第一讲 集合专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-关系-运算-参数”为逻辑主线，系统整合集合核心知识，通过典例提炼元素特性应用、子集个数公式等实用方法，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的概念|3类例题+7题练习|元素三特性判断、列举法与描述法转化|从元素与集合定义到表示方法，构建概念基础| |集合间的基本关系|2类例题+7题练习|子集个数公式、Venn图直观分析|基于概念延伸出子集、真子集关系，形成包含逻辑| |集合的基本运算|3类例题+8题练习|并交补运算性质、符号语言转化|在关系基础上拓展运算，强化集合间的量化关系| |与集合有关的参数问题|3类例题+8题练习|分类讨论（含空集）、集合关系转化|综合应用概念与运算，提升逻辑推理与参数处理能力|

第一讲 集合—专题练习 【知识点梳理】 集合的概念 知识点一、元素与集合 1.元素与集合的含义 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 2.集合元素的三个特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的. （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同.也就是说集合中的元素是不重复出现的. （3）无序性：集合中的元素无固定的顺序. 3.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合A和集合B相等记作A=B. 4.集合、元素的符号表示 集合常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 元素常用小写拉丁字母a，b，c，…表示. 5.元素与集合的关系及其符号表示 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A “a不属于A” 6.常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 7.集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. （2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 知识点二、集合的表示方法 1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 集合间的基本关系 知识点一、Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 知识点二、子集 自然语言：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 符号语言：若任意的x∈A，都有x∈B，则（或）. 图像语言：Venn图表示： 知识点三、真子集 自然语言：一般地，如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少存在一个元素不属于集合A，就称集合A是集合B的真子集. 符号语言：如果集合，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集，记作（或），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）. 图形语言：Venn图表示： 知识点四、集合相等 自然语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 符号语言：若且，则A=B. 图形语言：Venn图表示： 知识点五、空集 1.空集的定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.空集的性质 （1）空集是任何集合的子集，即. （2）空集是任何非空集合的真子集，即(A≠). 知识点六、子集的性质 1.子集的性质 （1）任何一个集合是它本身的子集，记作. （2）传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么. 2.真子集的性质 （1）任何一个集合都不是它本身的真子集. （2）空集是任何非空集合的真子集. （3）传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么. 3.有限集合的子集的个数 （1）含有n个元素的集合有2n个子集. （2）含有n个元素的集合有（2n-1）个真子集. （3）含有n个元素的集合有（2n-1）个非空子集. （4）含有n个元素的集合有（2n-2）个非空真子集. （5）若集合A含有n（n≥1）个元素，集合C含有m（m≥n）个元素，且，则符合条件的集合B有2m-n个. 集合的基本运算 知识点一、并集 1.自然语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作（读作“A并B”）. 2.符号语言：. 3.图形语言：两个集合的并集用Venn图表示为： 4.并集的运算性质 ①集合与集合本身的并集仍为集合本身：即. ②任何集合与空集的并集仍为集合本身：即. ③两个集合的并集满足交换律：即. ④多个集合的并集满足结合律：即. ⑤并集关系与子集关系的转化：即. ⑥任何集合都是该集合与另一集合并集的子集：即,. 知识点二、交集 1.自然语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作（读作“A交B”）. 2.符号语言：. 3.图形语言：两个集合的交集用Venn图表示为： 4.交集的运算性质 ①集合与集合本身的交集仍为集合本身：即. ②任何集合与空集的交集都为空集：即. ③两个集合的交集满足交换律：即. ④多个集合的交集满足结合律：即. ⑤交集关系与子集关系的转化：即. ⑥两个集合的交集是其中任一集合的子集：即,. 知识点三、全集和补集 1.全集的概念：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 2.补集的概念： （1）自然语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作. （2）符号语言：. （3）图形语言： （4）补集的运算性质： ①任何集合与其补集的并集为全集：即. ②任何集合与其补集的交集为空集：即. ③任何集合的补集的补集为集合本身：即. ④全集的补集为空集，空集的补集为全集：即，. 【专题练习】 考点一：集合的概念 1.集合概念的理解 例1.下面给出的四类对象中，构成集合的是(　　) A.某班视力较好的同学 B.长寿的人 C.π的近似值 D.倒数等于它本身的数 随堂练习： 1.(多选)下列说法正确的有(　　) A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合 B.正方体的全体构成一个集合 C.未来世界的高科技产品构成一个集合 D.不大于3的所有自然数构成一个集合 2.下列各组对象可以组成集合的是(　　) A.数学必修1课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.平面直角坐标系内第一象限的一些点 D.所有小的正数 3.下列对象能组成集合的是(　　) A.的所有近似值 B.某个班级中学习好的所有同学 C.2026年全国高考数学试卷中所有难题 D.某个班级中身高高于165cm的学生 4.下列说法正确的是（　　） A.高一年级全体高个子同学可以组成一个集合 B.0∈N* C.集合{1，1，2}含有三个元素 D.0∈{0，1，2} 5.下列各组对象能构成集合的有(　　) ①接近于1的所有正整数；②小于0的实数；③(2 020,1)与(1,2 020). A.1组 B.2组 C.3组 D.0组 6.(多选题)下列说法正确的是（） A.我校爱好足球的同学不能组成一个集合 B.{1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合 C.集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合 D.由1，0，，，组成的集合有5个元素 7.下列说法中，正确的有 .(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合. 2.集合的表示 例1.用适当的方法表示下列集合. （1）不大于10的非负偶数组成的集合A. （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D. （3）方程组的解集D. （4）到两坐标轴距离相等的点的集合. 随堂练习： 1.用适当的方法表示下列集合. （1）方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集； （2）在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； （3）不等式x－2>6的解的集合； （4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； （5）方程组的解集. （6）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合. （7）不等式3x＋4≥2x的所有解. （8）被3除余2的正整数的集合B. 3.元素与集合 例1.（多选）下列各选项中是集合中的元素的有（ ） A. B. C. D. 例2.若集合，则集合A= ． 例3.若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 例4.若集合，且，则实数的值为 . 随堂练习： 1.已知，若，则的值为（  ） A．-1 B．0 C．1 D．-1或0 2.已知集合，则下列表示正确的是（  ）. A． B． C． D． 3.设,，集合，则与集合的关系是（ ） A. B. C. D. 4.若集合中只有一个元素，则实数a=（  ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 5.已知集合，若且，则实数的取值范围是 . 6.已知集合，那么下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 7.已知集合三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 8.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)．求证：（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素； （2）集合A不可能是单元素集． 考点二：集合间的基本关系 1.集合间关系的判断 例1.指出下列各组集合之间的关系： （1）,； （2）,； （3）,； （4）,. 例2.用适合的符号填空： （1）{0,2} {2,1,0}；（2）2 {2,1,0}； （3）{x|-1<x<3} {x|0≤x≤2}；（4）Q R. 随堂练习： 1.判断下列两个集合之间的关系： （1）,; （2）,; （3）,. 2.指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1，2，-3}，B＝{(－1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,-3)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 3.用适合的符号填空： （1）{2} N；（2）2 N；（3）{1} {x|x2+1=0}；（4）{1,2} {x|x2-3x+2=0}. 2.确定集合的子集、真子集的个数 例1.集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的取值为 ． 例2.若集合满足，则集合的个数为( ) A.8 B.7 C.6 D.5 随堂练习： 1.已知非空集合P满足：(1)P⊆{1,2,3,4,5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为 ． 2.集合共有 个子集. 3.满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有 个． 4.已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5.若集合满足{a,b,c}{a,b,c,d,e,f}，则集合的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6.若集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}有15个真子集，则实数m的取值范围为（　　） A．﹣1≤m＜0 B．﹣1<m≤0 C．﹣1<m＜0 D．﹣1≤m≤0 7.设集合，则其子集个数为( ) A.3 B.4 C.8 D.16 考点三：集合间的基本运算 例1.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} 例2.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 例3.已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4，7,8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)， A∩(∁UB)，(∁UA)∪B. 随堂练习： 1.若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于(　　) A.{x|x>－2} B.{x|x>－1} C.{x|－2<x<－1} D.{x|－1<x<2} 2.已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于(　　) A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4} 3.设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于(　　) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2} D.{－1,0，－2,3} 4.已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N等于(　　) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,9} D.{0,1,3,9} 5.已知集合,,则集合中元素的个数为( ) A.5    B.4    C.3    D.2 6.设U＝{x∈Z|－5≤x<－2或2<x≤5}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则＝ ，＝ . 7.已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，＝{2,4,6}，＝{1,4,6}，则集合B＝ . 8.已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)，(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)，(∁UA)∪(∁UB). 考点四：与集合有关求参数值或范围的问题 例1.已知集合,. （1）若,求实数的取值范围； （2）若,求实数的取值范围. 例2.已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围. 例3.已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁UA)∩B＝B，求实数m的取值范围. 随堂练习： 1.A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A.3≤a<4 B.－1<a<4 C.a≤－1 D.a<－1 2.已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是(　　) A.1或2 B.2或4 C.2 D.1 3.已知集合，若，则实数的取值范围为(　　) A. B. C. D. 4.设集合,,全集,若,则的取值范围是 ，若,则实数的范围是 . 5.已知集合,,若,则实数的取值范围是 . 6.设集合,,且,求实数的取值范围. 7.已知集合,. （1）若,存在集合使得,求这样的集合; （2）若集合是集合的一个子集,求的取值范围. 8.（1）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围. （2）若将（1）的条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． （3）若将（1）的条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 集合—专题练习 【知识点梳理】 集合的概念 知识点一、元素与集合 1.元素与集合的含义 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 2.集合元素的三个特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的. （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同.也就是说集合中的元素是不重复出现的. （3）无序性：集合中的元素无固定的顺序. 3.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合A和集合B相等记作A=B. 4.集合、元素的符号表示 集合常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 元素常用小写拉丁字母a，b，c，…表示. 5.元素与集合的关系及其符号表示 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A “a不属于A” 6.常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 7.集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. （2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 知识点二、集合的表示方法 1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 集合间的基本关系 知识点一、Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 知识点二、子集 自然语言：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 符号语言：若任意的x∈A，都有x∈B，则（或）. 图像语言：Venn图表示： 知识点三、真子集 自然语言：一般地，如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少存在一个元素不属于集合A，就称集合A是集合B的真子集. 符号语言：如果集合，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集，记作（或），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）. 图形语言：Venn图表示： 知识点四、集合相等 自然语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 符号语言：若且，则A=B. 图形语言：Venn图表示： 知识点五、空集 1.空集的定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.空集的性质 （1）空集是任何集合的子集，即. （2）空集是任何非空集合的真子集，即(A≠). 知识点六、子集的性质 1.子集的性质 （1）任何一个集合是它本身的子集，记作. （2）传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么. 2.真子集的性质 （1）任何一个集合都不是它本身的真子集. （2）空集是任何非空集合的真子集. （3）传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么. 3.有限集合的子集的个数 （1）含有n个元素的集合有2n个子集. （2）含有n个元素的集合有（2n-1）个真子集. （3）含有n个元素的集合有（2n-1）个非空子集. （4）含有n个元素的集合有（2n-2）个非空真子集. （5）若集合A含有n（n≥1）个元素，集合C含有m（m≥n）个元素，且，则符合条件的集合B有2m-n个. 集合的基本运算 知识点一、并集 1.自然语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作（读作“A并B”）. 2.符号语言：. 3.图形语言：两个集合的并集用Venn图表示为： 4.并集的运算性质 ①集合与集合本身的并集仍为集合本身：即. ②任何集合与空集的并集仍为集合本身：即. ③两个集合的并集满足交换律：即. ④多个集合的并集满足结合律：即. ⑤并集关系与子集关系的转化：即. ⑥任何集合都是该集合与另一集合并集的子集：即,. 知识点二、交集 1.自然语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作（读作“A交B”）. 2.符号语言：. 3.图形语言：两个集合的交集用Venn图表示为： 4.交集的运算性质 ①集合与集合本身的交集仍为集合本身：即. ②任何集合与空集的交集都为空集：即. ③两个集合的交集满足交换律：即. ④多个集合的交集满足结合律：即. ⑤交集关系与子集关系的转化：即. ⑥两个集合的交集是其中任一集合的子集：即,. 知识点三、全集和补集 1.全集的概念：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 2.补集的概念： （1）自然语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作. （2）符号语言：. （3）图形语言： （4）补集的运算性质： ①任何集合与其补集的并集为全集：即. ②任何集合与其补集的交集为空集：即. ③任何集合的补集的补集为集合本身：即. ④全集的补集为空集，空集的补集为全集：即，. 【专题练习】 考点一：集合的概念 1.集合概念的理解 例1.下面给出的四类对象中，构成集合的是(　　) A.某班视力较好的同学 B.长寿的人 C.π的近似值 D.倒数等于它本身的数 解：对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合， 对于B，长寿不是一个明确的定义，故不能构成集合， 对于C，π的近似值没有明确近似到小数点后几位，不是明确的定义，故不能构成集合， 对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和﹣1，故可以构成集合.故选：D. 随堂练习： 1.(多选)下列说法正确的有(　　) A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合 B.正方体的全体构成一个集合 C.未来世界的高科技产品构成一个集合 D.不大于3的所有自然数构成一个集合 解：在A中，花坛上色彩艳丽的花朵不能构成一个集合，故A错误；在B中，正方体的全体能构成一个集合，故B正确；在C中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故C错误；在D中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故D正确.故选：BD. 2.下列各组对象可以组成集合的是(　　) A.数学必修1课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.平面直角坐标系内第一象限的一些点 D.所有小的正数 解：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合， 故选：B. 3.下列对象能组成集合的是(　　) A.的所有近似值 B.某个班级中学习好的所有同学 C.2026年全国高考数学试卷中所有难题 D.某个班级中身高高于165cm的学生 解：D中的对象都是确定的，而且是不同的.A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合.故选：D. 4.下列说法正确的是（　　） A.高一年级全体高个子同学可以组成一个集合 B.0∈N* C.集合{1，1，2}含有三个元素 D.0∈{0，1，2} 解：对于选项A，高一年级全体高个子同学不能组成一个集合，故错误； 对于选项B，0∉N*，故错误； 对于选项C，{1，1，2}的写法是不对的，故错误； 对于选项D，0∈{0，1，2}，故正确；故选：D. 5.下列各组对象能构成集合的有(　　) ①接近于1的所有正整数；②小于0的实数；③(2 020,1)与(1,2 020). A.1组 B.2组 C.3组 D.0组 解：①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合. 故选：B. 6.(多选题)下列说法正确的是（） A.我校爱好足球的同学不能组成一个集合 B.{1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合 C.集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合 D.由1，0，，，组成的集合有5个元素 解：我校爱好足球的同学元素不确定，不能组成一个集合，故A正确； 不大于3的自然数还有0，故B错误； 集合元素相同，就是同一个集合，跟元素的顺序没有关系，故C正确； 只能算一个元素，故D错误.故选：AC. 7.下列说法中，正确的有 .(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合. 解：①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3. ②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形. ③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关.故答案为：②. 2.集合的表示 例1.用适当的方法表示下列集合. （1）不大于10的非负偶数组成的集合A. （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D. （3）方程组的解集D. （4）到两坐标轴距离相等的点的集合. 解：（1）不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}. （2）平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}. （3）方程组的解为,所以方程组的解集D＝{(3,1)}. （4）可以表示成{(x，y)|x±y＝0}. 随堂练习： 1.用适当的方法表示下列集合. （1）方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集； （2）在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； （3）不等式x－2>6的解的集合； （4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； （5）方程组的解集. （6）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合. （7）不等式3x＋4≥2x的所有解. （8）被3除余2的正整数的集合B. 解：（1）{0，－1}. （2）{x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}. （3）{x|x>8}. （4）{1,2,3,4,5,6}. （5）解集用描述法表示为，解集用列举法表示为{(2，－1)}. （6）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}. （7）可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}. （8）设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}. 3.元素与集合 例1.（多选）下列各选项中是集合中的元素的有（ ） A. B. C. D. 解：A.当时，，此时，满足题意. B.当时，，此时，不满足题意. C.当时，，此时，满足题意. D.当时，，此时，不满足题意.故选：AC. 例2.若集合，则集合A= ． 解：∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3. 又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A={0,1,2}.故答案为：{0,1,2}. 例3.若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解：由集合元素互异性可知，，所以不可能为等腰三角形.故选D. 例4.若集合，且，则实数的值为 . 解：①若，则，此时，满足题意. ②若，则，此时，不满足集合中元素的互异性. ③若，则，当时，，满足题意；当时，由②知不满足题意.综上可知，或1.故答案为：0或1. 随堂练习： 1.已知，若，则的值为（  ） A．-1 B．0 C．1 D．-1或0 解：∵且a≠0，∴=0，即b=0， ∴a2=1，根据集合元素的互异性得a=-1，∴a2020+b2021=1．故选：C． 2.已知集合，则下列表示正确的是（  ）. A． B． C． D． 解：当时，，故A正确.故选：A. 3.设,，集合，则与集合的关系是（ ） A. B. C. D. 解：因为,，但，所以.因为,，所以.故选：C. 4.若集合中只有一个元素，则实数a=（  ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 解：若中只有一个元素，则方程只有一个解，当时，的解为,满足条件；当时，则,解得，所以.故选：D. 5.已知集合，若且，则实数的取值范围是 . 解：，则不满足，，则满足， 故有，解得.故的取值范围是. 故答案为：. 6.已知集合，那么下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 解：方程的解为.故选A. 7.已知集合三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解：由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝. 当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去． 当a＝时，a－2＝，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝. 8.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)．求证：（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素； （2）集合A不可能是单元素集． 证明：(1)若a∈A，则∈A.又因为2∈A，所以＝－1∈A. 因为－1∈A，所以＝∈A.因为∈A，所以＝2∈A. 所以A中另外两个元素为－1，. (2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以a≠，所以集合A不可能是单元素集． 考点二：集合间的基本关系 1.集合间关系的判断 例1.指出下列各组集合之间的关系： （1）,； （2）,； （3）,； （4）,. 解：（1）方法1：将集合表示在数轴上，如图.有. 方法2：集合中的元素都在集合中，但集合中有些元素（比如）不在集合中，故. （2）因为是偶数集，是的倍数集，所以. （3）集合表示方程组的解集，用列举法可表示为，所以. （4）方法1：， ，显然. 方法2：对于任意，有.因为，所以，所以.所以. 设，此时，解得.因为在时无解，所以. 综上所述，. 例2.用适合的符号填空： （1）{0,2} {2,1,0}；（2）2 {2,1,0}； （3）{x|-1<x<3} {x|0≤x≤2}；（4）Q R. 解：（1）⊆；（2）∈；（3）；（4）⊆. 随堂练习： 1.判断下列两个集合之间的关系： （1）,; （2）,; （3）,. 解：（1）集合中元素是数，集合中元素是有序实数对，故与之间无包含关系. （2）集合A中的元素2,3,6都是12的约数，故它们都属于集合，所以.又因为4也是12的约数，即，但是，故. （3）等边三角形是三边都相等的三角形，等腰三角形是至少有两边相等的三角形，故. 2.指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1，2，-3}，B＝{(－1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,-3)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM. 3.用适合的符号填空： （1）{2} N；（2）2 N；（3）{1} {x|x2+1=0}；（4）{1,2} {x|x2-3x+2=0}. 解：（1）⊆；（2）∈；（3）；（4）⊆. 2.确定集合的子集、真子集的个数 例1.集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的取值为 ． 解：由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－.故答案为：1或－. 例2.若集合满足，则集合的个数为( ) A.8 B.7 C.6 D.5 解：方法1：因为，所以集合中一定含有元素.又因为，所以集合中最多含有中的个元素.满足条件的集合有{1,2,3}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}， {1,2,3,6}，{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,6}，{1,2,3,5,6}(按元素从少到多的顺序来写)，共个. 方法2：集合中一定含有元素1,2,3,，可能含有元素4,5,6，但不同时含有元素4,5,6，由此可得满足条件的集合的个数就是集合{4,5,6}的真子集的个数，共有(个). 方法3：满足的集合的个数为.故选:B. 随堂练习： 1.已知非空集合P满足：(1)P⊆{1,2,3,4,5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为 ． 解：由a∈P,6－a∈P，且P⊆{1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．故答案为：7个. 2.集合共有 个子集. 解：方法1：子集有，共8个. 方法2：集合的元素个数为3，因此它的子集有(个).故答案为：8. 3.满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有 个． 解：由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．故答案为：7. 4.已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解：由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故选：D. 5.若集合满足{a,b,c}{a,b,c,d,e,f}，则集合的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 解：有公式可知，共有（个）.故选：C. 6.若集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}有15个真子集，则实数m的取值范围为（　　） A．﹣1≤m＜0 B．﹣1<m≤0 C．﹣1<m＜0 D．﹣1≤m≤0 解：根据题意，设集合A中有n个元素，因为集合A有15个真子集，则2n﹣1＝15，解可得n＝4，即集合A中有4个元素，而集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}，必有﹣1≤m＜0，即m的取值范围为．故选：A． 7.设集合，则其子集个数为( ) A.3 B.4 C.8 D.16 解：方法1：当时，；当时，； 当时，；当时，，所以集合，其子集个数为. 方法2：因为，所以是的约数，即，解得，满足，所以集合，其子集个数为.故选：D. 考点三：集合间的基本运算 例1.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} 解：在数轴上表示出集合A与B，如图所示. 则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}.故选：A. 例2.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 解：如图所示，由数轴可知：.故选：A. 例3.已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4，7,8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)， A∩(∁UB)，(∁UA)∪B. 解：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁UA＝{1,2,6,7,8}， ∁UB＝{1,2,3,5,6}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}. 随堂练习： 1.若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于(　　) A.{x|x>－2} B.{x|x>－1} C.{x|－2<x<－1} D.{x|－1<x<2} 解：在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}.故选：A. 2.已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于(　　) A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4} 解：因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1； 当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7； 当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}. 又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}.故选：D. 3.设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于(　　) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2} D.{－1,0，－2,3} 解：因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}， 所以A∪B＝{－1,0，－2,3}.故选：D. 4.已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N等于(　　) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,9} D.{0,1,3,9} 解：易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}.故选：D. 5.已知集合,,则集合中元素的个数为( ) A.5    B.4    C.3    D.2 解：因为,所以且且,所以,有2个元素.故选：D. 6.设U＝{x∈Z|－5≤x<－2或2<x≤5}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则＝ ，＝ . 解：方法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}.又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴＝{－5，－4,3,4}，＝{－5，－4,5}. 方法二：可用Venn图表示. 则＝{－5，－4,3,4}，＝{－5，－4,5}. 7.已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，＝{2,4,6}，＝{1,4,6}，则集合B＝ . 解：方法一　(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}. 又＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}. 方法二　(Venn图法)：满足题意的Venn图，如图所示. 由图可知B＝{2,3,5,7}.故答案为：{2,3,5,7}. 8.已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)，(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)，(∁UA)∪(∁UB). 解：如图所示. ∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x<3}. 故A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}，∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}， (∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}， (∁UA)∪(∁UB)＝{x|x≤－2或2<x≤4}. 考点四：与集合有关求参数值或范围的问题 例1.已知集合,. （1）若,求实数的取值范围； （2）若,求实数的取值范围. 解：（1）①当时，满足，由，得. ②当时，若，如图所示， 则或， 解这两个不等式组，得. 综上可得，的取值范围是. （2）当时，如图所示，此时. 所以，即，无解， 所以不存在，即不存在实数使. 例2.已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围. 解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. ①当B＝∅时，k＋1>2k－1，∴k<2. ②当B≠∅，则根据题意如图所示： 根据数轴可得，解得2≤k≤. 综合①②可得k的取值范围是. 例3.已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁UA)∩B＝B，求实数m的取值范围. 解：因为A＝{x|x≤－2或x≥3}， 所以∁UA＝{x|－2<x<3}， 因为(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA). 当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7，所以m≥6，满足(∁UA)∩B＝B. 当B≠∅时，由，该不等式组无解. 故m的取值范围是{m|m≥6}. 随堂练习： 1.A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A.3≤a<4 B.－1<a<4 C.a≤－1 D.a<－1 解：利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.故选：C. 2.已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是(　　) A.1或2 B.2或4 C.2 D.1 解：∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2. 当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}，不合题意； 当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意.故选：C. 3.已知集合，若，则实数的取值范围为(　　) A. B. C. D. 解：因为，，将集合在数轴上表示出来，结合可得，故选B. 4.设集合,,全集,若,则的取值范围是 ，若,则实数的范围是 . 解：因为，所以，所以 ， 因为 ，且 .如图 可知 ，即 . 又由 ，知 ，结合 ，可知 ，即 .故答案为：. 5.已知集合,,若,则实数的取值范围是 . 解：当时，满足，此时，即.不要忽略的情况. 当时，且，得.综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 6.设集合,,且,求实数的取值范围. 解：因为,所以. 因为,所以或. 当时，有,解得. 当时，用数轴表示集合和,如图所示, 因为,所以，解得. 检验知均符合题意.综上可得，实数的取值范围是. 7.已知集合,. （1）若,存在集合使得,求这样的集合; （2）若集合是集合的一个子集,求的取值范围. 解：（1）当时，方程的根的判别式， 所以，又，所以. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集，用列举法可得这样的集合共有6个，分别为，，，，，. （2）当时，是的一个子集，此时，所以. 当时，因为，所以当时，，所以， 此时，因为，所以不是的子集， 当时，，也不是的子集， 当时，，也不是的子集， 综上，满足条件的的取值范围是. 8.（1）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围. （2）若将（1）的条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． （3）若将（1）的条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：（1）①当B＝时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠时，如图所示． ∴或 解得：2≤m≤3.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． （2）①当B＝时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠时，如图所示． ∴ 解得：2≤m<3. 综上可得，m的取值范围是{m|m<3}． （3）当A⊆B时，如图所示，此时B≠. ∴,解得：, ∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B. 学科网（北京）股份有限公司 $