专题07 二次根式（期中真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

**基本信息** 汇编山西多地八年级期中真题，聚焦二次根式三大考点，通过选择、填空、解答题分层考查，融入泰山海拔观测、智能测速系统等现实情境，强化数学应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|二次根式有意义条件、性质、乘除运算|结合晋中左权县智慧交通等地域素材，考查运算能力| |填空|约8题|最简二次根式、分母有理化|设置开放题（如写出使根式有意义的x值），培养创新意识| |解答|约16题|加减混合运算、实际问题应用|含榻榻米面积计算等综合题，体现模型观念与应用意识|

专题07 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）要使式子有意义，则x可取的数是（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年八上·山西晋中·期中）写出一个能使有意义的x的值：　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·山西运城·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山西期中学·期中）若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山西晋中·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）将化成最简二次根式为　　　　　． 8．（25-26学年八上·山西运城·期中）将化成最简二次根式为　　　　　　． 9．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）　　　　　　　　　　　　　　（化成最简二次根式）． 10．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山西期中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）下列各式中运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）下列二次根式化简后与能合并的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）如图，点A，B，C在数轴上，且点A是的中点，点A，B表示的数分别为，，则点C表示的数为　　　　　　． 8．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）计算 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 （1）把二次根式的除法法则公式补充完整，_________（，）； （2）从第_________步开始出现错误； （3）请写出正确的计算过程． 9．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 10．（25-26学年八上·山西运城·期中）当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．某人站在的高处，在没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少千米？ 11．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）榻榻米具有外观方正大气，空间利用率高等优点，在家庭装修中逐渐流行．如图1是一个榻榻米的实物图，图2是其俯视图，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，其中①②③④部分图形是全等的矩形，⑤部分图形是正方形，若正方形的面积为，隔板的宽度不计． （1）求正方形的边长； （2）求四个隔板的总长度（结果保留根号）． 12．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）计算： （1）； （2） （3） 13．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 14．（25-26学年八上·山西期中学·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 15．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． （1）若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； （2）用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 17．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）计算： （1）； （2）． 18．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）计算 （1）； （2）． 19．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）在左权县的智慧交通建设中，当地交管部门引入了智能测速与紧急制动预警系统．该系统基于滑行距离公式，其中s表示紧急刹车后的滑行距离（单位：），v表示刹车前的速度（单位：），结合车载传感器实时采集的车速v（），可自动计算紧急刹车后的滑行距离s（），并通过车联网技术提前向驾驶员预警安全车距． （1）当时，请算出紧急刹车后的滑行距离______； （2）若某车辆监测到前方障碍物需紧急制动，当系统显示滑行距离时，求此时的车速．（，结果精确到1） 20．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）【阅读材料】 在二次根式的计算中，，，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号化去转化为有理数的过程）．例如： ，． 【解决问题】 （1）化简：①______， ②______； （2）已知，，化简，得______，______，直接写出的值． 21．（25-26学年八上·山西晋中·期中）计算题． （1） （2） （3） （4） 22．（25-26学年八上·山西晋中·期中）在数学的广袤王国里“和”与“差”宛如一对形影不离的挚友，或是一组平仄相倚的诗行．当无理的分母如迷雾般笼罩，正是它们——这对共轭的“平方差公式”，携手登场．如同光明驱散阴影，它们默契配合，化混沌为有序，将复杂的分母变得清晰简明．这不仅是理性的运算，更是一曲关于依存与转化的和谐乐章，诉说着数学中深遂的智慧与美感． 如乘法， ，他们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 除法， ． 像以上通过分子分母同乘同一个式子使分母中不含根号或根号中不含分母的运算叫做分母有理化． （1）的有理化因式______；的有理化因式______． （2）分母有理化得______；分母有理化得______． （3）求的值． 23．（25-26学年八上·山西运城·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 24．（25-26学年八上·山西太原·期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 25．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）计算 （1） （2） （3） （4） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．A 2．D 3．【答案】3（答案不唯一） 【分析】 根据二次根式有意义是条件列出不等式，解不等式求出x的范围，进而得到答案． 【详解】 解：要使有意义，必须x﹣2≥0， 则x≥2， ∴使有意义的x的值可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 4．【答案】 【分析】 根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】 解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．D 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．【答案】 【分析】 根据二次根式的化简方法求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法． 8．【答案】 【分析】 本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法．利用二次根式性质化简即可． 【详解】 ． 故答案为：． 10．【答案】（1）     （2）     （3）3     （4）5      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算 ， 对于（1），根据二次根式的加减法计算； 对于（2），先求出算术平方根，立方根，再计算； 对于（3），根据二次根式的乘除法计算； 对于（4），先根据完全平方公式和二次根式的乘法计算，再合并同类二次根式． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式； (3) 小问详解： 解：原式； (4) 小问详解： 解：原式． 考点03 二次根式的加法与减法 1．D 2．C 3．B 4．B 5．C 6．A 7．【答案】 【分析】 由题意得，进而求得点C表示的数即可． 本题考查了实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的对应关系是解题的关键． 【详解】 解：点A是的中点， ， 点C表示的数为 故答案为： 8．【答案】（1）     （2）一     （3） ．      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质． （1）根据二次根式的除法运算法则进行分析； （2）第一步错误； （3）原式先化简二次根式，然后算除法，再算加减法． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：第一步开始出现了错误，分母只有一个； 故答案为：一； (3) 小问详解： 略 9．【答案】（1）     （2）44     （3）2     （4）12      【分析】 本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后利用二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可； （4）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 10．【答案】此时肉眼能看到的地面最远距离大约是 【分析】 本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握单位换算和二次根式的运算方法是解题的关键． 【详解】 解：∵ ∴ （） 答：此时肉眼能看到的地面最远距离大约是． 11．【答案】（1）     （2）四个隔板的总长度为：      【分析】 本题考查的是二次根式的应用． （1）由隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，可得正方形的面积，进一步求解即可． （2）设全等的矩形的长边为，短边为， 可得，，，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：正方形的面积为，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． (2) 小问详解： 解：设全等的矩形的长边为，短边为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个隔板的总长度为：． 12．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂，二次根式的除法，再计算加减即可； （3）先先根据乘法公式和乘方的意义计算，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： 13．【答案】（1）；     （2）2；     （3）．      【分析】 （1）根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算计算即可． （3）根据二次根式的性质，完全平方公式计算即可； 本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解： 14．【答案】（1）3     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先进行除法运算，再进行加减运算即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可； （3）利用平方差公式和二次根式的性质，进行计算即可； （4）根据二次根式的混合运算法则和完全平方公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式； (3) 小问详解： 解：原式； (4) 小问详解： 解：原式． 15．【答案】（1）；     （2）；     （3）5；     （4）．      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再计算加减即可； （2）先根据二次根式的性质、二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可； （3）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可得解； （4）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ＝5； (4) 小问详解： ． 16．【答案】（1）     （2） 不能裁出；理由：（分米），（分米）， ，但， 不能裁出．      【分析】 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键； （1）依据题意，由铝合金板的长：（分米），可得另一边长为：（分米），则剩余材料的面积：（平方分米），即可得解； （2）依据题意，由，但，即可判断得解． (1) 小问详解： 解：铝合金板的长：（分米）， 另一边长为：（分米）， 剩余材料的面积：（平方分米）． (2) 小问详解： 解：略． 17．【答案】（1）     （2）0      【分析】 （1）先分别计算算术平方根、平方根（注意）、立方根，再进行加减运算； （2）先根据二次根式的乘除法则计算乘除项，再将所有根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． 本题考查二次根式与立方根的混合运算，涉及的知识点是算术平方根、立方根的计算，二次根式的乘除与化简．解题中用到的方法是“先开方/乘除，后化简合并”的顺序法．解题关键是准确计算开方结果，熟练化简二次根式．易错点是混淆平方根与算术平方根（如误算为），或二次根式化简错误． (1) 小问详解： 原式. (2) 小问详解： 原式. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值以及化简二次根式，再计算加减即可得解； （2）先利用平方差公式以及完全平方公式进行计算，再计算加减即可得解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 19．【答案】（1）12     （2）      【分析】 本题考查了代数式求值，以及二次根式的应用． （1）将代入中求解，即可解题； （2）将代入中求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：当时，． 故答案为：12． (2) 小问详解： 解：当时，． 因为，所以． 答：此时的车速约为． 20．【答案】（1）①   ②     （2）；；56      【分析】 本题主要考查分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算，即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：①； ②； 故答案为：①② (2) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴． 故答案为：；． 21．【答案】（1）1     （2）     （3）     （4）9      【分析】 本题主要考查立方根、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、零次幂及二次根式的运算是解题的关键； （1）根据零次幂及立方根可进行求解； （2）根据二次根式的加减运算可进行求解； （3）根据二次根式的乘法运算可进行求解； （4）根据完全平方公式及二次根式的运算可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式； (3) 小问详解： 解：原式； (4) 小问详解： 解：原式． 22．【答案】（1）；     （2）；     （3）1      【分析】 本题主要考查分母有理化及二次根式的运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解； （3）先对二次根式进行分母有理化，然后再进行二次根式的运算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴的有理化因式；的有理化因式； 故答案为；； (2) 小问详解： 解：∵，； ∴分母有理化得；分母有理化得； 故答案为；； (3) 小问详解： 解： ． 23．【答案】（1）     （2）10     （3）3     （4）1      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得解； （2）利用平方差公式计算即可得解； （3）根据二次根式的乘法法则计算即可得解； （4）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 24．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）先将各二次根式化简，再计算减法即可得到答案； （2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； （4）先将各二次根式化简和利用完全平方公式将式子展开，再计算加减即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： ． 25．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案； （3）先化简二次根式，再计算小括号内的加减法，最后计算除法即可； （4）先根据完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 解题思路是先根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式，求出的取值范围，再逐一判断选项是否在该范围内．本题考查二次根式有意义的条件，涉及的知识点是二次根式被开方数的非负性．解题中用到的方法是不等式求解法，通过列不等式确定字母的取值范围．解题关键是牢记 “二次根式的被开方数必须是非负数” 这一规则．易错点是忽略被开方数的非负性，直接判断选项． 【详解】 二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数， 即， 解得． 故选 A 2．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）要使式子有意义，则x可取的数是（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 根据被开方式是非负数列式求解即可 【详解】 由题意得 x-4≥0， ∴x≥4， ∴x可取的数是4 故选D 【点睛】 本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键 3．（25-26学年八上·山西晋中·期中）写出一个能使有意义的x的值：　　　　　　　． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】 根据二次根式有意义是条件列出不等式，解不等式求出x的范围，进而得到答案． 【详解】 解：要使有意义，必须x﹣2≥0， 则x≥2， ∴使有意义的x的值可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 4．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【分析】 根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】 解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·山西运城·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】 解：A：∵ ， ∴ A错误； B：∵ ，故 ， ∴ B错误； C：∵ ， ∴ C错误； D：∵ ， ∴ D正确． 故选：D． 2．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次根式的性质逐一判断每个选项的正确性． 本题考查二次根式的运算法则，包括加法、减法、乘法和除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 解： ∵ ，而非 ， ∴ A错误； ∵ 和 不是同类二次根式，不能直接相减，且差值不为1， ∴ B错误； ∵ ，而非 ， ∴ C错误； ∵ ， ∴ ， ∴ D正确， 故选：D． 3．（25-26学年八上·山西期中学·期中）若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次根式的性质，掌握相关运算法则是解决问题的关键．，结合已知条件和，直接可得． 【详解】 解：∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解决问题的关键． 根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法运算对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】 解： A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是依据最简二次根式的条件（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式）逐一判断选项． 根据最简二次根式的定义，分析各选项的被开方数是否含分母、是否有能开尽方的因数或因式，进而确定符合条件的选项． 【详解】 解：A、的被开方数不含分母，也无开得尽方的因数，此选项符合题意； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、，被开方数是能开得尽方的数，不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选：A． 6．（25-26学年八上·山西晋中·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐一计算判断即可． 【详解】 解：选项A：∵，故A错误； 选项B：∵，故B错误； 选项C：∵，故C错误； 选项D：∵，故D正确． 故选：D 7．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）将化成最简二次根式为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次根式的化简方法求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法． 8．（25-26学年八上·山西运城·期中）将化成最简二次根式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）　　　　　　　　　　　　　　（化成最简二次根式）． 【答案】 【分析】 此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法．利用二次根式性质化简即可． 【详解】 ． 故答案为：． 10．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）3     （4）5      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算 ， 对于（1），根据二次根式的加减法计算； 对于（2），先求出算术平方根，立方根，再计算； 对于（3），根据二次根式的乘除法计算； 对于（4），先根据完全平方公式和二次根式的乘法计算，再合并同类二次根式． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式； (3) 小问详解： 解：原式； (4) 小问详解： 解：原式． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的化简的法则，二次根式的加法的法则，二次根式的除法的法则对各项进行运算即可． 【详解】 解：A、与被开方数不同，不可以进行加法运算，故A不符合题意； B、与被开方数不同，不可以进行减法运算，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查二次根式的计算法则，求一个数的立方根，通过逐项计算判断：A项合并同类项错误；B项立方根计算错误；C项符合平方根乘法法则；D项混淆了平方和与和的平方根． 【详解】 ∵ 对于A：，∴ A错误； 对于B：∵ ，∴ ，∴ B错误； 对于C：∵ ，∴ ，∴ C正确； 对于D：∵ ，而 ，∴ ，∴ D错误； 故选：C． 3．（25-26学年八上·山西期中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次根式的运算、二次根式的性质、立方根，根据相关运算法则逐项计算判断即可． 【详解】 解：A、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意； B、，正确，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的运算（加减、乘法）及算术平方根的性质，解题的关键是掌握同类二次根式的合并规则、二次根式的乘法法则，以及算术平方根的非负性． 根据二次根式的运算法则，逐一分析各选项：判断二次根式是否为同类根式以确定能否合并；利用二次根式乘法法则计算乘积；依据算术平方根的定义计算根式结果，进而判断选项正误． 【详解】 解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意； B、，此选项符合题意； C、，，，此选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意． 故选：B． 5．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）下列各式中运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的运算． 根据运算法则逐一判断各选项即可． 【详解】 解：选项A：∵，∴A错误； 选项B：∵和不是同类二次根式，不能直接相加，∴B错误； 选项C：∵，∴C正确； 选项D：∵，∴D错误； 故选：C． 6．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）下列二次根式化简后与能合并的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据二次根式的性质化简，然后根据能合并的二次根式为同类二次根式作出判断． 【详解】 解：A．，能与合并，故本选项正确； B．，不能与合并，故本选项错误；        C．，不能与合并，故本选项错误；        D．，不能与合并，故本选项错误；        故选：A． 7．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）如图，点A，B，C在数轴上，且点A是的中点，点A，B表示的数分别为，，则点C表示的数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意得，进而求得点C表示的数即可． 本题考查了实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的对应关系是解题的关键． 【详解】 解：点A是的中点， ， 点C表示的数为 故答案为： 8．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）计算 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 （1）把二次根式的除法法则公式补充完整，_________（，）； （2）从第_________步开始出现错误； （3）请写出正确的计算过程． 【答案】（1）     （2）一     （3） ．      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质． （1）根据二次根式的除法运算法则进行分析； （2）第一步错误； （3）原式先化简二次根式，然后算除法，再算加减法． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：第一步开始出现了错误，分母只有一个； 故答案为：一； (3) 小问详解： 略 9．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）44     （3）2     （4）12      【分析】 本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后利用二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可； （4）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 10．（25-26学年八上·山西运城·期中）当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．某人站在的高处，在没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少千米？ 【答案】此时肉眼能看到的地面最远距离大约是 【分析】 本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握单位换算和二次根式的运算方法是解题的关键． 【详解】 解：∵ ∴ （） 答：此时肉眼能看到的地面最远距离大约是． 11．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）榻榻米具有外观方正大气，空间利用率高等优点，在家庭装修中逐渐流行．如图1是一个榻榻米的实物图，图2是其俯视图，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，其中①②③④部分图形是全等的矩形，⑤部分图形是正方形，若正方形的面积为，隔板的宽度不计． （1）求正方形的边长； （2）求四个隔板的总长度（结果保留根号）． 【答案】（1）     （2）四个隔板的总长度为：      【分析】 本题考查的是二次根式的应用． （1）由隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，可得正方形的面积，进一步求解即可． （2）设全等的矩形的长边为，短边为， 可得，，，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：正方形的面积为，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． (2) 小问详解： 解：设全等的矩形的长边为，短边为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个隔板的总长度为：． 12．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）计算： （1）； （2） （3） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂，二次根式的除法，再计算加减即可； （3）先先根据乘法公式和乘方的意义计算，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： 13．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；     （2）2；     （3）．      【分析】 （1）根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算计算即可． （3）根据二次根式的性质，完全平方公式计算即可； 本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解： 14．（25-26学年八上·山西期中学·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）3     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先进行除法运算，再进行加减运算即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可； （3）利用平方差公式和二次根式的性质，进行计算即可； （4）根据二次根式的混合运算法则和完全平方公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式； (3) 小问详解： 解：原式； (4) 小问详解： 解：原式． 15．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；     （2）；     （3）5；     （4）．      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再计算加减即可； （2）先根据二次根式的性质、二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可； （3）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可得解； （4）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ＝5； (4) 小问详解： ． 16．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． （1）若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； （2）用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 【答案】（1）     （2） 不能裁出；理由：（分米），（分米）， ，但， 不能裁出．      【分析】 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键； （1）依据题意，由铝合金板的长：（分米），可得另一边长为：（分米），则剩余材料的面积：（平方分米），即可得解； （2）依据题意，由，但，即可判断得解． (1) 小问详解： 解：铝合金板的长：（分米）， 另一边长为：（分米）， 剩余材料的面积：（平方分米）． (2) 小问详解： 解：略． 17．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）0      【分析】 （1）先分别计算算术平方根、平方根（注意）、立方根，再进行加减运算； （2）先根据二次根式的乘除法则计算乘除项，再将所有根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． 本题考查二次根式与立方根的混合运算，涉及的知识点是算术平方根、立方根的计算，二次根式的乘除与化简．解题中用到的方法是“先开方/乘除，后化简合并”的顺序法．解题关键是准确计算开方结果，熟练化简二次根式．易错点是混淆平方根与算术平方根（如误算为），或二次根式化简错误． (1) 小问详解： 原式. (2) 小问详解： 原式. 18．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值以及化简二次根式，再计算加减即可得解； （2）先利用平方差公式以及完全平方公式进行计算，再计算加减即可得解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 19．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）在左权县的智慧交通建设中，当地交管部门引入了智能测速与紧急制动预警系统．该系统基于滑行距离公式，其中s表示紧急刹车后的滑行距离（单位：），v表示刹车前的速度（单位：），结合车载传感器实时采集的车速v（），可自动计算紧急刹车后的滑行距离s（），并通过车联网技术提前向驾驶员预警安全车距． （1）当时，请算出紧急刹车后的滑行距离______； （2）若某车辆监测到前方障碍物需紧急制动，当系统显示滑行距离时，求此时的车速．（，结果精确到1） 【答案】（1）12     （2）      【分析】 本题考查了代数式求值，以及二次根式的应用． （1）将代入中求解，即可解题； （2）将代入中求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：当时，． 故答案为：12． (2) 小问详解： 解：当时，． 因为，所以． 答：此时的车速约为． 20．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）【阅读材料】 在二次根式的计算中，，，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号化去转化为有理数的过程）．例如： ，． 【解决问题】 （1）化简：①______， ②______； （2）已知，，化简，得______，______，直接写出的值． 【答案】（1）①   ②     （2）；；56      【分析】 本题主要考查分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算，即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：①； ②； 故答案为：①② (2) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴． 故答案为：；． 21．（25-26学年八上·山西晋中·期中）计算题． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）1     （2）     （3）     （4）9      【分析】 本题主要考查立方根、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、零次幂及二次根式的运算是解题的关键； （1）根据零次幂及立方根可进行求解； （2）根据二次根式的加减运算可进行求解； （3）根据二次根式的乘法运算可进行求解； （4）根据完全平方公式及二次根式的运算可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式； (3) 小问详解： 解：原式； (4) 小问详解： 解：原式． 22．（25-26学年八上·山西晋中·期中）在数学的广袤王国里“和”与“差”宛如一对形影不离的挚友，或是一组平仄相倚的诗行．当无理的分母如迷雾般笼罩，正是它们——这对共轭的“平方差公式”，携手登场．如同光明驱散阴影，它们默契配合，化混沌为有序，将复杂的分母变得清晰简明．这不仅是理性的运算，更是一曲关于依存与转化的和谐乐章，诉说着数学中深遂的智慧与美感． 如乘法， ，他们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 除法， ． 像以上通过分子分母同乘同一个式子使分母中不含根号或根号中不含分母的运算叫做分母有理化． （1）的有理化因式______；的有理化因式______． （2）分母有理化得______；分母有理化得______． （3）求的值． 【答案】（1）；     （2）；     （3）1      【分析】 本题主要考查分母有理化及二次根式的运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解； （3）先对二次根式进行分母有理化，然后再进行二次根式的运算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴的有理化因式；的有理化因式； 故答案为；； (2) 小问详解： 解：∵，； ∴分母有理化得；分母有理化得； 故答案为；； (3) 小问详解： 解： ． 23．（25-26学年八上·山西运城·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）10     （3）3     （4）1      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得解； （2）利用平方差公式计算即可得解； （3）根据二次根式的乘法法则计算即可得解； （4）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 24．（25-26学年八上·山西太原·期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）先将各二次根式化简，再计算减法即可得到答案； （2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； （4）先将各二次根式化简和利用完全平方公式将式子展开，再计算加减即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： ． 25．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案； （3）先化简二次根式，再计算小括号内的加减法，最后计算除法即可； （4）先根据完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $