精品解析：山西省太原市华师双语2024-2025学年上学期八年级数学期中考试卷

2024学年第一学期八年级（上）数学期中检测卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 在不等式组的解集中，整数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 5. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ） A. 两个角分别为， B. 两个角分别为， C. 两个角分别为， D. 两个角分别为， 6. 在中，，，的对边分别为a，b，c．能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，，， C. D. ， 7. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形是等腰三角形 8. 如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，平分，，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在锐角三角形中，，边上的中线．过点A作于点E，记的长为a，的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. “减去小于的倍”用不等式表示为________． 12. 一副三角板按如图方式叠放在一起，则图中的度数为______． 13. 小明准备用55元去购买笔记本和圆珠笔，已知笔记本每本10元，圆珠笔每支2元，他购买了4本笔记本，则他最多还能买______支圆珠笔． 14. 如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是______． 15. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“美好值”．若在等腰三角形ABC中，，则它的美好值等于________． 16. 如图，在中，，，，以为边作一个等边三角形，将折叠，为折痕．若使点D与点C重合，则的长度为______． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式：，并将解集表示在数轴上． 18. 如图，在中，，，，边的中垂线交于点D，交于点M． （1）求的度数． （2）求的周长． 19. 如图，在中，，平分，，． （1）求的度数． （2）小明认为不需要知道，的度数，只需要知道的度数，在其他条件不变的情况下，也能得出度数．你认为可以吗?若能，请你求解当时的度数；若不能，请说明理由． 20. 如图，点C在线段上，，平分． （1）证明：． （2）若，，求的长． 21. 某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，该公司销售2辆A型车和5辆B型车的总价为99万元，销售1辆A型车和2辆B型车的总价为42万元． （1）求每辆A型，B型新能源汽车的价格各是多少万元． （2）有一出租车公司准备同该汽车贸易公司采购A，B两种新能源汽车共22辆，但投入资金不超过300万元，问最少需要采购A型新能源汽车多少辆? 22. 小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③牵风筝线的手离地面的高度为． （1）如图1，求风筝的竖直高度． （2）如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为时（即），的长为，求此时小明的风筝线收回了多少米． 23. 综合与实践 设计一款舒适的摇椅 素材1 某公司设计制作了一款摇椅产品，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中为坐垫，为椅背，支架，所在直线恰好交于点A，扶手分别交，，于点M，N，G．且、，、平分． 素材2 实践体验发现，要保证摇椅的舒适感和安全度，设计时应有以下要求： ① cm； ②如图3，摇椅摇至支架与地面垂直时，点F在竖直方向上至少比点B高出． 问题解决 任务1：确定摇椅形状 求的度数． 任务2：找出与的数量关系 设（），设______（用含x的代数式表示）． 任务3：尽量保持摇椅的舒适感和安全感 求支架至少多长． 24. 【方法探索】 （1）如图1，已知平分，点，分别在边，上，，．小明为了证明，用了如下两种方法： 构图方法 小明得到下列结论 你认为正确的结论是（写序号） 如图2，在上取点，使，连接． ； ； ③． Ⅰ．　 　 如图3，过点C分别作边OA，OB的垂线，垂足分别记为M，N 平分； ； ③． Ⅱ．　 　 【类比探究】 （2）如图4，已知，平分． ①当点，分别在边，上时，请你证明：． ②当点，分别在，所在的直线上，，且，时，请你画出图形并求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级（上）数学期中检测卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、找不到一条直线，沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、找不到一条直线，沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、找不到一条直线，沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，符合题意； D、能找到一条直线，沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 3. 如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定．掌握证明三角形全等是关键． 根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案 【详解】解：从角平分线的作法得出，与的三边全部相等， 则． 故选：A． 4. 在不等式组的解集中，整数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解．解题的关键是正确求出不等式组的解集． 先求出不等式组的解集，然后再求出其范围内的整数解，即可． 【详解】解：解第一个不等式 得； 解第二个不等式 得； ∴ 不等式组的解集为 ； ∴ 整数解为 ，共4个； 故选：C． 5. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ） A. 两个角分别为， B. 两个角分别为， C. 两个角分别为， D. 两个角分别为， 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角的概念判断即可． 【详解】解：当两个角分别为，时，这两个角都是锐角，和为，是直角， 则命题“两个锐角的和是锐角”是假命题， 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6. 在中，，，的对边分别为a，b，c．能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，，， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理逆定理及等腰三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理、三角形内角和及等腰三角形的性质可进行排除选项． 【详解】解：A、由，，可知：，故不是直角三角形； B、由，，可知：，故是直角三角形； C、由可设，则有，解得，所以，故不是直角三角形； D、由，可知：，故不是直角三角形； 故选B． 7. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形是等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与逆命题，以及命题的真假,线段垂直平分线的性质与判定，刀刀见血，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，根据选项写出原命题的逆命题，判断真假即可． 【详解】解：A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题为：到条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题，故该选项符合题意； B. 对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故该选项不符合题意； C. 全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等三角形是全等三角形，是假命题，故该选项不符合题意； D. 等边三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则点D的个数是4， 故选：B． 9. 如图，平分，，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于M，证明，，取的中点，连接，证明是等边三角形，在进一步解答即可． 【详解】解：过D作于M， ∵平分，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10. 如图，在锐角三角形中，，边上的中线．过点A作于点E，记的长为a，的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，连接，过作于，根据中线得到，根据三线合一得到，然后在和中利用勾股定理列方程，化简整理即可． 【详解】解：连接，过作于，则， ∵边上的中线， ∴是中点， ∵过点A作于点E，， ∴， ∴， ∵的长为a，的长为b， ∴， ∴， ∴， ∵中，， 中，， ∴， 整理得， 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. “减去小于的倍”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元一次不等式，理解题意，将文字描述转化为数学表达式是关键． “减去”表示为，“的倍”表示为，“小于”用连接，因此不等式为． 【详解】解：“减去”表示为， “的倍”表示为， “小于”用连接， 因此不等式为． 故答案为：． 12. 一副三角板按如图方式叠放在一起，则图中的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，以及领补角的定义，根据三角形的外角的性质以及邻补角，即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意， ∴ 故答案为：． 13. 小明准备用55元去购买笔记本和圆珠笔，已知笔记本每本10元，圆珠笔每支2元，他购买了4本笔记本，则他最多还能买______支圆珠笔． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．设小明还能买支圆珠笔，根据题意列一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：设小明还能买支圆珠笔，根据题意得： ， 解得， 取最大整数解为． 故答案为：． 14. 如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，由全等三角形的性质得，，，，由勾股定理求出，得出，然后再由勾股定理即可求出的值． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“美好值”．若在等腰三角形ABC中，，则它的美好值等于________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，顶角与底角的关系以及三角形内角和定理． 根据等腰三角形的性质，顶角与底角的关系以及三角形内角和定理，计算美好值． 【详解】解：在等腰中，， 当为顶角时，则底角， ； 当为底角时，则顶角的度数为， ； 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，，以为边作一个等边三角形，将折叠，为折痕．若使点D与点C重合，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，，，设，可得，，由轴对称的性质可得：，可得，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵，等边三角形，， ∴，， ∴，， 设， ∴，， 由轴对称的性质可得： ， ∵， ， 解得：， 整理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式：，并将解集表示在数轴上． 【答案】，解集在数轴上表示如图： 【解析】 【分析】本题考查不等式的求解，掌握求解的步骤是解题的关键．根据不等式的性质求解不等式：移项，合并同类项，未知数系数化为1；用数轴表示即可． 【详解】解：， ， ∴ 18. 如图，在中，，，，边的中垂线交于点D，交于点M． （1）求的度数． （2）求的周长． 【答案】（1）24° （2）11 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质成为解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据垂直平分线的性质可得，即，最后根据角的和差即可解答； （2）根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式及等量代换即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 19. 如图，在中，，平分，，． （1）求的度数． （2）小明认为不需要知道，的度数，只需要知道的度数，在其他条件不变的情况下，也能得出度数．你认为可以吗?若能，请你求解当时的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能， 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质求出，最后利用垂直的定义和三角形内角和定理即可求出的度数； （2）同（1），利用三角形内角和定理、外角的性质可得，进而求出的度数． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 能，求解过程如下： ∵在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线和垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和为180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 20. 如图，点C在线段上，，平分． （1）证明：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）根据平行线的性质得，再根据“边角边”可得答案； （2）先根据全等三角形的对应边相等得，再根据等腰三角形的性质得，然后根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 21. 某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，该公司销售2辆A型车和5辆B型车的总价为99万元，销售1辆A型车和2辆B型车的总价为42万元． （1）求每辆A型，B型新能源汽车的价格各是多少万元． （2）有一出租车公司准备同该汽车贸易公司采购A，B两种新能源汽车共22辆，但投入资金不超过300万元，问最少需要采购A型新能源汽车多少辆? 【答案】（1）每辆A型新能源汽车的价格是12万元，每辆B型新能源汽车的价格是15万元 （2）10辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键． （1）设每辆A型新能源汽车的价格是x万元，每辆B型新能源汽车的价格是y万元．再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设需要采购A型新能源汽车m辆，则采购B型新能源汽车辆．然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆A型新能源汽车的价格是x万元，每辆B型新能源汽车的价格是y万元． 依题意，得,解得: ． 答：每辆A型新能源汽车的价格是12万元，每辆B型新能源汽车的价格是15万元． 【小问2详解】 解：设需要采购A型新能源汽车m辆，则采购B型新能源汽车辆． 依题意，得，解得． 答：最少需要采购A型新能源汽车10辆． 22. 小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③牵风筝线的手离地面的高度为． （1）如图1，求风筝的竖直高度． （2）如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为时（即），的长为，求此时小明的风筝线收回了多少米． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，则，，由勾股定理得，，根据，计算此时小明的风筝线收回的长度即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， ∴为； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴此时小明的风筝线收回了米． 23. 综合与实践 设计一款舒适的摇椅 素材1 某公司设计制作了一款摇椅产品，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中为坐垫，为椅背，支架，所在直线恰好交于点A，扶手分别交，，于点M，N，G．且、，、平分． 素材2 实践体验发现，要保证摇椅的舒适感和安全度，设计时应有以下要求： ① cm； ②如图3，摇椅摇至支架与地面垂直时，点F在竖直方向上至少比点B高出． 问题解决 任务1：确定摇椅形状 求的度数． 任务2：找出与的数量关系 设（），设______（用含x的代数式表示）． 任务3：尽量保持摇椅的舒适感和安全感 求支架至少多长． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形，一元一次不等式，熟练掌握相关知识是解题关键． 任务１，根据题意证明是等边三角形，即可求解； 任务，证明是等边三角形，即可求解； 任务，利用含角的直角三角形知识，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：任务1：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 任务2：，理由如下： ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 任务3：如图2，，作，， ， ， ， 是长方形， ，， ， ， ，， ∴， 根据题意可列出不等式，解得， 所以的长至少为． 24. 【方法探索】 （1）如图1，已知平分，点，分别在边，上，，．小明为了证明，用了如下两种方法： 构图方法 小明得到下列结论 你认为正确的结论是（写序号） 如图2，在上取点，使，连接． ； ； ③． Ⅰ．　 　 如图3，过点C分别作边OA，OB的垂线，垂足分别记为M，N 平分； ； ③． Ⅱ．　 　 【类比探究】 （2）如图4，已知，平分． ①当点，分别在边，上时，请你证明：． ②当点，分别在，所在的直线上，，且，时，请你画出图形并求出的长． 【答案】（1）Ⅰ：①②；Ⅱ：②③； （2）①证明：如图4，作交于点， ， ， ， 又平分， ， ， ． 在和中， ， ， 由勾股定理可得：， 即， ． ②如图所示； 【解析】 【分析】（1）Ⅰ．先证明为等边三角形，由求得，进而证明； Ⅱ．由角平分线的定义及，得到，证明即可求解； （2）①作，根据角的和差关系得出，再由角平分线的性质得出等角等边，求证，再在中，由勾股定理的长，进行等量代换即可； ②画出图后，证得，设，在中，由勾股定理的长． 【详解】（1）证明：Ⅰ．，平分 ， ， 又， 为等边三角形， ，， ， ， 又，， 在和中， ， ， 故答案为：①②； Ⅱ．平分，，， ， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：②③． （2）①略 ②根据题意作出，并作于点，于点，如图5所示， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， 设，则， ， ， 解得， 即，， 在中，由勾股定理得． 【点睛】此题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，等边三角形的性质及判定，能熟练应用全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $