湖北省黄冈市浠水县第一中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

**基本信息** 以算盘文化、猜成语等情境为载体，通过梯度化问题（如概率多问、立体几何证明与计算）考查空间观念、推理能力和数据意识，适配高二开学知识检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、向量、解三角形、统计、概率、立体几何|结合统计图表、圆锥线面角考查几何直观| |填空题|3/15|百分位数、方差、解三角形最值|注重数据处理与运算能力| |解答题|5/77|概率应用、立体几何证明与计算、解三角形|18题以猜成语为情境，多问考查数据意识；17题线面平行与异面直线角，体现空间观念|

浠水一中2026年高二上开学考试数学试题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A A B ACD BCD 题号 11 答案 BCD 1.B【详解】根据共轭复数的定义：对复数z=a+bi(a,b∈R),其共轭复数z=a-bi已知z=1+i因 此z=1-i,z·z=(1+)(1-)=12-i2.由虚数单位的性质可知2=-1，代入得：z·z=1-(-1)= 2. 2.B【详解】向量a在向量b上的投影向量为： ab b= b 4 L 3.D【详解】因为2-ccos4 =si血8 由正弦定理可得：sinB-si血CcosA sinB sinA 整理可得：sinAcosA=sinBcosB, a-ccosB sinA' sinA-sinCcosB 即sin2A=sin2B,所以2A=2B或者2A+2B=元，所以A=B或A+B=号，而当A+B=时则C=2 所以三角形ABC为直角三角形，所以c·c0sB=Q,则coA=nB中，这时a一c·cOsB=0,分母为0无意 a-ccosB sinA 义，所以A=B,三角形为等腰三角形 4.C【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底 边的中点值，由单峰频率分布直方图且数据分布图左“拖尾”，可知平均数小于中位数p,且中位数为右起 第三个矩形内，所以m>p>n故选：C 5.B【详解】取OA的中点H,连接CH,PH,则CH1OA.因为PO1平面ABC,CHc平面ABC,所以P01CH.又 P0∩OA=O,PO,OAc平面PAB,所以CH1平面PAB,则LCPH即为PC与平面PAB所成的角.设OH=1, 则HC=V3,P0=2V3,PH=J(2W3)2+12=V3,则taniCPH===西 PH V13 13 H 6.A【详解】因为A、B两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若P(A)=2-a,P(B)=4a-6, 由图意可得(0-6解得号<a<子由示草件的概本公式可得P4U)=P)+P()=2 a+4a-6=3a-4,由题意可得0<3a-4≤1，解得<a≤3故a的取值范围是(，引故选：A 7.A【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17,26,8,35,62,71,80,53，其中大于20的数有： 答案第1页（共6页） 26,35,53,62,71,80,故所求事件的概率为3.故选：A 8.B【详解】设圆锥底面半径为r.π2·1=π得r=1,所以BC=2.作OE1BD,垂足为E:作OF1CD, 垂足为F,如图所示.因为AO1底面，BDc底面，所以AO1BD. 又OE⊥BD,故BD1平面AOE,AEC平面AOE,从而AE⊥BD.因此LAEO为二 面角A一BD-0的平面角.所以p=an∠AB0=2=正同理，∠AP0为二面角A B= CD-0的平面角，故q=tauA0=架-点因为0为圆心，OE1BD,OF1CD,所以E,F分别为弦BD, CD的中点.又BC为直径，所以∠BDC=90°.在△BCD中，O为BC的中点，E为BD的中点，F为CD的 中点，因此0B=号.O那=婴于是影+京=0B2+0那2-吧-平=1 4 9.ACD【详解】对于A:因为P(AB)=。,即事件A与B同时发生的概率不为0，所以事件A与B不互斥， 故A正确： 对于B:因为事件A与B不互斥，所以事件A与B不对立，故B错误； 对于C:因为P团)=子所以P(G)=1-P⑧)=1-=京又P(A=子所以P0P(O)=x名 P(AB),所以事件A与B互相独立，故C正确； 对于D:可得PA+B)=P(A+P(B)-P(AB)=+片名=名故D正确， 7 10,BCD【详解】由BD=2DC得D是BC上靠近C的三等分点，因此AD=AB+号AC:E为AC中点，故AE= AC,因此DE=A正-AD=AC-AB-号AC=-AB-AC.A错误： 、分别是AB、AC方向的单位向量，二者的和向量在∠BAC的角平分线上.该和向量与BC点积为0，说 屈厨 明∠BAC的角平分线垂直于BC,因此AB=AC,△ABC是等腰三角形，B正确： 若与b的夹角是钝角，则b=k-3<0且ā与b不共线，由k-3<0得k<3:若两向量反向共线，则 有1×1=-3k,得k=-子所以满足题意的k的取值范围是k<3且k≠-子C正确： 建立平面直角坐标系：设A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),由条件得E(6,4④，F(3,6:则AE=(6,4),BF=(- 3,6),AEBF=6×(-3)+4×6=-18+24=6,D正确， 答案第2页（共6页） 11.BCD【详解】对于A,因为C1B1⊥平面ABB1A1,B1PC平面ABB1A1,所以C1B11B1P.若C1P=2V2, 则B1P=2,即点P在以点B1为圆心，2为半径的圆上，满足C1P=2V2的点P是弧A1M,在侧面ABB1A1 内存在满足该条件的点无数个，故A不正确： B A M D 21 P A O 对于B:因为D1A11平面ABB1A1,AMC平面ABB1A1,所以D1A11AM.因为AM=A1M=2V2,AA1=4, 所以AM2+A1M2=AA12,所以A1M1AM,又因为D1A1nA1M=A1,D1A1,A1MC平面D1A1M,所以AM1 平面D1A1M,因为D1P1AM,即点P的轨迹为线段A1M,所以点P的轨迹长度为2V2,B选项正确： 对于C,三棱锥A1-ACM的体积VA1-ACM=Vc-AAM=S△A1M×CB=××4×2×2=号C选项正确： 6 M D ? B D 对于D:取T是DD1中点，取Q是AA1中点，因为QT/AD,ADC平面ADM,QT￠平面ADM,所以QT/平面 ADM,AQ/B1M,AQ=B1M,所以AQB1M是平行四边形，所以B1Q/AM,AMC平面ADM,B1Q￠平面ADM, 所以B1Q/平面ADM,B1QnQT=Q,B1Q,QTc平面QTC1B1,所以平面QTC1B1/平面ADM, 又因为C1P/平面ADM,所以P∈平面QTC1B1,所以当P取B1时，四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上，球O 体积的最大，此时球0的半径R满足(2R)=22+22+42=24,即R=V6,所以球0的体积为mR3-8V6m, 故D正确： 12.16【详解】己知数据总量为8，数据已从低到高排列，则上四分位数，即75%分位数，位置为i=n×p= 8×75%=6.因为为整数，所以上四分位数取第6项和第7项数据的算术平均数，故这8个数据的上四分 位数为15+17=16， 2 答案第3页（共6页） 13.3【详解1由题意可得，1966=器×1+27-3+0×2+B1-3]+器×号+63- 3)],解得s3=3.故答案为：3. 14.3V7【详解】c=1,4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3,故4a2cos2B+4b2simn2A=3b2-3c2,由正弦 定理得4sin2Acos2B+4sin2Bsin2A=3sin2B-3sin2C,即(4cos2B+4sin2B)sin2A=3sin2B-3sin2C, 4simA=3sim2B-3simC,由正弦定理得4a2=3b2-3c2,则a2=b2-c2,所以cosA=2+2- 2bc 空-会+怎≥2层号冬当且仪会=台6=7时，等号成立.因为Ae0网所以 2bc sinA>0,故sinA=V-cos万≤1-（图-各故tamA-二≤喜-7，最大值为7 15.解：1)由一及正弦定理得÷-多整理得：+2-2=bc,所以cosA--会- a+b sinC-sinB 2bc 2bc 克又AE(0,m,所以A=子 (2)因为BC边的中点为D,所以2AD=AB+AC,所以44D2=AB+AC2+2AB·AC=c2+b2+2bcc0sA, 所以4×7=c2+16+4,解得c=2或c=-6(含).所以△ABC的面积为bcsinA=×4×2×5=23. 16.【详解】(1)对于事件A,有放回地依次取出两个球的样本空间21={(x,y)川x,y∈{1,2,3,4,5}，则n(2)= 25,因为A={449.(45.(5,4,(5,5},所以n(A0=4,因此P(A）=圈=云 (2)对于事件B,不放回地依次取出两个球的样本空间22={1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)， (4,1),(1,5),(5,1),(2,3),(3,2),(2,4),(42),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)}, 则nQ,)=20.因为B=1,4.4.(23.82.所以n(©)=4，所以P()=需-高吉 17.(Q)证明：如图，取AE中点G,连接FG,GB,因为F是DE的中点，所以FG/DA且FG=DA, 又BC//DA,BC=DA.,所以FG/∥BC且FG=BC.所以四边形BCFG为平行四边形，所以FC/BG,又BGc 平面ABE,FC￠平面ABE.所以CF/平面ABE. (2)由(1)可知∠DBG即为直线CF与直线DB所成角或其补角，连接DG,因为DAI平面ABE,AEC平面 ABE,所以DA L AE,所以∠DEA即为直线DE与平面ABE所成角，所以∠DEA=45°，所以AE=DA=2,所 以三角形ABE为正三角形.所以BG=V3,DG=DA2+AG2=V5,BD=2V2,则BG2+DG2=BD2, 所以△DBG为直角三角形，所以cos2DBG-e=怎=故直线CF与直线DB所成角的余弦值为 DB2V24 答案第4页（共6页） 18.【详解】(1)设Ao,A1,A2分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，Bo,B1,B2分别表示乙两轮 猜对0个，1个，2个成语的事件，则P(4)=(1-到=六P(4)=×+×-P4)=(图=是 P(Bo)=(1-p)2,P(B1)=2p(1-p),P(B2)=p2设A=“星队'在两轮活动中猜对了所有成语 P(A=P(A2B2)=PA)P(B,)=&p2=3解得p=号 (2)由(1)知，设B=“两轮活动‘星队'猜对3个成语”，则B=A1B2UA2B1,且A1B2与A2B1互斥，A1 与B2,A2与B:分别相互独立，则P(B)=PA:B)+P(4,B,)=P(A1DP(B)+P(A)P(B)=×号+2× 号=品，所以两轮活动星队'猜对3个成语的概率为品 (3)C=‘星队'的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”，则P(C)=[1-P(A)]P(B)+P(Ao)[1-P(B)】= (1-×)×名+六×(1-言×)=照所以星队的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率照 19.【详解】(1)因为底面ABCD为矩形，所以AD/BC,BC L DC,因为PDI平面ABCD,BCC底面ABCD, 所以PD L BC.又PD∩DC=D,PD,DCC平面PDC,所以BC⊥PC,因为AD/BC,所以∠PBC为直线AD与PB 所成的角，设AB=x(x>0),则PC=Vx2+4=√x2+16,PB=Vx2+42+4平=√x2+32 在Rt△PBC中，si2PBC=E=又AB×l=8V5.所以4e+32 PB√x2+32 √x2+32 =8√5，解得x=2 或x=-2（舍去)，所以AB=2. (2)在平面ABCD内，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F,连接PF.因为PDI底面ABCD,BFC底面ABCD, 所以PD⊥BF,又DF⊥BF,DFnPD=D,DF,PDC平面PDF,所以BF⊥平面PDF,又PFC平面PDF,所以 BF⊥PF,所以LPFD为二面角P-BE-D的平面角.因为E为AD的中点，AD=4,AB=2,四边形ABCD为 矩形，所以LFED=LAEB=,ED=2,所以DF=2sin号=V2,所以PF=4+(（V22=3V2。所以 c0s2PFD-=-品-号设二面角P-BB-A的平面角为8，则9=T-∠PFD,所以c0s9=c0s(r ∠PFD)=-cos∠PFD=-是所以sim0=V1-cos20-2所以二面角P-EB-A的平面角的正弦值为5 3 答案第5页（共6页） P D E B (3)存在符合条件的点M,依题意得，(AD×BP)1AD,(AD×BP)1BP,又AD×BP=EM,所以EM1 AD,EM⊥BP.又AD/BC,所以EM⊥BC,又PBnBC=B,PB,BCC平面PBC,所以EM⊥平面PBC 在平面PDC内过点D作DN L PC,垂足为N,由BCI平面PDC,DNc平面PDC,得BC L DN,又PCnBC= C,PC,BCC平面PBC,所以DNI平面PBC,在平面PBC内过点N作MN/BC交PB于点M,在DA上取点G, 使得DG=MN.连接GM,所以DG/MN且DG=MN,所以四边形DGMN为平行四边形，所以GM=DN,易 知p训==等所以=g所以a川- ADXBP BM --10 ⊙ 答案第6页（共6页） 浠水一中2026年高二上开学考试数学试题 满分：150分 测试时间：2026-9-10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（     ） A．等腰或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 4．众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.如图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 6．设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的高为1，体积为．为的一条直径，为上一点（不与，重合）．设二面角和的正切值分别为，，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，，则（     ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与互相独立 D． 10．下列说法正确的是（    ） A．在中，，为的中点，则 B．在中，若，则是等腰三角形 C．已知，，若与的夹角是钝角，则且 D．在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则 11．在长方体中，，，M为棱的中点，点P为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（    ） A．满足的点P有且只有两个 B．若，则点P的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为 D．若平面，四棱锥的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18则这8个数据的上四分位数（第75百分位数）是____________． 13．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，方差为，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为，，，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差分别为，，则高三学生每天读书时间的方差________. 14．已知中，角，，的对边分别为，，．若，，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角；（6分） (2)若边的中点为，，，求的面积．（7分） 16．（15分）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率;（7分） (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率.（8分） 17．（15分）如图，在四棱锥中，DA⊥平面ABE，，，，F是DE的中点. (1)证明：平面ABE；（6分） (2)若，直线DE与平面ABE所成角为，求直线CF与直线DB所成角的余弦值.（9分） 18．（17分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． (1)求的值；（5分） (2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率；（6分） (3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率．（6分） 19．（17分）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，．   (1)求的长；（5分） (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值；（6分） (3)请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值．（6分） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 浠水一中2026年高二上开学考试数学试题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C B A A B ACD BCD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】根据共轭复数的定义：对复数，其共轭复数.已知因此， .由虚数单位的性质可知，代入得： . 2．B 【详解】向量在向量上的投影向量为：. 3．D 【详解】因为，由正弦定理可得：，整理可得：， 即，所以或者，所以或，而当时则， 所以三角形为直角三角形，所以，则中，这时，分母为0无意义，所以，三角形为等腰三角形. 4．C【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值，由单峰频率分布直方图且数据分布图左“拖尾”，可知平均数小于中位数，且中位数为右起第三个矩形内，所以.故选：C. 5．B 【详解】取的中点H，连接，则．因为平面，平面，所以．又平面，所以平面，则即为与平面所成的角．设，则，，，则． 6．A 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得，由互斥事件的概率公式可得，由题意可得，解得，故的取值范围是.故选：A. 7．A【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中大于20的数有：26，35，53，62，71，80，故所求事件的概率为．故选：A 8. B 【详解】设圆锥底面半径为．由得，所以．作，垂足为；作，垂足为，如图所示．因为 底面，底面，所以． 又，故 平面，平面，从而．因此 为二面角的平面角．所以同理，为二面角的平面角，故 因为为圆心，，，所以，分别为弦，的中点．又为直径，所以．在中，为的中点，为的中点，为的中点，因此于是 9．ACD【详解】对于A：因为，即事件与同时发生的概率不为，所以事件与不互斥，故A正确； 对于B：因为事件与不互斥，所以事件与不对立，故B错误； 对于C：因为，所以，又，所以，所以事件与互相独立，故C正确； 对于D：可得，故D正确. 10.BCD 【详解】由得是上靠近的三等分点，因此；为中点，故， 因此，A错误； 、分别是、方向的单位向量，二者的和向量在的角平分线上.该和向量与点积为0，说明的角平分线垂直于，因此，是等腰三角形，B正确； 若与的夹角是钝角，则且与不共线，由得； 若两向量反向共线，则有，得，所以满足题意的的取值范围是且，C正确； 建立平面直角坐标系：设，由条件得； 则，，，D正确. 11．BCD【详解】对于A，因为平面，平面，所以. 若，则，即点在以点为圆心，2为半径的圆上，满足的点P是弧，在侧面内存在满足该条件的点无数个，故A不正确； 对于B：因为平面，平面，所以.因为，所以，所以，又因为平面，所以平面，因为，即点P的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，B选项正确； 对于C，三棱锥的体积， C选项正确； 对于D：取是中点，取是中点，因为平面，平面，所以平面，，所以是平行四边形，所以平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，所以当取时，四棱锥的顶点都在球O上,球O体积的最大，此时球的半径满足，即，所以球的体积为，故D正确； 12．16 【详解】已知数据总量为，数据已从低到高排列，则上四分位数，即分位数，位置为.因为为整数，所以上四分位数取第项和第项数据的算术平均数，故这个数据的上四分位数为. 13．3 【详解】由题意可得，,解得.故答案为：3. 14．【详解】，，故，由正弦定理得，即，，由正弦定理得，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，故，故，最大值为. 15．解：（1）由及正弦定理得，整理得：，所以，又，所以．          （2）因为边的中点为，所以，所以， 所以，解得或（舍）．所以的面积为． 16．【详解】（1）对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间，则，因为，所以，因此． （2）对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则，因为，所以，所以． 17．(1)证明：如图，取中点，连接，，因为是的中点，所以且， 又. ，所以且.所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面.所以平面. （2）由（1）可知即为直线与直线所成角或其补角，连接，因为平面，平面，所以，所以即为直线与平面所成角，所以,所以，所以三角形为正三角形.所以，则， 所以为直角三角形，所以.故直线与直线所成角的余弦值为.    18．【详解】（1）设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，则 设“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语” ，解得 （2）由（1）知，设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立，则所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为. （3）“‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”，则所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 19．【详解】（1）因为底面为矩形，所以，因为平面，底面，所以.又平面，所以，因为，所以为直线与所成的角，设，则. 在中，. 又，所以，解得或（舍去），所以. （2）在平面内，过点作交的延长线于点，连接.因为底面，底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角.因为为的中点，，四边形为矩形，所以，所以，所以。所以，设二面角的平面角为，则，所以，所以.所以二面角的平面角的正弦值为.    （3）存在符合条件的点，依题意得，，又，所以.又，所以，又平面，所以平面. 在平面内过点作，垂足为，由平面，平面，得，又平面，所以平面，在平面内过点作交于点，在上取点，使得.连接，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，易知，所以，所以.    答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $浠水一中2026年高二上开学考试数学试题 满分：150分 测试时间：2026-9-10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知复数z=1+i,则z·z=() A.V2 B.2 C.2i D.-2i 2.已知向量d,满足a.万=-5，且=2，则向量a在向量b上的投影向量为() A.-6 B.-6 C. D.5B 3.在△ABC中，角AB,C所对的边分别为a,bc,若--则△ABC的形状是() A.等腰或直角三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 4.众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关如图的分布 形态中，m,n,p分别表示众数、平均数、中位数，则() A.m>n>p B.n>m>p C.m>p>n D.n>p>m 5.如图，已知圆锥的轴截面PAB为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且△AOC 为等边三角形，则PC与平面PAB所成角的正切值为() A晋 B C.9 V39 3 D.39 6.设A、B两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若P(A)=2一a,P(B)=4a-6,则实数a 的取值范围是() A.周引 B.( c.() D.(2) 7.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳 所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3 部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下 图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位， 上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1， 即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上 拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是() B. C. 3 D. 3 7 P 试卷第1页（共4页） 8.己知圆锥A0的高为1，体积为π.BC为⊙0的一条直径，D为⊙O上一点（不与B,C重合）.设二面角 A-BD-O和A-CD-O的正切值分别为P,q,则() A.p2+q2=1 B+京1 C.p2+q2=4 D.+京 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若P(A=子P团=圣P(AB)=G则() A.事件A与B不互斥B.事件A与B对立C.事件A与B互相独立D.P(A+B)=品G 10.下列说法正确的是() A.在△ABC中，BD=2DC,E为AC的中点，则DE=-AB+AC B.在△ABC中，若（需+）·C=0,则△ABC是等腰三角形 C.已a=(1,-3),石=（化，1），若d与的夹角是纯角，则k<3且k≠-月 D.在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，且BE=2EC,点F是CD中点，则AE·BF=6 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=4,M为棱BB1的中点，点P为侧面ABB1A1内 的动点（包含边界），则下列说法正确的有() A.满足C1P=2V2的点P有且只有两个 B.若D1P1AM,则点P的轨迹长度为2V2 C.三棱锥A1一ACM的体积为 D.若C1P/平面ADM,四棱锥P-ABCD的顶点都在球 O上，则球O体积的最大值为8Vπ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3,5,8,9,12,15,17,18则这8个数据的上四 分位数（第75百分位数）是 13.某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读 书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为元=3，方差为s2=1.966,其中三个年级学生 每天读书时间的平均数分别为x1=2.7,x2=3.1,x3=3.3,又已知高一年级、高二年级每天读书时间的 方差分别为s=1,s=2,则高三学生每天读书时间的方差s= 14.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=1,4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3,则tanA 的最大值为 试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=si血A-sB a+b sinC-sinB (1)求角A:(6分) (2)若BC边的中点为D,AD=V7,b=4,求△ABC的面积.(7分) 16.(15分)不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1,2,3，白 球编号为4,5.现从盒子里随机取出2个小球. (1)记事件A=“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件A发生的概率；(7分) (2)记事件B=“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为5'，求事件B发生的概率.(8分) 17.(15分)如图，在四棱锥E-ABCD中，DA⊥平面ABE,DA//BC,BC=1,DA=2,F是DE的中点. (1)证明：CF//平面ABE;(6分) (2)若BA=BE=2,直线DE与平面ABE所成角为45°，求直线CF与直线DB所成角的余弦值.(9分) O 试卷第3页（共4页） 18.(17分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对 的概率为好，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.“星 队在两轮活动中猜对所有成语的概率为是 (1)求p的值；(5分) (2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率：(6分) (3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有 一人获得此称号的概率.(6分) 19.(17分)已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0，作0A=d,0B=b,则∠A0B叫做向量a与b的 夹角，记作（石，.定义a与b的“向量积'为：a×b是一个向量，它与向量a,b都垂直，它的模a×=d·1: sin(,b).如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD,DP=DA=4,E为线段AD 上一点，|AD×BPI=8W5, (1)求AB的长：(5分) (2)若E为线段AD的中点，求二面角P-EB一A的正弦值；(6分) (3)请问线段PB上是否存在一点M,使得AD×BP=EM,若存在，请求出的值.(6分) 试卷第4页（共4页）