精品解析：湖北省黄冈市浠水县第一中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

浠水一中2026年高二上开学考试数学试题 满分：150分 测试时间：2026-9-10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 4. 众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.如图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是（    ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的高为1，体积为．为的一条直径，为上一点（不与，重合）．设二面角和的正切值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，，则（ ） A. 事件与不互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，，为的中点，则 B. 在中，若，则是等腰三角形 C. 已知，，若与的夹角是钝角，则且 D. 在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则 11. 在长方体中，，，M为棱的中点，点P为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（ ） A. 满足的点P有且只有两个 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为 D. 若平面，四棱锥的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18则这8个数据的上四分位数是____________． 13. 某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，方差为，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为，，，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差分别为，，则高三学生每天读书时间的方差________. 14. 已知中，角，，的对边分别为，，．若，，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若边的中点为，，，求的面积． 16. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． （1）记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． （2）记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 17. 如图，在四棱锥中，DA⊥平面ABE，，，，F是DE的中点. （1）证明：平面ABE； （2）若，直线DE与平面ABE所成角为，求直线CF与直线DB所成角的余弦值. 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． （1）求的值； （2）求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率； （3）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，． （1）求的长； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浠水一中2026年高二上开学考试数学试题 满分：150分 测试时间：2026-9-10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数的共轭复数，再根据复数乘法运算规则计算二者乘积即可. 【详解】根据共轭复数的定义：对复数，其共轭复数. 已知，因此， . 由虚数单位的性质可知，代入得：  . 2. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用投影向量的定义求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为：. 3. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简得，故或者，进而可判断出三角形的形状. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 整理可得：， 即，所以或者， 所以或， 而当时则， 所以三角形为直角三角形， 所以， 则中，这时，分母为0无意义 所以，三角形为等腰三角形. 4. 众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.如图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单峰频率分布直方图且数据分布图左“拖尾”，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，作出判断即可求解. 【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值， 由单峰频率分布直方图且数据分布图左“拖尾”，可知平均数小于中位数，且中位数为右起第三个矩形内，所以. 故选：C. 5. 如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点H，则即为与平面所成的角，即可求解． 【详解】取的中点H，连接，则． 因为平面，平面，所以． 又平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，，， 则． 6. 设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 7. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中大于20的数有：26，35，53，62，71，80，故所求事件的概率为. 8. 已知圆锥的高为1，体积为．为的一条直径，为上一点（不与，重合）．设二面角和的正切值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由圆锥体积求出底面半径．分别作，，利用二面角的平面角得到，与，的关系；再利用圆的性质和直角三角形的中位线关系求出即可． 【详解】设圆锥底面半径为． 由得，所以． 作，垂足为；作，垂足为，如图所示． 因为 底面，底面，所以． 又，故 平面，平面，从而． 因此 为二面角的平面角． 所以 同理，为二面角的平面角，故 因为为圆心，，，所以，分别为弦，的中点． 又为直径，所以． 在中，为的中点，为的中点，为的中点， 因此 于是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，，则（ ） A. 事件与不互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：因为，即事件与同时发生的概率不为，所以事件与不互斥，故A正确； 对于B：因为事件与不互斥，所以事件与不对立，故B错误； 对于C：因为，所以， 又，所以， 所以事件与互相独立，故C正确； 对于D：可得，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，，为的中点，则 B. 在中，若，则是等腰三角形 C. 已知，，若与的夹角是钝角，则且 D. 在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可判断A；根据平面向量的数量积运算结合平面几何知识可判断B；根据平面向量夹角为钝角的条件结合数量积的坐标运算公式可判断C；先建立平面直角坐标系，然后根据平面向量数量积的坐标运算公式可判断D. 【详解】由得是上靠近的三等分点，因此；为中点， 故， 因此，A错误； 、​分别是、方向的单位向量，二者的和向量在的角平分线上. 该和向量与点积为0，说明的角平分线垂直于，因此， 是等腰三角形，B正确； 若与的夹角是钝角，则且与不共线，由得； 若两向量反向共线，则有，得， 所以满足题意的的取值范围是且，C正确； 建立平面直角坐标系：设，由条件得； 则，，，D正确. 11. 在长方体中，，，M为棱的中点，点P为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（ ） A. 满足的点P有且只有两个 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为 D. 若平面，四棱锥的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质得到，求出即可判断A；根据得到轨迹，进而求得轨迹长度，即可判断B；应用等体积公式结合三棱锥体积公式计算判断C，由线面平行的向量证明可得到点与重合时，其外接球的体积最大，即可判断 D. 【详解】对于A，因为平面，平面，所以. 若，则，即点在以点为圆心，2为半径的圆上，满足的点P是弧， 在侧面内存在满足该条件的点无数个，故A不正确； 对于B：因为平面，平面，所以. 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 因为，即点P的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，B选项正确； 对于C，三棱锥的体积， C选项正确； 对于D：取是中点，取是中点，因为平面，平面，所以平面， ，所以是平行四边形，所以平面，平面，所以平面， 平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 所以当取时，四棱锥的顶点都在球O上,球O体积的最大， 此时球的半径满足，即，所以球的体积为，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】16 【解析】 【详解】已知数据总量为，数据已从低到高排列， 则上四分位数，即分位数， 位置为. 因为为整数，所以上四分位数取第项和第项数据的算术平均数， 故这个数据的上四分位数为. 13. 某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，方差为，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为，，，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差分别为，，则高三学生每天读书时间的方差________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题目中的条件以及分层抽样中方差公式即可解答. 【详解】由题意可得，, 解得. 故答案为：3. 14. 已知中，角，，的对边分别为，，．若，，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先得到，由正弦定理，余弦定理和基本不等式得到，进而得到的最大值 【详解】，， 故， 由正弦定理得， 即，， 由正弦定理得，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，故， 故，最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若边的中点为，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理和余弦定理建立等式，求解出角的值； （2）首先根据是中点，利用向量中线公式建立长度与边、、角的关系，代入已知条件求出边的长度，再使用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：（1）由及正弦定理得， 整理得：， 所以， 又，所以． （2）因为边的中点为， 所以， 所以， 所以，解得或（舍）． 所以的面积为． 16. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． （1）记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． （2）记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，因此． 【小问2详解】 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则，因为，所以， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，DA⊥平面ABE，，，，F是DE的中点. （1）证明：平面ABE； （2）若，直线DE与平面ABE所成角为，求直线CF与直线DB所成角的余弦值. 【答案】（1）证明： 如图，取中点，连接，， 因为是的中点，所以且， 又. 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面. 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）连接，得到，证明为直角三角形，则得到余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知即为直线与直线所成角或其补角， 连接，因为平面，平面，所以， 所以即为直线与平面所成角，所以, 所以，所以三角形为正三角形. 所以， 则， 所以为直角三角形，所以. 故直线与直线所成角的余弦值为. 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． （1）求的值； （2）求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率； （3）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先设出事件，再根据独立事件的乘法公式和互斥事件概率公式列方程即可求解； （2）先设出事件，再根据独立事件的乘法公式和互斥事件概率公式计算即可； （3）运用独立事件的乘法公式，结合对立事件概率公式计算即可. 【小问1详解】 设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件， 则 设“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语” ，解得 【小问2详解】 由（1）知， 设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立， 则 所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为. 【小问3详解】 “‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”， 则 所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，． （1）求的长； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程，求可得的长. （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其余弦值，结合二面角与二面角互补可得结论. （3）过点作，证明平面，过点作交于点，在上取点，使得，证明，结合条件可求. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 因为平面，底面，所以. 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成的角， 设，则. 在中，. 又，所以，解得或（舍去），所以. 【小问2详解】 在平面内，过点作交的延长线于点，连接. 因为底面，底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为为的中点，，四边形为矩形， 所以，所以，所以。 所以，设二面角的平面角为，则， 所以，所以. 所以二面角的平面角的正弦值为. 【小问3详解】 存在符合条件的点，依题意得，， 又，所以. 又，所以，又平面，所以平面. 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，得， 又平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得. 连接，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，易知，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $