专题02 二元一次方程组（期中真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

**基本信息** 聚焦二元一次方程组核心考点，融合《九章算术》算筹图、福建舰舰载机训练等文化与科技情境，适配期中复习的基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|4题|概念判断、消元法选择、实际问题建模|以班级原创题目比赛、地砖拼接等情境考查概念理解| |解答题|5题|加减消元法应用、数表解法、实际问题求解|结合《九章算术》算筹图设计阅读理解题，福建舰舰载机数量问题体现科技前沿|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二元一次方程组 3大高频考点概览 考点01二元一次方程组的概念 考点02加减消元法 考点3实际问题与二元一次方程组 D考点01二元一次方程组的概念 1.(2026山西运城二模)在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以 X=2 (y=-1 为解的二元一次方程组是() 2x+4y=0 A. x-3y=1 x+2y=0 B. x-y=3 x+3y=0 C. 2x-y=5 3x+6y=0 D. X-y=-2 》 考点02加减消元法 1.(2026山西运城二模)利用加减消元法解方程组 3x+2y=8① 4x-3y=5② 下列做法正确的是() A.要消去x,可以将①×4+②×3 B.要消去y,可以将①×4-②×3 C.要消去x,可以将①×3-②×2 D.要消去y,可以将①×3+②×2 2.（2026山西运城·二模)阅读理解： ()我国古代数学巨著《九章算术》在方程方面的研究颇有建树.下图所示的算筹图呈现了两个二元一次 方程组. 1/4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 l‖= Tl一而 ‖1-川 - ① ② 把它们写成我们现在的方程组是 3x+2y=21 2x+y=12 与 7x+4y=18 3x+5y=11 (Ⅱ)对于二元一次方程组 ax+biy=c a2x+b2y=C2 ,我们可以将X,y的系数和相应的常数项排成一个数表 a b ci a2 b2 C2 ,通过运算使数表变为 10a 01b ,即可求得该方程组的解为 X=d (y=b 用数表简化解二元一次方程组 3x+2y=21 2x+y=12 的过程如下： 上行32 21上方-下行2-10-35方-103下行÷20 下行211 21122112 1 6 下行-上行1 3下行×2103引 0 0 1 2 3 016 所以原方程组的解为 x=3 (y=6 214 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解答下列问题： (1)直接写出图③表示的关于x,y的二元一次方程组； 丨一T 1Ⅱ一 ③ (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解(1)中你写出的二元一次方程组. 3.（2026山西运城二模)计算： (1) y=2x-3 2x+y=5 (2) 2x+6y=3 4x-9y=-1 (3) 岁1 3x+2y=10 4.(2026山西运城·二模)已知关午X,y的二元一次方程ax+by=c的解如表： X -4 -3 -2 -1 0 1 y 13 11 10 8 3 3 3 3 关于x,y的二元一次方程mx-ny=k的解如表： X -4 -3 -2 -1 0 1 y 9 4 7 3 5 … 2 2 则关于P,q的二元一次方程组 ap+q+bp-q=c m p+q-np-q=k 的解是 ①考点03实际问题与二元一次方程组 1.（2026山西运城二模)如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为xcm,宽为ycm,下列方程组正确的是（ ) A 95cm 2x=95 A.x=2y 2x=95 B.2x-x=3y x+y=95 C. 2x-x=3y x+y=95 D. (x=2y 2.(2026山西运城二模)小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余70000元，今年转型直播带货， 扣除成本后可节余110000元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低15%，收入比去年高25%. 设去年的收入为X元，销售成本为y元，则可列方程组为( ) x+y=70000 1+25%x+1-15%y=110000 x-y=70000 X y =110000 1-25%1+15% C. x-y=70000 1+25%x-1-15%y=110000 x-y=70000 D =110000 1+25%1-15% 3.(2026山西运城二模)2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰一一福建舰正式入列，不 仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和 未来发展.福建舰入列后进行首次舰载机起降训练.已知甲板调度区现有歼-35隐形战斗机和直-20直升 机共15架，每架歼-35隐形战斗机需配备1名飞行员，每架直-20直升机需配备2名飞行员，现有20名 飞行员已准备起飞.求此时甲板上的歼-35和直-20各有多少架. 414函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二元一次方程组 考点01二元一次方程组的概念 考点02加减消元法 考点03实际问题与二元一次方程组 ①考点01二元一次方程组的概念 1.B 考点02加减消元法 1.D x+5y=17 x=12 2.【答案】(1) (2) x+2y=14 y=1 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解法和图表信息获取能力，关键是能理解用算筹图表示二元一次方程组的方 法和用数表简化解二元一次方程组. (1)利用已知算筹图表示二元一次方程组的方法直接写出即可. (2)利用题干中阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解答即可. (1)小问详解： 解：图③表示的关于x,y的二元一次方程组为： x+5y=17 x+2y=14s (2)小问详解： 解：上行1517下行-上伤1517下右31517上布-下布*51012 下行1214·0-3-3011 011 所以原方程组的解为 x=12 y=1 【答案】(1)x=2 X=3 3. (2) (3) 1 y=1 y y克 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种， 灵活选择合适的方法是解答本题的关键 114 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)根据代入消元法求解即可： (2)根据加减消元法求解即可： (3)根据加减消元法求解即可. (1)小问详解： 解： y=2x-3① 2x+y=5② 将①代入②，得2x+2x-3=5, 解得X=2, 将x=2代入①，得y=1, 所以方程组的解是 x=2 y=1 (2)小问详解： 2x+6y=3① 解： 4x-9y=-1②· ①×2得4x+12y=6③， ③-②得21y=7 解得 将y写代入0,2x+6×兮3， 得子 x= 所以方程组的解是， 2 1 (y (3)小问详解： 解： x-y+1=1①， 23 3x+2y=10② 214 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①×6得3x-2y=8③， ③+②' 得6x=18 解得X=3, 将x=3代入②，得9+2y=10, 解子 X=3 所以原方程组的解是 1 y-2 4.【答案】 p22 q=- 【分析】 本题考查了解二元一次方程组，通过解二元一次方程组.从两个表格中找到二元一次方程ax+by=C和 mx-ny=k的公共解，从而确定p+q和p-q的值. 【详解】 解：从表格中可知，当x=-3,y=4时，同时满足方程aX+by=c和mX-ny=k. 设u=p+q,V=p-q, au+bv=c 则原方程组化为4-nv=k 因此u=-3,V=4, p+q=-3 (p-q=4 解方程组： p+q+p-q=-3+4,得2p=1,所以p= 7 p+q-p-q=-3-4,得2q=-7,所以q=- 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 故答案为： p- 7 q-2 》 考点03实际问题与二元一次方程组 1.C 2.C 3.【答案】歼-35有10架，直-20有5架 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用. 设甲板上的歼-35有x架，直-20有y架，根据题意列出方程组求解即可. 【详解】 x+y=15 解：设甲板上的歼-35有x架，直-20有y架，根据题意得 x+2y=20’ x=10 解得y=5 答：甲板上的歼-35有10架，直-20有5架. 414函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二元一次方程组 3大高频考点概览 考点01二元一次方程组的概念 考点02加减消元法 考点3实际问题与二元一次方程组 D考点01二元一次方程组的概念 1.(2026山西运城二模)在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以 X=2 (y=-1 为解的二元一次方程组是() 2x+4y=0 A. x-3y=1 x+2y=0 B. x-y=3 x+3y=0 C. 2x-y=5 3x+6y=0 D. x-y=-2 【答案】B 【分析】 本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方 程组的解是解答此题的关键， X=2 将 y=-1 代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立， 【详解】 对于选项A:当 X=2 y=-1时， 2x+4y=2×2+4×-1=4-4=0'成立： X-3y=2-3×-1=2+3=5≠1不成立. 故A不符合题意. 1/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=2 对于选项B: y=-1时， X+2y=2+2×-1=2-2=0成立： x-y=2--1=2+1=3成立. 故B符合题意. 对于选项C: 当 X=2 y=-1时， X+3y=2+3×-1=2-3=-1≠0不成立. 故C不符合题意. X=2 对于选项D:当 y=-1时， 3x+6y=3×2+6×-1=6-6=0°成立： x-y=2--1=2+1=3≠-2不成立. 故D不符合题意. X=2 因此，以y=-1 为解的方程组是B. 故选B 考点02加减消元法 1.(2026山西运城·二模)利用加减消元法解方程组 3x+2y=8① 4x-3y=5② 下列做法正确的是() A.要消去x,可以将①×4+②×3 B.要消去y,可以将①×4-②×3 C.要消去x,可以将①×3-②×2 D.要消去y,可以将①×3+②×2 【答案】D 【分析】 2/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.通过加减 消元法，消去y需要使y的系数互为相反数，①×3和②×2可使y的系数分别为6和-6，相加即可消去 y 【详解】 要消去y,需使y的系数绝对值相等且符号相反. ①中y系数为2，②中y系数为-3，最小公倍数为6. ①×3得：9x+6y=24 ②×2得：8x-6y=10 两式相加：9x+6y+8x-6y=24+10, 17X=34'y被消去. 故选项D正确， 故选：D 2.(2026山西运城.二模)阅读理解： (I)我国古代数学巨著《九章算术》在方程方面的研究颇有建树.下图所示的算筹图呈现了两个二元一次 方程组 l‖= Tl一而 I1-川 - ① ② 把它们写成我们现在的方程组是 3x+2y=21 2x+y=12 与 7x+4y=18 3x+5y=11 (Ⅱ)对于二元一次方程组 ax+biy=c azx+b2y=C2 ,我们可以将X,y的系数和相应的常数项排成一个数表 az b2 C2 3/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ，通过运算使数表变为 10a 01b 即可求得该方程组的解为 X=a (y=b 用数表简化解二元一次方程组 3x+2y=21 2x+y=12 的过程如下： 上行3221上布-下布x2-10-3上行-1 3210 3 0 下行21 12 2112 → 2 112 1 1-2 6 下行-上行1 3下行×2110 0 3 2 3 0 16 所以原方程组的解为 x=3 y=6 解答下列问题： (1)直接写出图③表示的关于x,y的二元一次方程组： I一T 1‖一 ③ (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解(1)中你写出的二元一次方程组， 【答案】(1) x+5y=17 x=12 x+2y=14 (2) y=1 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解法和图表信息获取能力，关键是能理解用算筹图表示二元一次方程组的方 法和用数表简化解二元一次方程组. (1)利用已知算筹图表示二元一次方程组的方法直接写出即可. (2)利用题干中阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解答即可. )小问详解： x+5y=17 解：图③表示的关于x,y的二元一次方程组为：x+2y=14: 4/10 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)小问详解： 解：上行1517下行-上布1 下行1214 ⑤157697 0-3-3÷0i1 所以原方程组的解为 X=12 y=1· 3.（2026山西运城·二模)计算： (1) y=2x-3 2x+y=5 (2) 2x+6y=3 4x-9y=-1 (3) -y+1=1 2 3 3x+2y=10 1 X= X=3 【答案】(1)x=2 (2) (3) y=1 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种， 灵活选择合适的方法是解答本题的关键， (1)根据代入消元法求解即可： (2)根据加减消元法求解即可： (3)根据加减消元法求解即可 (1)小问详解： y=2x-3① 解： 2x+y=5② 将①代入②，得2x+2x-3=5, 5/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得X=2, 将x=2代入①，得y=1, x=2 所以方程组的解是 y=1 (②)小问详解： 2x+6y=3① 解： 4x-9y=-1②， ①×2得4x+12y=6③， ③-②得21y=7 1 解得y=3 将y吉代入①：得2x+6×号3， 解得号 1 所以方程组的解是， 3)小问详解： 解： x-y+1=1①， 23 3x+2y=10② ①×6得3x-2y=8®， ③+②得6x=18 解得X=3, 将x=3代入②，得9+2y=10, 6/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得y= 2 X=3 所以原方程组的解是 y=2 4. (2026山西运城二模)己知关于x,y的二元一次方程ax+by=C的解如表： X -4 -3 -2 -1 0 13 11 10 8 3 3 3 3 关于x,y的二元一次方程mx-ny=k的解如表： X -4 -3 -2 -1 0 1 9 7 3 5 2 2 则关于P,q的二元一次方程组 ap+q +b(p-q=c m p+q-n(p-q=k 的解是 1 p= 【答案】 2 q-2 【分析】 本题考查了解二元一次方程组，通过解二元一次方程组.从两个表格中找到二元一次方程Qx+by=C和 mx-ny=k的公共解，从而确定p+q和p-q的值. 【详解】 解：从表格中可知，当X=-3,y=4时，同时满足方程aX+by=c和mx-ny=k. 设u=p+q,V=p-q, au+bv=c 则原方程组化为μ-nv=k· 因此u=-3,V=4, 即p+q=-3 (p-q=4 解方程组： 7/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 p+q+p-q=-3+4,得2p=1,所以p=2 p+q-p-q=-3-4,得29=-7，所以q=-7 故答案为： p2 7 q2- 》 考点03实际问题与二元一次方程组 1.（2026山西运城二模)如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长 为xcm,宽为ycm,下列方程组正确的是（ ) 95cm 2x=95 A. x=2y 2x=95 B.2x-x=3y x+y=95 C. 2x-x=3y x+y=95 D. x=2y 【答案】C 【分析】 本题考查了根据题意列二元一次方程组. 由图示可得等量关系：①2个长=1个长+3个宽，②一个长+一个宽=95cm,根据等量关系列出方程组 即可. 【详解】 解：设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm,根据题意，得： x+y=95,即x+y=95· 2x=x+3y 2x-x=3y 故选：C 8/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026山西运城二模)小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余70000元，今年转型直播带货， 扣除成本后可节余110000元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低15%，收入比去年高25%. 设去年的收入为X元，销售成本为y元，则可列方程组为( ) A. x+y=70000 1+25%x+1-15%y=110000 x-y=70000 B X =110000 1-25%1+15% C x-y=70000 (1+25%x-1-15%y=110000 D x-y=70000 =110000 1+25% ,1-15% 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据去年节余为收入减成本，今年节余为今年收入减今年成本， 今年收入比去年高25%，成本比去年低15%，列出方程组. 【详解】 解：.去年收入为X元，成本为y元，节余70000元， .x-y=70000 :今年收入比去年高25% :.今年收入为1+25%x :今年成本比去年低156 :今年成本为(1-15%)y .今年节余110000元， .(1+25%)x-（1-15%)y=110000 9/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .可列方程组 x-y=70000 （1+25%)x-(1-15%)y=110000 故选：C 3.(2026山西运城·二模)2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰一一福建舰正式入列，不 仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和 未来发展.福建舰入列后进行首次舰载机起降训练.已知甲板调度区现有歼-35隐形战斗机和直-20直升 机共15架，每架歼-35隐形战斗机需配备1名飞行员，每架直-20直升机需配备2名飞行员，现有20名 飞行员已准备起飞.求此时甲板上的歼-35和直-20各有多少架. 【答案】歼-35有10架，直-20有5架 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用. 设甲板上的歼-35有x架，直-20有y架，根据题意列出方程组求解即可. 【详解】 解：设甲板上的歼-35有x架，直-20有y架，根据题意得 x+y=15 X+2y=20, x=10 解得y=5 答：甲板上的歼-35有10架，直-20有5架. 10110