精品解析：山西省太原市阳曲县龙城双语学校2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

山西省太原市阳曲县龙城双语学校2025-2026学年 上学期八年级数学期中试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 2. 下列四个图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，5，3 C. 6，7，8 D. 5，12，13 4. 如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，要使，需添加条件（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，可以判定为等腰三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 6. 如图，在中，，点是边的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. ， D. ， 8. 如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，，，平分，若，则点到的距离为（ ） A. 14 B. 20 C. 24 D. 25 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 12. 已知直角三角形的两直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为_____． 13. 一个三角形的三边均为整数，其中两边长为2和3，则第三边的最大值为______． 14. 如图，是的角平分线，于，若，，则的度数为___________． 15. 如图，在中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，则的值为______． 16. 如图1，小明将一张长方形纸片对折，使长方形两边重合，折痕为，铺开后沿折叠，使点A与上的点D重合．如图2，再将该长方形纸片进行折叠，折痕分别为，，使长方形的两边均与重合；铺开后沿折叠，使点A与上的点Q重合．分别连接图1中的与图2中的，则的值为___________． 三、解答题（本题有6小题，共52分） 17. 如图，已知，点在边上，与交于点．若，，求的度数． 18. 如图，在中，，于点． （1）若平分且分别交，于点E，F，求证：． （2）若，，求和的长． 19. 如图，中，． （1）请在图1中利用无刻度的直尺和圆规作斜边上的中线（不写作法，保留作图痕迹） （2）点E在上，且，请在图2中找出所有符合条件的点E（工具不限），并直接写出的度数． 20. 阅读并完成相应任务． 如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处． 测量数据 米，米，米 （1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整． （2）任务二：①凉亭与游艇之间距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由． 21. 如图，和为等腰直角三角形，，已知点在上，连接． （1）求证：． （2）苦，求的长． 22. 如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）． 　 （1）求证：． （2）若为等腰三角形时，求值． （3）如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省太原市阳曲县龙城双语学校2025-2026学年 上学期八年级数学期中试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和为进行列式即可解答,考查了三角形内角和为，熟记内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：． 2. 下列四个图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3. 下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，5，3 C. 6，7，8 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，即若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证各选项即可，熟练掌握勾股定理逆定理是解此题的关键． 【详解】解：A、，故不能作为直角三角形的三边长； B、，故不能作为直角三角形三边长； C、，故不能作为直角三角形的三边长； D、，能作为直角三角形的三边长； 故选：D． 4. 如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，要使，需添加条件（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由线段的和差可得，再根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，∴，结合，不能证明，不符合题意； B、∵，∴，结合，能证明，符合题意； C、，结合，不能证明，不符合题意； D、，不能证明，不符合题意； 故选：B． 5. 下列条件中，可以判定为等腰三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，则，无两角相等，不能判定为等腰三角形； 、设，，，则，解得，即得，，，无两角相等，不能判定为等腰三角形； 、，则，两边相等，可以判定为等腰三角形； 、，仅满足勾股定理，无法确定与是否相等，不能判定为等腰三角形； 故选：． 6. 如图，在中，，点是边的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形三线合一性质得到，，然后由直角三角形两锐角互余得到，进而可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，点是边的中点 ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7. 对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了举反例，反例需满足两角互补（和为）但两角不相等，由此即可得出结果，理解题意是解此题关键． 【详解】解：由题意可得：命题条件为与互补，即；结论为， A、且，满足结论，不是反例； B、，不满足条件，不是反例； C、，不满足条件，不反例； D、，但，满足条件但不满足结论，是反例； 故选：D． 8. 如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 先根据点是的中点，，得出，根据点为的中点，得出，根据点D为的中点，得出． 【详解】解：是的中点，， ∴， 点为的中点， ， ∵点D为的中点， ∴． 故选：B． 9. 如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形和DE⊥AC求出∠ADE=30°，利用直角三角形中30°的角的性质得出AD的值，结合D是AB中点得到三边的长度，进而求出CE的长度，再根据EF⊥BC求出∠FEC=30°，再一次利用直角三角形中30°的角的性质即可得出答案. 【详解】∵ABC是等边三角形，DE⊥AC ∴∠A=∠C=60°，∠AED=90° ∴∠ADE=90°-∠A=30° 又AE=2 ∴AD=4 又D是AB的中点 ∴AB=2AD=8 进而AC=AB=8 ∴CE=AC-AE=6 又∵EF⊥BC ∴∠FEC=90°-∠C=30° ∴CF=CE=3 故答案选择：A. 【点睛】本题考查的是等边三角形，运用到了“在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一基本性质. 10. 如图，在中，，，平分，若，则点到的距离为（ ） A. 14 B. 20 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理可得，由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义得出，再证明即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：过点作于点，过点作于点， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 12. 已知直角三角形的两直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质： 先根据勾股定理求出斜边长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求解． 【详解】解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8， 由勾股定理得斜边长， 由斜边上的中线长等于斜边的一半得． 故答案为：5． 13. 一个三角形的三边均为整数，其中两边长为2和3，则第三边的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长是x，由此得到，即可得到答案．解题关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：设三角形的第三边长是x， 由三角形三边关系定理得到：， ， 三角形三边均整数， 三角形第三边的最大值为 故答案为： 14. 如图，是的角平分线，于，若，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先求出，再由角平分线的定义可得，由垂线的定义可得，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，角平分线的性质定理，添加辅助线，利用角平分线的性质定理求解是关键．过点G作于点M，于点N，根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点G作于点M，于点N， 由作图步骤可知，平分， ， ． 故答案为：． 16. 如图1，小明将一张长方形纸片对折，使长方形两边重合，折痕为，铺开后沿折叠，使点A与上的点D重合．如图2，再将该长方形纸片进行折叠，折痕分别为，，使长方形的两边均与重合；铺开后沿折叠，使点A与上的点Q重合．分别连接图1中的与图2中的，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，在图1中，可求得，在图2中，由，，根据勾股定理得，，从而可得答案 ． 【详解】解：设， 如图1，由折叠得，，垂直平分， ∴； 如图2，由折叠得，，，， ∴，，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题重点考查折对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用，二次根式的化简等知识，设，根据轴对称的性质和勾股定理推导出用含m的代数式表示和的式子是解题的关键． 三、解答题（本题有6小题，共52分） 17. 如图，已知，点在边上，与交于点．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质与判定，利用全等证明，再结合全等三角形性质和题干条件给出，最后利用三角形外角等于与之不相邻的两个内角和，即可解题． 【详解】解：， ，， 点在边上， ， ， 又，且是的外角， ． 18. 如图，在中，，于点． （1）若平分且分别交，于点E，F，求证：． （2）若，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，勾股定理，对顶角相等，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义，再证明，结合对顶角相等即可得证； （2）由勾股定理计算即可得出的值，再由三角形面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，中，． （1）请在图1中利用无刻度的直尺和圆规作斜边上的中线（不写作法，保留作图痕迹） （2）点E在上，且，请在图2中找出所有符合条件的点E（工具不限），并直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的作法，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． （1）作的垂直平分线，与的交点为点D，连接即为所求； （2）分两种情况：点E为的中点时，，；当时，，根据三角形外角的性质及三角形内角和定理求解． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，点E和点为所作； 当点E为的中点时， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 综上所述，的度数为或． 20. 阅读并完成相应的任务． 如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处． 测量数据 米，米，米 （1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整． （2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由． 【答案】（1）见解析 （2）①8；②见解析 【解析】 【分析】（1）任务一：根据题意可知，小华的方案中蕴含着一对全等三角形，即△ABC≌△DEC，将图形补充完整即可； （2）任务二：①由补充完整的图形可知，△ABC≌△DEC，且AB与DE是对应边，可知AB＝DE＝8米，得出答案为8； ②由题意可知AC＝CD＝20米，∠A＝∠D＝90°，∠ACB与∠DCE是对顶角，由“ASA”可判定△ABC≌△DEC，则AB＝DE＝8米，说明小明的方案是正确的． 【小问1详解】 解：任务一：将测量方案示意图补充完整如图所示． 【小问2详解】 任务二：①由△ABC≌△DEC，得AB＝DE＝8（米）， 故答案为：8． ②理由：如图， 由题意可知，AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米，∠A＝90°，∠D＝90°， ∴AC＝DC，∠A＝∠D， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE＝8米， ∴小明的方案是正确的． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． 21. 如图，和为等腰直角三角形，，已知点在上，连接． （1）求证：． （2）苦，求的长． 【答案】（1）证明见详解； （2）的长是； 【解析】 【分析】（1）根据和为等腰直角三角形，，则，，，由此可证（）； （2）作于点，求出，可得，，根据，可求，进而可得，根据勾股定理求出，则，利用勾股定理求出，进而可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵和为等腰直角三角形，， ∴，，， ， ∴（）； 【小问2详解】 作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的长是． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确的作出所需的辅助线是解题的关键． 22. 如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）． 　 （1）求证：． （2）若为等腰三角形时，求的值． （3）如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______． 【答案】（1）证明见详解； （2）的值为或； （3）； 【解析】 【分析】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可； （3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可． 【小问1详解】 证明：设，，， 则， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 如图1中，取得中点，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∵点在上运动， ∴不可能， 综上所述，满足条件的的值为或； 小问3详解】 如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 同理可证， ∴，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $