专题08 勾股定理（期中真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

**基本信息** 勾股定理专题期中试题汇编，精选山西多地期中真题，聚焦定理应用与逆定理判定，融入生活实践、数学文化及跨学科情境，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|26|最短路径（圆柱/长方体爬行）、直角三角形判定|情境真实（吊车安装、遥控赛车信号干扰）| |填空|17|折叠问题、网格作图、无理数表示|结合几何直观（数轴上画无理数）| |解答|24|实际测量（旗杆/风筝高度）、数学文化（《九章算术》折竹抵地）|层次分明（基础计算到综合探究如坐标系与折叠结合）|

专题08 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）在Rt中，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 (       ) A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B.  C.  D. 1 4．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5．（25-26学年八上·山西晋中·期中）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山西太原·期中）已知正方形的边长为5，建立如图的平面直角坐标系，使该正方形的顶点A的坐标为，则该正方形顶点B的坐标可能为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）如图是吊车安装路灯的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（     ） A. 12米 B. 14米 C. 16米 D. 18米 8．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若点到水平直线（表示小河）的距离为，点到水平直线l的距离为，之间的水平距离是，则的最小值是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）如图，在中，，点表示，，，如若以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（     ）m． A. 80 B. 100 C. 120 D. 130 13．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A. 甲乙均对 B. 甲乙均错 C. 甲对乙错 D. 甲错乙对 14．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（     ） A. 3.1米 B. 3米 C. 2.9米 D. 2.8米 15．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点处有一只小虫，要吃到点处的食物，需要爬行的最短路径的长是（     ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 16．（25-26学年八上·山西晋中·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·山西运城·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理，以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接．若，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·山西运城·期中）如图，长方形放在数轴上，，，以A为圆心，长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量风筝的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题 测量风筝的高度 成员 组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx 工具 皮尺，计算器等 测量示意图 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值 测量项目 数值 点B到的距离 12米 风筝线的长度 20米 的长度 1.7米 （1）求风筝的垂直高度； （2）如图2，如果想让风筝沿方向下降11米至点F，求应该往回收多少米风筝牵引线． 20．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知        米，用含有x的式子表示为        米； （2）请你求出旗杆的高度． 21．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为　　　　　km． 22．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为　　　　　　米． 23．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）在直角坐标系内的位置如图所示 （1）分别写出点的坐标：：___________，：___________； （2）的周长为___________，面积为___________； （3）请在这个坐标系内画出与关于轴对称．若点是线段上的任意一点，则点在上的对应点的坐标为___________． 24．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如何画长为（，且n为整数）的线段【尝试·思考】如图1，方格纸中每个小方格的边长均为1．点A，B，C为格点，以点A为圆心，AC长为半径画弧交网格线于点D，则线段BD的长为①_____．    【观察·思考】在尝试中，发现：；；；；…【回顾·反思】可能为有理数，也可能为无理数．当为无理数时，以一条直角边长为n（，且n为整数），斜边长为②_____构建直角三角形，则另一条直角边长为． 任务： （1）补全以上笔记：①______；②_______； （2）请在图2的方格纸中画出一条长为的线段；（不写画法，保留画图痕迹）    （3）通过以上【回顾·反思】发现：如果三条线段长分别为n，，②____（，且n为整数），那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．请说明理由； （4）阅读以上笔记并完成相应任务后，你有什么反思？（写出一条即可） 26．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图1，是由五个边长为1的小正方形组成，剪一剪，并拼成面积相等的一个正方形．请帮小明完成下列任务： 任务（1）拼成面积相等的正方形的边长是___________； 任务（2）请在图1中画出拼成面积相等的正方形的分割线，并在图2网格中画出拼出的正方形； 任务（3）在图3数轴上找出表示数所对应的点A（保留作图痕迹）. 27．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图，一个三棱柱盒子底面三边的长分别为，，，盒子高为，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）如图，长方形纸片中，，，现将，重合，使纸片折叠压平，设折痕为，则=　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 30．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）如图，在中，，，D，E分别是边，上的一点，连接，将沿直线翻折，点B的对应点为点．若点恰好与点A重合，且，则线段的长为　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，求底部C处与E之间的距离的长． 32．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）如图，中，点，，，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于y轴对称的；写出两个图形对应顶点的横坐标之间的数量关系； （2）在x轴上找一点P，使得的值最小，画出点P，并直接写出的最小值； （3）求的面积． 33．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的环境，某市改造更换路灯，让大街更显古朴典雅，如图是吊车安装路灯的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离为16米，点B到地面的竖直距离为2米，求起重臂顶端A离地面的高度． 34．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是　　　　　　． 35．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）在山西平遥古城的遥控赛车趣味赛中，终点为点A．小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于10米时，遥控信号会相互干扰，米，米．出发5秒钟时，遥控信号是否会相互干扰？ 36．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）综合与实践 数学兴趣小组用一张长为5，宽为4的长方形纸片（如图1）进行探究活动． 动手操作 如图2，嘉嘉沿虚线裁剪，将该纸片剪成①②③三块，并按图3拼成与原纸片面积相等的正方形．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） （1）根据拼接前后面积不变，可知正方形的面积为__________，进而可得线段的长为__________； 深入探究 （2）观察图2和图3中的③号图形，可知__________（填“”“”或“”），求出线段的长； 创新实践 （3）淇淇说：“将图1的纸片沿着，的中点G，H剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据淇淇的说法设计一种方案，在图4上用虚线画出裁剪线并标注裁剪线的长度． 37．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． （1）求出、两点的坐标； （2）求出的长； （3）点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 38．（25-26学年八上·山西晋中·期中）中国载人深潜新突破：我国在北极冰区首次实现深潜，科考队携珍贵生物样品凯旋归来，为深入研究北极气候快速变化、北极超慢速扩张背景下加克洋中脊海底地质过程、极区生命演化和适应机制等提供重要科学支撑． 假如你在科学考察船——“未来”号担任一名指挥员，需要利用数学知识精确描述船队位置．我们以青岛港为坐标原点，在网格中建立平面直角坐标系．（每个小方格的边长为1海里）“未来”号的航行路线如下： 首先，从青岛港（原点O）出发，向正东方向行驶了8海里到达点B．考察结束后，转向正北方向行驶了6海里到达点C． （1）请建立平面直角坐标系，并在坐标系中描出点B和点C，并写出点B和点C的坐标． （2）“未来”号在点C处考察结束后，需要直接从点C返回青岛港（原点O），它最短的直线返航距离是多少海里？ （3）若“未来”号的返航速度为每小时20海里，它沿直线返回青岛港（原点O）需要多少小时？ 39．（25-26学年八上·山西晋中·期中）如图是吊车安装路灯的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离为16米，点B到地面的竖直距离为2米，求起重臂顶端A离地面的高度． 40．（25-26学年八上·山西运城·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为　　　　　　． 41．（25-26学年八上·山西运城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ （1）请通过已学知识解决这个实际问题； （2）将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为             ． 42．（25-26学年八上·山西太原·期中）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．求真小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 成员 组长：×××   组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺、测角仪 测量方案 如图，第一步：在地面上取一点C，使点C能直接到达A，B两点；第二步：在的延长线上确定点D，使，交的延长线于点D． 说明：图中各点均在同一水平地面内 测量数据 米，米，米． 问题解决 根据测量方案与数据，计算池塘两端A，B间的距离如下：…… 回顾反思 …… （1）请补充完整实践报告中“问题解决”部分空缺的内容； （2）请回顾解决这一问题的过程，写出你的一条反思． 43．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）阅读与应用： 下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2025年9月22日                                                                             天气：晴无理数与线段长今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，……的点．拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中仍为原点，点，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： （1）“拓展思考”中，线段的长为                 ，的长为                 ；点表示的数为                 ，点表示的数为                 ； （2）请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点，以及表示的点． 44．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）如图，在三角形纸片中，，点E是边上的一点，沿所在直线折叠，使点A的对应点D落在边上，展开后连接与交于点F．若，则的长为　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）如图，已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为　　　　　　． 46．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）综合实践： 【项目背景】小明在手工课上制作了一个长方形纸片，并将其放置在平面直角坐标系中进行研究．如图，将纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，连接，并将沿着对角线翻折，点落在点处，发现折叠后与轴交于点．已知纸片的尺寸为：，． 【项目任务】请你作为“数学探索小组成员”，帮助小明完成以下三项挑战． （1）挑战一：定位点坐标 任务：直接写出各点坐标（___________，___________）、（___________，___________）、（___________，___________） （2）挑战二：定位线位置 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行探究 ①试确定纸片折痕所在直线的函数关系式； ②请你探究求出折叠后与轴的交点的坐标； （3）挑战三：动点的存在性探究 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行深入探究 ①若点是折线上一动点，是否存在点，使得的面积是9，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． ②若点是线段上一动点，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 47．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）某景区有一圆柱形景观柱，为了营造气氛，景区准备在景观柱上缠绕彩带．已知该景观柱底面周长为，高为，如果希望彩带从景观柱底端绕景观柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）在勾股定理的探索过程中，我们常常借助正方形网格来完成学习．认识了无理数之后，我们也能在网格中运用勾股定理画出长度为一些无理数的线段，也能画出一些边长为无理数的三角形． “在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． 请你用构图法完成以下问题： （1）直接写出图1中的面积是________； （2）若中，的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的，并求出点D到的距离． （3）拓展应用：若中，的长分别为，第三边的长也是无理数，则用构图法画出的中的长可以是________（写出两个即可） 49．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，点都在格点（网格线的交点）上，与相交于点，则的度数为　　　　　　　　　　　． 50．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 51．（25-26学年八上·山西晋中·期中）如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为　　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年八上·山西运城·期中）数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． （1）如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； （2）创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 53．（25-26学年八上·山西太原·期中）实践活动：用长方形剪拼正方形． 数学思考：（1）图1是一张长为5，宽为1的长方形纸片．将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形，这个正方形的边长为        ； 操作探究：（2）图2是一张长为5，宽为2的长方形纸片．请将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形． ①新正方形的边长为        ； ②图3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请在图3中用实线画出拼接成的新正方形及所有的拼接线． 54．（25-26学年八上·山西太原·期中）如图，中，，，点D在边上，点A关于所在直线的对称点为点E，连接、．若于点F，则的长为　　　　　． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2．（25-26学年八上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作三角形模型．现有长度分别为和的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒制成直角三角形模型的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）下列可以作为直角三角形三边长的一组数是（       ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 8，16，17 D. 12，18，22 5．（25-26学年八上·山西晋中·期中）下列四组数中能作为直角三角形边长的是（     ） A. 2，2，3 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. 5，13，14 6．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A. 1 B. 2 C.  D. 5 7．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）以下列四组数为边长，不能构成直角三角形的是（     ） A.  B. 4，3，5 C.  D. 8，15，17 8．（25-26学年八上·山西运城·期中）由下列条件能判定为直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 10．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 11．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）国庆假期，小亮和爸爸妈妈一起回奶奶家，看到勤劳的爷爷奶奶因地制宜地开垦了一块四边形荒地（如图）种植蔬菜，蔬菜长势喜人． 奶奶向大家欣喜地介绍着各种蔬菜，并且对爸爸说：“我想知道开垦的这块菜地有多大，但它不规则，你能帮我测出它的大小吗？” 小亮开心地说：“奶奶，我帮你测吧！” 小亮测得：，，，，．请你根据小亮的测量数据帮奶奶计算出这块四边形菜地（阴影部分）的面积． 12．（25-26学年八上·山西期中学·期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 13．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）如图是由边长为1的若干个小正方形拼成的网格，的顶点、、均在小正方形的顶点上． （1）在图中建立恰当的平面直角坐标系，取小正方形的边长为一个单位长度，且使点的坐标为，点的坐标为； （2）在（1）中建立的平面直角坐标系内画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （3）判断的形状，并说明理由． 14．（25-26学年八上·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们对具有特殊结构特征的三角形进行探究．求真小组给出了“底倍高三角形”的定义：如果一个三角形中，有一边等于这边上高的倍，那么称这个三角形为底倍高三角形，这条边叫做“倍底边”．请根据这一定义解决他们提出的如下问题． 概念理解：（1）如图1，是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边．若，则        ，        ； （2）如图2，中，，，．小颖判断是一个以为倍底边的底倍高三角形，她的结论正确吗？说明理由； 探索运用：（3）如图3，已知线段，点是平面内一点，且是一个以线段为倍底边的底倍高三角形．若的面积为，，请直接写出中边的长． 15．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．    （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的等腰直角三角形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为； （3）如图3，点是格点，求的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）在Rt中，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据勾股定理，直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，直接计算即可． 本题考查勾股定理的应用，涉及的知识点是直角三角形中勾股定理的内容．解题中用到的方法是公式代入法，直接应用勾股定理公式计算斜边．解题关键是准确识别直角边与斜边，避免边的位置混淆．易错点是记错勾股定理的公式，或混淆直角边与斜边的平方和关系． 【详解】 ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选D． 2．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 (       ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：如图所示：记BC上的高为AE， ∵AE=4，AC= BC=4 ， 即    解得： 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长． 3．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得，再根据勾股定理得出和的长即可解答． 【详解】 解：如图，连接， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴， ∴， ∴按此手势解锁一次的路径长为：． 故选：B． 4．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【分析】 根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果． 【详解】 解：第一个正方形的面积是64； 设第一个等腰直角三角形的直角边长为 由勾股定理可得： ∴ 解得： ∴第二个正方形的面积是； 同理：第三个正方形的面积是； … 第n个正方形的面积是， 当时，正方形的面积为， ∴正方形⑤的面积是4，故B正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积． 5．（25-26学年八上·山西晋中·期中）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】 解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：D． 6．（25-26学年八上·山西太原·期中）已知正方形的边长为5，建立如图的平面直角坐标系，使该正方形的顶点A的坐标为，则该正方形顶点B的坐标可能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查勾股定理的应用，连接，由勾股定理求出，根据正方形的边长为5可判断点为正方形的顶点，即可得出答案． 【详解】 解：连接，如图， ∵正方形的顶点A的坐标为， ∴, 又∵正方形的边长为5， ∴可以为正方形的边， ∴该正方形顶点B的坐标可能为， 故选：C． 7．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）如图是吊车安装路灯的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（     ） A. 12米 B. 14米 C. 16米 D. 18米 【答案】B 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴（米）， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 故选B． 8．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若点到水平直线（表示小河）的距离为，点到水平直线l的距离为，之间的水平距离是，则的最小值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了平行线的判定，平行线间的距离，轴对称最短路径问题，勾股定理，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最小，则，所以，过点作于点，然后求出，，由勾股定理得，从而得出的最小值为，准确找到点的位置是解题的关键． 【详解】 解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最小， ∵， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 9．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】 解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 10．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查对勾股定理，平面展开-最短路径问题等知识点的理解和掌握，根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】 解：可把圆柱侧面展开如图所示， 由题意可得：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， ，， 由勾股定理得：， 故选：C． 11．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）如图，在中，，点表示，，，如若以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理并结合题意可得，再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D， ∴， ∵点表示， ∴点D表示的数为， 故选：B． 12．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（     ）m． A. 80 B. 100 C. 120 D. 130 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理，几何体的展开图认识，将长方体展开得出，，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，正确将长方体展开是解此题的关键． 【详解】 解：如图，将长方体展开： ∵底面是正方形，，， ∴，， ∴， ∴从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，行走的最短距离相当于直角三角形的斜边的长， ∵， ∴最短距离为， 故选：D． 13．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A. 甲乙均对 B. 甲乙均错 C. 甲对乙错 D. 甲错乙对 【答案】D 【分析】 本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．先根据已知条件和勾股定理求出AC，从而求出AD，再设点D表示的数为x，再根据两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x，再估算x的值，从而进行判断即可． 【详解】 解：由题意可知：， ， ， 由勾股定理得：， 设点D表示的数为x， ∴， ， ， 或， 甲的说法错误， ， ， ， 乙的说法正确， 故选：D ． 14．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（     ） A. 3.1米 B. 3米 C. 2.9米 D. 2.8米 【答案】C 【分析】 本题考查圆的半径与勾股定理的实际应用，涉及知识点：半圆的半径性质、勾股定理求线段长度．先确定半圆半径，结合卡车宽度得水平距离，用勾股定理求半圆内的垂直高度，再与长方形高度相加得卡车最大允许高度． 【详解】 解：由图形可得，（米），（米）， ， ， ， 解得：， ， （米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选C． 15．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点处有一只小虫，要吃到点处的食物，需要爬行的最短路径的长是（     ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【分析】 本题考查两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是正确理解题意． 画出圆柱侧面展开图，根据题意得出线段长度，由两点之间线段最短，确定最短路径，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】 解：如图，矩形为圆柱侧面展开图， 根据题意可知，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴需要爬行的最短路径的长是． 故选：D． 16．（25-26学年八上·山西晋中·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理的应用最短线段问题，把书架的侧面展开，连接，则的长即爬行的最短距离，连接，交于点，求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图是书架的侧面展开图，连接，则的长即爬行的最短距离，连接，交于点， ，， ∴在中，， ∴蜘蛛爬行的最短距离为， 故选：C． 17．（25-26学年八上·山西运城·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理，以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接．若，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，由题意可得，，由勾股定理可得，作交的延长线于，则，由正方形的性质可得，，证明，得出，，从而可得，最后再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴，（负值已舍去，不符合题意）， ∵， ∴， 如图，作交的延长线于， ， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 18．（25-26学年八上·山西运城·期中）如图，长方形放在数轴上，，，以A为圆心，长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理可得，再结合数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：， ∴P点表示的数为， 故选：C． 19．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量风筝的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题 测量风筝的高度 成员 组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx 工具 皮尺，计算器等 测量示意图 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值 测量项目 数值 点B到的距离 12米 风筝线的长度 20米 的长度 1.7米 （1）求风筝的垂直高度； （2）如图2，如果想让风筝沿方向下降11米至点F，求应该往回收多少米风筝牵引线． 【答案】（1）米     （2）7米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用： （1）由勾股定理得米，再根据即可求解； （2）由勾股定理得米，进而可求解； 熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由勾股定理得，（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． (2) 小问详解： 如图，由勾股定理得， （米）， （米）， ∴他应该往回收线7米． 20．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知        米，用含有x的式子表示为        米； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1）5；     （2）12米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． (1) 小问详解： 解：根据题意知：米，米． 故答案为：5；； (2) 小问详解： 解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 21．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为　　　　　km． 【答案】10 【详解】试题分析：过埋宝藏点作垂线，然后根据勾股定理求出直线距离. 考点：勾股定理 22．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为　　　　　　米． 【答案】14 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 故答案为：14． 23．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）在直角坐标系内的位置如图所示 （1）分别写出点的坐标：：___________，：___________； （2）的周长为___________，面积为___________； （3）请在这个坐标系内画出与关于轴对称．若点是线段上的任意一点，则点在上的对应点的坐标为___________． 【答案】（1），；     （2），；     （3）画图见解析，．      【分析】 本题考查了利用轴对称作图，及三角形面积的计算，网格与勾股定理的运用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （）利用勾股定理即可求出的长，可得的周长；利用三角形所在的正方形面积减三个小直角三角形的面积即可求出的面积； （）根据与关于轴找出点的对应点的位置,然后顺次连接即可，然后通过关于轴对称的特点即可求解的坐标． (1) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可得，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴的周长为， ∴的面积为 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：如图，，，，， ∴关于轴对称的点，，，， 如图，即为所求， 故答案为：． 24．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用、翻折的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据翻折的性质可得，，，再根据勾股定理可得，连接，设，根据勾股定理可求出，最后在中运用勾股定理可列出方程求解即可． 【详解】 解：∵纸片是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，如下图： 设， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ ， 故答案为：． 25．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如何画长为（，且n为整数）的线段【尝试·思考】如图1，方格纸中每个小方格的边长均为1．点A，B，C为格点，以点A为圆心，AC长为半径画弧交网格线于点D，则线段BD的长为①_____．    【观察·思考】在尝试中，发现：；；；；…【回顾·反思】可能为有理数，也可能为无理数．当为无理数时，以一条直角边长为n（，且n为整数），斜边长为②_____构建直角三角形，则另一条直角边长为． 任务： （1）补全以上笔记：①______；②_______； （2）请在图2的方格纸中画出一条长为的线段；（不写画法，保留画图痕迹）    （3）通过以上【回顾·反思】发现：如果三条线段长分别为n，，②____（，且n为整数），那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．请说明理由； （4）阅读以上笔记并完成相应任务后，你有什么反思？（写出一条即可） 【答案】（1）；；     （2） 线段即为所求；      （3） 三条线段分别为n，，， ∵，， ∴ ∴这三条线段组成的三角形是直角三角形；     （4）当直角三角形的斜边的平方为奇数时，两条直角边为两个连续的整数，且这两个整数的和为斜边的平方      【分析】 本题考查了勾股定理及逆定理，网格中画三角形，运用数形结合思想； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由，，结合网格的特点即可画出； （3）根据勾股定理逆定理解答； （4）当直角三角形的斜边的平方为奇数时，两条直角边为两个连续的整数，且这两个整数的和为斜边的平方． (1) 小问详解： 解：， ∵直角三角形的直角边分别为n，， ∴斜边， 故答案为；； (2) 小问详解： 解：画图如下：， (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 略 26．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图1，是由五个边长为1的小正方形组成，剪一剪，并拼成面积相等的一个正方形．请帮小明完成下列任务： 任务（1）拼成面积相等的正方形的边长是___________； 任务（2）请在图1中画出拼成面积相等的正方形的分割线，并在图2网格中画出拼出的正方形； 任务（3）在图3数轴上找出表示数所对应的点A（保留作图痕迹）. 【答案】任务（1） 任务（2）解：如图1，画出拼成面积相等的正方形的分割线（虚线）如下， 如图2，网格中画出拼出的正方形如下．     任务（3）解：如图，点表示数对应的点． 【分析】 本题考查了算术平方根的几何意义、图形的剪拼及数轴上表示无理数的点，解题的关键是通过面积求出正方形的边长，掌握图形剪拼的方法与数轴上表示无理数的步骤． 任务（1）先计算五个小正方形的总面积，再求其算术平方根得到正方形的边长； 任务（2）依据边长对应的直角三角形斜边进行图形分割与拼接； 任务（3）利用已得的的长度，在数轴上从对应的点出发构造线段确定目标点． 【详解】 任务（1）解：五个小正方形的总面积为， 设拼成的正方形边长为，则， 又，故． 故答案为：． 任务（2）略 任务（3）解：过数轴上表示的点作数轴的垂线，截取长为的线段，连接该线段上端点与原点，得线段长为；以表示的点为圆心，为半径画弧，交数轴正方向于点，即点表示数对应的点． 27．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图，一个三棱柱盒子底面三边的长分别为，，，盒子高为，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是　　　　　　　　　　　． 【答案】13 【分析】 本题考查了立体图形表面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将三棱柱侧面展开为平面图形，再利用勾股定理计算最短路径． 【详解】 解：将三棱柱侧面展开，底面三边总长为，盒子高为， 由勾股定理，最短路程为． 故答案为：13． 28．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）如图，长方形纸片中，，，现将，重合，使纸片折叠压平，设折痕为，则=　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 由翻折的性质知，，且，故由勾股定理求得的长，再证得，有，则； 【详解】 解：由题意知，，， 在中，，， 即， 解得：， ， ， 又，， ， ， ， ； 故答案为： 29．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． (1) 小问详解： 解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． (2) 小问详解： 如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 30．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）如图，在中，，，D，E分别是边，上的一点，连接，将沿直线翻折，点B的对应点为点．若点恰好与点A重合，且，则线段的长为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，折叠的性质，由题意可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理计算得出，最后再由勾股定理并结合计算即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵将沿直线翻折，点B的对应点为点．若点恰好与点A重合， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，求底部C处与E之间的距离的长． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，由题意得：，，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出的长，即可得解． 【详解】 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）如图，中，点，，，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于y轴对称的；写出两个图形对应顶点的横坐标之间的数量关系； （2）在x轴上找一点P，使得的值最小，画出点P，并直接写出的最小值； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示． 数量关系为和为0；     （2） 如图所示，点即为所求：      （3）4      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，轴对称的性质，勾股定理，利用网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质作出图形即可得解； （2）作点关于轴的对称点，由对称得，，，结合得出当点，，三点共线时，的值最小，即的长度，最后由勾股定理计算即可得解； （3）利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，作点关于轴的对称点， 由对称得，，， ， 当点，，三点共线时，的值最小，即的长度， ， 的最小值为； (3) 小问详解： 解：的面积是． 33．（25-26学年八上·山西运城稷山县·期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的环境，某市改造更换路灯，让大街更显古朴典雅，如图是吊车安装路灯的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离为16米，点B到地面的竖直距离为2米，求起重臂顶端A离地面的高度． 【答案】起重臂顶端A离地面的高度为14米 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】 解：米，米， 米． 点到地面的竖直距离为2米， 米， 起重臂顶端A离地面的高度为14米． 34．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， 即的长是， 故答案为：． 35．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）在山西平遥古城的遥控赛车趣味赛中，终点为点A．小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于10米时，遥控信号会相互干扰，米，米．出发5秒钟时，遥控信号是否会相互干扰？ 【答案】不会， 理由：设出发5秒钟时两个赛车分别到达点，，如图所示， 此时（米），（米） 因为米，米， 所以（米），（米）． 所以（米） 因为， 所以出发5秒钟时，遥控信号不会相互干扰． 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解答本题的关键． 根据题意可分别求出出发5秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发5秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于或等于10米作比较即可得出答案． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）综合与实践 数学兴趣小组用一张长为5，宽为4的长方形纸片（如图1）进行探究活动． 动手操作 如图2，嘉嘉沿虚线裁剪，将该纸片剪成①②③三块，并按图3拼成与原纸片面积相等的正方形．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） （1）根据拼接前后面积不变，可知正方形的面积为__________，进而可得线段的长为__________； 深入探究 （2）观察图2和图3中的③号图形，可知__________（填“”“”或“”），求出线段的长； 创新实践 （3）淇淇说：“将图1的纸片沿着，的中点G，H剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据淇淇的说法设计一种方案，在图4上用虚线画出裁剪线并标注裁剪线的长度． 【答案】（1）20；； （2）；； （3）如图所示：裁剪线为；      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据拼接前后面积不变，得正方形的面积等于长方形的面积，求出长方形面积可得结论； （2）根据勾股定理求解即可； （3）在上截取，顺次连接可得裁剪线，再根据所得图形拼接成正方形即可． 【详解】 解：（1）∵长方形的面积为， ∴正方形的面积为20， ∴， 故答案为：20；； （2）观察图2和图3中的③ 号图形，可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （3）略 37．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． （1）求出、两点的坐标； （2）求出的长； （3）点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】（1）点坐标为，点坐标为     （2）3     （3）或或      【分析】 本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． (2) 小问详解： 解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． (3) 小问详解： 解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 38．（25-26学年八上·山西晋中·期中）中国载人深潜新突破：我国在北极冰区首次实现深潜，科考队携珍贵生物样品凯旋归来，为深入研究北极气候快速变化、北极超慢速扩张背景下加克洋中脊海底地质过程、极区生命演化和适应机制等提供重要科学支撑． 假如你在科学考察船——“未来”号担任一名指挥员，需要利用数学知识精确描述船队位置．我们以青岛港为坐标原点，在网格中建立平面直角坐标系．（每个小方格的边长为1海里）“未来”号的航行路线如下： 首先，从青岛港（原点O）出发，向正东方向行驶了8海里到达点B．考察结束后，转向正北方向行驶了6海里到达点C． （1）请建立平面直角坐标系，并在坐标系中描出点B和点C，并写出点B和点C的坐标． （2）“未来”号在点C处考察结束后，需要直接从点C返回青岛港（原点O），它最短的直线返航距离是多少海里？ （3）若“未来”号的返航速度为每小时20海里，它沿直线返回青岛港（原点O）需要多少小时？ 【答案】（1） 如图，建立坐标系如下： ∴，.     （2）海里     （3）小时      【分析】 本题考查的是平面直角坐标系，勾股定理的应用. （1）由题意确定原点与坐标轴，再描出即可. （2）根据勾股定理求解即可. （3）利用路程除以速度即可. (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，，， ∴， ∴“未来”号在点C处考察结束后，需要直接从点C返回青岛港（原点O），它最短的直线返航距离是海里. (3) 小问详解： 解：“未来”号的返航速度为每小时20海里，它沿直线返回青岛港（原点O）需要（小时）. 39．（25-26学年八上·山西晋中·期中）如图是吊车安装路灯的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离为16米，点B到地面的竖直距离为2米，求起重臂顶端A离地面的高度． 【答案】起重臂顶端离地面的高度为14米． 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴（米）， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 40．（25-26学年八上·山西运城·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段． 【详解】 解：如图所示，根据题意，长方体的长，宽，高，， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得 ； 第二种展开图中，根据题意，得 ； 第三种展开图中，根据题意，得 ； 故爬行的最短路程为， 故答案为：． 41．（25-26学年八上·山西运城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ （1）请通过已学知识解决这个实际问题； （2）将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为             ． 【答案】（1）绳索长尺     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理，理解题意，正确运用勾股定理是解此题的关键． （1）设绳索长尺，则尺，利用勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理计算即可得解． (1) 小问详解： 解：设绳索长尺，则尺， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故绳索长尺； (2) 小问详解： 解：由题意并结合勾股定理可得， 整理可得：， ∴． 42．（25-26学年八上·山西太原·期中）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．求真小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 成员 组长：×××   组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺、测角仪 测量方案 如图，第一步：在地面上取一点C，使点C能直接到达A，B两点；第二步：在的延长线上确定点D，使，交的延长线于点D． 说明：图中各点均在同一水平地面内 测量数据 米，米，米． 问题解决 根据测量方案与数据，计算池塘两端A，B间的距离如下：…… 回顾反思 …… （1）请补充完整实践报告中“问题解决”部分空缺的内容； （2）请回顾解决这一问题的过程，写出你的一条反思． 【答案】（1） 解：方法一：由题意得，，即． 在中，由勾股定理，得， 米，米， ， ， （米）， 在中，由勾股定理，得， 米， ， ， （米）， （米）， 答：池塘两端、间的距离为11米； 方法二：由题可知，，即， 在中，由勾股定理，得， 米，米， ， 在中，由勾股定理，得， 米， ， ，则， ， ， （米）， 答：池塘两端、间的距离为11米．     （2）解：答案不唯一，合理即可．例如：可以通过构造直角三角形，将不可直接测量的线段转化为可以测量的线段，然后利用勾股定理求出未知线段．      【分析】 本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求出米，米，再根据线段和差可得答案； （2）根据题意，解决问题的思路是通过构造直角三角形，将不可直接测量的线段转化为可以测量的线段，然后利用勾股定理求出未知线段． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）阅读与应用： 下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2025年9月22日                                                                             天气：晴无理数与线段长今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，……的点．拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中仍为原点，点，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： （1）“拓展思考”中，线段的长为                 ，的长为                 ；点表示的数为                 ，点表示的数为                 ； （2）请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点，以及表示的点． 【答案】（1），，，     （2）如图，点M、点N为所求． 【分析】 本题考查了作图—复杂作图，数轴上的点与实数一一对应，也考查了勾股定理，理解题意正确作出对应图形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理计算出正方形的对角线长为，从而得到、的长，然后利用数轴表示数的方法得到点和点表示的数； （2）构建直角三角形，点表示的数为，使，则利用勾股定理得到，然后以点为圆心，的长为半径作圆，交数轴的负半轴于，交数轴的正半轴于N即可． (1) 小问详解： 解：以边长为的正方形的对角线为半径画圆，半径为， 以表示的数为的点为圆心时，圆的半径也为， ，， 位于原点右侧，位于原点左侧， 表示的数为，表示的数为， 故答案为：，，，； (2) 小问详解： 构建直角三角形，点表示的数为，使，， ， 然后以点为圆心，的长为半径作圆，交数轴的负半轴于点，交数轴的正半轴于点N，则点表示的数为，点N表示的数为． 44．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）如图，在三角形纸片中，，点E是边上的一点，沿所在直线折叠，使点A的对应点D落在边上，展开后连接与交于点F．若，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三线合一定理，过点A作于G，由折叠的性质可得，由“三线合一”得到，设，则，；由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，过点A作于G， 由折叠的性质可得， ∵，， ∴； 设，则， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 45．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）如图，已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 由于AD＝AB，∠DAB＝90°，则把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，根据旋转的性质得到AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，则△APF为等腰直角三角形，得到∠APF＝45°，PF＝AP＝2，即有∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，然后在Rt△FBP中，根据勾股定理可计算出FB的长，即可得到PD的长． 【详解】 解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图， ∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB， ∴△APF为等腰直角三角形， ∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2， ∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°， 在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2， ∴由勾股定理得FB＝2， ∴PD＝2， 故答案为：2． 【点睛】 此题主要考查四边形内线段求解，解题的关键是熟知旋转的性质、正方形的特点及勾股定理的应用． 46．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）综合实践： 【项目背景】小明在手工课上制作了一个长方形纸片，并将其放置在平面直角坐标系中进行研究．如图，将纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，连接，并将沿着对角线翻折，点落在点处，发现折叠后与轴交于点．已知纸片的尺寸为：，． 【项目任务】请你作为“数学探索小组成员”，帮助小明完成以下三项挑战． （1）挑战一：定位点坐标 任务：直接写出各点坐标（___________，___________）、（___________，___________）、（___________，___________） （2）挑战二：定位线位置 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行探究 ①试确定纸片折痕所在直线的函数关系式； ②请你探究求出折叠后与轴的交点的坐标； （3）挑战三：动点的存在性探究 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行深入探究 ①若点是折线上一动点，是否存在点，使得的面积是9，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． ②若点是线段上一动点，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）、、；     （2）①；②     （3）① 存在点，使得的面积是9，的坐标为或； ② 存在点，使得是等腰三角形，的坐标为或或；      【分析】 （1）由纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，，，可得答案； （2）① 先求出、的坐标，然后用待定系数法求解即可； ② 先证明；设，则，在直角中，，则，求出得到的长即可求解； （3）① 分别根据三角形的面积公式和割补法，判断点在和上满足条件的位置即可； ② 分、、三种情况，根据等腰三角形的性质判断点位置即可． (1) 小问详解： 解：因为纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，，， 所以各点坐标为、、； (2) 小问详解： ① 设直线解析式为， ∴ ，解得： ， ∴所在直线的函数关系式为； ② ∵长方形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在直角中，， 则， 解得：； 则， 则； (3) 小问详解： ① 存在； 点在上时，的高是3，面积是9，底是线段的长度； 设：的坐标为 则即 解得 则的坐标为； 点在上时， 设：的坐标为 ， 解得， 则的坐标为； 所以的坐标为或； ② 当时，为等腰三角形，此时的坐标为； 当时，为等腰三角形，点在的垂直平分线上，，此时的坐标为； 当时，为等腰三角形，点在的垂直平分线上，，为中点，，，，， 作 设， 在中， 解得 此时的坐标为 所以存在点，使得是等腰三角形，的坐标为、、 【点睛】 本题主要考查了求一次函数解析式，三角形面积，坐标与图形，勾股定理与折叠，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于熟练掌握相关知识进行求解． 47．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）某景区有一圆柱形景观柱，为了营造气氛，景区准备在景观柱上缠绕彩带．已知该景观柱底面周长为，高为，如果希望彩带从景观柱底端绕景观柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，彩带绕3圈相当于在矩形上水平移动3倍底面周长，垂直移动圆柱高度，利用勾股定理求斜边长度． 本题考查了圆柱的展开图，勾股定理的应用，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】 解：展开图如下： 圆柱底面周长为，高为，彩带绕3圈到达顶端，相当于在侧面展开图中，水平方向移动距离为，垂直方向移动距离为 彩带路径为斜边， 故答案为：． 48．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）在勾股定理的探索过程中，我们常常借助正方形网格来完成学习．认识了无理数之后，我们也能在网格中运用勾股定理画出长度为一些无理数的线段，也能画出一些边长为无理数的三角形． “在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． 请你用构图法完成以下问题： （1）直接写出图1中的面积是________； （2）若中，的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的，并求出点D到的距离． （3）拓展应用：若中，的长分别为，第三边的长也是无理数，则用构图法画出的中的长可以是________（写出两个即可） 【答案】（1）     （2） 如图所示，即为所求；      （3）或或或      【分析】 本题主要考查了网格中求三角形面积，勾股定理，分母有理化，化简二次根式，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）先仿照（1）画出对应的图形，然后求出的面积，再利用等面积法求解即可； （3）根据题意画出对应的示意图，再利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解：， 设点D到的距离为h， 则， ∴， ∴点D到的距离为； (3) 小问详解： 解：如图3-1所示，； 如图3-2所示，； 如图3-3所示，； 如图3-4所示，； 综上所述，的长为或或或 49．（25-26学年八上·山西运城闻喜县·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，点都在格点（网格线的交点）上，与相交于点，则的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】45° 【分析】 本题考查了勾股定理、勾股定理是逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质，过点B作，连接，根据勾股定理分别求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点B作，连接， 由勾股定理得：， ， ， ． ， ， ， ， ． 故答案为． 50．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 【答案】（1）；；；（2）200米；（3）41 【分析】 （1）根据梯形、三角形面积公式列代数式即可； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F，由轴对称的性质得，利用勾股定理解即可求解； （3）构造和，令，，当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长． 【详解】 解：（1）， ， ，， ； 故答案为：；；； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F， 由轴对称得，， ， 如图，当点P在上时，取最小值， ，，， ，， ， 在中，， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为； （3）如图，，，，，，， 设，则， 由勾股定理得，， ， 当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为41， 故答案为：41． 【点睛】 本题考查最短路径问题，勾股定理，列代数式等，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 51．（25-26学年八上·山西晋中·期中）如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等，也考查了等腰三角形的性质，勾股定理．过A点作于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据折叠的性质得到，所以，从而可判断最短时，最大，根据垂线段最短，此时，然后利用 面积法求出此时的长，从而得到的最大值． 【详解】 解：过A点作于H点，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：6． 52．（25-26学年八上·山西运城·期中）数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． （1）如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； （2）创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 【答案】（1）正确，理由如下 连接，过点作于点 在中 ∵ ∴三角形为等腰三角形． 又∵∴ ∴在中 ∴四边形四边为整数，面积为整数，是整数四边形．     （2）72；54； 如图，面积为72． 如图：面积为54． 【分析】 本题考查了学生的探究能力，对于新的定义“整数四边形”的理解与应用，同时考查了勾股定理，三角形面积计算，图形分割，本题的关键在于对新定义的理解和对面积的分割． （1）利用直角，连接，将四边形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，利用已知数据将两个三角形面积面积计算得出面积，判断四边为整数，面积为整数，即为整数四边形． （2）根据整数四边形满足的条件去整理思路，原整数四边形周长为18，现要求为36，不妨将边长都扩大两倍进行尝试，四边分别为，验证面积，符合题意；另外一组设计也可利用常见勾股数先构造直角三角形，另外的两边可根据周长慢慢推测，组合满足面积为整数，边长为整数，周长为36的四边形． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 如图①：面积求解如下： 易证： 面积求解如下： 连接，过点作于， 设 53．（25-26学年八上·山西太原·期中）实践活动：用长方形剪拼正方形． 数学思考：（1）图1是一张长为5，宽为1的长方形纸片．将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形，这个正方形的边长为        ； 操作探究：（2）图2是一张长为5，宽为2的长方形纸片．请将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形． ①新正方形的边长为        ； ②图3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请在图3中用实线画出拼接成的新正方形及所有的拼接线． 【答案】（1）； （2）①； ② 如图，正方形即为所求． 【分析】 本题主要考查了求一个数的算术平方根，勾股定理，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用面积相等，根据算术平方根即可求解； （2）① 利用面积相等，根据算术平方根即可求解； ② 利用勾股定理得出直角三角形的直角边，然后进行画图即可． 【详解】 解：（1）长方形的面积为， 根据长方形的面积和正方形的面积相等， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）① 长方形的面积为， 根据长方形的面积和正方形的面积相等， ∴正方形的边长为， 故答案为：； ②∵， ∴可以将原长方形切割成4个直角边分别为1和3的直角三角形， 然后剩下的小正方形拼接成的正方形放在中间即可． 54．（25-26学年八上·山西太原·期中）如图，中，，，点D在边上，点A关于所在直线的对称点为点E，连接、．若于点F，则的长为　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查三线合一，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键。作于点，作于点，三线合一结合勾股定理，求出的长，等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，证明，进而得到，，线段的和差求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：2． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·山西晋中平遥县·期中）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【分析】 根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解． 【详解】 解：，不能构成直角三角形，A选项不符合题意． ，不能构成直角三角形，B选项不符合题意． ，不能构成直角三角形，C选项不符合题意． ，能构成直角三角形，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 2．（25-26学年八上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】 解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 3．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作三角形模型．现有长度分别为和的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒制成直角三角形模型的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴这样的三角形不存在， 故A不符合题意； ∵， ∴这样的三角形不存在， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴能构成直角三角形， 故C符合题意； ∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年八上·山西晋中左权县·期中）下列可以作为直角三角形三边长的一组数是（       ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 8，16，17 D. 12，18，22 【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理逆定理的应用，即如果一个三角形的三边满足两条较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形是直角三角形． 通过计算各选项的平方和进行判断． 【详解】 解：A、，，，∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、，，，∴5，12，13可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； C、，，，∴8，16，17不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、，，，∴12，18，22不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（25-26学年八上·山西晋中·期中）下列四组数中能作为直角三角形边长的是（     ） A. 2，2，3 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. 5，13，14 【答案】B 【分析】 本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】 解：A：∵，，， ∴不能作为直角三角形边长，不符合题意； B：∵，，， ∴能作为直角三角形边长，符合题意； C：∵，，， ∴不能作为直角三角形边长，不符合题意； D：∵，，， ∴不能作为直角三角形边长，不符合题意； 故选B． 6．（25-26学年八上·山西期中学·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A. 1 B. 2 C.  D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理结合勾股定理逆定理得出为直角三角形，设点A到直线的距离是为h，再由等面积法计算即可得出答案，正确判断出为直角三角形是解此题的关键． 【详解】 解：由勾股定理得：， ， 为直角三角形，， 设点A到直线的距离是为h， ， ， ， ∴点A到直线的距离是2， 故选：B． 7．（25-26学年八上·山西晋中太谷区·期中）以下列四组数为边长，不能构成直角三角形的是（     ） A.  B. 4，3，5 C.  D. 8，15，17 【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理，即若三角形三边满足两小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形．因此，需要计算每组数中两小边的平方和与最大边的平方是否相等，从而判断能否构成直角三角形即可． 【详解】 解：，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选C． 8．（25-26学年八上·山西运城·期中）由下列条件能判定为直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查直角三角形的判定方法，掌握相关知识是解决问题的关键．通过勾股定理逆定理或有一个内角为判断三角形为直角三角形． 【详解】 解： A：∵ ，， ∴ ， ∴不是直角三角形； B：设，，， 则， 解得， ∴ ，，，没有的角， ∴不是直角三角形； C：最大边为， ∵ ，， ∴ ， ∴不是直角三角形； D：∵ ，， ∴ ， ∴是直角三角形． 故选：D． 9．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； (2) 小问详解： 如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 10．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该婴儿车符合安全标准， ∵ ∴在中，由勾股定理，得， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴该婴儿车符合安全标准． 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直．先在中，根据勾股定理求出，再计算与的值，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角． 【详解】 略 11．（25-26学年八上·山西晋中榆次区·期中）国庆假期，小亮和爸爸妈妈一起回奶奶家，看到勤劳的爷爷奶奶因地制宜地开垦了一块四边形荒地（如图）种植蔬菜，蔬菜长势喜人． 奶奶向大家欣喜地介绍着各种蔬菜，并且对爸爸说：“我想知道开垦的这块菜地有多大，但它不规则，你能帮我测出它的大小吗？” 小亮开心地说：“奶奶，我帮你测吧！” 小亮测得：，，，，．请你根据小亮的测量数据帮奶奶计算出这块四边形菜地（阴影部分）的面积． 【答案】这块四边形菜地的面积为 【分析】 本题考查了勾股定理的应用以及其逆定理的应用和三角形面积的计算，准确的计算是解决本题的关键． 连接BC，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形且，再算出和进而即可求解． 【详解】 解：如图，连接BC， 在中，，，， ∴， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵ ， ∴ ， ∴阴影的面积 ， 答：这块四边形菜地的面积为． 12．（25-26学年八上·山西期中学·期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 【答案】（1）直角三角形；     （2）原路线千米      【分析】 （1）本题考查勾股定理逆定理，根据线段长度结合勾股定理逆定理即可得到答案； （2）本题考查勾股定理，设千米，根据勾股定理直接求解即可得到答案 (1) 小问详解： 解：∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 设千米，则千米， 由勾股定理得：， 即 解得： 即原路线千米. 13．（25-26学年八上·山西晋中寿阳县·期中）如图是由边长为1的若干个小正方形拼成的网格，的顶点、、均在小正方形的顶点上． （1）在图中建立恰当的平面直角坐标系，取小正方形的边长为一个单位长度，且使点的坐标为，点的坐标为； （2）在（1）中建立的平面直角坐标系内画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （3）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示：      （2） 如图所示：即为所求，由图可知点得坐标为．      （3）是直角三角形      【分析】 此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是确定确定点的坐标，掌握关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标为相反数，纵坐标不变． （1）根据A点坐标，确定原点位置，再画出坐标系即可； （2）根据坐标系确定的坐标，再确定关于y轴对称的点的坐标即可． （3）利用勾股定理及勾股定理的逆定理判断即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由勾股定理可知： ， 是直角三角形． 14．（25-26学年八上·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们对具有特殊结构特征的三角形进行探究．求真小组给出了“底倍高三角形”的定义：如果一个三角形中，有一边等于这边上高的倍，那么称这个三角形为底倍高三角形，这条边叫做“倍底边”．请根据这一定义解决他们提出的如下问题． 概念理解：（1）如图1，是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边．若，则        ，        ； （2）如图2，中，，，．小颖判断是一个以为倍底边的底倍高三角形，她的结论正确吗？说明理由； 探索运用：（3）如图3，已知线段，点是平面内一点，且是一个以线段为倍底边的底倍高三角形．若的面积为，，请直接写出中边的长． 【答案】（1），； （2）小颖的结论不正确，理由如下： 如图，过点作于点， ，，， ， ， ，即， ， ， 不是一个以为倍底边的底倍高三角形，故小颖的结论不正确； （3）边的长为或 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解决问题的关键是正确理解“底倍高”三角形的概念、画出图形，根据分类讨论的思想进行解答． （1）根据“底倍高”三角形的概念求出，再根据勾股定理求出； （2）过点作于点，根据勾股定理的逆定理可得，利用等面积法求出，得到，即可判定； （3）过点作于点，根据题意求出，，进而得到，分两种情况：当时，，当时，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 （1）是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边， ， ， 故答案为：，； （2）略； （3）如图，过点作于点， 是一个以线段为倍底边的底倍高三角形， ， 设，则， ， ， 解得（负值已舍去）， ，则， ， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，边的长为或． 15．（25-26学年八上·山西晋中介休·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．    （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的等腰直角三角形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为； （3）如图3，点是格点，求的度数． 【答案】（1） 解：由题意知，面积为5的等腰直角三角形的边长为， ∵， ∴构造如图1的等腰三角形；         （2） 解：由题意知，，， ∴构造如图2的三角形；         （3）      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）：由题意知，面积为5的等腰直角三角形的边长为，由，构造如图1的等腰三角形即可； （2）由题意知，，，构造如图2的三角形即可； （3）如图3，连接，由勾股定理得，，，由，可知是等腰直角三角形，进而可求的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，连接，    由勾股定理得，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴的度数为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．D 2．A 3．B 4．B 5．D 6．C 7．B 8．A 9．C 10．C 11．B 12．D 13．D 14．C 15．D 16．C 17．B 18．C 19．【答案】（1）米     （2）7米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用： （1）由勾股定理得米，再根据即可求解； （2）由勾股定理得米，进而可求解； 熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由勾股定理得，（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． (2) 小问详解： 如图，由勾股定理得， （米）， （米）， ∴他应该往回收线7米． 20．【答案】（1）5；     （2）12米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． (1) 小问详解： 解：根据题意知：米，米． 故答案为：5；； (2) 小问详解： 解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 21．【答案】10 【详解】试题分析：过埋宝藏点作垂线，然后根据勾股定理求出直线距离. 考点：勾股定理 22．【答案】14 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 故答案为：14． 23．【答案】（1），；     （2），；     （3）画图见解析，．      【分析】 本题考查了利用轴对称作图，及三角形面积的计算，网格与勾股定理的运用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （）利用勾股定理即可求出的长，可得的周长；利用三角形所在的正方形面积减三个小直角三角形的面积即可求出的面积； （）根据与关于轴找出点的对应点的位置,然后顺次连接即可，然后通过关于轴对称的特点即可求解的坐标． (1) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可得，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴的周长为， ∴的面积为 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：如图，，，，， ∴关于轴对称的点，，，， 如图，即为所求， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用、翻折的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据翻折的性质可得，，，再根据勾股定理可得，连接，设，根据勾股定理可求出，最后在中运用勾股定理可列出方程求解即可． 【详解】 解：∵纸片是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，如下图： 设， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ ， 故答案为：． 25．【答案】（1）；；     （2） 线段即为所求；      （3） 三条线段分别为n，，， ∵，， ∴ ∴这三条线段组成的三角形是直角三角形；     （4）当直角三角形的斜边的平方为奇数时，两条直角边为两个连续的整数，且这两个整数的和为斜边的平方      【分析】 本题考查了勾股定理及逆定理，网格中画三角形，运用数形结合思想； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由，，结合网格的特点即可画出； （3）根据勾股定理逆定理解答； （4）当直角三角形的斜边的平方为奇数时，两条直角边为两个连续的整数，且这两个整数的和为斜边的平方． (1) 小问详解： 解：， ∵直角三角形的直角边分别为n，， ∴斜边， 故答案为；； (2) 小问详解： 解：画图如下：， (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 略 26．【答案】任务（1） 任务（2）解：如图1，画出拼成面积相等的正方形的分割线（虚线）如下， 如图2，网格中画出拼出的正方形如下．     任务（3）解：如图，点表示数对应的点． 【分析】 本题考查了算术平方根的几何意义、图形的剪拼及数轴上表示无理数的点，解题的关键是通过面积求出正方形的边长，掌握图形剪拼的方法与数轴上表示无理数的步骤． 任务（1）先计算五个小正方形的总面积，再求其算术平方根得到正方形的边长； 任务（2）依据边长对应的直角三角形斜边进行图形分割与拼接； 任务（3）利用已得的的长度，在数轴上从对应的点出发构造线段确定目标点． 【详解】 任务（1）解：五个小正方形的总面积为， 设拼成的正方形边长为，则， 又，故． 故答案为：． 任务（2）略 任务（3）解：过数轴上表示的点作数轴的垂线，截取长为的线段，连接该线段上端点与原点，得线段长为；以表示的点为圆心，为半径画弧，交数轴正方向于点，即点表示数对应的点． 27．【答案】13 【分析】 本题考查了立体图形表面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将三棱柱侧面展开为平面图形，再利用勾股定理计算最短路径． 【详解】 解：将三棱柱侧面展开，底面三边总长为，盒子高为， 由勾股定理，最短路程为． 故答案为：13． 28．【答案】 【分析】 本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 由翻折的性质知，，且，故由勾股定理求得的长，再证得，有，则； 【详解】 解：由题意知，，， 在中，，， 即， 解得：， ， ， 又，， ， ， ， ； 故答案为： 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． (1) 小问详解： 解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． (2) 小问详解： 如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 30．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，折叠的性质，由题意可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理计算得出，最后再由勾股定理并结合计算即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵将沿直线翻折，点B的对应点为点．若点恰好与点A重合， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，由题意得：，，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出的长，即可得解． 【详解】 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．【答案】（1） 如图所示． 数量关系为和为0；     （2） 如图所示，点即为所求：      （3）4      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，轴对称的性质，勾股定理，利用网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质作出图形即可得解； （2）作点关于轴的对称点，由对称得，，，结合得出当点，，三点共线时，的值最小，即的长度，最后由勾股定理计算即可得解； （3）利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，作点关于轴的对称点， 由对称得，，， ， 当点，，三点共线时，的值最小，即的长度， ， 的最小值为； (3) 小问详解： 解：的面积是． 33．【答案】起重臂顶端A离地面的高度为14米 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】 解：米，米， 米． 点到地面的竖直距离为2米， 米， 起重臂顶端A离地面的高度为14米． 34．【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， 即的长是， 故答案为：． 35．【答案】不会， 理由：设出发5秒钟时两个赛车分别到达点，，如图所示， 此时（米），（米） 因为米，米， 所以（米），（米）． 所以（米） 因为， 所以出发5秒钟时，遥控信号不会相互干扰． 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解答本题的关键． 根据题意可分别求出出发5秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发5秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于或等于10米作比较即可得出答案． 【详解】 略 36．【答案】（1）20；； （2）；； （3）如图所示：裁剪线为；      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据拼接前后面积不变，得正方形的面积等于长方形的面积，求出长方形面积可得结论； （2）根据勾股定理求解即可； （3）在上截取，顺次连接可得裁剪线，再根据所得图形拼接成正方形即可． 【详解】 解：（1）∵长方形的面积为， ∴正方形的面积为20， ∴， 故答案为：20；； （2）观察图2和图3中的③ 号图形，可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （3）略 37．【答案】（1）点坐标为，点坐标为     （2）3     （3）或或      【分析】 本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． (2) 小问详解： 解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． (3) 小问详解： 解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 38．【答案】（1） 如图，建立坐标系如下： ∴，.     （2）海里     （3）小时      【分析】 本题考查的是平面直角坐标系，勾股定理的应用. （1）由题意确定原点与坐标轴，再描出即可. （2）根据勾股定理求解即可. （3）利用路程除以速度即可. (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，，， ∴， ∴“未来”号在点C处考察结束后，需要直接从点C返回青岛港（原点O），它最短的直线返航距离是海里. (3) 小问详解： 解：“未来”号的返航速度为每小时20海里，它沿直线返回青岛港（原点O）需要（小时）. 39．【答案】起重臂顶端离地面的高度为14米． 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴（米）， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 40．【答案】 【分析】 根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段． 【详解】 解：如图所示，根据题意，长方体的长，宽，高，， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得 ； 第二种展开图中，根据题意，得 ； 第三种展开图中，根据题意，得 ； 故爬行的最短路程为， 故答案为：． 41．【答案】（1）绳索长尺     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理，理解题意，正确运用勾股定理是解此题的关键． （1）设绳索长尺，则尺，利用勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理计算即可得解． (1) 小问详解： 解：设绳索长尺，则尺， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故绳索长尺； (2) 小问详解： 解：由题意并结合勾股定理可得， 整理可得：， ∴． 42．【答案】（1） 解：方法一：由题意得，，即． 在中，由勾股定理，得， 米，米， ， ， （米）， 在中，由勾股定理，得， 米， ， ， （米）， （米）， 答：池塘两端、间的距离为11米； 方法二：由题可知，，即， 在中，由勾股定理，得， 米，米， ， 在中，由勾股定理，得， 米， ， ，则， ， ， （米）， 答：池塘两端、间的距离为11米．     （2）解：答案不唯一，合理即可．例如：可以通过构造直角三角形，将不可直接测量的线段转化为可以测量的线段，然后利用勾股定理求出未知线段．      【分析】 本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求出米，米，再根据线段和差可得答案； （2）根据题意，解决问题的思路是通过构造直角三角形，将不可直接测量的线段转化为可以测量的线段，然后利用勾股定理求出未知线段． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．【答案】（1），，，     （2）如图，点M、点N为所求． 【分析】 本题考查了作图—复杂作图，数轴上的点与实数一一对应，也考查了勾股定理，理解题意正确作出对应图形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理计算出正方形的对角线长为，从而得到、的长，然后利用数轴表示数的方法得到点和点表示的数； （2）构建直角三角形，点表示的数为，使，则利用勾股定理得到，然后以点为圆心，的长为半径作圆，交数轴的负半轴于，交数轴的正半轴于N即可． (1) 小问详解： 解：以边长为的正方形的对角线为半径画圆，半径为， 以表示的数为的点为圆心时，圆的半径也为， ，， 位于原点右侧，位于原点左侧， 表示的数为，表示的数为， 故答案为：，，，； (2) 小问详解： 构建直角三角形，点表示的数为，使，， ， 然后以点为圆心，的长为半径作圆，交数轴的负半轴于点，交数轴的正半轴于点N，则点表示的数为，点N表示的数为． 44．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三线合一定理，过点A作于G，由折叠的性质可得，由“三线合一”得到，设，则，；由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，过点A作于G， 由折叠的性质可得， ∵，， ∴； 设，则， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 45．【答案】2 【分析】 由于AD＝AB，∠DAB＝90°，则把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，根据旋转的性质得到AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，则△APF为等腰直角三角形，得到∠APF＝45°，PF＝AP＝2，即有∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，然后在Rt△FBP中，根据勾股定理可计算出FB的长，即可得到PD的长． 【详解】 解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图， ∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB， ∴△APF为等腰直角三角形， ∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2， ∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°， 在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2， ∴由勾股定理得FB＝2， ∴PD＝2， 故答案为：2． 【点睛】 此题主要考查四边形内线段求解，解题的关键是熟知旋转的性质、正方形的特点及勾股定理的应用． 46．【答案】（1）、、；     （2）①；②     （3）① 存在点，使得的面积是9，的坐标为或； ② 存在点，使得是等腰三角形，的坐标为或或；      【分析】 （1）由纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，，，可得答案； （2）① 先求出、的坐标，然后用待定系数法求解即可； ② 先证明；设，则，在直角中，，则，求出得到的长即可求解； （3）① 分别根据三角形的面积公式和割补法，判断点在和上满足条件的位置即可； ② 分、、三种情况，根据等腰三角形的性质判断点位置即可． (1) 小问详解： 解：因为纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，，， 所以各点坐标为、、； (2) 小问详解： ① 设直线解析式为， ∴ ，解得： ， ∴所在直线的函数关系式为； ② ∵长方形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在直角中，， 则， 解得：； 则， 则； (3) 小问详解： ① 存在； 点在上时，的高是3，面积是9，底是线段的长度； 设：的坐标为 则即 解得 则的坐标为； 点在上时， 设：的坐标为 ， 解得， 则的坐标为； 所以的坐标为或； ② 当时，为等腰三角形，此时的坐标为； 当时，为等腰三角形，点在的垂直平分线上，，此时的坐标为； 当时，为等腰三角形，点在的垂直平分线上，，为中点，，，，， 作 设， 在中， 解得 此时的坐标为 所以存在点，使得是等腰三角形，的坐标为、、 【点睛】 本题主要考查了求一次函数解析式，三角形面积，坐标与图形，勾股定理与折叠，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于熟练掌握相关知识进行求解． 47．【答案】 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，彩带绕3圈相当于在矩形上水平移动3倍底面周长，垂直移动圆柱高度，利用勾股定理求斜边长度． 本题考查了圆柱的展开图，勾股定理的应用，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】 解：展开图如下： 圆柱底面周长为，高为，彩带绕3圈到达顶端，相当于在侧面展开图中，水平方向移动距离为，垂直方向移动距离为 彩带路径为斜边， 故答案为：． 48．【答案】（1）     （2） 如图所示，即为所求；      （3）或或或      【分析】 本题主要考查了网格中求三角形面积，勾股定理，分母有理化，化简二次根式，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）先仿照（1）画出对应的图形，然后求出的面积，再利用等面积法求解即可； （3）根据题意画出对应的示意图，再利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解：， 设点D到的距离为h， 则， ∴， ∴点D到的距离为； (3) 小问详解： 解：如图3-1所示，； 如图3-2所示，； 如图3-3所示，； 如图3-4所示，； 综上所述，的长为或或或 49．【答案】45° 【分析】 本题考查了勾股定理、勾股定理是逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质，过点B作，连接，根据勾股定理分别求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点B作，连接， 由勾股定理得：， ， ， ． ， ， ， ， ． 故答案为． 50．【答案】（1）；；；（2）200米；（3）41 【分析】 （1）根据梯形、三角形面积公式列代数式即可； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F，由轴对称的性质得，利用勾股定理解即可求解； （3）构造和，令，，当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长． 【详解】 解：（1）， ， ，， ； 故答案为：；；； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F， 由轴对称得，， ， 如图，当点P在上时，取最小值， ，，， ，， ， 在中，， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为； （3）如图，，，，，，， 设，则， 由勾股定理得，， ， 当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为41， 故答案为：41． 【点睛】 本题考查最短路径问题，勾股定理，列代数式等，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 51．【答案】6 【分析】 本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等，也考查了等腰三角形的性质，勾股定理．过A点作于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据折叠的性质得到，所以，从而可判断最短时，最大，根据垂线段最短，此时，然后利用 面积法求出此时的长，从而得到的最大值． 【详解】 解：过A点作于H点，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：6． 52．【答案】（1）正确，理由如下 连接，过点作于点 在中 ∵ ∴三角形为等腰三角形． 又∵∴ ∴在中 ∴四边形四边为整数，面积为整数，是整数四边形．     （2）72；54； 如图，面积为72． 如图：面积为54． 【分析】 本题考查了学生的探究能力，对于新的定义“整数四边形”的理解与应用，同时考查了勾股定理，三角形面积计算，图形分割，本题的关键在于对新定义的理解和对面积的分割． （1）利用直角，连接，将四边形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，利用已知数据将两个三角形面积面积计算得出面积，判断四边为整数，面积为整数，即为整数四边形． （2）根据整数四边形满足的条件去整理思路，原整数四边形周长为18，现要求为36，不妨将边长都扩大两倍进行尝试，四边分别为，验证面积，符合题意；另外一组设计也可利用常见勾股数先构造直角三角形，另外的两边可根据周长慢慢推测，组合满足面积为整数，边长为整数，周长为36的四边形． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 如图①：面积求解如下： 易证： 面积求解如下： 连接，过点作于， 设 53．【答案】（1）； （2）①； ② 如图，正方形即为所求． 【分析】 本题主要考查了求一个数的算术平方根，勾股定理，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用面积相等，根据算术平方根即可求解； （2）① 利用面积相等，根据算术平方根即可求解； ② 利用勾股定理得出直角三角形的直角边，然后进行画图即可． 【详解】 解：（1）长方形的面积为， 根据长方形的面积和正方形的面积相等， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）① 长方形的面积为， 根据长方形的面积和正方形的面积相等， ∴正方形的边长为， 故答案为：； ②∵， ∴可以将原长方形切割成4个直角边分别为1和3的直角三角形， 然后剩下的小正方形拼接成的正方形放在中间即可． 54．【答案】2 【分析】 本题考查三线合一，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键。作于点，作于点，三线合一结合勾股定理，求出的长，等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，证明，进而得到，，线段的和差求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：2． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； (2) 小问详解： 如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 10．【答案】该婴儿车符合安全标准， ∵ ∴在中，由勾股定理，得， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴该婴儿车符合安全标准． 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直．先在中，根据勾股定理求出，再计算与的值，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角． 【详解】 略 11．【答案】这块四边形菜地的面积为 【分析】 本题考查了勾股定理的应用以及其逆定理的应用和三角形面积的计算，准确的计算是解决本题的关键． 连接BC，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形且，再算出和进而即可求解． 【详解】 解：如图，连接BC， 在中，，，， ∴， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵ ， ∴ ， ∴阴影的面积 ， 答：这块四边形菜地的面积为． 12．【答案】（1）直角三角形；     （2）原路线千米      【分析】 （1）本题考查勾股定理逆定理，根据线段长度结合勾股定理逆定理即可得到答案； （2）本题考查勾股定理，设千米，根据勾股定理直接求解即可得到答案 (1) 小问详解： 解：∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 设千米，则千米， 由勾股定理得：， 即 解得： 即原路线千米. 13．【答案】（1） 如图所示：      （2） 如图所示：即为所求，由图可知点得坐标为．      （3）是直角三角形      【分析】 此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是确定确定点的坐标，掌握关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标为相反数，纵坐标不变． （1）根据A点坐标，确定原点位置，再画出坐标系即可； （2）根据坐标系确定的坐标，再确定关于y轴对称的点的坐标即可． （3）利用勾股定理及勾股定理的逆定理判断即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由勾股定理可知： ， 是直角三角形． 14．【答案】（1），； （2）小颖的结论不正确，理由如下： 如图，过点作于点， ，，， ， ， ，即， ， ， 不是一个以为倍底边的底倍高三角形，故小颖的结论不正确； （3）边的长为或 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解决问题的关键是正确理解“底倍高”三角形的概念、画出图形，根据分类讨论的思想进行解答． （1）根据“底倍高”三角形的概念求出，再根据勾股定理求出； （2）过点作于点，根据勾股定理的逆定理可得，利用等面积法求出，得到，即可判定； （3）过点作于点，根据题意求出，，进而得到，分两种情况：当时，，当时，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 （1）是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边， ， ， 故答案为：，； （2）略； （3）如图，过点作于点， 是一个以线段为倍底边的底倍高三角形， ， 设，则， ， ， 解得（负值已舍去）， ，则， ， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，边的长为或． 15．【答案】（1） 解：由题意知，面积为5的等腰直角三角形的边长为， ∵， ∴构造如图1的等腰三角形；         （2） 解：由题意知，，， ∴构造如图2的三角形；         （3）      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）：由题意知，面积为5的等腰直角三角形的边长为，由，构造如图1的等腰三角形即可； （2）由题意知，，，构造如图2的三角形即可； （3）如图3，连接，由勾股定理得，，，由，可知是等腰直角三角形，进而可求的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，连接，    由勾股定理得，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴的度数为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $