线段于点F．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）． 7．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，邮递员小王的家在两条公路和相交成的角（）的内部处，小王每天都要到开往方向的车上取下快件，然后再送到开往方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路和上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹） 考点02 线段的垂直平分线 1．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，在中，以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，连接交于点，连接．若，，则的长为（     ） A. 10 B. 12 C. 8 D. 9 2．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 3．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是　　　　． 4．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，已知中，． （1）实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）推理与计算：若，则的度数为_________． 5．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点N，交于点M，P为直线上一点，连接，则周长的最小值是　　　　　　． 6．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，市政部门要在某公园区域P内修建一个公共健身驿站．按照规划要求，健身驿站与两个居民小区C，D的距离相等，到两条景观步道a和b的距离也相等．健身驿站应修建在什么位置？利用尺规作图，在图中找出公共健身驿站点M的位置（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）左权秋天的枫叶绚烂多彩，如图，将一片秋天的枫叶放在平面直角坐标系中，点M的坐标是，则与点M关于x轴对称的点N的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山西太原·期中）在如图的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为点，，．若将各顶点的横坐标分别乘，纵坐标不变，得到各顶点的坐标，则下列结论正确的是（     ） A. 与关于轴对称 B. 与关于轴对称 C. 与关于直线对称 D. 与关于直线对称 3．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）已知点与点关于y轴对称，则（     ） A.  B. 8 C. 2 D.  4．（25-26学年八上·山西晋中·期中）“怡然见晋中，剪艺耀城赵”在2025年山西省第七届文博会上，来自祁县城赵镇的剪纸艺术携千年古艺风华，首次登上省级舞台，以“遗韵千年·匠心传承”为主题，精心绘就了一幅红纸生辉、刀笔传情的文化长卷．如图所示是一幅轴对称的葫芦，葫芦寓意福禄，有添福添寿说法．若图中点A的坐标为其关于y轴对称的点B的坐标为，则的和是（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 5 5．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）剪纸是中国民间传统装饰艺术，蝴蝶题材的剪纸寓意吉祥美好．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则，的值分别为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D. 0 7．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，则点关于直线对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，各顶点均位于格点上，其中点A的坐标为，点B的坐标为． （1）请根据点A，B的坐标在网格中建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标； （2）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标． 9．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图是的正方形网格，其中的4个正方形已被涂黑．请你再将1个空白的小正方形涂黑，使图中涂黑部分组成的图形为轴对称图形，画出三种不同的方案． 10．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　　　　　． 11．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图所示，四边形就是一个“格点四边形”．    （1）作出四边形关于直线对称的四边形； （2）四边形的面积为_________； 12．（25-26学年八上·山西运城·期中）如图的正方形网格中，有一个不完整的平面直角坐标系，其中的顶点，的坐标分别是，，点恰好在格点上． （1）请在图中画出轴，并标明原点的位置； （2）图中点的坐标为　     　； （3）将，，三点的横坐标分别乘，纵坐标不变，得到三点，请在该坐标系中画出，并直接写出与的位置关系． 13．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图，已知． （1）点C到x轴的距离是___________； （2）在网格中作出关于x轴对称的图形，并写出对称点的坐标是       ； （3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标___________． 14．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）如图，在边长均为1的正方形网格图中，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立合适的平面直角坐标系，且点A的坐标为，点的坐标为． （1）在图中画出平面直角坐标系； （2）画出关于y轴对称的图形； （3）画出关于x轴对称的图形，并写出点，的坐标．（其中点A的对称点是，点C的对称点是） 15．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）如图，点，，． （1）请在图中作出关于轴对称的图形． （2）在（1）的作图下，若的内部有一点，则点在内部的对应点的坐标是___________． 16．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）写出各顶点的坐标：______，______，______； （3）的面积为______． 17．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． ②画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． （2）点P为内部一点，若点P关于x轴对称的点的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为_______． 考点04 等腰三角形 1．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A. 同位角相等 B. 如果，，那么 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等腰三角形的两个底角相等 2．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（       ） A.  B. 2 C.  D. 3 3．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（　　） A.  B.  C.  D. 或 4．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在中，，为边上的中线．若，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（    ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C落在点E处，与交于点F，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的长为　　　　　m． 8．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，在中，， （1）尺规作图：作的角平分线，与交于点D； （2）求的度数． 9．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在中，点D，E在边BC上，．求证：． 10．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为　　　　　． 11．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）综合与探究 问题初探 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，为的中点，于点，交于点，连接．若，求证：． 如图②，小刚根据题中条件给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你根据小刚的思路，补充下列证明过程． 证明：如图②，延长至点，使，连接． 为的中点，． 在和中，，__________，， ．． __________．． ，由作图知， ．__________． ． 类比分析 （2）李老师发现小刚同学不仅运用倍长中线法构造全等三角形，还用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图①进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图③，在中，，为的中点，于点，交于点．连接，若，求证：． 12．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．小组成员在河北岸的点处，测得河南岸的一棵树底部点恰好在点的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度．成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，观测者从点出发，沿着与直线成角的方向前进至点，在点处测得，测量出的长度． 如图②，观测者从点向正东走到点，是的中点，从点沿垂直于的EF方向走，直到点，，在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． ，，． （1）根据方案①，河宽的长度为_____； （2）方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，给出证明． 13．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为　　　　　　　　　　　（用、表示）． 14．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，使点，分别落在点，处，交于点，，． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 15．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． （1）求证：； （2）如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 16．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，在中，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．求证： （1）是的垂直平分线； （2）为等腰三角形． 17．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于，则的度数是　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∠1＝125°，则∠A＝　　　　　度． 19．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E．已知的周长为17cm，，则的周长为　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，某物流仓库为了稳定结构，保障仓库的安全，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，E，F分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为5m，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为　　　　　　　　m． 21．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）和按如图方式摆放，其中，，点E为上一点，连接交于点F，．若，，则的长为　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，在中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质．研究方法：观察（测量、操作）--猜想--推理研究内容：一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图，四边形中，，，则四边形为“筝形”．特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下：定义：如图，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形．性质：根据定义，探索图中直角筝形的性质，得到如下结论：关于内角：直角筝形中，与互补．理由如下：连接对角线．中，，，…关于对角线：… 任务： （1）补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； （2）小颖在图的基础上连接对角线，交于点，得到图，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； （3）在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为______． 24．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）综合与探究 【问题呈现】如图1，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． 【问题解决】请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【问题探究】如图2，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【探究延伸】如图3，在等腰中，，，点E在边上，的垂直平分线交于点D，连接，．若，，则______． 25．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在三角形纸片中，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点A与点D重合，展开得到折痕，设与交于点G，连接，． （1）和是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． （2）若，且，求的度数． 考点05 等边三角形 1．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（     ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在等边三角形中，点D为边的中点，过点D作的垂线，垂足为E，延长交的延长线于点F．若，则的长为（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图①，沙漏是古代的一种计时装置，图②是其部分示意图，已知是等边三角形，点，分别在，的延长线上，且，求证：是等边三角形． 4．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图，等边的边长为，在边上有一点，为延长线上的一点，且，过点作于点，连接交于点，则的长为　　　　　　． 5．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）综合与探究 问题背景：在中，，点D为边上一点，连接． 问题初探：（1）如图1，当时，过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接． 请直接写出：①与的数量关系为________． ②与的数量关系和位置关系是________． 拓展探究：（2）如图2，当，且时，截取，连接．那么（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）在（2）的条件下，若，，，求的长． 6．（25-26学年八上·山西太原·期中）如图，是边长为4的等边三角形，建立适当的平面直角坐标系，并求各顶点的坐标．小琴的解法如下，请你根据她的思路，补全横线上空缺的部分，并完成解答． 解：如图，以顶点        为坐标原点，        所在直线为x轴建立平面直角坐标系，使点A在第一象限内．…… 7．（25-26学年八上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． （1）问题发现 小明发现图1就是手拉手模型，易证． ①请你帮助小明证明． ②如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，小明利用全等的性质和所学知识很快就求出了．则_____ （2）类比探究 在图2的基础上，当时，如图3．根据上述思路判断线段与的位置关系，并说明理由． 8．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）已知：的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）下列是实验室中常见的仪器示意图，其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 2．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）为弘扬体育精神，学校组织了“运动图标赏析”活动．下列运动图标中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 3．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．由对称的性质可得，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵与关于直线对称，，， ∴，， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】 解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 5．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点A的直线折叠该纸片，使点C的对应点落在边上，折痕与边交于点D，展开后连接；再沿过点D的直线折叠该纸片，使点C的对应点落在边上，折痕交边于点E．若，，则的面积为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质，如图，过作于，先证明，，，可得，再进一步求解即可. 【详解】 解：如图，过作于， 由对折可得：，，， ∴， ∴的面积为： ， ∵， 的面积为：； 故答案为： 6．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）综合与探究： 问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知中，，点P是边的中点，点D是射线上的一个动点，过点D作直线，点P关于直线l的对称点为点Q．    特例分析：（1）如图1，当直线l经过点A时，点Q恰好落在边上，连接，交直线l于点O．猜想此时与的位置关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线l与线段交于点E（不与A，P重合）时，点Q落在内部，连接并延长交线段于点G，连接并延长，交直线l于点O，交线段于点F，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由； （3）若直线l与线段的延长线交于点E，连接并延长交射线于点G，连接交线段于点F．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）． 【答案】（1），理由如下： 由轴对称的性质可得， ∵直线，即， ∴； （2），理由如下： 同理可证明， ∴，， 如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴；    （3）如图所示，当点D在线段上时，    同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 如图所示，当点D在线段的延长上时，    同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，轴对称图形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，再由可得； （2）同理可证明，则，；过点A作于H，证明，得到；由轴对称的性质可得，则可证明，再证明，可得； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长上两种情况， 通过证明，得到，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）略 7．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，邮递员小王的家在两条公路和相交成的角（）的内部处，小王每天都要到开往方向的车上取下快件，然后再送到开往方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路和上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹） 【答案】如图，处、处为所求作． 【分析】 如图所示，分别作点关于射线所在直线的对称点，点关于射线所在直线的对称点，连接，分别交射线、于点、，则根据轴对称的性质可知处、处分别为小王在公路和上的等车地点． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了轴对称—路径最短问题，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键． 考点02 线段的垂直平分线 1．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，在中，以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，连接交于点，连接．若，，则的长为（     ） A. 10 B. 12 C. 8 D. 9 【答案】A 【分析】 本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】 解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴； 故选A． 2．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【分析】 根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】 解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】 本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 3．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是　　　　． 【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 【分析】 本题考查了逆命题的概念，弄清逆命题的概念及与原命题的关系是解题的关键． 交换原命题的题设和结论即可求得原命题的逆命题． 【详解】 解：命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 4．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，已知中，． （1）实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）推理与计算：若，则的度数为_________． 【答案】（1） 如图直线、线段即为所求；      （2）36      【分析】 本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，等边对等角，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据等边对等角，结合中垂线的性质，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点N，交于点M，P为直线上一点，连接，则周长的最小值是　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，轴对称，最短路线问题，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，通过两点之间线段最短可知的最小值为，即可求解． 【详解】 解：连接， 是的垂直平分线， ， 的周长， 又当三点共线时，有最小值，最小值为， 周长的最小值为． 故答案为：12． 6．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，市政部门要在某公园区域P内修建一个公共健身驿站．按照规划要求，健身驿站与两个居民小区C，D的距离相等，到两条景观步道a和b的距离也相等．健身驿站应修建在什么位置？利用尺规作图，在图中找出公共健身驿站点M的位置（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】如答图所示，点即为公共健身驿站的位置． 【分析】 本题主要考查作图-——应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其尺规作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】 略 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）左权秋天的枫叶绚烂多彩，如图，将一片秋天的枫叶放在平面直角坐标系中，点M的坐标是，则与点M关于x轴对称的点N的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特点．根据关于x轴对称的点的坐标特点横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】 解：∵点M的坐标是， ∴点M关于x轴对称的点N的坐标为， 故选：A． 2．（25-26学年八上·山西太原·期中）在如图的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为点，，．若将各顶点的横坐标分别乘，纵坐标不变，得到各顶点的坐标，则下列结论正确的是（     ） A. 与关于轴对称 B. 与关于轴对称 C. 与关于直线对称 D. 与关于直线对称 【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形，坐标与轴对称变换，直接利用关于轴对称点的性质即可得出答案． 【详解】 解：由题意可得与关于轴对称， 故选：B． 3．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）已知点与点关于y轴对称，则（     ） A.  B. 8 C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相等． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，确定、的值；计算的结果，进而确定选项． 【详解】 解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， ∴． 故选：D． 4．（25-26学年八上·山西晋中·期中）“怡然见晋中，剪艺耀城赵”在2025年山西省第七届文博会上，来自祁县城赵镇的剪纸艺术携千年古艺风华，首次登上省级舞台，以“遗韵千年·匠心传承”为主题，精心绘就了一幅红纸生辉、刀笔传情的文化长卷．如图所示是一幅轴对称的葫芦，葫芦寓意福禄，有添福添寿说法．若图中点A的坐标为其关于y轴对称的点B的坐标为，则的和是（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 5 【答案】D 【分析】 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：① 关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；② 关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③ 关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 故选：D． 5．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）剪纸是中国民间传统装饰艺术，蝴蝶题材的剪纸寓意吉祥美好．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则，的值分别为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识点，熟练掌握“关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等”是解题的关键． 根据关于y轴对称的点的坐标特征可得m、n的值 【详解】 解：∵点E和关于轴对称的点F， ∴． 故选B． 6．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查坐标与图形变化—对称，代数式求值，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，利用轴对称的性质，求出m，n的值，可得结论． 【详解】 解：，关于y轴对称， ，， ， 故选：B． 7．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，则点关于直线对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了坐标与图形变化-对称，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质． 根据轴对称的两点到对称轴的距离相等，即可得出答案． 【详解】 解：根据题意得出点和点是关于直线对称的对应点，它们到直线的距离相等是2个单位长度， 所以点的坐标是． 故选：A． 8．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，各顶点均位于格点上，其中点A的坐标为，点B的坐标为． （1）请根据点A，B的坐标在网格中建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标； （2）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 建立坐标系如下：      （2）画图如下：       【分析】 （1）根据点B的坐标为，将点B的坐标向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度即可得到原点，建立坐标系即可． （2）根据，结合x轴对称的特点，确定坐标后画图即可． 本题考查了坐标系中的平移，关于x轴对称作图，熟练掌握平移，对称作图是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵点B的坐标为 ∴将点B的坐标向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度即可得到原点， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴关于x轴对称的坐标分别为， 则，且即为所求． 9．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图是的正方形网格，其中的4个正方形已被涂黑．请你再将1个空白的小正方形涂黑，使图中涂黑部分组成的图形为轴对称图形，画出三种不同的方案． 【答案】由题意，画图如下： 【分析】 本题考查设计轴对称图形，根据轴对称图形的定义，作图即可． 【详解】 略 10．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 由题意得：点关于轴对称的点为， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图所示，四边形就是一个“格点四边形”．    （1）作出四边形关于直线对称的四边形； （2）四边形的面积为_________； 【答案】（1） 如图所示：         （2）      【分析】 题目主要考查轴对称图形的作法及利用网格求面积，熟练掌握轴对称图形的作法是解题关键． （1）根据轴对称图形的作法作图即可； （2）利用网格求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， 故答案为：12． 12．（25-26学年八上·山西运城·期中）如图的正方形网格中，有一个不完整的平面直角坐标系，其中的顶点，的坐标分别是，，点恰好在格点上． （1）请在图中画出轴，并标明原点的位置； （2）图中点的坐标为　     　； （3）将，，三点的横坐标分别乘，纵坐标不变，得到三点，请在该坐标系中画出，并直接写出与的位置关系． 【答案】（1） 如图，平面直角坐标系如图所示．      （2）     （3）三点如图所示，与关于轴对称      【分析】 （1）根据，确定原点的位置，进而画出轴，即可求解． （2）根据坐标系写出点的坐标即可求解； （3）根据题意画出，根据轴对称的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： (3) 小问详解： 三点如图所示，与关于轴对称， 【点睛】 本题考查了坐标与图形，写出点的坐标，画轴对称图形，掌握以上知识是解题的关键． 13．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图，已知． （1）点C到x轴的距离是___________； （2）在网格中作出关于x轴对称的图形，并写出对称点的坐标是       ； （3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标___________． 【答案】（1）3     （2） 如图，即为所求，；      （3）或      【分析】 本题考查了点到坐标轴的距离，画轴对称图形，写出点的坐标，以及三角形的面积公式； （1）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值即可解答； （2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，顺次连接，并根据坐标系写出各点的坐标即可； （3）设点P的坐标为，利用的面积为6可得，解得或，即可得到答案．． (1) 小问详解： 解： ， ∴点到轴的距离为； 故答案为：3． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ∵的面积为6， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 14．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）如图，在边长均为1的正方形网格图中，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立合适的平面直角坐标系，且点A的坐标为，点的坐标为． （1）在图中画出平面直角坐标系； （2）画出关于y轴对称的图形； （3）画出关于x轴对称的图形，并写出点，的坐标．（其中点A的对称点是，点C的对称点是） 【答案】（1） 如图，平面直角坐标系即为所求，      （2） 如图所示，即为所求，      （3） 如图，即为所求． 由图知， ，．      【分析】 本题主要考查了作图−轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由A的坐标为得，y轴在点A的左侧两个单位处，x轴在A点下方四个单位处，据此画图即可； （2）利用关于y轴对称“纵坐标不变，横坐标变为相反”画图即可； （3）利用关于x轴对称“横坐标不变，纵坐标变为相反”画图和写出坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 15．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）如图，点，，． （1）请在图中作出关于轴对称的图形． （2）在（1）的作图下，若的内部有一点，则点在内部的对应点的坐标是___________． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）      【分析】 本题考查平面直角坐标系中点的特征，轴对称图形的作图，熟练掌握轴对称图形的作图和直角坐标系中点的特征是解题的关键， （1）根据分别找到点关于轴对称的点，依次连接即可得到； （2）根据直角坐标系中点的特征即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵关于轴对称，点在的内部， ∴点为点关于轴对称的对称点， ∴， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）写出各顶点的坐标：______，______，______； （3）的面积为______． 【答案】（1） 所作如图所示：      （2），，     （3）7.5      【分析】 本题考查了作轴对称图形，写出平面直角坐标系中点的坐标，求三角形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据作轴对称图形的步骤，画出，即可解题； （2）根据坐标系直接写出，，的坐标，即可解题； （3）利用三角形面积公式求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由上图可知，各顶点的坐标为：，，， 故答案为：，，． (3) 小问详解： 解：的面积为； 故答案为：7.5． 17．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． ②画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． （2）点P为内部一点，若点P关于x轴对称的点的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为_______． 【答案】（1） ① 如图所示，即为所求； 点的坐标为， ② 如图所示，即为所求； 点的坐标为     （2）      【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及图形的轴对称变换． （1）① 根据题意分别得出、、的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； ② 同① 方法，分别得出、、的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； （2）先根据的坐标求出P的坐标，再根据P的坐标求出的坐标即可． (1) 小问详解： 解：① 由图象可知，点的坐标为． ② 由图象可知，点的坐标为． (2) 小问详解： 解：由题意知，点P关于x轴对称的点的坐标为，且点P在内部， ∴点P的坐标为， 又∵点与点P关于y轴对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 考点04 等腰三角形 1．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A. 同位角相等 B. 如果，，那么 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等腰三角形的两个底角相等 【答案】D 【分析】 本题考查的知识是判断命题真假，同位角、全等三角形的性质、根据等角对等边证明等腰三角形，解题关键是熟练掌握相关知识． 先分别写出各命题的逆命题，再分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】 解：选项，逆命题为“如果两个角相等，那么它们是同位角”，该命题假，因为相等的角不一定是同位角，不符合题意，选项错误； 选项，逆命题为“如果，那么且”，该命题假，因为时和可能同负，不符合题意，选项错误； 选项，逆命题为“如果两个三角形的对应角相等，那么它们全等”，该命题假，因为对应角相等的三角形不一定全等，不符合题意，选项错误； 选项，命题“如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形”，该命题真，因为等角对等边，符合题意，选项正确． 故选：． 2．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（       ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过P作于H，根据角平分线的性质得到，，根据平行线的性质和三角形的外角性质求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：过P作于H，    ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（　　） A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 通过等腰三角形的两个底角相等分析判断即可. 【详解】 解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴一个内角为， ① 当角是顶角时，底角为； ② 当角是底角时，另一个底角也为． ∴等腰三角形的一个底角的度数为或 故选：D． 【点睛】 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键． 4．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在中，，为边上的中线．若，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线定理及三角形内角和定理．根据已知条件可得出为等腰三角形，再由为边BC上的中线得出，，最后根据三角形内角和定理可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴为等腰三角形， 又∵为边上的中线， ∴，， 又∵， ∴． 故选：D． 5．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】 解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C落在点E处，与交于点F，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了长方形的性质，折叠的性质及全等三角形的判定与性质．根据题中给出的已知条件分别对每个选项进行分析即可． 【详解】 解：A项：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 仅根据已知条件，无法得出，只有当平分时，才成立，故A错误； B项：∵四边形是长方形， ∴，即， 由折叠的性质可知：， ∴， 又∵，且， ∴，故B错误； C项：∵， ∴， 虽然，但仅根据现有条件无法得出，故C错误； D项：∵四边形是长方形， ∴，， 由折叠的性质可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 7．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的长为　　　　　m． 【答案】8 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和及含30°直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和及含30°直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：∵， ∴． 又∵，， ∴； 故答案为8． 8．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，在中，， （1）尺规作图：作的角平分线，与交于点D； （2）求的度数． 【答案】（1） 作的角平分线，如图所示：      （2）      【分析】 （1）先以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E和点F，再以点E和点F为圆心，大于长为半径画弧，交于一点P，连接，并延长与交于点D即可作答． （2）根据角平分线的定义以及三角形内角和性质列式计算，可得结论． 本题考查作图 复杂作图，角平分线，三角形内角和性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 是的角平分线 ∴， 9．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在中，点D，E在边BC上，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， 即， 在和中 ， ∴． 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据证明三角形全等即可． 【详解】 略 10．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．证明是等腰三角形，得到，证明，根据全等三角形的性质结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵； ∴． 故答案为：5 11．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）综合与探究 问题初探 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，为的中点，于点，交于点，连接．若，求证：． 如图②，小刚根据题中条件给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你根据小刚的思路，补充下列证明过程． 证明：如图②，延长至点，使，连接． 为的中点，． 在和中，，__________，， ．． __________．． ，由作图知， ．__________． ． 类比分析 （2）李老师发现小刚同学不仅运用倍长中线法构造全等三角形，还用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图①进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图③，在中，，为的中点，于点，交于点．连接，若，求证：． 【答案】（1）；；；；；； （2）证法一：如图，延长至点，使，连接． ∵为的中点， ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 由作图知， ∴． 证法二：如图，延长FD至点G，使，连接． ∵D为的中点， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 由作图知， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握倍长中线法，是解题的关键： （1）根据小刚的思路，补充证明过程即可； （2）证法一：延长至点，使，连接．结合已知条件，根据“”判定，从而得到．又，所以．因为，根据等腰三角形“三线合一”的性质，得，进而得到． 证法二：延长至点，使，连接．结合已知条件，根据“SAS”判定，得，．再根据“”判定，得，进而得到． 【详解】 （1）略 （2）略 12．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．小组成员在河北岸的点处，测得河南岸的一棵树底部点恰好在点的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度．成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，观测者从点出发，沿着与直线成角的方向前进至点，在点处测得，测量出的长度． 如图②，观测者从点向正东走到点，是的中点，从点沿垂直于的EF方向走，直到点，，在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． ，，． （1）根据方案①，河宽的长度为_____； （2）方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，给出证明． 【答案】（1）26.5；     （2） 证明：∵是的中点， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴的长就是所求河宽的长．      【分析】 本题考查等角对等边，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）观察图形，结合表格中的数据，根据三角形外角的性质及等腰三角形的判定， 可得． （2）观察图形，结合表格中的已知条件，根据“”可证得． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为　　　　　　　　　　　（用、表示）． 【答案】 【分析】 根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】 解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【点睛】 此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 14．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，使点，分别落在点，处，交于点，，． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）     （2） 证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 即是等腰三角形．      【分析】 本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）、等腰三角形的判定． （1）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，即可得出答案； （2）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，得出，证出即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． （1）求证：； （2）如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∴， ∴；     （2） 解：，理由如下： 由已知与都是等腰直角三角形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，再证明，即可由证明全等； （2）由已知与都是等腰直角三角形，及全等得到，再结合等腰三角形的“三线合一”性质证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，在中，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．求证： （1）是的垂直平分线； （2）为等腰三角形． 【答案】（1） 证明：在中，， °， 是的平分线， ， ， ， E是的中点， ， 是的垂直平分线；     （2） 证明：是的垂直平分线； , ， ， 为等腰三角形．      【分析】 本题考查等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得，再根据角平分线的定义求得，然后根据等腰三角形判定和三线合一性质可得结论； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，进而求得，根据等腰三角形的判定与性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于，则的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质． 由，，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得的度数，又由的垂直平分线交于D，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可求得的度数，继而求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∠1＝125°，则∠A＝　　　　　度． 【答案】11 【分析】设∠A＝x．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FCE＝∠FEC＝5x，则180°﹣5x＝130°，即可求解． 【详解】设∠A＝x， ∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG， ∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得 ∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x， 则180°﹣5x＝125°， 解，得x＝11°， 故答案为11． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用∠CBD是△ABC的外角是正确解答本题的关键． 19．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E．已知的周长为17cm，，则的周长为　　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形周长的计算．先根据是的垂直平分线得出，，从而得到的长度，再根据的周长为17cm得出，从而可得到的长度，最后再得出的周长． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又∵的周长为， ∴，即， ∴． 故答案为：11． 20．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，某物流仓库为了稳定结构，保障仓库的安全，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，E，F分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为5m，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为　　　　　　　　m． 【答案】35 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的定义及直角三角形斜边上的中线定义．根据题意得出为等腰三角形，再由得出为的垂直平分线，从而得到，，又由E，F分别为，的中点推出，分别为和斜边上的中线，从而可知，最终求得所需钢架的总长度． 【详解】 解：∵， ∴为等腰三角形， 又∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵E，F分别为，的中点， ∴，分别为和斜边上的中线， ∴， 又∵， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴需要的钢架总长度为：． 故答案为：35． 21．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）和按如图方式摆放，其中，，点E为上一点，连接交于点F，．若，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及平行线的性质．连接，根据已知条件证明和都是等腰三角形，从而可得是的垂直平分线，得出，再由利用同位角相等定理得到，从而得到，即，最后再利用已知条件，根据线段间的和差关系可求得的长度． 【详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴和都是等腰三角形， ∴是的垂直平分线，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∴． 故答案为：5． 22．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，在中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 连接，根据，的面积为12，D为边的中点，得到，，直线是的垂直平分线，结合的垂直平分线交于点F，设与交于点N，则，；延长到点G，使得，连接交于点H，则，根据等腰三角形三线合一性质，得到直线是线段的垂直平分线，故直线是线段的垂直平分线，故点D与点G关于直线对称，从而得到当点M与定N重合时，，从而得到的周长最小值为． 【详解】 如图，连接，因为，的面积为12，D为边的中点， 所以，，直线是的垂直平分线， 因为的垂直平分线交于点F， 设与交于点N，则，； 延长到点G，使得， 连接交于点H，则， 根据等腰三角形三线合一性质，得到直线是线段的垂直平分线， 故直线是线段的垂直平分线， 故点D与点G关于直线对称， 所以当点M与定N重合时，， 所以的周长最小值为： ．    故答案为：8． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段的垂直平分线性质，线段最短原理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质，线段最短原理是解题的关键． 23．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质．研究方法：观察（测量、操作）--猜想--推理研究内容：一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图，四边形中，，，则四边形为“筝形”．特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下：定义：如图，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形．性质：根据定义，探索图中直角筝形的性质，得到如下结论：关于内角：直角筝形中，与互补．理由如下：连接对角线．中，，，…关于对角线：… 任务： （1）补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； （2）小颖在图的基础上连接对角线，交于点，得到图，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； （3）在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为______． 【答案】（1） 补全内角性质说理：连接对角线． ∵中，， ∴， 同理，中，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴，即与互补．     （2） 证明：①在和中， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴平分与． ② ∵， ∴， 又∵， ∴，（等腰三角形三线合一）， ∴垂直平分．     （3）或      【分析】 （1）连接，利用直角三角形内角和与全等三角形，推导与的和． （2）① 通过证得角平分线；② 用全等与等腰三角形三线合一证垂直平分． （3）根据“筝形”定义（两组邻边分别相等），构造以为对角线的直角筝形（需满足两组邻边相等直角），分在延长线、在线段上两种情况，结合三角形内角和计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：情形：当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，此时，点在的延长线上，， ∴； 情形：当时，点在上， ∵四边形是直角筝形，为对角线， ∴，， 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形内角和，熟练掌握“筝形”的定义（两组邻边分别相等的四边形）及分类讨论思想是解题的关键． 24．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）综合与探究 【问题呈现】如图1，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． 【问题解决】请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【问题探究】如图2，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【探究延伸】如图3，在等腰中，，，点E在边上，的垂直平分线交于点D，连接，．若，，则______． 【答案】[问题解决]解：，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ [问题探究]解： ．理由如下： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； [探究延伸]3 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的对应边相等． [问题解决] 先证，进而可依据“”判定和全等，从而得，，据此可得出，，之间的数量关系； [问题探究]先判定和全等，从而得，，据此可得出，，之间的数量关系； [问题探究]设，则，先证，再根据线段的垂直平分线得，进而可依据“”判定和全等，从而得，，然后再根据可求出的长． 【详解】 解：[问题解决]略 [问题探究]略 [探究延伸]设，则， ， ， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 25．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在三角形纸片中，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点A与点D重合，展开得到折痕，设与交于点G，连接，． （1）和是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） ． 证明如下：由折叠可得，，，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理． （1）先通过折叠的性质得出，进而推导出，利用“”证明推出，又由得出结论； （2）根据已知条件得出，再由折叠的性质推导出，利用三角形内角和定理得到的度数，最终即可求得的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴． 由折叠得，，， ∴． ∵， ∴． 考点05 等边三角形 1．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（     ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【分析】 本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点关于的对称点，连接，与的交点即可所求． 【详解】 解：点关于的对称点，连接，如图， 由图可知点应选在点； 故选：D． 2．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在等边三角形中，点D为边的中点，过点D作的垂线，垂足为E，延长交的延长线于点F．若，则的长为（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质及三角形外角的定义．根据已知条件得出，，由得到的度数，从而利用三角形外角的定义求得，得出，通过点D为的中点得到的边长，紧接着利用含直角三角形的性质求得的值，最终求得的值． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴的边长为4， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图①，沙漏是古代的一种计时装置，图②是其部分示意图，已知是等边三角形，点，分别在，的延长线上，且，求证：是等边三角形． 【答案】证明：因为是等边三角形， 所以． 所以． 因为， 所以是等边三角形． 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】 略 4．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图，等边的边长为，在边上有一点，为延长线上的一点，且，过点作于点，连接交于点，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 过P作BC的平行线至AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD＝CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE＝EF，即可推出AE＋DC＝EF＋FD，可得ED＝AC，即可推出ED的长度． 【详解】 过做的平行线至于． ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， 于，是等边三角形， ， ∴ED=AC， ∵AC= 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算． 5．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）综合与探究 问题背景：在中，，点D为边上一点，连接． 问题初探：（1）如图1，当时，过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接． 请直接写出：①与的数量关系为________． ②与的数量关系和位置关系是________． 拓展探究：（2）如图2，当，且时，截取，连接．那么（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）①（或互补） ②，（或互相垂直且相等） （2）成立．证明如下： ， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． 又， ． （3）8 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求解① ② ； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有是等边三角形，由（2）得，，然后问题可求解． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为①（或互补）；②，（或互相垂直且相等）； （2）略 （3），， ． 是等边三角形． ． 由（2）得，， ． ． 6．（25-26学年八上·山西太原·期中）如图，是边长为4的等边三角形，建立适当的平面直角坐标系，并求各顶点的坐标．小琴的解法如下，请你根据她的思路，补全横线上空缺的部分，并完成解答． 解：如图，以顶点        为坐标原点，        所在直线为x轴建立平面直角坐标系，使点A在第一象限内．…… 【答案】；；各顶点坐标为 【分析】 本题重点考查了直角坐标系中点的坐标，对于坐标平面内的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，记作，同时还考查了等边三角形的性质，熟练掌握直角坐标系的建立是本题解题的关键． 先以顶点为坐标原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，得到两点的坐标，然后利用等边三角形的性质计算得到点到轴、轴的距离，进而得到点的坐标，进而完成求解． 【详解】 解：如图，以顶点为坐标原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，使点在第一象限内， 点为坐标原点， 点的坐标为， 是等边三角形，且边长为， ， 点在轴正半轴， 点的坐标为， 过点作于点，如图， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 点A在第一象限内， 点A的坐标为， 三点的坐标为． 7．（25-26学年八上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． （1）问题发现 小明发现图1就是手拉手模型，易证． ①请你帮助小明证明． ②如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，小明利用全等的性质和所学知识很快就求出了．则_____ （2）类比探究 在图2的基础上，当时，如图3．根据上述思路判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） ① 证明： ． 在和中， ； ②60°     （2） 解：． 理由：由（1）可知 ． 且 在与中 ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握手拉手全等模型是解题的关键． （1）① 根据等式的性质可得出，然后根据证明即可； ② 证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，则，根据证明，根据全等三角形的性质得出，然后根据角的和差关系求解即可； （2）由（1）可知，得出，然后根据三角形的内角和定理可求出，即可得证． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：，， 是等边三角形， ， 点，D、E在一条直线上， ， ． 在和中， ， ． 故答案为：60°； (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）已知：的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）     （2）等边三角形，见解析      【分析】 （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． (1) 小问详解： 解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴ ． ； (2) 小问详解： 解：∵且，， ∴且， ∴且，即， ∴是等边三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．C 2．B 3．B 4．D 5．【答案】 【分析】 本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质，如图，过作于，先证明，，，可得，再进一步求解即可. 【详解】 解：如图，过作于， 由对折可得：，，， ∴， ∴的面积为： ， ∵， 的面积为：； 故答案为： 6．【答案】（1），理由如下： 由轴对称的性质可得， ∵直线，即， ∴； （2），理由如下： 同理可证明， ∴，， 如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴；    （3）如图所示，当点D在线段上时，    同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 如图所示，当点D在线段的延长上时，    同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，轴对称图形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，再由可得； （2）同理可证明，则，；过点A作于H，证明，得到；由轴对称的性质可得，则可证明，再证明，可得； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长上两种情况， 通过证明，得到，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）略 7．【答案】如图，处、处为所求作． 【分析】 如图所示，分别作点关于射线所在直线的对称点，点关于射线所在直线的对称点，连接，分别交射线、于点、，则根据轴对称的性质可知处、处分别为小王在公路和上的等车地点． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了轴对称—路径最短问题，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键． 考点02 线段的垂直平分线 1．A 2．B 3．【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 【分析】 本题考查了逆命题的概念，弄清逆命题的概念及与原命题的关系是解题的关键． 交换原命题的题设和结论即可求得原命题的逆命题． 【详解】 解：命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 4．【答案】（1） 如图直线、线段即为所求；      （2）36      【分析】 本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，等边对等角，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据等边对等角，结合中垂线的性质，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 5．【答案】12 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，轴对称，最短路线问题，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，通过两点之间线段最短可知的最小值为，即可求解． 【详解】 解：连接， 是的垂直平分线， ， 的周长， 又当三点共线时，有最小值，最小值为， 周长的最小值为． 故答案为：12． 6．【答案】如答图所示，点即为公共健身驿站的位置． 【分析】 本题主要考查作图-——应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其尺规作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】 略 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．【答案】（1） 建立坐标系如下：      （2）画图如下：       【分析】 （1）根据点B的坐标为，将点B的坐标向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度即可得到原点，建立坐标系即可． （2）根据，结合x轴对称的特点，确定坐标后画图即可． 本题考查了坐标系中的平移，关于x轴对称作图，熟练掌握平移，对称作图是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵点B的坐标为 ∴将点B的坐标向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度即可得到原点， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴关于x轴对称的坐标分别为， 则，且即为所求． 9．【答案】由题意，画图如下： 【分析】 本题考查设计轴对称图形，根据轴对称图形的定义，作图即可． 【详解】 略 10．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 由题意得：点关于轴对称的点为， 故答案为：． 11．【答案】（1） 如图所示：         （2）      【分析】 题目主要考查轴对称图形的作法及利用网格求面积，熟练掌握轴对称图形的作法是解题关键． （1）根据轴对称图形的作法作图即可； （2）利用网格求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， 故答案为：12． 12．【答案】（1） 如图，平面直角坐标系如图所示．      （2）     （3）三点如图所示，与关于轴对称      【分析】 （1）根据，确定原点的位置，进而画出轴，即可求解． （2）根据坐标系写出点的坐标即可求解； （3）根据题意画出，根据轴对称的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： (3) 小问详解： 三点如图所示，与关于轴对称， 【点睛】 本题考查了坐标与图形，写出点的坐标，画轴对称图形，掌握以上知识是解题的关键． 13．【答案】（1）3     （2） 如图，即为所求，；      （3）或      【分析】 本题考查了点到坐标轴的距离，画轴对称图形，写出点的坐标，以及三角形的面积公式； （1）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值即可解答； （2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，顺次连接，并根据坐标系写出各点的坐标即可； （3）设点P的坐标为，利用的面积为6可得，解得或，即可得到答案．． (1) 小问详解： 解： ， ∴点到轴的距离为； 故答案为：3． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ∵的面积为6， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 14．【答案】（1） 如图，平面直角坐标系即为所求，      （2） 如图所示，即为所求，      （3） 如图，即为所求． 由图知， ，．      【分析】 本题主要考查了作图−轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由A的坐标为得，y轴在点A的左侧两个单位处，x轴在A点下方四个单位处，据此画图即可； （2）利用关于y轴对称“纵坐标不变，横坐标变为相反”画图即可； （3）利用关于x轴对称“横坐标不变，纵坐标变为相反”画图和写出坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 15．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）      【分析】 本题考查平面直角坐标系中点的特征，轴对称图形的作图，熟练掌握轴对称图形的作图和直角坐标系中点的特征是解题的关键， （1）根据分别找到点关于轴对称的点，依次连接即可得到； （2）根据直角坐标系中点的特征即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵关于轴对称，点在的内部， ∴点为点关于轴对称的对称点， ∴， 故答案为：． 16．【答案】（1） 所作如图所示：      （2），，     （3）7.5      【分析】 本题考查了作轴对称图形，写出平面直角坐标系中点的坐标，求三角形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据作轴对称图形的步骤，画出，即可解题； （2）根据坐标系直接写出，，的坐标，即可解题； （3）利用三角形面积公式求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由上图可知，各顶点的坐标为：，，， 故答案为：，，． (3) 小问详解： 解：的面积为； 故答案为：7.5． 17．【答案】（1） ① 如图所示，即为所求； 点的坐标为， ② 如图所示，即为所求； 点的坐标为     （2）      【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及图形的轴对称变换． （1）① 根据题意分别得出、、的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； ② 同① 方法，分别得出、、的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； （2）先根据的坐标求出P的坐标，再根据P的坐标求出的坐标即可． (1) 小问详解： 解：① 由图象可知，点的坐标为． ② 由图象可知，点的坐标为． (2) 小问详解： 解：由题意知，点P关于x轴对称的点的坐标为，且点P在内部， ∴点P的坐标为， 又∵点与点P关于y轴对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 考点04 等腰三角形 1．D 2．C 3．D 4．D 5．C 6．D 7．【答案】8 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和及含30°直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和及含30°直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：∵， ∴． 又∵，， ∴； 故答案为8． 8．【答案】（1） 作的角平分线，如图所示：      （2）      【分析】 （1）先以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E和点F，再以点E和点F为圆心，大于长为半径画弧，交于一点P，连接，并延长与交于点D即可作答． （2）根据角平分线的定义以及三角形内角和性质列式计算，可得结论． 本题考查作图 复杂作图，角平分线，三角形内角和性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 是的角平分线 ∴， 9．【答案】证明：， ， ， ， 即， 在和中 ， ∴． 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据证明三角形全等即可． 【详解】 略 10．【答案】5 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．证明是等腰三角形，得到，证明，根据全等三角形的性质结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵； ∴． 故答案为：5 11．【答案】（1）；；；；；； （2）证法一：如图，延长至点，使，连接． ∵为的中点， ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 由作图知， ∴． 证法二：如图，延长FD至点G，使，连接． ∵D为的中点， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 由作图知， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握倍长中线法，是解题的关键： （1）根据小刚的思路，补充证明过程即可； （2）证法一：延长至点，使，连接．结合已知条件，根据“”判定，从而得到．又，所以．因为，根据等腰三角形“三线合一”的性质，得，进而得到． 证法二：延长至点，使，连接．结合已知条件，根据“SAS”判定，得，．再根据“”判定，得，进而得到． 【详解】 （1）略 （2）略 12．【答案】（1）26.5；     （2） 证明：∵是的中点， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴的长就是所求河宽的长．      【分析】 本题考查等角对等边，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）观察图形，结合表格中的数据，根据三角形外角的性质及等腰三角形的判定， 可得． （2）观察图形，结合表格中的已知条件，根据“”可证得． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 13．【答案】 【分析】 根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】 解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【点睛】 此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 14．【答案】（1）     （2） 证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 即是等腰三角形．      【分析】 本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）、等腰三角形的判定． （1）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，即可得出答案； （2）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，得出，证出即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； (2) 小问详解： 略 15．【答案】（1） 证明：由题意得，， ∴， ∴；     （2） 解：，理由如下： 由已知与都是等腰直角三角形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，再证明，即可由证明全等； （2）由已知与都是等腰直角三角形，及全等得到，再结合等腰三角形的“三线合一”性质证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．【答案】（1） 证明：在中，， °， 是的平分线， ， ， ， E是的中点， ， 是的垂直平分线；     （2） 证明：是的垂直平分线； , ， ， 为等腰三角形．      【分析】 本题考查等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得，再根据角平分线的定义求得，然后根据等腰三角形判定和三线合一性质可得结论； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，进而求得，根据等腰三角形的判定与性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】度 【分析】 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质． 由，，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得的度数，又由的垂直平分线交于D，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可求得的度数，继而求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．【答案】11 【分析】设∠A＝x．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FCE＝∠FEC＝5x，则180°﹣5x＝130°，即可求解． 【详解】设∠A＝x， ∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG， ∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得 ∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x， 则180°﹣5x＝125°， 解，得x＝11°， 故答案为11． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用∠CBD是△ABC的外角是正确解答本题的关键． 19．【答案】11 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形周长的计算．先根据是的垂直平分线得出，，从而得到的长度，再根据的周长为17cm得出，从而可得到的长度，最后再得出的周长． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又∵的周长为， ∴，即， ∴． 故答案为：11． 20．【答案】35 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的定义及直角三角形斜边上的中线定义．根据题意得出为等腰三角形，再由得出为的垂直平分线，从而得到，，又由E，F分别为，的中点推出，分别为和斜边上的中线，从而可知，最终求得所需钢架的总长度． 【详解】 解：∵， ∴为等腰三角形， 又∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵E，F分别为，的中点， ∴，分别为和斜边上的中线， ∴， 又∵， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴需要的钢架总长度为：． 故答案为：35． 21．【答案】5 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及平行线的性质．连接，根据已知条件证明和都是等腰三角形，从而可得是的垂直平分线，得出，再由利用同位角相等定理得到，从而得到，即，最后再利用已知条件，根据线段间的和差关系可求得的长度． 【详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴和都是等腰三角形， ∴是的垂直平分线，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∴． 故答案为：5． 22．【答案】8 【分析】 连接，根据，的面积为12，D为边的中点，得到，，直线是的垂直平分线，结合的垂直平分线交于点F，设与交于点N，则，；延长到点G，使得，连接交于点H，则，根据等腰三角形三线合一性质，得到直线是线段的垂直平分线，故直线是线段的垂直平分线，故点D与点G关于直线对称，从而得到当点M与定N重合时，，从而得到的周长最小值为． 【详解】 如图，连接，因为，的面积为12，D为边的中点， 所以，，直线是的垂直平分线， 因为的垂直平分线交于点F， 设与交于点N，则，； 延长到点G，使得， 连接交于点H，则， 根据等腰三角形三线合一性质，得到直线是线段的垂直平分线， 故直线是线段的垂直平分线， 故点D与点G关于直线对称， 所以当点M与定N重合时，， 所以的周长最小值为： ．    故答案为：8． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段的垂直平分线性质，线段最短原理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质，线段最短原理是解题的关键． 23．【答案】（1） 补全内角性质说理：连接对角线． ∵中，， ∴， 同理，中，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴，即与互补．     （2） 证明：①在和中， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴平分与． ② ∵， ∴， 又∵， ∴，（等腰三角形三线合一）， ∴垂直平分．     （3）或      【分析】 （1）连接，利用直角三角形内角和与全等三角形，推导与的和． （2）① 通过证得角平分线；② 用全等与等腰三角形三线合一证垂直平分． （3）根据“筝形”定义（两组邻边分别相等），构造以为对角线的直角筝形（需满足两组邻边相等直角），分在延长线、在线段上两种情况，结合三角形内角和计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：情形：当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，此时，点在的延长线上，， ∴； 情形：当时，点在上， ∵四边形是直角筝形，为对角线， ∴，， 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形内角和，熟练掌握“筝形”的定义（两组邻边分别相等的四边形）及分类讨论思想是解题的关键． 24．【答案】[问题解决]解：，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ [问题探究]解： ．理由如下： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； [探究延伸]3 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的对应边相等． [问题解决] 先证，进而可依据“”判定和全等，从而得，，据此可得出，，之间的数量关系； [问题探究]先判定和全等，从而得，，据此可得出，，之间的数量关系； [问题探究]设，则，先证，再根据线段的垂直平分线得，进而可依据“”判定和全等，从而得，，然后再根据可求出的长． 【详解】 解：[问题解决]略 [问题探究]略 [探究延伸]设，则， ， ， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 25．【答案】（1） ． 证明如下：由折叠可得，，，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理． （1）先通过折叠的性质得出，进而推导出，利用“”证明推出，又由得出结论； （2）根据已知条件得出，再由折叠的性质推导出，利用三角形内角和定理得到的度数，最终即可求得的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴． 由折叠得，，， ∴． ∵， ∴． 考点05 等边三角形 1．D 2．C 3．【答案】证明：因为是等边三角形， 所以． 所以． 因为， 所以是等边三角形． 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】 略 4．【答案】 【分析】 过P作BC的平行线至AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD＝CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE＝EF，即可推出AE＋DC＝EF＋FD，可得ED＝AC，即可推出ED的长度． 【详解】 过做的平行线至于． ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， 于，是等边三角形， ， ∴ED=AC， ∵AC= 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算． 5．【答案】（1）①（或互补） ②，（或互相垂直且相等） （2）成立．证明如下： ， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． 又， ． （3）8 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求解① ② ； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有是等边三角形，由（2）得，，然后问题可求解． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为①（或互补）；②，（或互相垂直且相等）； （2）略 （3），， ． 是等边三角形． ． 由（2）得，， ． ． 6．【答案】；；各顶点坐标为 【分析】 本题重点考查了直角坐标系中点的坐标，对于坐标平面内的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，记作，同时还考查了等边三角形的性质，熟练掌握直角坐标系的建立是本题解题的关键． 先以顶点为坐标原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，得到两点的坐标，然后利用等边三角形的性质计算得到点到轴、轴的距离，进而得到点的坐标，进而完成求解． 【详解】 解：如图，以顶点为坐标原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，使点在第一象限内， 点为坐标原点， 点的坐标为， 是等边三角形，且边长为， ， 点在轴正半轴， 点的坐标为， 过点作于点，如图， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 点A在第一象限内， 点A的坐标为， 三点的坐标为． 7．【答案】（1） ① 证明： ． 在和中， ； ②60°     （2） 解：． 理由：由（1）可知 ． 且 在与中 ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握手拉手全等模型是解题的关键． （1）① 根据等式的性质可得出，然后根据证明即可； ② 证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，则，根据证明，根据全等三角形的性质得出，然后根据角的和差关系求解即可； （2）由（1）可知，得出，然后根据三角形的内角和定理可求出，即可得证． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：，， 是等边三角形， ， 点，D、E在一条直线上， ， ． 在和中， ， ． 故答案为：60°； (2) 小问详解： 略 8．【答案】（1）     （2）等边三角形，见解析      【分析】 （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． (1) 小问详解： 解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴ ． ； (2) 小问详解： 解：∵且，， ∴且， ∴且，即， ∴是等边三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $