第二讲 常用逻辑用语专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以逻辑推理为主线，系统整合充分条件与必要条件、全称量词与存在量词知识，通过表格化方法提炼与层级化题型设计，构建“概念-判断-应用”的完整逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |充分条件与必要条件|3考点（判断/充要判断/参数问题），含例题+随堂练习|定义法判断充分必要关系；命题真假关系表判定充要条件；集合包含关系求解参数范围|从命题概念出发，经充分/必要条件到充要条件，形成概念递进链| |全称量词与存在量词|3考点（命题判断/否定/参数问题），含例题+随堂练习|量词符号化表达；否定转换规则（全称-存在互换）；真假验证法（特值/反例）|从量词概念到真假判断再到命题否定，构建逻辑推理闭环|

第二讲 常用逻辑用语—专题练习 【知识点梳理】 充分条件与必要条件 知识点一、命题、充分条件与必要条件 1.命题一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题. 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.结构：“若p，则q”，“如果p，那么q”. 2.充分条件与必要条件的定义 （1）一般地，“若p，则q”为真命题，我们就说，由p可以推出q，记作，此时就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. （2）如果“若p，则q”为假命题，我们就说，p不可以推出q，记作，此时就说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 知识点二、充要条件 1.逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件的定义 （1）如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. （2）如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. 3.充要条件的判断与命题真假之间的关系 设原命题为“若,则”,则逆命题为“若,则”,得与的关系有以下四种情形： “若,则” “若,则” 与的关系 结论 真 假 ,但 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 假 真 ,但 是的必要不充分条件 是的充分不必要条件 真 真 ,即 与互为充要条件 假 假 且 是的既不充分也不必要条件 是的既不充分也不必要条件 全称量词和存在量词 知识点一、全称量词命题和存在量词命题 1.全称量词命题和存在量词命题的概念 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2.全称量词命题和存在量词命题的真假判断 （1）全称量词命题的真假判断 ①要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立. ②如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． （2）存在量词命题的真假判断 ①要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立． ②要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是假命题，需要集合中的每个元素x，证明p(x)都不成立． 知识点二、全称量词命题和存在量词命题的否定 1.含量词的命题的否定 类型 全称量词命题 存在量词命题 命题形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 命题的否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 2.命题的否定与原命题的真假关系：原命题为真，则其否命题为假；原命题为假，则其否命题为真. 【专题练习】 考点一：充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件的判断 例1. （1）p：a＝0，q：ab＝0，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （2）p：x＝y，q：|x|＝|y|，q是p的 (“充分条件”或必要条件). （3）已知x∈R，p：x>1，q：x>2，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （4）p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B，q是p的 (“充分条件”或必要条件). （5）在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （6）p：a>b，q：ac>bc，q是p的 (“充分条件”或必要条件). 随堂练习： 1.（1）已知p：x>2，q：x2>4，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （2）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等，q是p的 (“充分条件”或必要条件). （3）已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （4）p：A⊆B，q：A∩B＝A，q是p的 (“充分条件”或必要条件). （5）若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （6）p：|x|>2，q：x>2，q是p的 (“充分条件”或必要条件). 2.充要条件的判断 例1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). （1）p：x2>0，q：x>0. （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5. （3）p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形. （4）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等. （5）p：2－x≥0，q：|x－1|≤1. 随堂练习： 1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). （1）p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. （2）p：已知a，b是实数，a<0，且b<0，q：ab(a－b)>0. （3）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2. （4）p：a是自然数；q：a是正数. （5）p：x＝1，q：x－1＝. （6）p：a能被6整除，q：a能被3整除. （7）p：，q：x2<1. 3.由充分、必要、充要条件求参数值或取值范围 例1.设,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 . 例2.已知,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 . 例3.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 随堂练习： 1.已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 . 2.若,若是的充分不必要条件,则的取值范围是 ，若是的必要不充分条件,则的取值范围是 . 3.已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为 . 4.已知p：（x+4）（x﹣1）≤0，q：x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0．若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 5.已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}.若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 6.已知集合A＝{x|﹣2＜x＜6}，B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}.若x∈B成立的一个必要条件是x∈A， 求实数m的取值范围； 7.已知，，其中. （1）若是的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 8.已知命题：关于的方程的两根均属于集合. （1）若命题为真命题，求实数的取值集合. （2）设，是否存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由. 考点二：全称量词与存在量词 1.全称量词命题和存在量词命题及其真假的判断 例1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题，并判断命题的真假. （1）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. （2）对任意的，都有. （3）方程3x－2y＝10有整数解． （4）存在x，y，使2x+3y+3<0. （5）有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形. 随堂练习： 1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题，并判断命题的真假． （1）凸多边形的外角和等于360°. （2）对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立. （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除. （4）存在，使. （5）至少有一个正整数是偶数． 2.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．∀x∈R,2x＋1>0 B．若2x为偶数，则x∈N C．菱形的四条边都相等 D．π是无理数 3.命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)， 它是 命题(填“真”或“假”) 4.下列命题中是存在量词命题的是（ ） A.有些自然数是偶数 B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除 D.对于任意，总有 2.全全称量词命题和存在量词命题否定及其真假判断 例1.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． （1）所有分数都是有理数. （2）存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小. （3）∃a，b∈R，a2＋b2≤0. （4）∀x∈R，x2－2x＋1≥0. （5）正方形都是菱形. （6）∀x∈R，有x+1＝2x． 随堂练习： 1.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． （1）某些梯形的对角线互相平分； （2）∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. （3）所有自然数的平方都是正数. （4）∀x∈R，|x|＋x2≥0. （5）∃x∈R，使4x﹣3＞x. 2.命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)， 它是 命题(填“真”或“假”) 3.(多选)对下列命题的否定说法正确的是(　 　) A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∀n∈N,2n≤100；p的否定：∃n∈N,2n>100 4.已知命题；命题，则( ) A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和都是真命题 3.已知含有一个量词的命题的真假求参数问题 例1.命题,使,若是真命题,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 例2.已知命题p：∀x≥1，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围． 例3.已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1﹣a≥0，命题q：∃x∈R，ax2﹣2x+1＜0，若p为假命题， q为真命题，求实数a的取值范围． 随堂练习： 1.若“”为假命题，则的取值范围是 . 2.已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是 . 3.若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 4.已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是 ． 5.已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 6.已知集合，，命题，命题． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 7.已知命题p：∀x∈R，x2+2m﹣3＞0，命题q：∃x∈R，x2﹣2mx+m+2＜0． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 常用逻辑用语—专题练习 【知识点梳理】 充分条件与必要条件 知识点一、命题、充分条件与必要条件 1.命题一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题. 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.结构：“若p，则q”，“如果p，那么q”. 2.充分条件与必要条件的定义 （1）一般地，“若p，则q”为真命题，我们就说，由p可以推出q，记作，此时就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. （2）如果“若p，则q”为假命题，我们就说，p不可以推出q，记作，此时就说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 知识点二、充要条件 1.逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件的定义 （1）如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. （2）如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. 3.充要条件的判断与命题真假之间的关系 设原命题为“若,则”,则逆命题为“若,则”,得与的关系有以下四种情形： “若,则” “若,则” 与的关系 结论 真 假 ,但 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 假 真 ,但 是的必要不充分条件 是的充分不必要条件 真 真 ,即 与互为充要条件 假 假 且 是的既不充分也不必要条件 是的既不充分也不必要条件 全称量词和存在量词 知识点一、全称量词命题和存在量词命题 1.全称量词命题和存在量词命题的概念 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2.全称量词命题和存在量词命题的真假判断 （1）全称量词命题的真假判断 ①要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立. ②如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． （2）存在量词命题的真假判断 ①要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立． ②要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是假命题，需要集合中的每个元素x，证明p(x)都不成立． 知识点二、全称量词命题和存在量词命题的否定 1.含量词的命题的否定 类型 全称量词命题 存在量词命题 命题形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 命题的否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 2.命题的否定与原命题的真假关系：原命题为真，则其否命题为假；原命题为假，则其否命题为真. 【专题练习】 考点一：充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件的判断 例1. （1）p：a＝0，q：ab＝0，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （2）p：x＝y，q：|x|＝|y|，q是p的 (“充分条件”或必要条件). （3）已知x∈R，p：x>1，q：x>2，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （4）p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B，q是p的 (“充分条件”或必要条件). （5）在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （6）p：a>b，q：ac>bc，q是p的 (“充分条件”或必要条件). 解：（1）因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件. （2）∵x＝y⇒|x|＝|y|，即，∴q是p的必要条件. （3）方法一：由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件. 方法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件. （4）因为对顶角相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件. （5）在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件. （6）因为p⇏q，所以q不是p的必要条件. 随堂练习： 1.（1）已知p：x>2，q：x2>4，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （2）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等，q是p的 (“充分条件”或必要条件). （3）已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （4）p：A⊆B，q：A∩B＝A，q是p的 (“充分条件”或必要条件). （5）若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，p是q的 (“充分条件”或必要条件). （6）p：|x|>2，q：x>2，q是p的 (“充分条件”或必要条件). 解：（1）x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件. （2）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. （3）由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件. （4）因为p⇒q，所以q是p的必要条件. （5）两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，所以p不是q的充分条件. （6）因为当|x|>2时，x>2或x<－2，所以p⇏q，所以q不是p的必要条件. 2.充要条件的判断 例1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). （1）p：x2>0，q：x>0. （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5. （3）p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形. （4）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等. （5）p：2－x≥0，q：|x－1|≤1. 解：（1）p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件. （2）∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件. （3）因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件. （4）p：两个角不都是直角，这两个角可以相等， q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件. （5）由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件. 随堂练习： 1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). （1）p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. （2）p：已知a，b是实数，a<0，且b<0，q：ab(a－b)>0. （3）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2. （4）p：a是自然数；q：a是正数. （5）p：x＝1，q：x－1＝. （6）p：a能被6整除，q：a能被3整除. （7）p：，q：x2<1. 解：（1）∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件. （2）已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a－b)>0，比如当a<b<0时，ab(a－b)<0；反之，若ab(a－b)>0，则a－b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a－b)>0，当b<a<0时也满足ab(a－b)>0，故不能确定a和b的正负.故是既不充分又不必要条件. （3）由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件. （4）0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分又不必要条件. （5）当x＝1时，x－1＝成立；当x－1＝时，x＝1或x＝2. ∴p是q的充分不必要条件. （6）p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除， 故p是q的充分不必要条件. （7）由，得0<x<1，所以0<x2<1；由x2<1，得－1<x<1，不能推出0<x<1. 所以“”是“x2<1”的充分不必要条件. 3.由充分、必要、充要条件求参数值或取值范围 例1.设,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 . 解：由题意，则，即.故答案：. 例2.已知,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 . 解：由得，因为是的充分不必要条件， 所以，所以，解得.故答案：. 例3.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或， 解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 随堂练习： 1.已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 . 解：因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1. 故答案为：m≤－7或m≥1. 2.若,若是的充分不必要条件,则的取值范围是 ，若是的必要不充分条件,则的取值范围是 . 解：是的充分不必要条件，则，因此.是的必要不充分条件，则，因此.故答案为：. 3.已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为 . 解：α：x≥a，可`看作集合A＝{x|x≥a}. ∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}. 又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0. 故答案为：{a|a≤0}. 4.已知p：（x+4）（x﹣1）≤0，q：x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0．若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 解：由x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0，得m≤x≤m+1．因为q是p的充分不必要条件，则q⇒p，p推不出q，则，且等号不同时成立，解得﹣4≤m≤0，m的取值范围为{m|﹣4≤m≤0}． 故答案为：{m|﹣4≤m≤0}． 5.已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}.若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 解：由题可知，∁RB＝{x|1＜x＜4}， 因为“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，所以A∁RB， 可得2﹣a＞2+a，或，解得a＜1. 故实数a的取值范围是{a|a<1}. 6.已知集合A＝{x|﹣2＜x＜6}，B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}.若x∈B成立的一个必要条件是x∈A， 求实数m的取值范围； 解：若x∈B成立的一个必要条件是x∈A，所以B⊆A， 因为集合A＝{x|﹣2＜x＜6}， B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}. 则，所以0≤m≤4， 故实数m的取值范围{m|0≤m≤4}. 7.已知，，其中. （1）若是的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 解：(1)设,. 因为是的充分不必要条件，所以,所以，解得。 所以实数的取值范围为. （2）由(1)得,， 若是的必要不充分条件,则. ①当时,,满足题意; ②当时,由,得,即; ③当时,不满足题意. 综上,实数的取值范围为. 8.已知命题：关于的方程的两根均属于集合. （1）若命题为真命题，求实数的取值集合. （2）设，是否存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由. 解：（1）由，得, 所以或.因为命题为真命题, 所以解得.所以. （2）存在.由（1）得,又,由题意得是的真子集. 当时,,解得,满足题意; 当时,或解得. 综上所述，满足条件的实数的取值范围是. 考点二：全称量词与存在量词 1.全称量词命题和存在量词命题及其真假的判断 例1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题，并判断命题的真假. （1）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. （2）对任意的，都有. （3）方程3x－2y＝10有整数解． （4）存在x，y，使2x+3y+3<0. （5）有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形. 解：（1）全称量词命题，表示为∀x∈{x|x为菱形}，x的对角线互相垂直，是真命题. （2）全称量词命题，表示为，，是假命题. （3）存在量词命题，表示为，使3x－2y＝10，是真命题． （4）存在量词命题，表示为，使2x+3y+3<0，是真命题． （5）全称量词命题，表示为∀x∈{x|x为两个角是45°的三角形}，x是等腰直角三角形，是真命题. 随堂练习： 1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题，并判断命题的真假． （1）凸多边形的外角和等于360°. （2）对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立. （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除. （4）存在，使. （5）至少有一个正整数是偶数． 解：（1）全称量词命题，表示为∀x∈{x|x为凸多边形}，x的外角和为360°，是真命题. （2）全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0，是真命题. （3）存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除，是真命题． （4）存在量词命题，表示为，使，是假命题. （5）存在量词命题，表示为，是偶数，是假命题. 2.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．∀x∈R,2x＋1>0 B．若2x为偶数，则x∈N C．菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解：对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确； 对B，是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．故选：C. 3.命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)， 它是 命题(填“真”或“假”) 解：命题p是存在量词命题，因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0， 即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．故答案为：存在量词命题，假. 4.下列命题中是存在量词命题的是（ ） A.有些自然数是偶数 B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除 D.对于任意，总有 解：A中含有存在量词，是存在量词命题； B中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题； C中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题； D中有全称量词“任意”，是全称量词命题．故选：A. 2.全全称量词命题和存在量词命题否定及其真假判断 例1.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． （1）所有分数都是有理数. （2）存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小. （3）∃a，b∈R，a2＋b2≤0. （4）∀x∈R，x2－2x＋1≥0. （5）正方形都是菱形. （6）∀x∈R，有x+1＝2x． 解：（1）该命题的否定：存在一个分数不是有理数，否命题是假命题． （2）命题的否定为：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题． （3）命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0.∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，∴命题的否定是假命题． （4）命题的否定为：∃x∈R，|x|＋x2<0.命题的否定为假命题． （5）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题． （6）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x＝2时，x+1＝2+1＝3≠2×2， 所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题． 随堂练习： 1.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． （1）某些梯形的对角线互相平分； （2）∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. （3）所有自然数的平方都是正数. （4）∀x∈R，|x|＋x2≥0. （5）∃x∈R，使4x﹣3＞x. 解：（1）命题的否定为：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题． （2）命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． （3）命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.命题的否定为真命题． （4）命题的否定为：∃x∈R，|x|＋x2<0.命题的否定为假命题． （5）命题的否定：∀x∈R，有4x﹣3≤x．因为当x＝2时，4×2﹣3＝5＞2， 所以“∀x∈R，有4x﹣3≤x”是假命题． 2.命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)， 它是 命题(填“真”或“假”) 解：命题p是存在量词命题，因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0， 即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．故答案为：存在量词命题，假. 3.(多选)对下列命题的否定说法正确的是(　 　) A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∀n∈N,2n≤100；p的否定：∃n∈N,2n>100 解：“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．故选：ABD. 4.已知命题；命题，则( ) A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和都是真命题 解：直接判断两个命题的真假．取可得，即不成立， 故命题是假命题，是真命题．当时，，故命题是真命题． 所以和都是真命题．故选：B. 3.已知含有一个量词的命题的真假求参数问题 例1.命题,使,若是真命题,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 解：因为，所以由，可得．所以， 因为是真命题，所以.故选：C. 例2.已知命题p：∀x≥1，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围． 解：令y＝x2＋4x－1，x≥1，则y＝(x＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4， 因为∀x≥1，不等式x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<4即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<4}． 例3.已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1﹣a≥0，命题q：∃x∈R，ax2﹣2x+1＜0，若p为假命题， q为真命题，求实数a的取值范围． 解：命题p：∀x∈R，x2﹣x+1﹣a≥0，则Δ＝1﹣4（1﹣a）≤0，即a， 又p为假命题，则a， 命题q：∃x∈R，ax2﹣2x+1＜0，若q为假命题， 即￢q：∀x∈R，ax2﹣2x+1≥0，即，则a≥1，又q为真命题，则a＜1， 综上所述，a的取值范围为． 随堂练习： 1.若“”为假命题，则的取值范围是 . 解：因为“”为假命题， 所以其否定“”为真命题，所以，解得． 所以实数的取值范围是． 2.已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是 . 解：因为“”成立，所以当时有解． 结合二次函数的图象可知，当时的最大值， 所以，所以实数的取值范围是． 3.若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 解：∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题， ∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.故答案为：{a|a≤4} 4.已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是 ． 解：依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 故答案为（－∞，－1）. 5.已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 解：当x∈{x|1≤x≤2}时，因为x2＋2x＝(x＋1)2－1，所以3≤x2＋2x≤8， 由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.故答案为：{a|}. 6.已知集合，，命题，命题． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 解：(1)若命题为真命题，则，所以， 所以当命题为假命题时，实数的取值范围为. （2）当命题为假命题时，“”为真命题， 所以,解得， 所以当命题均为假命题时，实数的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时，实数的取值范围为. 7.已知命题p：∀x∈R，x2+2m﹣3＞0，命题q：∃x∈R，x2﹣2mx+m+2＜0． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． 解：（1）若命题p为真命题，则x2＞3﹣2m对x∈R恒成立，因此3﹣2m＜0，解得． 故实数m的取值范围是． （2）若命题q为真命题， 则Δ＝（﹣2m）2﹣4（m+2）＞0，即m2﹣m﹣2＞0，解得m＜﹣1或m＞2， 因此，实数m的取值范围是{m|m＜﹣1或m＞2}； 若命题p，q至少有一个为真命题， 可得∪{m|m＜﹣1或m＞2}＝{m|m＜﹣1或． 所以实数m的取值范围{m|m＜﹣1或． 学科网（北京）股份有限公司 $