专题10 一次函数（期中真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

**基本信息** 以山西各地期中真题为素材，聚焦一次函数四大核心考点，通过表格辨析、图象性质分析、实际问题建模等题型，实现基础巩固与综合应用的分层考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多/中|一次函数概念（表格数据辨析）、图象性质（增减性、平移）|结合神舟火箭速度、沙漏计时等情境，考查概念理解与性质应用| |解答题|中/高|函数与方程（组）综合、实际问题（阶梯收费、行程问题）|设计“不动点”定义探究、桶装水菌落增长建模等综合题，体现数学建模与逻辑推理|

专题10 一次函数 考点01 一次函数的概念 考点02 一次函数的图象和性质 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 考点04 实际问题与一次函数 考点01 一次函数的概念 1．B 2．D 3．A 4．A 5．C 6．A 考点02 一次函数的图象和性质 1．B 2．B 3．D 4．A 5．D 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．B 13．B 14．C 15．A 16．C 17．B 18．D 19．A 20．B 21．D 22．D 23．C 24．【答案】（1）的值为，的值为6     （2）三个函数的图象都是过原点的直线      【分析】 本题主要考查的是正比例函数的性质，解答本题主要根据正比例函数的性质解答． （1）把时，代入可求出k的值，把代入可得结论； （2）根据正比例函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 在函数中，当时，， ． 解得， 在函数中，当时． 答：的值为，当时，的值为6 (2) 小问详解： 三个函数的图象都是过原点的直线 25．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的平移．熟练掌握一次函数平移的“上加下减”是解题的关键，利用一次函数的平移法则解决即可． 【详解】 解：将一次函数的图象沿y轴向上平移8个单位长度，新函数解析式为， 即 ． 故答案为： ． 26．【答案】 【分析】 本题考查了正比例函数的性质． 将点 代入正比例函数 ，利用待定系数法求出比例系数 ． 【详解】 解：由题意，将点 代入 ，得 ，解得 ，所以该函数的表达式为 ． 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 根据函数的性质，结合时，y随x的增大而减小解答即可． 本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵一次函数中，， ∴函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查正比例图象和性质，采用待定系数法即可求得答案． 【详解】 因为直线经过原点，所以设直线对应的函数表达式为． 因为直线经过点，将其代入，得 ， 解得 ． 所以直线对应的函数表达式为． 故答案为： 29．【答案】 【分析】 解题思路是先利用已知点求出正比例函数的比例系数，再根据的符号判断函数的增减性，最后结合、的大小关系，得出和的大小关系．本题考查正比例函数的性质，涉及的知识点是正比例函数的解析式求解、增减性判断．解题中用到的方法是 “先求系数，再判增减” 的步骤法．解题关键是准确求出的值，并牢记的符号与函数增减性的关系．易错点是混淆的符号对应的增减性，导致大小关系判断错误． 【详解】 ，将点代入： 因此，正比例函数的解析式为． ，所以随的增大而减小． 已知，且y随x的增大而减小，因此． 故答案为． 30．【答案】 【分析】 本题考查了已知正比例函数的解析式求正比例函数图象上点的坐标，正确计算是解题的关键． 依题意得，，计算求解即可． 【详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得，， 故答案为：． 31．【答案】画图如下： 【分析】 本题主要考查了画一次函数图像， 根据一次函数解析式列表，然后描点，连线即可． 【详解】 解：列表 32．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性，根据一次函数的性质，经过点可得截距，随增大而增大可得斜率，据此可得答案． 【详解】 解：设符合题意的一次函数表达式为． ∵函数图象经过点， ∴，即． 又∵随的增大而增大， ∴． ∴当时满足题意，则函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 33．【答案】（1），0     （2） 函数的图象如下图所示，      （3）① √；② ×     （4）①或；②1；③      【分析】 本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，画出函数的图象利用数形结合是解题的关键． （1）观察表格，函数图象经过点，将这两点的坐标分别代入，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；把代入所求的解析式，即可求出m，将代入所求的解析式，即可求出； （2）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象； （3）根据图象即可判断该函数性质的说法是否正确； （4）观察图象填空即可． (1) 小问详解： 解：∵函数的图象经过点， ， 解得： ， ∴这个函数表达式是， 当时，， 当时，； 故答案为：，0； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，故正确； ② 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故原说法错误； 故答案为：√，×； (4) 小问详解： 解：根据图象可知： ① 方程的解是或； ② 方程有1个解； ③ 若关于n的方程无解，则k的取值范围是， 故答案为：或；1；． 34．【答案】（1）      （2） 元     （3）       【分析】 本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，已知自变量求函数值，已知函数值求自变量的值，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接写出水费与单价的关系式即可； （2）将代入（1）中所求得的解析式计算即可； （3）先判断该户居民的用水量，然后将代入解析式，求出即可． (1) 小问详解： 解：， ， 整理，得， 即； (2) 小问详解： 将代入得， (元） 答：该户这一年的水费为元； (3) 小问详解： 当用水量为，需交水费元， 当用水量为，需交水费（元）， ， ， 把代入得，， 解得, 答：该户去年一年的用水量为． 35．【答案】（1）原点（或）；一、三；；增大     （2）如下表： 图像 图像的几何特征 函数的数量特征 图像经过原点 由表达式可知，当时，； 图像经过第三、四象限 因为，当，，当时，，即当时，始终为负数． 在第三象限，图像从左往右是上升趋势 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以，的值随值的增大而增大． 在第四象限，图像从左往右是下降趋势 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以，的值随值的增大而减小． 图像关于轴对称 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以，，因为，所以，则，所以，即． 【分析】 本题主要考查正比例一次函数的图像和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图像即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质和特征即可． (1) 小问详解： 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； 图像 图像的几何特征 函数的数量特征 图像经过原点 由表达式可知，当时，； 图像经过第一、三象限 因为，且，所以当时，，当时，，即当时，，同号； 从左往右图像是上升趋势 设点，是该函数图像上的点（其中），所以，，因为，所以，所以，所以，所以，所以，的值随值的增大而增大． …… …… (2) 小问详解： 略 36．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 【详解】 解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 37．【答案】（1） 填表如下： 描点，连线得， x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 …      （2）①0；；②时，y随x的增大而减小（答案不唯一）     （3）      【分析】 本题主要考查画一次函数的图象，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键． （1）根据题目要求解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据图象解答即可． (1) 小问详解： 解：当时，， 当时，； (2) 小问详解： 解：① 当时，y有最小值为； 故答案为：0；； ② 请写出该函数的一条性质：时，y随x的增大而减小； 故答案为：时，y随x的增大而减小； (3) 小问详解： 解：由图象可知，当时，的图象与直线没有交点， 故答案为：． 38．【答案】（1） 解：根据表格画出一次函数图象如图． 设一次函数解析式为， 把分别代入得 ， 解得 ， ∴一次函数解析式为； 函数关系式为． 故答案为：；     （2） 解：当时，； 当时，； 填充表格如下： 画出该函数图象如图： 0 1 2 3 2 0 0 2 图象特征： ① 该函数图象关于轴对称． ② 该函数图象是具有公共端点的两条射线，其公共端点为． ③ 该函数图象经过第一、二、三、四象限．（合理即可） 变化情况： ① 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ② 当时，函数有最小值为．（合理即可） 故答案为：① 该函数图象关于轴对称．② 该函数图象是具有公共端点的两条射线，其公共端点为．③ 该函数图象经过第一、二、三、四象限；① 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．② 当时，函数有最小值为．（合理即可）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数的图象． （1）用描点法画出一次函数图象即可；用待定系数法求函数解析式即可； （2）先分别把、代入计算出对应的函数值，再利用描点法画出函数图象，然后根据函数图象写出一个特征和函数的增减性． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 39．【答案】 【分析】 本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，正比例函数的性质，先求解，设，可得，再结合一次函数的性质可得的值，从而可得答案. 【详解】 解：∵一次函数的图象与抽交于点， ∴当时，， ∴， ∵在正比例函数的图象上， 设， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：. 40．【答案】（1），     （2） 函数的图象如图所示，      （3）由图象可得：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小.      【分析】 本题考查的是求解函数值，画一次函数图象，一次函数的性质. （1）把，代入函数解析式进行计算即可. （2）根据表格信息画图即可. （3）根据函数图象可得其性质. (1) 小问详解： 解：当时，， 当时，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 41．【答案】（1） 如图所示；      （2）      （3）7天      【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据描点，连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所求可得该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可； （3）求出函数值为50时自变量的值即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点， 设， 则 ， ∴ ， ∴； (3) 小问详解： 解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而增大， ∵桶装水菌落总数超过时就要停止饮用， ∴， ∴， ∴， 答：桶装水打开后的最佳饮用时间是7天． 42．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）求直线的解析式：先将交点的纵坐标代入的表达式，求出的横坐标，得到的完整坐标；再结合上的点，用待定系数法设出的表达式，代入两个点的坐标列方程组，求解得到的函数式． （2）求的值：先根据“垂直于轴”可知的纵坐标与的纵坐标相等，分别将代入、的表达式，求出的横坐标；再用横坐标的差的绝对值表示的长度，结合的长度（由、与轴的交点坐标差得到），根据“”列方程，求解得到的值． （3）求点的坐标：先求出的面积（以为底，的纵坐标为高），再根据“的面积是其倍”得到的面积；设出的坐标（利用的表达式用横坐标表示纵坐标），以为底，的纵坐标与的纵坐标的差的绝对值为高，列面积方程，求解得到的坐标． (1) 小问详解： 解：将点代入中，得，解得 ． ∴点的坐标为 设直线函数表达式为 将点、代入中，得 解得 ∴直线函数表达式为． (2) 小问详解： 解：如图所示： 中，当时， ∴点的坐标为 在直线中，当时， ∴点A的坐标为 ∴． ∵直线轴于点，点的纵坐标为 ∴点，点的纵坐标都为 ∵点在直线上 ∴点的坐标为． ∵点在直线上 ∴点的坐标为． ∴ ∵ ∴ 解得，或． (3) 小问详解： 解：令的得， ∴， ， 故面积为． 设，， ，得， 即，对应或． 【点睛】 本题考查一次函数解析式、线段长度与面积的坐标运算，涉及知识点：待定系数法求函数、坐标表示线段长、三角形面积公式．解题方法是代入点求解析式，用坐标差表示线段长列方程，通过面积关系确定点坐标；解题关键是准确转化几何量为坐标运算，易错点是坐标与线段的对应关系． 43．【答案】（1）一、三；同为负数；增大     （2） 函数图象的几何特征及相应的表达式的数量特征解释如下（选择其中一个几何特征即可）：     （3）      图象的几何特征 表达式的数量特征 图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第一象限 因为，当时，，即．所以当时，x与y的取值同为正数． 从左往右图象是上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）．所以，，，因为，所以，所以．因为，即，所以，y的值随x值的增大而增大． 【分析】 本题主要考查正比例的图象和性质，利用类比思想和数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图象即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用类比思想和数形结合思想，得出函数的性质和特征即可获解； （3）利用类比思想，得出函数的性质即可获解． (1) 小问详解： 解：通过函数图象可知，函数的图象经过第一、三象限，当时，x与y的取值同为正数或同为负数，y的值随x值的增大而增大， 故答案为：① 一、三；② 同为负数；③ 增大； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：函数的图象从左往右图象是下降趋势，设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，所以． 因为，即， 所以，y的值随x值的增大而减小． 因为点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是， 故答案为：． 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 1．【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【详解】 解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 2．【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数图象与坐标轴的交点，根据一次函数图象在坐标轴中与轴，轴的交点即可求解一次函数的解析式，解决本题的关键是理解一次函数图象与轴，轴的交点．根据一次函数图象可知，当时，即一次函数图象与轴的交点，由此即可求解． 【详解】 解：根据题意得，当时，一次函数图象与轴的交点是， ∴方程的解是． 故答案是：． 3．【答案】 【分析】 本题考查了利用一次函数的交点解二元一次方程组．将点代入可求得，进而可求解． 【详解】 解：由题意得： 当时，得：， 解得：， 点P的坐标为， 二元一次方程组 即 的解为： ， 故答案为： ． 4．【答案】（1）     （2）；     （3）①，；②或      【分析】 （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）① 先根据题意可得，再求出点A、B的坐标即可； ② 先求出，设，得出，根据，得出，求出t的值，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立 解得 ， 一次函数的“不动点”为； (2) 小问详解： 解：∵一次函数的“不动点”为， ∴， ∴， ∴“不动点”为， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 解：① ∵直线上没有“不动点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∴，； ②， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 5．【答案】（1） 补全表1如下： 补全表2如下：     （2） 函数图象如下： … 0 … … 0 … … 0 1 … … …      （3）两条直线交于点      【分析】 本题考查了画一次函数的图象，一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）在函数中，当时，，当时，，解得，补全表1即可；在函数中，当时，，当时，，补全表2即可； （2）根据（1）中计算的结果画出函数图象即可； （3）根据函数图象即可得解． (1) 小问详解： 解：在函数中，当时，，当时，，解得， 在函数中，当时，，当时，； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：由函数图象可得：两条直线交于点． 6．【答案】（1）     （2）点的坐标为     （3）或.      【分析】 （1）用待定系数法，设直线的表达式为，代入、坐标求解； （2）根据，通过的不同求解方式，建立方程求出点的横坐标，代入表达式列方程求点的坐标； （3）先求出直线的函数表达式，当点在点右侧或右侧时，分别求解． (1) 小问详解： 解：因为点， 所以设直线对应的函数表达式为． 把点代入，得， 所以直线对应的函数表达式为. (2) 小问详解： 因为直线， 所以点， 所以. 因为， 所以. 又因为， 所以，即点的横坐标为． 把代入，得， 所以点的坐标为. (3) 小问详解： 或. 由点，得直线的函数表达式为． 如图1，当点在点右侧时， 将直线沿着轴向上平移6个单位长度，得到直线的函数 表达式为， 此时， 所以， 当时，， 所以点； 如图2，当点在点左侧时，作的中垂线，交于点，交轴于点，连接， 所以， 所以． 设点． 则， 所以， 解得， 所以点． 设直线的函数表达式为． 把点代入，得， 所以， 所以当时，， 所以点． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查一次函数表达式、面积计算与角度条件下的点坐标求解，运用待定系数法、面积割补思想、角相等的坐标转化技巧，解题关键是先求直线表达式，再通过面积列方程求交点，最后利用不同位置角相等的斜率关系找坐标，易错点是面积分割错误或角相等的几何关系转化不当． 7．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，平面直角坐标系的坐标运算，待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点的求解．求出直线、的解析式是解题的关键． 根据勾股定理求出，结合点C和点E关于所在直线对称得出，进而得出点坐标，再求出中点坐标并结合点坐标求出直线解析式，然后再利用点、点坐标求出直线解析式，联立两条直线解析式求出的交点坐标即为点． 【详解】 解：在中，根据勾股定理， 得， 点C和点E关于所在直线对称， 是的垂直平分线 ， 又点E是线段（轴）上一点， ， 的中点坐标为， 设直线的解析式为，将的中点坐标和分别代入， 得到 ， 解得 ， 直线的解析式为． 设直线的解析式为，将，，分别代入， 得到 ， 解得 ， 直线的解析式为． 联立直线与直线的解析式， 得到 ， 解得 ． D点的坐标为． 故答案为：． 考点04 实际问题与一次函数 1．C 2．B 3．C 4．D 5．【答案】蜡烛燃烧前的长度 【分析】 本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的定义，常数项表示当自变量为零时的函数值，即燃烧时间为0时的蜡烛长度． 【详解】 解：在关系式中，令，得， 这表示蜡烛在点燃前（燃烧时间为0时）的长度为，因此15的实际意义是蜡烛的初始长度． 故答案为：蜡烛燃烧前的长度． 6．【答案】（1）； 一次项系数的实际意义：每投入1粒玻璃球，量筒内水面高度上升； 常数项的实际意义：未投入玻璃球时，量筒内水面的初始高度为；     （2） 水面高度与投入小石子数量之间的关系不一定是一次函数关系； 理由如下： ∵投入的小石子体积不一定相同， ∴量筒中水面的升高往往不是均匀的．      【分析】 本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式是解题关键． （1）根据表格数据可知y与x之间的函数关系是一次函数，再利用待定系数法即可得； （2）由题意即可解答． (1) 小问详解： 解：由表格可得，当时，（初始水面高度），每增加5，增加1， 则y与x之间的函数关系是一次函数， 设函数解析式为， 将和代入得， ， 解得 ， ∴函数关系式为 (2) 小问详解： 略 7．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的应用，理解题意并列出一次函数是解决本题的关键． 根据速度与时间的关系，结合表格数据列出一次函数即可求解． 【详解】 解：由表格可知，时间t每增加1秒，速度v增加， ∴v与t成正比例关系，函数表达式为， 当时，代入得：， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的应用，将，，代入，得关于k的方程，解方程即可． 【详解】 解：将，，代入得： ， 解得， 故答案为：． 9．【答案】（1）；表示每秒汽车速度减少．表示开始刹车时，汽车的速度为．     （2）这辆汽车从开始刹车到停止所需的时间为      【分析】 本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式，表示每秒汽车速度的变化量，表示开始刹车时，汽车的速度； （2）求出时的值 即 可． (1) 小问详解： 解：将点，代入得 ， 解得 ， 与之间的关系式为， 表示每秒汽车速度减少，表示开始刹车时，汽车的速度为； (2) 小问详解： 由题可知，当汽车停止时，， 即， 解得， 答：这辆汽车从开始刹车到停止所需的时间为． 10．【答案】任务1： ；任务2：91元；任务3：240度； 【分析】 本题考查了分段函数． 任务1：分情况列出关系式即可； 任务2：用电量180度，在第二档，将代入计算即可； 任务3：先求出用电量在第二档，进而根据列方程计算即可． 【详解】 解：任务1：当时，， 当时，，即， 当时，，即， 任务2：， ∴当时，（元） 答：小迪同学家8月的电费91元． 任务3：当时，， 当时，， ， ． 当时，． ． 答：该户10月的用电量为240度． 11．【答案】任务1：A款燃油车每公里油费元，B款新能源车每公里的电费元 任务2：， 任务3：每年行驶里程1万公里时，购买A款燃油车和B款新能源车费用相等 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次方程的应用． 任务1：设款燃油车每公里油费元，款新能源车每公里的电费元，根据题意列方程组求解即可； 任务2：根据题意列一次函数即可； 任务3：由题意列方程求解即可． 【详解】 解：任务1：设款燃油车每公里油费元，款新能源车每公里的电费元，根据题意得， ， 解得， ． 答：A款燃油车每公里油费元，B款新能源车每公里的电费元． 任务2： 即． ， 即． 答：，． 任务3：由题意得，， 解得，． 答：每年行驶里程1万公里时，购买A款燃油车和B款新能源车费用相等． 12．【答案】（1）；     （2）元     （3）千瓦时      【分析】 本题主要考查一次函数的应用． （1）根据题意分别列出两个函数关系式即可； （2）根据题意将其代入（1）中第二个函数关系式即可； （3）根据题意得出用电量超过了千瓦时，然后代入（1）中第二个函数关系式即可；理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． (1) 小问详解： 解：当时，与的函数关系式为； 当时，与的函数关系式为，即． 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：， （元） 答：他家十月份应交电费元． (3) 小问详解： 解：当时，（元） ， 小明家十月份的用电量超过了千瓦时． 把代入中，得． 答；他家十月份用电千瓦时． 13．【答案】（1）     （2）     （3）二      【分析】 本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图象可知1000个盒子共花费600元，据此可以求出盒子的单价； （2）根据图象经过的点的坐标用待定系数法求得函数的解析式即可； （3）求出当时，两种方案能够准备包装盒的数量，比较即可解答． (1) 小问详解： 解：由图象得：（元）， 方案一的盒子单价为元； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设图象的函数解析式为：， 由图象知函数经过点， ， 解得， 函数的解析式为； (3) 小问详解： 解：设图象的函数解析式为：， 由图象知函数经过点， ， 解得， 函数的解析式为； 令， 解得， 令， 解得， ∵， 选择方案二能够准备的数量更多一些． 故答案为：二． 14．【答案】（1）；     （2）     （3）存在，点P的坐标为、、、      【分析】 本题考查了一次函数的表达式求解、函数交点坐标确定、三角形面积计算及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是将点坐标代入函数式求表达式，利用割补法（初中常用）计算三角形面积，分情况讨论等腰三角形的边长关系． （1）的将点A的横坐标代入直线的解析式求纵坐标，再将点A坐标代入直线的解析式求，得到的表达式； （2）的求出点B、C的坐标，用割补法（结合直角三角形、梯形面积）计算的面积； （3）的设点P的坐标，分、、三种情况，结合距离公式列方程求解． (1) 小问详解： 解：将代入，得，故点A的坐标为 将代入，得，解得，故直线的表达式为 故答案为：；. (2) 小问详解： 解：对于直线，令，则，解得，故， 对于直线，令，则，故． 过点作轴于，则：，，，，， ， 梯形的面积， ， 故， 答：； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： 设，由、，得，，． 分三种情况： ① 当时，，解得，得、； ② 当时，，解得（为点B，舍去），得； ③ 当时，，平方得，得． 故点P的坐标为、、、． 15．【答案】（1）点的坐标为，     （2）不正确；     （3）存在，点的坐标为或      【分析】 本题考查了勾股定理，一次函数的应用，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理并结合题意可得，从而即可得出点的坐标为，点的坐标为，即可得解； （2）求出直线的解析式为，再求出当时，，即可得解； （3）由的面积等于面积的3倍得出，即可得解． (1) 小问详解： 解：由勾股定理得，， 由题意知，， 点的坐标为，点的坐标为， ∴； (2) 小问详解： 解：小文的观点不正确， 理由如下： 将点的坐标为代入可得：， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， 为直线的一点，为无理点， ∴小文的观点不正确； (3) 小问详解： 解：的面积等于面积的3倍， ， ∵在y轴上存在点，， ∴， ∴点的坐标为或． 16．【答案】（1）将表格补充完整： （2）； （3）50根 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.2 3.4 6.6 9.8 13 【分析】 本题考查了一次函数的应用，正确得出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）求出当有3根立柱和当有5根立柱时护栏的总长度，即可补全表格； （2）根据表格并结合题意即可得出y与x之间的关系式； （3）求出当时的的值即可得解． 【详解】 解：（1）当有3根立柱时，（米）， 当有5根立柱时，（米）： （2）根据题意得：与之间的关系式为：； （3）当时，， 解待：， 即护栏总长度为157米时立柱的根数为50根． 17．【答案】（1）；每吨销售收入是元     （2）；每吨销售成本是元     （3）如果该公司要盈利1000元，销售量要达到6吨．      【分析】 本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是正确理解和把握题目中隐含的数量关系，熟练掌握待定系数法求出函数解析式． （1）利用待定系数法求的函数关系式即可； （2）利用待定系数法求的函数关系式即可； （3）根据“盈利=销售收入-销售成本”列式计算即可． (1) 小问详解： 解：设， 由函数图象得：过点，则， 解得：， ∴； 表示的实际意义是：每吨销售收入是元； 故答案为：；每吨销售收入是元； (2) 小问详解： 解：设， 由函数图象得：过点，，则 ， 解得： ， ∴； 表示的实际意义是：每吨销售成本是元； 故答案为：；每吨销售成本是元； (3) 小问详解： 解：由题意得：，即， 解得：， 答：如果该公司要盈利1000元，销售量要达到6吨． 18．【答案】（1）；     （2）15.8元     （3）13立方米      【分析】 本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，建立函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费标准列出函数关系式即可； （2）根据（1）所求关系式代入求解即可； （3）先判断该户这月用水量大于8吨，然后把代入（1）所求式子求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：当时，； 当时，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：因为，所以． 所以当用水量为10立方米时，应缴水费15.8元． (3) 小问详解： 解：因为， 所以该用户这个月的用水量超过了8立方米． 所以， 解得． 所以该户这个月的用水量为13立方米． 19．【答案】（1）     （2）1040元     （3）      【分析】 本题考查了一次函数的应用，正确掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合列出寒素解析式即可． （2）结合（1），得当时，，故代入进行计算，即可作答． （3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，当时，； (2) 小问详解： 解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； (3) 小问详解： 解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户这一年的用水量是． 20．【答案】（1），     （2），；     （3）选择方案更划算.      【分析】 本题考查的是一次函数的实际应用. （1）直接根据图象可得答案. （2）直接利用待定系数法求解一次函数解析式即可. （3）把代入函数解析式求解的值，再计算即可. (1) 小问详解： 解：办理服务卡的费用为元，办理服务卡后每份敬老套餐的费用为（元）. (2) 小问详解： 解：设与x的函数关系式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴， 设与x的函数关系式为， ∵过点， ∴ ，解得： ， ∴. (3) 小问详解： 解：当时， ∴， 解得：， 当， 解得：， ∵， ∴选择方案更划算. 21．【答案】（1）与的函数关系式为（）     （2）该户这一年的用气费为1213元     （3）该户去年一年的用气量为410      【分析】 本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第二档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用气量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用气量处于第二档，由分段函数的计算方法列式求解即可． (1) 小问详解： 解：由表格可知，当时， 所以与的函数关系式为（）； (2) 小问详解： 解：， ∴按第二档计费， 当时，代入式中， 可得： 答：该户这一年的用气费为1213元； (3) 小问详解： 解：当时， （元）， 当时， （元） ， ∴当用气费是1246.7元时，按第二档计费 当时， 解得： 答：该户去年一年的用气量为410． 22．【答案】（1）；（2）；（3）① 当的坐标为时，的面积是1；② 存在点使是直角三角形．点坐标， 【分析】 （1）求出点B的坐标，然后将点B的坐标代入解析式中即可求出结论； （2）根据点A在直线上即可用x表示出点A的纵坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出结论； （3）① 将S=1代入（2）的解析式中即可求出结论； ② 设点，根据直角三角形的直角的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质即可分别求出结论． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴直线解析式为， ∵点是第一象限内的直线上的一个动点， ∴， ∴． （3）① 如图，由（2）知，， ∵的面积是l， ∴， ∴， ∴当的坐标为时，的面积是1． ② 存在点使是直角三角形．点坐标，． 理由如下：设点，如图， 当时，轴，此时与点横坐标相同， ∴， ∴． 当时， ∵ ∴为等腰三角形 ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即满足条件的所有点坐标为，． 【点睛】 此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质是解题关键． 23．【答案】（1）“追风”提速前的速度是，提速后的速度是，的值为，的值为100s．     （2）“闪电”行走的路程，“追风”行走的路程 ；     （3）的取值可以为或或或．      【分析】 本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，能够从函数图象中提取信息是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）“闪电”始终保持匀速前进，故，然后对“追风”的运动过程分时段进行分析，得到函数解析试即可； （3）分四个时间段当时，当时，当时，当时，逐一分析列出方程即可． (1) 小问详解： 解：由图象可知，“追风”提速前的速度为：， 故提速后的速度为：， ∴m的值为：， 故“闪电”的速度为：， ∴n的值为：； (2) 小问详解： 解：∵“闪电”首先从甲地出发，并始终保持匀速前进， ∴，且到达终点所用的时间为： 当时，“追风”在原地不动，此时， 当时，“追风”的速度为，此时， 当时，“追风”的速度为，此时， 当“追风”到达终点时，，得到， ∴“闪电”行走的路程， “追风”行走的路程 ； (3) 小问详解： 解：由题意得： 当时，，故，， 当时，，故，，不合题意舍去； 当时，相遇前“闪电”在前面，相遇后“追风”在前面，故， ∴或， 解得：或， 当时，在“追风”已经到达乙地，不在运动，此时“闪电”运动继续向前运动，当“闪电”距离终点10米时，即为“闪电”和“追风”之间的距离为10米， ∴，解得， ∴综上，的取值可以为或或或． 24．【答案】（1），     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）在中，当时，算出的值，即可得到点B的坐标；当时，算出的值，即可得到点A的坐标. （2）设直线的表达式，把和代入，再进一步求解即可. （3）根据列函数关系式即可. （4）如图，过作交于点，过作轴于，证明，可得，设直线的解析式为，把，代入，再进一步求解即可. (1) 小问详解： 解：依题意， 当时，则， 所以， 当时，则， 解得， ∴. (2) 小问详解： 解：设直线的表达式， 把和代入，得 ， 解得 ， ∴直线的表达式为. (3) 小问详解： 解：∵在线段上有一动点且D不与A、C重合，， ∴. (4) 小问详解： 解：如图，过作交于点，过作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 得 ， 解得 ， 故直线的解析式为． 【点睛】 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，列函数关系式，掌握以上基础知识是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数 4大高频考点概览 考点01 一次函数的概念 考点02 一次函数的图象和性质 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 考点04 实际问题与一次函数 考点01 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）下列表格是变量与函数的部分对应值，其中属于一次函数的是（     ） A.  B. … C. 1 D. 2 E. 3 F. 4 G. 5 H. … I.  J. … K. 1 L. 4 M. 9 N. 16 O. 25 P. … B.  A.  B. … C. 1 D. 2 E. 3 F. 4 G. 5 H.  I. … J. 1 K. 3 L. 5 M. 7 N. 9 C.  A.  B. … C. 1 D. 2 E. 3 F. 4 G. 5 H. … I.  J. … K. 1 L.  M.  N.  O.  P. … D.  A.  B. … C. 1 D. 2 E. 3 F. 4 G. 5 H. y I. … J. 1 K. 3 L. 6 M. 10 N. 15 2．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是一次函数关系的是（     ） A. 在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行，一般地，其中x表示刹车前汽车的速度（单位：） B. 周长为的长方形，其面积与该长方形的一边长之间的关系 C. 计划修建铁路1200千米，铺轨天数y（天）与每日铺轨量x（千米）之间的关系 D. 声音在空气中的传播速度约为，声音在空气中的传播距离与传播时间之间的关系 3．（25-26学年八上·山西期中学·期中）小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错了，试在下表中找出这个算错的函数值（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）下列函数中，是的一次函数的是(　　) A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·山西晋中·期中）下列四个等式中，是的一次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山西太原·期中）下列表格所反映的函数关系中，y是x的一次函数的为（     ） A.  B. … C.  D.  E.  F.  G.  H. … I.  J. … K.  L.  M.  N.  O.  P. … B.  A. x B. … C.  D.  E. 0 F. 1 G. 2 H. … I. y J. … K. 4 L. 1 M. 0 N. 1 O. 4 P. … C.  A. x B. … C.  D.  E.  F. 1 G. 2 H. 3 I. … J. y K. … L. 4 M. 6 N. 12 O.  P.  Q.  R. … D.  A. x B. … C.  D.  E. 0 F. 1 G. 2 H. … I. y J. … K.  L.  M. 0 N. 1 O. 8 P. … 考点02 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）已知 是一次函数的图象上的两个点，则 的大小关系是（　　） A.     B.     C.  D. 不能确定 2．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）已知正比例函数的图象经过点，则a的值为（       ） A. 3 B. 4 C. 1 D.  3．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）下列关于一次函数的说法中，正确的是（       ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. 图象与x轴交于负半轴 C. 图象与y轴的交点坐标是 D. y的值随x值的增大而增大 4．（25-26学年八上·山西太原·期中）已知正比例函数，当时，对应的函数值为（     ） A. 25 B. 10 C. 1 D.  5．（25-26学年八上·山西太原·期中）下列一次函数中，随着值的增大，的值增大速度最快的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·山西运城·二模）已知点，在一次函数的图象上，且，则和的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·山西运城·二模）为鼓励青少年参与科技创新，某市举办了“科创”比赛．活动小组统计了宣传天数x（天）和报名参赛的人数y（人），得到如下几组对应数据： /天 1 3 5 7 9 /人 12 20 28 36 44 由表中数据可知，y与x的函数关系式为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9．（25-26学年八上·山西期中学·期中）一次函数，当，时，它的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·山西期中学·期中）点都在直线上，则的关系为（　　） A.  B.  C.  D. 无法确定 11．（25-26学年八上·山西期中学·期中）把的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是(　　) A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）已知一次函数，随着的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·山西晋中·期中）下列描述一次函数的图像及性质错误的是（     ） A. y随x的增大而减小 B. 直线与x轴交点坐标是 C. 直线经过一、二、四象限 D. 当时， 14．（25-26学年八上·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中；若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·山西运城·期中）已知点，都在直线上，则，大小关系是（       ） A.  B.  C.  D. 不能比较 16．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（       ） A. 函数必经过点（﹣2，1） B. y随x的值增大而增大 C. 与x轴交于（，0） D. 图象经过第一、二、三象限 17．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（2026·山西运城·二模）下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（       ） A. 直线与y轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 与坐标轴围成的三角形面积为6 D. 直线过点 19．（2026·山西运城·二模）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）全世界大部分国家都采用摄氏温标表示温度，但也有部分国家采用华氏温标．因此，一般温度计上都同时标注了摄氏温度和华氏温度（如图）．小明观察温度计，发现华氏温度y（单位：）是摄氏温度x（单位：）的一次函数，并据此列出了表格．同桌小亮发现下表中有一个函数值写错了，这个错误的函数值是（     ） 20 25 30 35 67 77 86 95 A. 20 B. 67 C. 77 D. 86 21．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）在下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中为常数，且）的大致图象，其中不正确的是（       ） A.      B.      C.      D.      22．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）对于一次函数，下列判断错误的是（       ） A. 该函数的图象经过第二、三、四象限 B. 该函数的图象中随的增大而减小 C. 自变量的值每增加1，函数的值减小2 D. 该函数的图象与轴交于点 23．（25-26学年八上·山西运城·期中）已知点P（m，n）在第二象限，则直线y=nx＋m图象大致是下列的（　　　） A.  B.  C.  D.  24．（2026·山西运城·二模）已知如下三个正比例函数：，，． （1）对于函数，当时，．请求出k的值并写出时的值； （2）写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质． 25．（2026·山西运城·二模）将一次函数的图象沿轴向上平移8个单位长度，所得直线的函数解析式为　　　　　　　　． 26．（2026·山西运城·二模）已知正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）若点和是一次函数图象上的两点，则m与n的大小关系为m　　　　　　　　n．（填“”“ ”或“=”） 28．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）图中直线对应的函数表达式为　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）已知点在正比例函数的图象上，若点也在这个正比例函数的图象上，且，则和的大小关系是　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）已知点在正比例函数的图象上，则的值为　　　　　　． 31．（25-26学年八上·山西太原·期中）在如图的平面直角坐标系中，直接画出一次函数的图象． 32．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）请写出一个经过点，且随的增大而增大的一次函数表达式：　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·山西期中学·期中）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式-利用函数图象研究的性质-运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数性质的部分过程，请按要求解决下列问题． x ··· 0 1 2 3 4 ··· y ··· m 0 2 n ··· （1）根据如表信息，直接写出___________； ___________； （2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象； （3）判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡相应的横线上打“√”，错误的在答题卡相应的横线上打“×” ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．___________ ②y随x的增大而减小．___________ （4）根据函数图象填空： ①方程的解是___________； ②方程有        个解； ③若关于n的方程无解，则k的取值范围是___________. 34．（25-26学年八上·山西期中学·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价／(元／） 第一档 3 第二档 5 第三档 6 （1）当时，写出水费y(单位：元)与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1130元，求该户去年一年的用水量． 35．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图像与性质之间的关系图像与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图像的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法.例如，在研究正比例函数的图像与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图像几何特征，分析如下： 图像 图像的几何特征 函数的数量特征     图像经过① 由表达式可知，当时，； 图像经过第②象限 因为，且，所以当时，，当时，③，即当时，，同号； 从左往右图像是上升趋势 设点，是该函数图像上的点（其中），所以，，因为，所以，所以，所以，所以，所以，的值随值的增大而④. …… …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图像与性质…… 任务： （1）上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_____________；②_____________；③_____________；④_____________． （2）如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图像．请你帮他写出该函数图象的一条几何特征，及相应函数的数量特征（注：不同水平的答案，得分不同） 图像 图像的几何特征 函数的数量特征     图像 图像的几何特征 函数的数量特征 图像经过原点 由表达式可知，当时，； 图像经过第三、四象限 因为，当，，当时，，即当时，始终为负数． 在第三象限，图像从左往右是上升趋势 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以，的值随值的增大而增大． 在第四象限，图像从左往右是下降趋势 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以，的值随值的增大而减小． 图像关于轴对称 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以，，因为，所以，则，所以，即． 图像 图像的几何特征 函数的数量特征 图像经过原点 由表达式可知，当时，； 图像经过第一、三象限 因为，且，所以当时，，当时，，即当时，，同号； 从左往右图像是上升趋势 设点，是该函数图像上的点（其中），所以，，因为，所以，所以，所以，所以，所以，的值随值的增大而增大． …… …… 36．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为　　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到．将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象．①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线：     （1）请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； （2）根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． （3）若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … 38．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）通过一次函数的学习，我们知道，表示函数的方法一般有三种：列表法、图象法和关系式法．下面两个表格中分别给出了一个函数的一种表示方式，请你按要求完成任务： （1）任务一：请根据表格画出该一次函数图象，并写出它的关系式； 列表法 图象法 关系式 ______ （2）任务二：请根据关系式填表、画图象，并写出这个函数图象的一个特征和随变化情况的一个结论． 关系式 列表法 图象法 图象特征 ______ 变化情况 ______ 0 1 2 3 2 0 0 2 39．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时，　　　　　　． 40．（25-26学年八上·山西晋中·期中）我们学习一次函数时，通过“列表—描点—连线”的方法绘制出一次函数图像．进而根据一次函数图像研究其性质．这一探究过程，从数据整理到图形呈现，使我们能够直观把握函数的变化趋势与核心特征，进而深入分析其性质． 探究小组运用此方法对未知函数进行探究． 函数的图象和性质，并解决问题． （1）根据表达式，写出表格中m，n的值：______，______； x … 0 1 2 3 … y … m 3 2 1 n 3 4 … （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）观察函数图象并写出一条函数的性质． 41．（25-26学年八上·山西晋中·期中）项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 研究步骤： ①取一桶桶装水，打开置于空气中； ②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； ③数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数/天 0 1 2 3 4 … 菌落总数/ 15 20 25 30 35 … 问题解决： （1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数（），将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线； （2）观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（）与试验天数（）之间的函数关系式； （3）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 42．（2026·山西运城·二模）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． （1）求直线函数表达式； （2）如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值； （3）在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 43．（25-26学年八上·山西太原·期中）下面是小涵学习《一次函数》之后的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务 数形结合探究函数的性质通过一次函数的学习，我们知道从表达式的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数时，分析如下： 图象的几何特征 表达式的数量特征 正比例函数     图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第①象限 因为，当时，，即；当时，，即．所以，当时，x与y的取值同为正数或②． 从左往右图象为上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）．所以，，，因为，所以，．因为，即，所以，y的值随x值的增大而③． 学习平方根时，我们还知道：对于任意给定的非负数x，都能确定它的算术平方根y的值．我尝试用函数的观点研究y与x的关系，过程如下：第一步：写出y与x之间的函数表达式为；第二步：画出函数的图象，如图；    第三步：类比研究正比例函数的方法，分析函数的性质，…… 任务： （1）补全材料中横线上空缺的内容：①        ；②        ；③        ； （2）由以上探究，写出函数图象的一个几何特征，并用相应的表达式的数量特征解释； 图象的几何特征 表达式的数量特征 （3）若点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是        （用“”、“”或“”连接）． 图象的几何特征 表达式的数量特征 图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第一象限 因为，当时，，即．所以当时，x与y的取值同为正数． 从左往右图象是上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）．所以，，，因为，所以，所以．因为，即，所以，y的值随x值的增大而增大． 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为　　　　　． 2．（25-26学年八上·山西晋中·期中）一次函数图象如图所示，那么方程的解是　　　　　　． 3．（2026·山西运城·二模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的二元一次方程组 的解是　　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为________； （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 5．（25-26学年八上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中画出一次函数和的图象． （1）补充完成下列表格： 函数列表1 … 0 ▲ … … ▲ 0 … 函数列表2 … 0 1 … … ▲ ▲ … （2）在下图中画出两个一次函数的图象； （3）请根据图象，写出关于两个函数图象关系的一个结论． … 0 … … 0 … … 0 1 … … … 6．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线相交于点，交轴交于点． （1）求直线对应的函数表达式． （2）若四边形的面积为，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，连接，为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 7．（25-26学年八上·山西运城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为　　　　　　　　． 考点04 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据，当时间为时，对应的高度为（     ） … 0 1 2 … … 2 … A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山西运城·期中）某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 若本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为克时的时间是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·山西运城·二模）已知蜡烛点燃后剩余的蜡烛长度（单位：cm）与燃烧时间（单位：min）之间的关系式为，则15的实际意义是　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）在《乌鸦喝水》的寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投放小石子，随着小石子数量的增加水面随之升高．勤学小组的同学们利用量筒和相同大小的玻璃球进行了模拟实验，研究了量筒中水面高度与投入玻璃球数量之间的变化关系． 根据实验结果得到以下数据： 投入玻璃球数量x/粒 0 5 10 15 20 水面高度y/ 10 11 12 13 14 （1）当量筒内投入的玻璃球均能被水淹没且水未溢出时，写出y与x之间的关系式，并指出其中一次项系数k和常数项b的实际意义； （2）寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投放小石子（投入的小石子均能被水淹没且水未溢出），水面高度与投入小石子数量之间的关系是一次函数关系吗？为什么？ 7．（25-26学年八上·山西晋中·期中）神舟二十一号火箭在发射升空过程中，在最初的一段飞行阶段，火箭的速度随时间均匀变化．此阶段火箭的速度v与时间t关系见下表： 发射时间 2 3 4 … 8 火箭速度 100 150 200 … 400 火箭发射后第10秒时火箭的速度是　　　　　　． 8．（25-26学年八上·山西太原·期中）标有刻度的线香在古代主要用于计时，通常被称为“更香”或“计时香”，其原理是基于线香燃烧速度的相对稳定性，根据香燃烧的长度来估算时间．已知某型号线香燃烧过程中剩余长度与燃烧时间t（分）满足一次函数，其中线香初始长度．若燃烧30分钟时，线香剩余，则k的值为　　　　　． 9．（25-26学年八上·山西太原·期中）在一次测试中，某汽车紧急刹车后，速度与刹车时间之间的关系如下表所示． 根据表中数据，与之间的关系式为． （1）直接写出与之间的关系式，并说明和的实际意义； （2）求这辆汽车从开始刹车到停止所需的时间． 10．（2026·山西运城·二模）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下：第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度．第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度．第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 11．（2026·山西运城·二模）请根据以下素材，探索完成任务． 购车选择方案一新能源车与燃油车的多维度分析 素材1 随着汽车市场品类日益丰富，新能源与燃油车的选择交织着政策导向、全周期成本、使用场景等多重因素，小明家在购车决策中因信息繁杂、维度多元陷入两难困境．为此，小明和爸爸妈妈针对性地开展了专项调查研究．对市场上配置相近的A款燃油车和B款新能源车做对比调查，并结合自己家的预算，得到有关数据如下： 购车费用/万元 购置税/万元 年均保养费用/万元 年均保险费用/万元 预计10年后的车价/万元 A款燃油车 16 B款新能源车 20 0 素材2 总费用（以使用10年为例）=购车费用-预计10年后的车价+购置税+保养费用+保险费用+油费或电费 素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多元，且每公里燃油车的油费是新能源车的电费的3倍 问题解决 任务1 A款燃油车每公里油费是多少元？B款新能源车每公里电费是多少元？ 任务2 设平均每年的行驶路程为x万公里，A款燃油车使用10年的总费用为万元，B款新能源车使用10年的总费用为万元，分别求出和关于x的表达式． 任务3 每年行驶里程为多少万公里时，购买A款燃油车和B款新能源车费用相等．（以使用10年为例） 12．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）某市居民用电收费采用分段计费，计费方式如表所示： 月用电量 每月用电不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时，不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时的部分 计费单价 元/千瓦时 元/千瓦时 元/千瓦时 设每月用电量为千瓦时，应交电费元． （1）当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________；当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________． （2）小新家十月份的用电量为千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． （3）小明家十月份交电费元，求他家十月份用电多少千瓦时． 13．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）欢乐购物节临近，某电商紧急备货，但目前缺少大量A型号包装盒（如图），该电商调研发现这种A型号包装盒的来源有两种方案可供选择． 方案一：从纸箱厂直接订购这种包装盒，购买费用（单位：元）与数量x（单位：个）之间的关系如图所示． 方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种包装盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）（单位：元）与数量x（单位：个）之间的关系如图所示． 请根据图象回答下列问题： （1）方案一中这种A型号包装盒的单价为________元； （2）请求出方案二中与x的函数关系式； （3）如果该电商计划用2400元准备这种A型号包装盒，那么选择方案________（选填“一”或“二”）能够准备的数量更多一些． 14．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图，直线与直线交于点A，点A的横坐标为，且直线与x轴相交于点B，与y轴交于点D，直线与y轴交于点C． （1）请直接写出点A的坐标___________及直线的表达式___________ （2）连接，求； （3）在x轴上是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）阅读与思考阅读下列材料，完成相应的任务 有理点与无理点平面直角坐标系是重要的数学工具，借助坐标系，可以将“数”这一代数对象赋予“点”的几何特征．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标都是有理数，则称这个点为“有理点”：如果一个点的横、纵坐标中至少有一个是无理数，则称这个点为“无理点”如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点O为圆心，的长为半径画弧，与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点B，C，作直线．易知图中点A是“有理点”，点B、C都是“无理点”． 任务： （1）求点B的坐标，若直线的表达式为，直接写出b的值； （2）小文认为直线上除B，C两点外的其余各点都是“有理点”．请你判断他的观点是否正确，若不正确，请写出其中一个“无理点”的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q，使的面积等于面积的3倍？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 16．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）综合与探究 问题情境：某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米．立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.2 3.4 9.8 初步探究： （1）根据如图所示，将表格补充完整； 深入探究： （2）设有x根立柱，护栏总长度为y米，求y与x之间的关系式； （3）求护栏总长度为157米时立柱的根数． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.2 3.4 6.6 9.8 13 17．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）如图，反映了某公司产品的销售收入（元）与销售量的关系，反映了该公司产品的销售成本（元）与销售量的关系，根据图象回答下列问题： （1）写出与之间的关系式：_______，表示的实际意义是：_______ （2）写出与之间的关系式：_______，表示的实际意义是：_______ （3）该公司要想获利1000元，销售量要达到多少吨？ 18．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）为节约用水，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． （1）当时，y与x之间的函数关系式为______，当时，y与x之间的函数关系式为______； （2）该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； （3）该市一户某月缴水费23.9元，求该户这个月的用水量． 19．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）为引导居民节约用水，某县出台了城镇居民用水阶梯水价制度（如下表）．每年水费的计算方法：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量． 阶梯 用户年用水量 水价（元） 第一阶梯 5 第二阶梯 7 第三阶梯 9 （1）当时，求出水费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，求该同学家这一年的用水量． 20．（25-26学年八上·山西晋中·期中）家门口的“暖心食堂”正成为越来越多社区的风景线．许多长者在此不仅能享用营养餐食，还能参与棋牌、手工等康乐活动，让社区成为兼具膳食与陪伴功能的温暖港湾． 为使老年人就餐更实惠，春风社区食堂针对敬老套餐推出两种优惠方案，具体如下： 方案1：不办理服务卡，每份套餐原价出售； 方案2：办理服务卡，则每份套餐在原价的基础上打七五折； 方案1所需费用（单位：元），方案2所需费用（单位：元）与每月购买敬老套餐数量x（单位：份）之间的函数关系如图所示． （1）办理服务卡的费用为______元，办理服务卡后每份敬老套餐的费用为______元． （2）请直接写出方案1和方案2的函数关系式； （3）若张奶奶每个月在食堂的花费为600元，则选择哪种方案更划算？说明理由． 21．（25-26学年八上·山西运城·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.92 第二档 3.37 第三档 4.05 （1）当时，写出用气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； （3）某户去年一年的用气费是1246.7元，求该户去年一年的用气量． 22．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）综合与探究： 如图，直线与轴，轴分别交于两点，其中． （1）求的值； （2）若点是直线上的一个动点，当点仅在第一象限内运动时，试写出的面积与的函数关系式； （3）探索：①在（2）条件下，当点运动到什么位置时，的面积是1； ②在①成立的情况下，已知，在轴上是否存在一点，使是直角三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2026·山西运城·二模）我国人工智能的发展处于全球领先梯队，目前已形成“巨头引领、新锐崛起、垂直深耕”的多元化格局，在技术、产业、应用等多个领域均取得了显著成果．图1展示了宇树科技研发的两款机器狗“闪电”和“追风”，它们从训练基地甲地出发，沿同一直线前往相距500米的乙地执行任务．“闪电”首先从甲地出发，并始终保持匀速前进；而“追风”在“闪电”出发时仍在甲地保持原地不动，待“闪电”出发一段时间后才开始出发，并在行进过程中将速度提升至原来的2倍．已知“追风”到达乙地后，会在原地等待“闪电”到达．“闪电”行走的路程（米）、“追风”行走的路程（米）与“闪电”行走的时间t（秒）之间的函数关系图象如图2． （1）求“追风”提速前的速度及提速后的速度及m，n的值； （2）求两只机器狗行走的路程与“闪电”行走的时间t的函数解析式； （3）直接写出“闪电”和“追风”之间的距离为10米时t的值． 24．（25-26学年八上·山西晋中·期中）如图1，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标． （2）如图2，若直线与直线交于点A，且过点，求直线的解析式． （3）在（2）的条件下，若在线段上有一动点且D不与A、C重合，连接，试求的面积S关于a的函数解析式． （4）如图3，过点B将顺时针旋转得到直线，直接写出直线的解析式． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数 4大高频考点概览 考点01 一次函数的概念 考点02 一次函数的图象和性质 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 考点04 实际问题与一次函数 考点01 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）下列表格是变量与函数的部分对应值，其中属于一次函数的是（     ） A.  B. … C. 1 D. 2 E. 3 F. 4 G. 5 H. … I.  J. … K. 1 L. 4 M. 9 N. 16 O. 25 P. … B.  A.  B. … C. 1 D. 2 E. 3 F. 4 G. 5 H.  I. … J. 1 K. 3 L. 5 M. 7 N. 9 C.  A.  B. … C. 1 D. 2 E. 3 F. 4 G. 5 H. … I.  J. … K. 1 L.  M.  N.  O.  P. … D.  A.  B. … C. 1 D. 2 E. 3 F. 4 G. 5 H. y I. … J. 1 K. 3 L. 6 M. 10 N. 15 【答案】B 【分析】 该题考查了次函数的定义，一次函数的形式为（），其本质特征是随的变化率恒定，即当自变量的取值间隔相同时，对应的函数值的差值也为一个常数. 【详解】 解：x取值1，2，3，4，5时， A、y值分别为1，4，9，16，25，差值为3，5，7，9，不恒定，不符合一次函数定义； B、y对应为1，3，5，7，9． ∵ 相邻y值之差：，，，， ∴ 差值恒为2，符合一次函数定义． C、y值分别为，差值不恒定，不符合一次函数定义； D、y值分别为1，3，6，10，15，差值为2，3，4，5，不恒定，不符合一次函数定义． 故只有选项B为一次函数． 故选：B， 2．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是一次函数关系的是（     ） A. 在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行，一般地，其中x表示刹车前汽车的速度（单位：） B. 周长为的长方形，其面积与该长方形的一边长之间的关系 C. 计划修建铁路1200千米，铺轨天数y（天）与每日铺轨量x（千米）之间的关系 D. 声音在空气中的传播速度约为，声音在空气中的传播距离与传播时间之间的关系 【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握形如的函数是一次函数，是解题的关键．根据一次函数包括一般地的一次函数和正比例函数，计算判断即可． 【详解】 解：A.，不是一次函数，不符合题意； B. 根据题意得，长方形的另一边长为， 故，不是一次函数，不符合题意； C. 根据题意得，，不是一次函数，不符合题意； D. 根据题意得，，是一次函数，符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年八上·山西期中学·期中）小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错了，试在下表中找出这个算错的函数值（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的函数值变化是均匀的即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：由表格数据可知，后三对数据中，的值每增加，函数值增加，而第一对到第二对数据，的值增加，函数值增加， ∵一次函数的函数值变化是均匀的， ∴这个算错的函数值是第一组， 故选：． 4．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）下列函数中，是的一次函数的是(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】 解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 5．（25-26学年八上·山西晋中·期中）下列四个等式中，是的一次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】 A、，的最高次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、，解出，不是函数关系，故此选项不符合题意； C、，形式为，其中，是一次函数，故此选项符合题意； D、，和未指定为常数且，因此不一定是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．（25-26学年八上·山西太原·期中）下列表格所反映的函数关系中，y是x的一次函数的为（     ） A.  B. … C.  D.  E.  F.  G.  H. … I.  J. … K.  L.  M.  N.  O.  P. … B.  A. x B. … C.  D.  E. 0 F. 1 G. 2 H. … I. y J. … K. 4 L. 1 M. 0 N. 1 O. 4 P. … C.  A. x B. … C.  D.  E.  F. 1 G. 2 H. 3 I. … J. y K. … L. 4 M. 6 N. 12 O.  P.  Q.  R. … D.  A. x B. … C.  D.  E. 0 F. 1 G. 2 H. … I. y J. … K.  L.  M. 0 N. 1 O. 8 P. … 【答案】A 【分析】 本题考查一次函数的判断． 根据一次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】 解：A、y随着x的增大而减小，且自变量每增加1，函数值减小3，均匀变化，是一次函数，符合题意； B、y随着x的增大先减小后增大，不是一次函数，不符合题意； C、y随着x的增大先增大后减小再增大，不是一次函数，不符合题意； D、y随着x的增大而增大，但变化不均匀，不是一次函数，不符合题意； 故选：A． 考点02 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）已知 是一次函数的图象上的两个点，则 的大小关系是（　　） A.     B.     C.  D. 不能确定 【答案】B 【分析】 根据一次函数的性质进行判断即可； 【详解】 解： ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴ ； 故选B． 【点睛】 本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）已知正比例函数的图象经过点，则a的值为（       ） A. 3 B. 4 C. 1 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查正比例函数的图象与性质，由点A在函数图象上，直接代入解析式求值． 【详解】 解：∵在函数的图象上， ∴ 故选：B． 3．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）下列关于一次函数的说法中，正确的是（       ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. 图象与x轴交于负半轴 C. 图象与y轴的交点坐标是 D. y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数的图象性质，根据一次函数的图象即可根据图象直接判断各选项． 【详解】 解：A：对于， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴其图象与y轴交于负半轴， 综上，该一次函数图象过图象经过第一、三、四象限，故A错误； B：令，则，解得， ∴一次函数图象与x轴交于正半轴，故B错误； C：令，则，则一次函数图象与y轴交于，故C错误； D：∵， ∴y的值随x值的增大而增大，故D正确； 故选：D． 4．（25-26学年八上·山西太原·期中）已知正比例函数，当时，对应的函数值为（     ） A. 25 B. 10 C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了求正比例函数的函数值．直接把代入到中进行求解即可． 【详解】 解：在中，当时，， 故选：A． 5．（25-26学年八上·山西太原·期中）下列一次函数中，随着值的增大，的值增大速度最快的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的性质，一次函数中，时，越大，随增大越快，比较各选项斜率即可． 【详解】 解：一次函数中，时，越大，随增大越快， 选项D的，故的值增大速度最快， 故选：D． 6．（2026·山西运城·二模）已知点，在一次函数的图象上，且，则和的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的增减性，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 根据一次函数的性质，当k小于0时，y随x的增大而减小；结合即可解答． 【详解】 解：∵函数中， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴，即． 故选：D． 7．（2026·山西运城·二模）为鼓励青少年参与科技创新，某市举办了“科创”比赛．活动小组统计了宣传天数x（天）和报名参赛的人数y（人），得到如下几组对应数据： /天 1 3 5 7 9 /人 12 20 28 36 44 由表中数据可知，y与x的函数关系式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查求一次函数的解析式． 观察数据，设函数表达式，代入数据计算，即可得与的函数关系式． 【详解】 解：观察数据，每增加天，增加人，设， 将，代入，得 ， 解得 ， ∴， 验证点，，均符合， ∴与的函数关系式为． 故选：B． 8．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，，此题得解． 【详解】 解：观察图形可知：一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，． 故选：B． 9．（25-26学年八上·山西期中学·期中）一次函数，当，时，它的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 函数图像经过第一、三象限，函数图象与轴的交点在轴的负半轴，由此可求解． 【详解】 解：， 函数图像经过第一、三象限， 又， ， 函数图象与轴的交点在轴的负半轴， 故选：C． 【点睛】 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的系数与函数图象的关系是解题的关键． 10．（25-26学年八上·山西期中学·期中）点都在直线上，则的关系为（　　） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了比较一次函数的函数值的大小，根据解析式可得一次函数的增减性，再根据增减性可得答案． 【详解】 解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点都在直线上，且， ∴， 故选：A． 11．（25-26学年八上·山西期中学·期中）把的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象沿轴平移的“上加下减”规律． 根据“沿轴向下平移个单位，函数表达式常数项减”的规律，对原函数的常数项进行运算，得到平移后的解析式． 【详解】 解：一次函数图象沿轴向下平移个单位，遵循“上加下减”规律， 原函数平移后解析式为：． 故选：C． 12．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）已知一次函数，随着的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】 解：∵一次函数，随着的增大而增大， ∴． ∵， ∴， ∴此函数图象经过一、三、四象限． 故选：B． 【点睛】 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知函数（）中，当，时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键． 13．（25-26学年八上·山西晋中·期中）下列描述一次函数的图像及性质错误的是（     ） A. y随x的增大而减小 B. 直线与x轴交点坐标是 C. 直线经过一、二、四象限 D. 当时， 【答案】B 【分析】 本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键；根据一次函数的性质，分析各选项的正确性即可． 【详解】 解：∵一次函数， ∴，， ∴y随x的增大而减小，直线经过一、二、四象限； 令时，则有，解得：，令时，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为， ∴当时，； 故选B． 14．（25-26学年八上·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中；若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；通过直接计算各点的纵坐标值，比较大小即可得出结论． 【详解】 解：∵点，，都在直线上， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴； 故选C． 15．（25-26学年八上·山西运城·期中）已知点，都在直线上，则，大小关系是（       ） A.  B.  C.  D. 不能比较 【答案】A 【分析】 根据得到y随x的增大而减小，比较判断选择即可． 【详解】 ∵点，都在直线上，且，， ∴y随x的增大而减小，， 故选A． 【点睛】 本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 16．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（       ） A. 函数必经过点（﹣2，1） B. y随x的值增大而增大 C. 与x轴交于（，0） D. 图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】 根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、当x=-2，y=-2x+1=-2×（-2）+1=5，则点（-2，1）不在函数y=-2x+1图象上，故本选项错误； B、由于k=-2＜0，则y随x增大而减小，故本选项错误； C、当y=0时，x=，所以直线y=-2x+1与x轴交于（，0），故本选项正确； D、由于k=-2＜0，则函数y=-2x+1的图象必过第二、四象限，b=1＞0，图象与y轴的交点在x的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】 本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x的上方；当b=0，图象经过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x的下方． 17．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质，得y随x的增大而减小；结合题意，通过计算即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点，，都在直线上，且， ∴． 故选：B. 18．（2026·山西运城·二模）下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（       ） A. 直线与y轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 与坐标轴围成的三角形面积为6 D. 直线过点 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数与坐标轴的交点、一次函数的图象与性质、一次函数的几何问题，把代入求得即可判断选项A；利用一次函数的图象与性质即可判断选项B；利用三角形的面积公式求解即可判断选项C；将代入计算即可判断选D． 【详解】 解：A、∵当时，， ∴直线与y轴交点的坐标是，正确； B、∵，， ∴直线经过第一、三、四象限，正确； C、直线与y轴交点的坐标是， 当时，， ∴， ∴直线与x轴交点的坐标为， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为：，正确； D、当时，， ∴直线不过点，故不正确； 故选：D． 19．（2026·山西运城·二模）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象得，，由一次函数的性质判断经过象限，即可求解． 【详解】 解：由一次函数的图象得：， ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：A． 20．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）全世界大部分国家都采用摄氏温标表示温度，但也有部分国家采用华氏温标．因此，一般温度计上都同时标注了摄氏温度和华氏温度（如图）．小明观察温度计，发现华氏温度y（单位：）是摄氏温度x（单位：）的一次函数，并据此列出了表格．同桌小亮发现下表中有一个函数值写错了，这个错误的函数值是（     ） 20 25 30 35 67 77 86 95 A. 20 B. 67 C. 77 D. 86 【答案】B 【分析】 根据表格中的数据，设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，结合题意求解即可． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，由自变量的值求函数值，求出函数的解析式是解题的关键． 【详解】 解：设函数的解析式为， 根据题意，得 ， 解得 ， 故解析式为， 当时，， 点在直线上； 当时，， 此时得到67这个数据是错误的． 故选：B． 21．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）在下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中为常数，且）的大致图象，其中不正确的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 本题考查一次函数的性质．根据一次函数的图象与系数的关系，由函数图象分析可得a、b的符号，进而可得的符号，结合的图象判断是否矛盾，即可得出答案． 【详解】 解：A．由一次函数的图象可得，则，由正比例函数的图象得，不矛盾，故图象正确，不合题意； B．由一次函数的图象可得，则，由正比例函数的图象得，不矛盾，故图象正确，不合题意； C．由一次函数的图象可得，则，由正比例函数的图象得，不矛盾，故图象正确，不合题意； D．由一次函数的图象可得，则，由正比例函数的图象得，矛盾，故图象不正确，符合题意； 故选：D． 22．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）对于一次函数，下列判断错误的是（       ） A. 该函数的图象经过第二、三、四象限 B. 该函数的图象中随的增大而减小 C. 自变量的值每增加1，函数的值减小2 D. 该函数的图象与轴交于点 【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与x轴的交点进行分析判断． 【详解】 解：函数中，，，∴图象经过第二、三、四象限，A正确； ∵，∴ y随x增大而减小，B正确； ∵，∴ x每增加1，y减小2，C正确； 设，则，解得，∴与x轴交点为， D错误． 故选：D． 23．（25-26学年八上·山西运城·期中）已知点P（m，n）在第二象限，则直线y=nx＋m图象大致是下列的（　　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据点P在第二象限，确定m＜0，n＞0，根据k，b的符号，确定图像的分布即可. 【详解】 ∵点P（m，n）在第二象限， ∴m＜0，n＞0， ∴图像分布在第一，第三象限，第四象限， 故选C. 【点睛】 本题考查了根据k，b的符号确定一次函数图像的分布，熟记k，b的符号与图像分布的关系是解题的关键. 24．（2026·山西运城·二模）已知如下三个正比例函数：，，． （1）对于函数，当时，．请求出k的值并写出时的值； （2）写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质． 【答案】（1）的值为，的值为6     （2）三个函数的图象都是过原点的直线      【分析】 本题主要考查的是正比例函数的性质，解答本题主要根据正比例函数的性质解答． （1）把时，代入可求出k的值，把代入可得结论； （2）根据正比例函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 在函数中，当时，， ． 解得， 在函数中，当时． 答：的值为，当时，的值为6 (2) 小问详解： 三个函数的图象都是过原点的直线 25．（2026·山西运城·二模）将一次函数的图象沿轴向上平移8个单位长度，所得直线的函数解析式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的平移．熟练掌握一次函数平移的“上加下减”是解题的关键，利用一次函数的平移法则解决即可． 【详解】 解：将一次函数的图象沿y轴向上平移8个单位长度，新函数解析式为， 即 ． 故答案为： ． 26．（2026·山西运城·二模）已知正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正比例函数的性质． 将点 代入正比例函数 ，利用待定系数法求出比例系数 ． 【详解】 解：由题意，将点 代入 ，得 ，解得 ，所以该函数的表达式为 ． 故答案为：． 27．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）若点和是一次函数图象上的两点，则m与n的大小关系为m　　　　　　　　n．（填“”“ ”或“=”） 【答案】 【分析】 根据函数的性质，结合时，y随x的增大而减小解答即可． 本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵一次函数中，， ∴函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 28．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）图中直线对应的函数表达式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查正比例图象和性质，采用待定系数法即可求得答案． 【详解】 因为直线经过原点，所以设直线对应的函数表达式为． 因为直线经过点，将其代入，得 ， 解得 ． 所以直线对应的函数表达式为． 故答案为： 29．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）已知点在正比例函数的图象上，若点也在这个正比例函数的图象上，且，则和的大小关系是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 解题思路是先利用已知点求出正比例函数的比例系数，再根据的符号判断函数的增减性，最后结合、的大小关系，得出和的大小关系．本题考查正比例函数的性质，涉及的知识点是正比例函数的解析式求解、增减性判断．解题中用到的方法是 “先求系数，再判增减” 的步骤法．解题关键是准确求出的值，并牢记的符号与函数增减性的关系．易错点是混淆的符号对应的增减性，导致大小关系判断错误． 【详解】 ，将点代入： 因此，正比例函数的解析式为． ，所以随的增大而减小． 已知，且y随x的增大而减小，因此． 故答案为． 30．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）已知点在正比例函数的图象上，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了已知正比例函数的解析式求正比例函数图象上点的坐标，正确计算是解题的关键． 依题意得，，计算求解即可． 【详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得，， 故答案为：． 31．（25-26学年八上·山西太原·期中）在如图的平面直角坐标系中，直接画出一次函数的图象． 【答案】画图如下： 【分析】 本题主要考查了画一次函数图像， 根据一次函数解析式列表，然后描点，连线即可． 【详解】 解：列表 32．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）请写出一个经过点，且随的增大而增大的一次函数表达式：　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性，根据一次函数的性质，经过点可得截距，随增大而增大可得斜率，据此可得答案． 【详解】 解：设符合题意的一次函数表达式为． ∵函数图象经过点， ∴，即． 又∵随的增大而增大， ∴． ∴当时满足题意，则函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 33．（25-26学年八上·山西期中学·期中）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式-利用函数图象研究的性质-运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数性质的部分过程，请按要求解决下列问题． x ··· 0 1 2 3 4 ··· y ··· m 0 2 n ··· （1）根据如表信息，直接写出___________； ___________； （2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象； （3）判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡相应的横线上打“√”，错误的在答题卡相应的横线上打“×” ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．___________ ②y随x的增大而减小．___________ （4）根据函数图象填空： ①方程的解是___________； ②方程有        个解； ③若关于n的方程无解，则k的取值范围是___________. 【答案】（1），0     （2） 函数的图象如下图所示，      （3）① √；② ×     （4）①或；②1；③      【分析】 本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，画出函数的图象利用数形结合是解题的关键． （1）观察表格，函数图象经过点，将这两点的坐标分别代入，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；把代入所求的解析式，即可求出m，将代入所求的解析式，即可求出； （2）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象； （3）根据图象即可判断该函数性质的说法是否正确； （4）观察图象填空即可． (1) 小问详解： 解：∵函数的图象经过点， ， 解得： ， ∴这个函数表达式是， 当时，， 当时，； 故答案为：，0； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，故正确； ② 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故原说法错误； 故答案为：√，×； (4) 小问详解： 解：根据图象可知： ① 方程的解是或； ② 方程有1个解； ③ 若关于n的方程无解，则k的取值范围是， 故答案为：或；1；． 34．（25-26学年八上·山西期中学·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价／(元／） 第一档 3 第二档 5 第三档 6 （1）当时，写出水费y(单位：元)与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1130元，求该户去年一年的用水量． 【答案】（1）      （2） 元     （3）       【分析】 本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，已知自变量求函数值，已知函数值求自变量的值，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接写出水费与单价的关系式即可； （2）将代入（1）中所求得的解析式计算即可； （3）先判断该户居民的用水量，然后将代入解析式，求出即可． (1) 小问详解： 解：， ， 整理，得， 即； (2) 小问详解： 将代入得， (元） 答：该户这一年的水费为元； (3) 小问详解： 当用水量为，需交水费元， 当用水量为，需交水费（元）， ， ， 把代入得，， 解得, 答：该户去年一年的用水量为． 35．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图像与性质之间的关系图像与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图像的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法.例如，在研究正比例函数的图像与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图像几何特征，分析如下： 图像 图像的几何特征 函数的数量特征     图像经过① 由表达式可知，当时，； 图像经过第②象限 因为，且，所以当时，，当时，③，即当时，，同号； 从左往右图像是上升趋势 设点，是该函数图像上的点（其中），所以，，因为，所以，所以，所以，所以，所以，的值随值的增大而④. …… …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图像与性质…… 任务： （1）上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_____________；②_____________；③_____________；④_____________． （2）如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图像．请你帮他写出该函数图象的一条几何特征，及相应函数的数量特征（注：不同水平的答案，得分不同） 图像 图像的几何特征 函数的数量特征     【答案】（1）原点（或）；一、三；；增大     （2）如下表： 图像 图像的几何特征 函数的数量特征 图像经过原点 由表达式可知，当时，； 图像经过第三、四象限 因为，当，，当时，，即当时，始终为负数． 在第三象限，图像从左往右是上升趋势 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以，的值随值的增大而增大． 在第四象限，图像从左往右是下降趋势 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以，的值随值的增大而减小． 图像关于轴对称 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以，，因为，所以，则，所以，即． 【分析】 本题主要考查正比例一次函数的图像和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图像即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质和特征即可． (1) 小问详解： 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； 图像 图像的几何特征 函数的数量特征 图像经过原点 由表达式可知，当时，； 图像经过第一、三象限 因为，且，所以当时，，当时，，即当时，，同号； 从左往右图像是上升趋势 设点，是该函数图像上的点（其中），所以，，因为，所以，所以，所以，所以，所以，的值随值的增大而增大． …… …… (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 【详解】 解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 37．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到．将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象．①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线：     （1）请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； （2）根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． （3）若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 【答案】（1） 填表如下： 描点，连线得， x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 …      （2）①0；；②时，y随x的增大而减小（答案不唯一）     （3）      【分析】 本题主要考查画一次函数的图象，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键． （1）根据题目要求解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据图象解答即可． (1) 小问详解： 解：当时，， 当时，； (2) 小问详解： 解：① 当时，y有最小值为； 故答案为：0；； ② 请写出该函数的一条性质：时，y随x的增大而减小； 故答案为：时，y随x的增大而减小； (3) 小问详解： 解：由图象可知，当时，的图象与直线没有交点， 故答案为：． 38．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）通过一次函数的学习，我们知道，表示函数的方法一般有三种：列表法、图象法和关系式法．下面两个表格中分别给出了一个函数的一种表示方式，请你按要求完成任务： （1）任务一：请根据表格画出该一次函数图象，并写出它的关系式； 列表法 图象法 关系式 ______ （2）任务二：请根据关系式填表、画图象，并写出这个函数图象的一个特征和随变化情况的一个结论． 关系式 列表法 图象法 图象特征 ______ 变化情况 ______ 【答案】（1） 解：根据表格画出一次函数图象如图． 设一次函数解析式为， 把分别代入得 ， 解得 ， ∴一次函数解析式为； 函数关系式为． 故答案为：；     （2） 解：当时，； 当时，； 填充表格如下： 画出该函数图象如图： 0 1 2 3 2 0 0 2 图象特征： ① 该函数图象关于轴对称． ② 该函数图象是具有公共端点的两条射线，其公共端点为． ③ 该函数图象经过第一、二、三、四象限．（合理即可） 变化情况： ① 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ② 当时，函数有最小值为．（合理即可） 故答案为：① 该函数图象关于轴对称．② 该函数图象是具有公共端点的两条射线，其公共端点为．③ 该函数图象经过第一、二、三、四象限；① 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．② 当时，函数有最小值为．（合理即可）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数的图象． （1）用描点法画出一次函数图象即可；用待定系数法求函数解析式即可； （2）先分别把、代入计算出对应的函数值，再利用描点法画出函数图象，然后根据函数图象写出一个特征和函数的增减性． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 39．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时，　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，正比例函数的性质，先求解，设，可得，再结合一次函数的性质可得的值，从而可得答案. 【详解】 解：∵一次函数的图象与抽交于点， ∴当时，， ∴， ∵在正比例函数的图象上， 设， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：. 40．（25-26学年八上·山西晋中·期中）我们学习一次函数时，通过“列表—描点—连线”的方法绘制出一次函数图像．进而根据一次函数图像研究其性质．这一探究过程，从数据整理到图形呈现，使我们能够直观把握函数的变化趋势与核心特征，进而深入分析其性质． 探究小组运用此方法对未知函数进行探究． 函数的图象和性质，并解决问题． （1）根据表达式，写出表格中m，n的值：______，______； x … 0 1 2 3 … y … m 3 2 1 n 3 4 … （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）观察函数图象并写出一条函数的性质． 【答案】（1），     （2） 函数的图象如图所示，      （3）由图象可得：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小.      【分析】 本题考查的是求解函数值，画一次函数图象，一次函数的性质. （1）把，代入函数解析式进行计算即可. （2）根据表格信息画图即可. （3）根据函数图象可得其性质. (1) 小问详解： 解：当时，， 当时，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 41．（25-26学年八上·山西晋中·期中）项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 研究步骤： ①取一桶桶装水，打开置于空气中； ②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； ③数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数/天 0 1 2 3 4 … 菌落总数/ 15 20 25 30 35 … 问题解决： （1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数（），将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线； （2）观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（）与试验天数（）之间的函数关系式； （3）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 【答案】（1） 如图所示；      （2）      （3）7天      【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据描点，连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所求可得该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可； （3）求出函数值为50时自变量的值即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点， 设， 则 ， ∴ ， ∴； (3) 小问详解： 解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而增大， ∵桶装水菌落总数超过时就要停止饮用， ∴， ∴， ∴， 答：桶装水打开后的最佳饮用时间是7天． 42．（2026·山西运城·二模）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． （1）求直线函数表达式； （2）如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值； （3）在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）求直线的解析式：先将交点的纵坐标代入的表达式，求出的横坐标，得到的完整坐标；再结合上的点，用待定系数法设出的表达式，代入两个点的坐标列方程组，求解得到的函数式． （2）求的值：先根据“垂直于轴”可知的纵坐标与的纵坐标相等，分别将代入、的表达式，求出的横坐标；再用横坐标的差的绝对值表示的长度，结合的长度（由、与轴的交点坐标差得到），根据“”列方程，求解得到的值． （3）求点的坐标：先求出的面积（以为底，的纵坐标为高），再根据“的面积是其倍”得到的面积；设出的坐标（利用的表达式用横坐标表示纵坐标），以为底，的纵坐标与的纵坐标的差的绝对值为高，列面积方程，求解得到的坐标． (1) 小问详解： 解：将点代入中，得，解得 ． ∴点的坐标为 设直线函数表达式为 将点、代入中，得 解得 ∴直线函数表达式为． (2) 小问详解： 解：如图所示： 中，当时， ∴点的坐标为 在直线中，当时， ∴点A的坐标为 ∴． ∵直线轴于点，点的纵坐标为 ∴点，点的纵坐标都为 ∵点在直线上 ∴点的坐标为． ∵点在直线上 ∴点的坐标为． ∴ ∵ ∴ 解得，或． (3) 小问详解： 解：令的得， ∴， ， 故面积为． 设，， ，得， 即，对应或． 【点睛】 本题考查一次函数解析式、线段长度与面积的坐标运算，涉及知识点：待定系数法求函数、坐标表示线段长、三角形面积公式．解题方法是代入点求解析式，用坐标差表示线段长列方程，通过面积关系确定点坐标；解题关键是准确转化几何量为坐标运算，易错点是坐标与线段的对应关系． 43．（25-26学年八上·山西太原·期中）下面是小涵学习《一次函数》之后的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务 数形结合探究函数的性质通过一次函数的学习，我们知道从表达式的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数时，分析如下： 图象的几何特征 表达式的数量特征 正比例函数     图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第①象限 因为，当时，，即；当时，，即．所以，当时，x与y的取值同为正数或②． 从左往右图象为上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）．所以，，，因为，所以，．因为，即，所以，y的值随x值的增大而③． 学习平方根时，我们还知道：对于任意给定的非负数x，都能确定它的算术平方根y的值．我尝试用函数的观点研究y与x的关系，过程如下：第一步：写出y与x之间的函数表达式为；第二步：画出函数的图象，如图；    第三步：类比研究正比例函数的方法，分析函数的性质，…… 任务： （1）补全材料中横线上空缺的内容：①        ；②        ；③        ； （2）由以上探究，写出函数图象的一个几何特征，并用相应的表达式的数量特征解释； 图象的几何特征 表达式的数量特征 （3）若点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是        （用“”、“”或“”连接）． 【答案】（1）一、三；同为负数；增大     （2） 函数图象的几何特征及相应的表达式的数量特征解释如下（选择其中一个几何特征即可）：     （3）      图象的几何特征 表达式的数量特征 图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第一象限 因为，当时，，即．所以当时，x与y的取值同为正数． 从左往右图象是上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）．所以，，，因为，所以，所以．因为，即，所以，y的值随x值的增大而增大． 【分析】 本题主要考查正比例的图象和性质，利用类比思想和数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图象即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用类比思想和数形结合思想，得出函数的性质和特征即可获解； （3）利用类比思想，得出函数的性质即可获解． (1) 小问详解： 解：通过函数图象可知，函数的图象经过第一、三象限，当时，x与y的取值同为正数或同为负数，y的值随x值的增大而增大， 故答案为：① 一、三；② 同为负数；③ 增大； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：函数的图象从左往右图象是下降趋势，设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，所以． 因为，即， 所以，y的值随x值的增大而减小． 因为点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是， 故答案为：． 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【详解】 解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 2．（25-26学年八上·山西晋中·期中）一次函数图象如图所示，那么方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数图象与坐标轴的交点，根据一次函数图象在坐标轴中与轴，轴的交点即可求解一次函数的解析式，解决本题的关键是理解一次函数图象与轴，轴的交点．根据一次函数图象可知，当时，即一次函数图象与轴的交点，由此即可求解． 【详解】 解：根据题意得，当时，一次函数图象与轴的交点是， ∴方程的解是． 故答案是：． 3．（2026·山西运城·二模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的二元一次方程组 的解是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了利用一次函数的交点解二元一次方程组．将点代入可求得，进而可求解． 【详解】 解：由题意得： 当时，得：， 解得：， 点P的坐标为， 二元一次方程组 即 的解为： ， 故答案为： ． 4．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为________； （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 【答案】（1）     （2）；     （3）①，；②或      【分析】 （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）① 先根据题意可得，再求出点A、B的坐标即可； ② 先求出，设，得出，根据，得出，求出t的值，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立 解得 ， 一次函数的“不动点”为； (2) 小问详解： 解：∵一次函数的“不动点”为， ∴， ∴， ∴“不动点”为， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 解：① ∵直线上没有“不动点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∴，； ②， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中画出一次函数和的图象． （1）补充完成下列表格： 函数列表1 … 0 ▲ … … ▲ 0 … 函数列表2 … 0 1 … … ▲ ▲ … （2）在下图中画出两个一次函数的图象； （3）请根据图象，写出关于两个函数图象关系的一个结论． 【答案】（1） 补全表1如下： 补全表2如下：     （2） 函数图象如下： … 0 … … 0 … … 0 1 … … …      （3）两条直线交于点      【分析】 本题考查了画一次函数的图象，一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）在函数中，当时，，当时，，解得，补全表1即可；在函数中，当时，，当时，，补全表2即可； （2）根据（1）中计算的结果画出函数图象即可； （3）根据函数图象即可得解． (1) 小问详解： 解：在函数中，当时，，当时，，解得， 在函数中，当时，，当时，； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：由函数图象可得：两条直线交于点． 6．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线相交于点，交轴交于点． （1）求直线对应的函数表达式． （2）若四边形的面积为，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，连接，为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】（1）     （2）点的坐标为     （3）或.      【分析】 （1）用待定系数法，设直线的表达式为，代入、坐标求解； （2）根据，通过的不同求解方式，建立方程求出点的横坐标，代入表达式列方程求点的坐标； （3）先求出直线的函数表达式，当点在点右侧或右侧时，分别求解． (1) 小问详解： 解：因为点， 所以设直线对应的函数表达式为． 把点代入，得， 所以直线对应的函数表达式为. (2) 小问详解： 因为直线， 所以点， 所以. 因为， 所以. 又因为， 所以，即点的横坐标为． 把代入，得， 所以点的坐标为. (3) 小问详解： 或. 由点，得直线的函数表达式为． 如图1，当点在点右侧时， 将直线沿着轴向上平移6个单位长度，得到直线的函数 表达式为， 此时， 所以， 当时，， 所以点； 如图2，当点在点左侧时，作的中垂线，交于点，交轴于点，连接， 所以， 所以． 设点． 则， 所以， 解得， 所以点． 设直线的函数表达式为． 把点代入，得， 所以， 所以当时，， 所以点． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查一次函数表达式、面积计算与角度条件下的点坐标求解，运用待定系数法、面积割补思想、角相等的坐标转化技巧，解题关键是先求直线表达式，再通过面积列方程求交点，最后利用不同位置角相等的斜率关系找坐标，易错点是面积分割错误或角相等的几何关系转化不当． 7．（25-26学年八上·山西运城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，平面直角坐标系的坐标运算，待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点的求解．求出直线、的解析式是解题的关键． 根据勾股定理求出，结合点C和点E关于所在直线对称得出，进而得出点坐标，再求出中点坐标并结合点坐标求出直线解析式，然后再利用点、点坐标求出直线解析式，联立两条直线解析式求出的交点坐标即为点． 【详解】 解：在中，根据勾股定理， 得， 点C和点E关于所在直线对称， 是的垂直平分线 ， 又点E是线段（轴）上一点， ， 的中点坐标为， 设直线的解析式为，将的中点坐标和分别代入， 得到 ， 解得 ， 直线的解析式为． 设直线的解析式为，将，，分别代入， 得到 ， 解得 ， 直线的解析式为． 联立直线与直线的解析式， 得到 ， 解得 ． D点的坐标为． 故答案为：． 考点04 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】 解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 2．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据，当时间为时，对应的高度为（     ） … 0 1 2 … … 2 … A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 设水位是时间的一次函数解析式为，根据表格代入数据解方程组即可求出解析式，将代入即可求解． 【详解】 解：设水位是时间的一次函数解析式为， 根据表格得 ，解得 ， 一次函数解析式为， 当时，． 故选：B． 3．（25-26学年八上·山西运城·期中）某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 若本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为克时的时间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由表格数据可知电子秤读数与沉沙时间成一次函数关系，根据数据求出一次函数解析式，再代入求出x的值，最后结合起始时间计算即可． 【详解】 解：观察表格数据发现每过2小时，增加克，即每小时增加6克． ∴与是一次函数关系，设解析式为 ． 将 ， 和，代入得 ， 解得 ， ∴函数关系式为 ， 令 ，代入函数关系式： 解得， ∵实验开始时间是上午，沉沙时间小时， ∴结束时间为：． 故选：C． 4．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】 解：把代入得，把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 5．（2026·山西运城·二模）已知蜡烛点燃后剩余的蜡烛长度（单位：cm）与燃烧时间（单位：min）之间的关系式为，则15的实际意义是　　　　　　　　． 【答案】蜡烛燃烧前的长度 【分析】 本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的定义，常数项表示当自变量为零时的函数值，即燃烧时间为0时的蜡烛长度． 【详解】 解：在关系式中，令，得， 这表示蜡烛在点燃前（燃烧时间为0时）的长度为，因此15的实际意义是蜡烛的初始长度． 故答案为：蜡烛燃烧前的长度． 6．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）在《乌鸦喝水》的寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投放小石子，随着小石子数量的增加水面随之升高．勤学小组的同学们利用量筒和相同大小的玻璃球进行了模拟实验，研究了量筒中水面高度与投入玻璃球数量之间的变化关系． 根据实验结果得到以下数据： 投入玻璃球数量x/粒 0 5 10 15 20 水面高度y/ 10 11 12 13 14 （1）当量筒内投入的玻璃球均能被水淹没且水未溢出时，写出y与x之间的关系式，并指出其中一次项系数k和常数项b的实际意义； （2）寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投放小石子（投入的小石子均能被水淹没且水未溢出），水面高度与投入小石子数量之间的关系是一次函数关系吗？为什么？ 【答案】（1）； 一次项系数的实际意义：每投入1粒玻璃球，量筒内水面高度上升； 常数项的实际意义：未投入玻璃球时，量筒内水面的初始高度为；     （2） 水面高度与投入小石子数量之间的关系不一定是一次函数关系； 理由如下： ∵投入的小石子体积不一定相同， ∴量筒中水面的升高往往不是均匀的．      【分析】 本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式是解题关键． （1）根据表格数据可知y与x之间的函数关系是一次函数，再利用待定系数法即可得； （2）由题意即可解答． (1) 小问详解： 解：由表格可得，当时，（初始水面高度），每增加5，增加1， 则y与x之间的函数关系是一次函数， 设函数解析式为， 将和代入得， ， 解得 ， ∴函数关系式为 (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年八上·山西晋中·期中）神舟二十一号火箭在发射升空过程中，在最初的一段飞行阶段，火箭的速度随时间均匀变化．此阶段火箭的速度v与时间t关系见下表： 发射时间 2 3 4 … 8 火箭速度 100 150 200 … 400 火箭发射后第10秒时火箭的速度是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的应用，理解题意并列出一次函数是解决本题的关键． 根据速度与时间的关系，结合表格数据列出一次函数即可求解． 【详解】 解：由表格可知，时间t每增加1秒，速度v增加， ∴v与t成正比例关系，函数表达式为， 当时，代入得：， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·山西太原·期中）标有刻度的线香在古代主要用于计时，通常被称为“更香”或“计时香”，其原理是基于线香燃烧速度的相对稳定性，根据香燃烧的长度来估算时间．已知某型号线香燃烧过程中剩余长度与燃烧时间t（分）满足一次函数，其中线香初始长度．若燃烧30分钟时，线香剩余，则k的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的应用，将，，代入，得关于k的方程，解方程即可． 【详解】 解：将，，代入得： ， 解得， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·山西太原·期中）在一次测试中，某汽车紧急刹车后，速度与刹车时间之间的关系如下表所示． 根据表中数据，与之间的关系式为． （1）直接写出与之间的关系式，并说明和的实际意义； （2）求这辆汽车从开始刹车到停止所需的时间． 【答案】（1）；表示每秒汽车速度减少．表示开始刹车时，汽车的速度为．     （2）这辆汽车从开始刹车到停止所需的时间为      【分析】 本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式，表示每秒汽车速度的变化量，表示开始刹车时，汽车的速度； （2）求出时的值 即 可． (1) 小问详解： 解：将点，代入得 ， 解得 ， 与之间的关系式为， 表示每秒汽车速度减少，表示开始刹车时，汽车的速度为； (2) 小问详解： 由题可知，当汽车停止时，， 即， 解得， 答：这辆汽车从开始刹车到停止所需的时间为． 10．（2026·山西运城·二模）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下：第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度．第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度．第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【答案】任务1： ；任务2：91元；任务3：240度； 【分析】 本题考查了分段函数． 任务1：分情况列出关系式即可； 任务2：用电量180度，在第二档，将代入计算即可； 任务3：先求出用电量在第二档，进而根据列方程计算即可． 【详解】 解：任务1：当时，， 当时，，即， 当时，，即， 任务2：， ∴当时，（元） 答：小迪同学家8月的电费91元． 任务3：当时，， 当时，， ， ． 当时，． ． 答：该户10月的用电量为240度． 11．（2026·山西运城·二模）请根据以下素材，探索完成任务． 购车选择方案一新能源车与燃油车的多维度分析 素材1 随着汽车市场品类日益丰富，新能源与燃油车的选择交织着政策导向、全周期成本、使用场景等多重因素，小明家在购车决策中因信息繁杂、维度多元陷入两难困境．为此，小明和爸爸妈妈针对性地开展了专项调查研究．对市场上配置相近的A款燃油车和B款新能源车做对比调查，并结合自己家的预算，得到有关数据如下： 购车费用/万元 购置税/万元 年均保养费用/万元 年均保险费用/万元 预计10年后的车价/万元 A款燃油车 16 B款新能源车 20 0 素材2 总费用（以使用10年为例）=购车费用-预计10年后的车价+购置税+保养费用+保险费用+油费或电费 素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多元，且每公里燃油车的油费是新能源车的电费的3倍 问题解决 任务1 A款燃油车每公里油费是多少元？B款新能源车每公里电费是多少元？ 任务2 设平均每年的行驶路程为x万公里，A款燃油车使用10年的总费用为万元，B款新能源车使用10年的总费用为万元，分别求出和关于x的表达式． 任务3 每年行驶里程为多少万公里时，购买A款燃油车和B款新能源车费用相等．（以使用10年为例） 【答案】任务1：A款燃油车每公里油费元，B款新能源车每公里的电费元 任务2：， 任务3：每年行驶里程1万公里时，购买A款燃油车和B款新能源车费用相等 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次方程的应用． 任务1：设款燃油车每公里油费元，款新能源车每公里的电费元，根据题意列方程组求解即可； 任务2：根据题意列一次函数即可； 任务3：由题意列方程求解即可． 【详解】 解：任务1：设款燃油车每公里油费元，款新能源车每公里的电费元，根据题意得， ， 解得， ． 答：A款燃油车每公里油费元，B款新能源车每公里的电费元． 任务2： 即． ， 即． 答：，． 任务3：由题意得，， 解得，． 答：每年行驶里程1万公里时，购买A款燃油车和B款新能源车费用相等． 12．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）某市居民用电收费采用分段计费，计费方式如表所示： 月用电量 每月用电不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时，不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时的部分 计费单价 元/千瓦时 元/千瓦时 元/千瓦时 设每月用电量为千瓦时，应交电费元． （1）当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________；当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________． （2）小新家十月份的用电量为千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． （3）小明家十月份交电费元，求他家十月份用电多少千瓦时． 【答案】（1）；     （2）元     （3）千瓦时      【分析】 本题主要考查一次函数的应用． （1）根据题意分别列出两个函数关系式即可； （2）根据题意将其代入（1）中第二个函数关系式即可； （3）根据题意得出用电量超过了千瓦时，然后代入（1）中第二个函数关系式即可；理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． (1) 小问详解： 解：当时，与的函数关系式为； 当时，与的函数关系式为，即． 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：， （元） 答：他家十月份应交电费元． (3) 小问详解： 解：当时，（元） ， 小明家十月份的用电量超过了千瓦时． 把代入中，得． 答；他家十月份用电千瓦时． 13．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）欢乐购物节临近，某电商紧急备货，但目前缺少大量A型号包装盒（如图），该电商调研发现这种A型号包装盒的来源有两种方案可供选择． 方案一：从纸箱厂直接订购这种包装盒，购买费用（单位：元）与数量x（单位：个）之间的关系如图所示． 方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种包装盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）（单位：元）与数量x（单位：个）之间的关系如图所示． 请根据图象回答下列问题： （1）方案一中这种A型号包装盒的单价为________元； （2）请求出方案二中与x的函数关系式； （3）如果该电商计划用2400元准备这种A型号包装盒，那么选择方案________（选填“一”或“二”）能够准备的数量更多一些． 【答案】（1）     （2）     （3）二      【分析】 本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图象可知1000个盒子共花费600元，据此可以求出盒子的单价； （2）根据图象经过的点的坐标用待定系数法求得函数的解析式即可； （3）求出当时，两种方案能够准备包装盒的数量，比较即可解答． (1) 小问详解： 解：由图象得：（元）， 方案一的盒子单价为元； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设图象的函数解析式为：， 由图象知函数经过点， ， 解得， 函数的解析式为； (3) 小问详解： 解：设图象的函数解析式为：， 由图象知函数经过点， ， 解得， 函数的解析式为； 令， 解得， 令， 解得， ∵， 选择方案二能够准备的数量更多一些． 故答案为：二． 14．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图，直线与直线交于点A，点A的横坐标为，且直线与x轴相交于点B，与y轴交于点D，直线与y轴交于点C． （1）请直接写出点A的坐标___________及直线的表达式___________ （2）连接，求； （3）在x轴上是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）     （3）存在，点P的坐标为、、、      【分析】 本题考查了一次函数的表达式求解、函数交点坐标确定、三角形面积计算及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是将点坐标代入函数式求表达式，利用割补法（初中常用）计算三角形面积，分情况讨论等腰三角形的边长关系． （1）的将点A的横坐标代入直线的解析式求纵坐标，再将点A坐标代入直线的解析式求，得到的表达式； （2）的求出点B、C的坐标，用割补法（结合直角三角形、梯形面积）计算的面积； （3）的设点P的坐标，分、、三种情况，结合距离公式列方程求解． (1) 小问详解： 解：将代入，得，故点A的坐标为 将代入，得，解得，故直线的表达式为 故答案为：；. (2) 小问详解： 解：对于直线，令，则，解得，故， 对于直线，令，则，故． 过点作轴于，则：，，，，， ， 梯形的面积， ， 故， 答：； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： 设，由、，得，，． 分三种情况： ① 当时，，解得，得、； ② 当时，，解得（为点B，舍去），得； ③ 当时，，平方得，得． 故点P的坐标为、、、． 15．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）阅读与思考阅读下列材料，完成相应的任务 有理点与无理点平面直角坐标系是重要的数学工具，借助坐标系，可以将“数”这一代数对象赋予“点”的几何特征．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标都是有理数，则称这个点为“有理点”：如果一个点的横、纵坐标中至少有一个是无理数，则称这个点为“无理点”如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点O为圆心，的长为半径画弧，与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点B，C，作直线．易知图中点A是“有理点”，点B、C都是“无理点”． 任务： （1）求点B的坐标，若直线的表达式为，直接写出b的值； （2）小文认为直线上除B，C两点外的其余各点都是“有理点”．请你判断他的观点是否正确，若不正确，请写出其中一个“无理点”的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q，使的面积等于面积的3倍？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）点的坐标为，     （2）不正确；     （3）存在，点的坐标为或      【分析】 本题考查了勾股定理，一次函数的应用，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理并结合题意可得，从而即可得出点的坐标为，点的坐标为，即可得解； （2）求出直线的解析式为，再求出当时，，即可得解； （3）由的面积等于面积的3倍得出，即可得解． (1) 小问详解： 解：由勾股定理得，， 由题意知，， 点的坐标为，点的坐标为， ∴； (2) 小问详解： 解：小文的观点不正确， 理由如下： 将点的坐标为代入可得：， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， 为直线的一点，为无理点， ∴小文的观点不正确； (3) 小问详解： 解：的面积等于面积的3倍， ， ∵在y轴上存在点，， ∴， ∴点的坐标为或． 16．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）综合与探究 问题情境：某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米．立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.2 3.4 9.8 初步探究： （1）根据如图所示，将表格补充完整； 深入探究： （2）设有x根立柱，护栏总长度为y米，求y与x之间的关系式； （3）求护栏总长度为157米时立柱的根数． 【答案】（1）将表格补充完整： （2）； （3）50根 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.2 3.4 6.6 9.8 13 【分析】 本题考查了一次函数的应用，正确得出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）求出当有3根立柱和当有5根立柱时护栏的总长度，即可补全表格； （2）根据表格并结合题意即可得出y与x之间的关系式； （3）求出当时的的值即可得解． 【详解】 解：（1）当有3根立柱时，（米）， 当有5根立柱时，（米）： （2）根据题意得：与之间的关系式为：； （3）当时，， 解待：， 即护栏总长度为157米时立柱的根数为50根． 17．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）如图，反映了某公司产品的销售收入（元）与销售量的关系，反映了该公司产品的销售成本（元）与销售量的关系，根据图象回答下列问题： （1）写出与之间的关系式：_______，表示的实际意义是：_______ （2）写出与之间的关系式：_______，表示的实际意义是：_______ （3）该公司要想获利1000元，销售量要达到多少吨？ 【答案】（1）；每吨销售收入是元     （2）；每吨销售成本是元     （3）如果该公司要盈利1000元，销售量要达到6吨．      【分析】 本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是正确理解和把握题目中隐含的数量关系，熟练掌握待定系数法求出函数解析式． （1）利用待定系数法求的函数关系式即可； （2）利用待定系数法求的函数关系式即可； （3）根据“盈利=销售收入-销售成本”列式计算即可． (1) 小问详解： 解：设， 由函数图象得：过点，则， 解得：， ∴； 表示的实际意义是：每吨销售收入是元； 故答案为：；每吨销售收入是元； (2) 小问详解： 解：设， 由函数图象得：过点，，则 ， 解得： ， ∴； 表示的实际意义是：每吨销售成本是元； 故答案为：；每吨销售成本是元； (3) 小问详解： 解：由题意得：，即， 解得：， 答：如果该公司要盈利1000元，销售量要达到6吨． 18．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）为节约用水，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． （1）当时，y与x之间的函数关系式为______，当时，y与x之间的函数关系式为______； （2）该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； （3）该市一户某月缴水费23.9元，求该户这个月的用水量． 【答案】（1）；     （2）15.8元     （3）13立方米      【分析】 本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，建立函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费标准列出函数关系式即可； （2）根据（1）所求关系式代入求解即可； （3）先判断该户这月用水量大于8吨，然后把代入（1）所求式子求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：当时，； 当时，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：因为，所以． 所以当用水量为10立方米时，应缴水费15.8元． (3) 小问详解： 解：因为， 所以该用户这个月的用水量超过了8立方米． 所以， 解得． 所以该户这个月的用水量为13立方米． 19．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）为引导居民节约用水，某县出台了城镇居民用水阶梯水价制度（如下表）．每年水费的计算方法：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量． 阶梯 用户年用水量 水价（元） 第一阶梯 5 第二阶梯 7 第三阶梯 9 （1）当时，求出水费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，求该同学家这一年的用水量． 【答案】（1）     （2）1040元     （3）      【分析】 本题考查了一次函数的应用，正确掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合列出寒素解析式即可． （2）结合（1），得当时，，故代入进行计算，即可作答． （3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，当时，； (2) 小问详解： 解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； (3) 小问详解： 解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户这一年的用水量是． 20．（25-26学年八上·山西晋中·期中）家门口的“暖心食堂”正成为越来越多社区的风景线．许多长者在此不仅能享用营养餐食，还能参与棋牌、手工等康乐活动，让社区成为兼具膳食与陪伴功能的温暖港湾． 为使老年人就餐更实惠，春风社区食堂针对敬老套餐推出两种优惠方案，具体如下： 方案1：不办理服务卡，每份套餐原价出售； 方案2：办理服务卡，则每份套餐在原价的基础上打七五折； 方案1所需费用（单位：元），方案2所需费用（单位：元）与每月购买敬老套餐数量x（单位：份）之间的函数关系如图所示． （1）办理服务卡的费用为______元，办理服务卡后每份敬老套餐的费用为______元． （2）请直接写出方案1和方案2的函数关系式； （3）若张奶奶每个月在食堂的花费为600元，则选择哪种方案更划算？说明理由． 【答案】（1），     （2），；     （3）选择方案更划算.      【分析】 本题考查的是一次函数的实际应用. （1）直接根据图象可得答案. （2）直接利用待定系数法求解一次函数解析式即可. （3）把代入函数解析式求解的值，再计算即可. (1) 小问详解： 解：办理服务卡的费用为元，办理服务卡后每份敬老套餐的费用为（元）. (2) 小问详解： 解：设与x的函数关系式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴， 设与x的函数关系式为， ∵过点， ∴ ，解得： ， ∴. (3) 小问详解： 解：当时， ∴， 解得：， 当， 解得：， ∵， ∴选择方案更划算. 21．（25-26学年八上·山西运城·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.92 第二档 3.37 第三档 4.05 （1）当时，写出用气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； （3）某户去年一年的用气费是1246.7元，求该户去年一年的用气量． 【答案】（1）与的函数关系式为（）     （2）该户这一年的用气费为1213元     （3）该户去年一年的用气量为410      【分析】 本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第二档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用气量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用气量处于第二档，由分段函数的计算方法列式求解即可． (1) 小问详解： 解：由表格可知，当时， 所以与的函数关系式为（）； (2) 小问详解： 解：， ∴按第二档计费， 当时，代入式中， 可得： 答：该户这一年的用气费为1213元； (3) 小问详解： 解：当时， （元）， 当时， （元） ， ∴当用气费是1246.7元时，按第二档计费 当时， 解得： 答：该户去年一年的用气量为410． 22．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）综合与探究： 如图，直线与轴，轴分别交于两点，其中． （1）求的值； （2）若点是直线上的一个动点，当点仅在第一象限内运动时，试写出的面积与的函数关系式； （3）探索：①在（2）条件下，当点运动到什么位置时，的面积是1； ②在①成立的情况下，已知，在轴上是否存在一点，使是直角三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）① 当的坐标为时，的面积是1；② 存在点使是直角三角形．点坐标， 【分析】 （1）求出点B的坐标，然后将点B的坐标代入解析式中即可求出结论； （2）根据点A在直线上即可用x表示出点A的纵坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出结论； （3）① 将S=1代入（2）的解析式中即可求出结论； ② 设点，根据直角三角形的直角的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质即可分别求出结论． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴直线解析式为， ∵点是第一象限内的直线上的一个动点， ∴， ∴． （3）① 如图，由（2）知，， ∵的面积是l， ∴， ∴， ∴当的坐标为时，的面积是1． ② 存在点使是直角三角形．点坐标，． 理由如下：设点，如图， 当时，轴，此时与点横坐标相同， ∴， ∴． 当时， ∵ ∴为等腰三角形 ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即满足条件的所有点坐标为，． 【点睛】 此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质是解题关键． 23．（2026·山西运城·二模）我国人工智能的发展处于全球领先梯队，目前已形成“巨头引领、新锐崛起、垂直深耕”的多元化格局，在技术、产业、应用等多个领域均取得了显著成果．图1展示了宇树科技研发的两款机器狗“闪电”和“追风”，它们从训练基地甲地出发，沿同一直线前往相距500米的乙地执行任务．“闪电”首先从甲地出发，并始终保持匀速前进；而“追风”在“闪电”出发时仍在甲地保持原地不动，待“闪电”出发一段时间后才开始出发，并在行进过程中将速度提升至原来的2倍．已知“追风”到达乙地后，会在原地等待“闪电”到达．“闪电”行走的路程（米）、“追风”行走的路程（米）与“闪电”行走的时间t（秒）之间的函数关系图象如图2． （1）求“追风”提速前的速度及提速后的速度及m，n的值； （2）求两只机器狗行走的路程与“闪电”行走的时间t的函数解析式； （3）直接写出“闪电”和“追风”之间的距离为10米时t的值． 【答案】（1）“追风”提速前的速度是，提速后的速度是，的值为，的值为100s．     （2）“闪电”行走的路程，“追风”行走的路程 ；     （3）的取值可以为或或或．      【分析】 本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，能够从函数图象中提取信息是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）“闪电”始终保持匀速前进，故，然后对“追风”的运动过程分时段进行分析，得到函数解析试即可； （3）分四个时间段当时，当时，当时，当时，逐一分析列出方程即可． (1) 小问详解： 解：由图象可知，“追风”提速前的速度为：， 故提速后的速度为：， ∴m的值为：， 故“闪电”的速度为：， ∴n的值为：； (2) 小问详解： 解：∵“闪电”首先从甲地出发，并始终保持匀速前进， ∴，且到达终点所用的时间为： 当时，“追风”在原地不动，此时， 当时，“追风”的速度为，此时， 当时，“追风”的速度为，此时， 当“追风”到达终点时，，得到， ∴“闪电”行走的路程， “追风”行走的路程 ； (3) 小问详解： 解：由题意得： 当时，，故，， 当时，，故，，不合题意舍去； 当时，相遇前“闪电”在前面，相遇后“追风”在前面，故， ∴或， 解得：或， 当时，在“追风”已经到达乙地，不在运动，此时“闪电”运动继续向前运动，当“闪电”距离终点10米时，即为“闪电”和“追风”之间的距离为10米， ∴，解得， ∴综上，的取值可以为或或或． 24．（25-26学年八上·山西晋中·期中）如图1，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标． （2）如图2，若直线与直线交于点A，且过点，求直线的解析式． （3）在（2）的条件下，若在线段上有一动点且D不与A、C重合，连接，试求的面积S关于a的函数解析式． （4）如图3，过点B将顺时针旋转得到直线，直接写出直线的解析式． 【答案】（1），     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）在中，当时，算出的值，即可得到点B的坐标；当时，算出的值，即可得到点A的坐标. （2）设直线的表达式，把和代入，再进一步求解即可. （3）根据列函数关系式即可. （4）如图，过作交于点，过作轴于，证明，可得，设直线的解析式为，把，代入，再进一步求解即可. (1) 小问详解： 解：依题意， 当时，则， 所以， 当时，则， 解得， ∴. (2) 小问详解： 解：设直线的表达式， 把和代入，得 ， 解得 ， ∴直线的表达式为. (3) 小问详解： 解：∵在线段上有一动点且D不与A、C重合，， ∴. (4) 小问详解： 解：如图，过作交于点，过作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 得 ， 解得 ， 故直线的解析式为． 【点睛】 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，列函数关系式，掌握以上基础知识是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $