湖北省荆州中学2026-2027学年高二上学期9月收心考数学试卷

荆州中学2025级高二年级9月收心考 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.样本数据6,8,4,5,12的中位数为() A.5 B.6 C.8 D.9 2.已知平面向量a,b不共线，且2a+yb=xa-3b,则() A.x=2,y=-3 B.x=-2,y=3C.x=2,y=3 D.X=-2,y=-3 3.已知集合A=simg,cos,tan),B=(-,-1,则AnB=-(） A-》 B (-1 c.{-31 D.-5-y 4.已知两单位向量e,e2的夹角为好，若0p-3e+2e2,则|0P川=() A.V19 B.√17 C.V10 D.√7 5.若向量a=(1,),万=(4，-)，则“=2”是“a1b”的() A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为C1D1和CC1的中点，则异面直线AM与BN所成角的正 弦值为() D M B A.25 B 5 c D 7已知·ABC的面积为23，AB=2.B=骨则=() D A.V3 B.2W3 c D.2 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE=x, A1F=y,则四面体0-AEF的体积() D C F A B A.与x,y都有关 B.与x,y都无关 C.与x有关，与y无关 D.与y有关，与x无关 0 高二上学期9月收心考数学试卷第1页（供4顷） 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.设z=3+2i;则() A.z=3-2i B.z=5 C.z2=5+12i D.ER 10.已知平面向量a=(2,-3),=(2,1),则() A.@-2B)1B B.与可作为一组基底向量 C.a与b夹角的余弦值为 65 D.a在方向上的投影向量的坐标为（后，） 11.在空间中，A,B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为1，若二面角C-AB-D 为60°，则() A.∠CAD≥60 B.CD≥V3 C.当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD D.当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线A1C异面的有一条. 13.如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,AB·AC=2,若点P满足BP=2PC,则AP.B元= 14.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=6,若存在一个可以在正三棱柱ABC-A1B1C1内任意 转动的正方体，则该正方体棱长α的最大值为一 B B 高二上学期9月收心考数学试卷第2页（供4顷） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°，PA=AB=BC,E是PC 的中点. 求证：(1)CD1AE; (2)PD⊥平面ABE. 16.(本小题15分) 对某小区抽取100户居民的用电量进行调查，得到如下数据： (1求x的值： 个频率/组距 (2)已知该小区的居民有800户，则用电量在150以下的有多少户；0.006 (3)求第50百分位数. X--------- 0.003 0.002 0.001 50100150200250300350用电量 17.(本小题15分) 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC,D,E分别为AB,AC1的中点. (1)证明：DE/平面BCC1B1: (2)设CC1=2,直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°，求直线DE到平面BCC1B1的距离. B B 高二上学期9月收心考数学试卷第3页（供4顷） 18.(本小题17分) 已知在ABC中，AB=3,BC=23,cosB- (1)求cosA; (2)设D,E两点满足：D在BA的延长线上，DE/BC,AE L AC.若DE=V6,求CE. 19.(本小题17分) 如图1，已知三棱锥P-ABC,图2是其平面展开图，四边形ABCD为正方形，△ABE和△BCF均为正三角 形，O,G分别为AC,PA的中点，AB=V3. (1)求证：OG1AP; (2)求二面角C-PA-B的余弦值； (③)若点M在枝PC上，满足=入，1∈[层]，点N在棱BP上，且BM1AW,求的取值范围. D A 图2 图1 B 高二上学期9月收心考数学试卷第4页（供4顷） 数学收心考答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为样本数据从小到大排序为：，，，，，所以该样本数据的中位数为。 答案： 2.【答案】  【解析】解：因为不共线，等式两边对应向量的系数必须相等即可： 答案： 3.【答案】  【解析】解：先计算集合的元素： 所以集合为，所以 答案： 4.【答案】  【解析】解：是平面内的两个单位向量，且的夹角为， ， ， ， 则． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：若，则，即． 若，则，解得． 故“”是“”的充分不必要条件， 故选： 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查异面直线所成角，利用余弦定理解三角形，属于中档题． 取的中点，连接，，，分析可得即为直线与所成角，再利用余弦定理求解即可． 【解答】 解：如图，取的中点，连接，，， 易得，且，则四边形为平行四边形， 则，所以即为直线和所成的角， 设正方体的棱长为，则，，， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 因此直线和所成的角的正弦值为． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形面积公式，考查正余弦定理，属于基础题，根据面积公式可求得  由余弦定理即可求出  根据正弦定理，即可推得  ． 【解答】 解：由  可得，  ， 所以  ． 由余弦定理可得，  ， 所以  ， 由正弦定理  可得，  ． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用等体积法求多面体的体积，考查空间想象能力，属于中档题． 连接，，，，，，结合等积法说明四面体的体积是与，无关的定值． 【解答】 解：如图，连接，，，，，， ，平面， 平面， 平面， 到平面的距离为定值， ，到直线的距离为定值， 的面积为定值． ， 四面体的体积是与，无关的定值． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：对于，的共轭复数为，A正确； 对于，的模为，B错误 对于，，C正确； 对于，，D正确， 故选ACD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量数量积的坐标运算、基底、投影向量等知识，属于基础题． 【解答】 解：因为，， 所以， 所以，故A错误 易得与为一组不共线的非零向量，根据基底向量的定义可得B正确 因为，， 所以，，故C正确 因为，，所以在方向上的投影向量的坐标为，，故D错误， 故选BC． 11.【答案】  【解析】解：对于，如图，二面角为，则，但，故A错误；  对于，当平面时，最小， 由余弦定理：， 即，故，故B正确； 对于，如图，当时，过作， 则平面，故，， 由余弦定理得，故， 又，，，平面， 故平面，故C正确； 对于，如图，当平面时，与不垂直，故 D错误． 故选BC． 12.【答案】  【解析】【分析】 根据异面直线的定义，在条对角线中，分别找到与既不相交也不平行的对角线即可． 本题考查空间中直线的位置关系：异面直线，以及较好的识图、读图能力，属基础题． 【解答】 解：由图象知条对角线：、、A、D、B、所在的直线与所在的直线既不相交也不平行，即异面． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】因为， 所以． 14.【答案】  【解析】若正方体的棱长最大，则正方体外接球的直径最大， 在正三棱柱中，，所以底面三角形内切圆的直径为， 又因为， 所以正方体外接球的直径最大为底面内切圆的直径， 即，解得． 故该正方体棱长的最大值为． 15.【答案】在四棱锥中， 因为底面，平面， 所以． 因为，且，平面，平面， 所以平面． 而平面，所以． 由，，可得． 因为是的中点，所以． 由知，，且，平面，平面， 所以平面． 而平面，所以． 因为底面， 所以在底面内的射影是， 而，所以． 又因为，平面，平面， 所以平面．   【解析】略 16.【答案】解：由题意可知，每组的频率依次为，，，，，， 则， 解得； 由题意可知，用电量在以下的频率为， 所以用电量在以下的有户； 因为， 所以第百分位数为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】． 17.【答案】解：证明：连接， 为中点，为中点，故为的中位线，， 又平面，平面， 平面 由 则直线与平面所成的角，就是直线与平面所成的角， 因，得， 又直三棱柱中，平面， 平面，则， 平面， 所以平面， 所以是在平面内的射影， 从而就是直线与平面所成的角， 据题意得， 得是一个等腰直角三角形，从而， 直三棱柱中，平面， 平面，则， 又， 平面，， 得平面， 则到平面的距离就是长，所以到平面的距离为。 平面， 故直线到平面的距离等于点到平面的距离， 又是线段的中点， 所以点到平面的距离是到平面的距离的一半， 所以点到平面的距离是，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：在中，， 所以． 则．  由可知， 已知，则， 因为在的延长线上，且，，即， 在中，已知，，， 利用正弦定理：， ，即， 则， 在直角中，根据勾股定理： ， 即．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：证明：因为，分别为，的中点， 在中，，，； 连接，， 在等边中，，又，所以为二面角的平面角， 又，所以，， 所以，， 所以， 所以二面角的余弦值为； 过点作交于点， 因为，所以， 因为，所以， 在中，， 设，所以， 在中，， 因为，所以， 在中，， 在中，， 由，得，又，所以， 即的取值范围为的取值范围为．  【解析】本题考查了空间中两直线的垂直关系，属于拔高题． 由，即可得证； 先判断出为二面角的平面角，再求出，进一步得到二面角的余弦值； 过点作交于点，由余弦定理求出，，设，结合，求出，即可得到的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $