3.1列代数式表示数量关系（分层作业，12大题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦“列代数式表示数量关系”，通过A/B/C三级分层设计，实现从概念理解到综合应用再到思维创新的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组理解层级|用字母表示数、代数式书写与识别、正反比例关系|基础题型为主，强化符号意识，如用字母表示两位数、商品售价计算| |B组掌握层级|综合与实践问题|结合生活情境，如阶梯电价、行程问题，培养模型意识| |C组运用层级|数与图形规律、新定义问题|探究性题型，如“幻方”数字规律、格点多边形面积公式推导，提升推理能力与创新意识|

分层作业 3.1 列代数式表示数量关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用字母表示数 题型02 列代数式 题型03 正比例关系 题型04 反比例关系 题型05 代数式的识别 题型06 代数式的书写方法 题型07 代数式表示的实际意义 B组 能力进阶 题型 综合与实践问题 C组 思维拔高 题型01 用代数式表示数的规律 题型02 用代数式表示图形的规律 题型03 代数式中规律解答题 题型04 新定义问题 用字母表示数题型01 1．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，这个两位数用含有字母的式子表示是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若四月份增长率为，五月份增长率为，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（   ） A． B． C． D． 3．某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分每立方米按1.2元收费．已知某户用煤气x立方米（x＞60），则该户应交煤气费_____元． 4．（24-25下·山东东营·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是______． 5．求下列图形阴影部分的面积： 列代数式题型02 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共70本供学生阅读，其中甲种读本的价格为8元／本，乙种读本的价格为10元／本，若购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．“比a的3倍大5的数”用代数式表示为_____． 3．一商场将某件进价为m元的商品按进价提高后标价，再打八折出售，那么这件商品的售价是______元． 4．（24-25八年级上·河南开封·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历．任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，发现结果都是7．若将方框部分的左上角数字设为，用等式表示这一规律为_______． 5．小明用3天看完一本课外读物，第一天看了a页，第二天看的比第一天多50页，第三天看的比第二天少85页． （1）用含a的代数式表示这本书的页数． （2）当a=50时，这本书的页数是多少？ 正比例关系题型03 1．（25-26七年级上·湖北黄石·质检）在电路中，电压U、电流I和电阻R满足关系式．如果电压U保持不变，那么电流和电阻R之间的关系是（    ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 2．正方形的边长与面积（    ）． A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 3．（24-25七年级上·陕西安康·月考）和是两个相关联的量，均不为0），则和（   ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定是否成比例 4．如图，在长方形中，动点沿着边从点移动到点，三角形的面积随动点的运动在不断变化．当时，三角形的面积是，当时，三角形的面积是__________．在点的运动过程中，三角形的面积和线段的长度成__________比例关系． 5．（25-26七年级·期末）观察下面两个表格并回答问题． 表购买同一种故事书 数量/本 总价/元 表用同样的钱购买不同的故事书 单价/元 数量/本 (1)哪个表中的两种量成正比例？为什么？ (2)哪个表中的两种量成反比例？为什么？ 反比例关系题型04 1．下列关系式：其中，成反比例关系的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）现有以下五个说法：①0的相反数等于其本身；②倒数等于其本身的数只有1；③若两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等；④若三角形的面积一定，则它的一条边与该边上的高成反比例关系；⑤若a，b互为倒数，则a与b为反比例关系．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）已知张阿姨购买苹果的总价一定，若苹果的单价为元/千克，张阿姨购买了千克苹果，则与成_____比例关系．（填“正”或“反”）． 4．（25-26七年级上·贵州安顺·期中）甲同学计划看一本书，每天看的页数与需要的天数之间的关系如下表所示． 每天看的页数 10 15 20 25 30 … 需要的天数 30 20 15 12 10 … (1)这本书共有______页． (2)用x表示每天看的页数，用t表示需要的天数，用式子表示x与t的关系．x与t成什么比例关系？ (3)若计划6天看完这本书，则每天需要看多少页？ 5．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【问题背景】智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，赣南是脐橙之乡，赣州某果业公司为了提高采摘效率决定引进相关机器人，据了解某品牌的脐橙采摘机器人，可以识别周边一定范围内的脐橙，并自动对成熟的脐橙进行采摘，它的一个机械手可以采摘一个脐橙． 【构建联系】 （1）若采摘机器人需要识别范围内的脐橙，所需识别时间随着每秒识别范围（单位：，且不为）的变化而变化，根据下表机器人的每秒识别范围，分别计算对应所需要的识别时间．填写下表： 每秒识别范围（单位：） … 识别时间（单位：） … （2）根据（1）思考，每秒识别范围与识别时间是反比例关系吗？为什么？ 【深入探究】 （3）若该机器人搭载了个机械手（），假设所有机械手同时独立工作，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个脐橙，则机器人可比工人多采摘多少个脐橙？ 代数式的识别题型05 1．下列各式中代数式的个数是（   ） ，，． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级下·四川绵阳·联考）下列说法错误的一项是（   ） A．代数式表示“x，y两数的平方和” B．代数式表示“x，y的和的5倍” C．“x的5倍与y的和的一半”，用代数式表示为 D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为 3．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法错误的是（   ） A．，3，a，，这些都是代数式 B．的意义是a的3倍与2的和 C．的意义是a与2的和的3倍 D．橙子原价c元/千克，现在按八五折优惠出售，用代数式表示橙子的售价为元/千克 4．关于字母a所表示的数，下列说法正确的是（    ） A．a一定是正数 B．a的相反数是 C．a的倒数是 D．a的绝对值等于a 5．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 代数式的书写方法题型06 1．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）书写代数式时，常常会作一些要求，对于这个代数式，你认为最规范的形式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·海南万宁·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．对于代数式，第三学习小组讨论后得出如下结论：①代数式还可以写成；②如图，较大正方形的边长为y，较小正方形的边长为1，则代数式表示阴影部分的面积；③其可以叙述为：y与1的平方差的一半；④代数式的值可能是﹣1，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；__________________    （2）；__________________   （3）；__________________    （4）；__________________ （5）；__________________   （6）米．__________________ 5．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 代数式表示的实际意义题型07 1．代数式的意义可以是（   ） A．a的2倍与3的和 B．a的2倍与3的差 C．a的2倍与3的积 D．a与3的和的2倍 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，下列说法中能正确表达这批图书的促销方法的是(　　) A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 3．（25-26七年级上·北京·期中）代数式“”可以解释为：长为，宽为的长方形，其周长为．请再赋予代数式“”一个实际意义：__________． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）三只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相等的三份，多了一个自己吃掉，并把自己一份藏起来；第二只猴子把剩下的两份桃再次分成数量相等的三份，多了一个也自己吃掉，并把自己一份藏起来；第三只猴子也完成了同样的操作，则桃子至少有____________个． 5．如果用表示脚印长度， 表示身高，那么经大数据统计推得与关系大约是（单位cm），试依此结论解决下列问题： (1)若某人脚印长度为，则他的身高约为多少？ (2)现有一脚印长度为，若 A，B 两人身高分别为，请你判断该脚印是谁的可能性更大，为什么？ 综合与实践问题题型 1．（25-26七年级上·河北保定·期中）若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，则当x取任意有理数时，代数式的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25七年级上·广西来宾·期中）如图所示，在数轴上有三个点，，，回答下列问题： (1)求，两点间的距离； (2)若点与点的距离是6，求点所表示的数； (3)若点与点的距离是，请你求出点所表示的数．（用字母表示） 3．（25-26七年级·期末）某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）小米家上半年的用电情况如下（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 请解决以下问题： (1)小米家用电量最多的是________月份，实际用电量为________度； (2)小米家一月份应交纳电费________元； (3)若小米家七月份用电量为x度，则小米家七月份应交纳的电费为________元．（用含x的代数式表示） (4)若七月份交纳电费131元，请问七月份的用电量是多少度？ 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为秒，三角形的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为______；当点在线段上时，的长度为______．（用含的代数式表示） (2)当时，三角形的面积为 ； (3)求点运动过程中三角形的面积和运动时间之间数量关系．（用含的代数式表示） (4)当时，直接写出的值． 用代数式表示数的规律题型01 1．用你发现的规律解答下列问题：，，，探究   ），用含有的式子表示为（   ） A． B． C． D． 2．正整数构成的数列，满足：①数列递增，即；②，则称为“类斐波拉契数列”，例如：.则满足的“类斐波拉契数列”有（   ）种. A．1 B．2 C．3 D．4 3．观察下列各式： 请你猜想规律，用含自然数的等式表示出来：______________． 4．（25-26七年级·期末）观察下面一列数：，，，，，，则第个数为__________． 5．（25-26七年级上·北京·期中）小帆同学利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 1 2 3 4 5 6 …… 输出 2025 2024 2023 2022 2021 2020 …… 输出 1 3 5 7 9 11 …… 输出 …… (1)那么当输入的数据是13时，输出的______，______． (2)用式子表示与的关系______，与成______比例关系．（正或反） (3)当输入的数据是（为正整数）时，输出的______，______．（用含的代数式表示） 用代数式表示图形的规律题型02 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数是（   ） A．40 B．41 C．31 D．19 2．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）观察图中正方形四个顶点所标数的规律，可知数2025应标在（    ） A．第506个正方形的左上角 B．第506个正方形的左下角 C．第507个正方形的右上角 D．第507个正方形的右下角 3．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则an＝__________ 所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … an 4．（2025·广东·三模）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y=_________．    5．（24-25七年级上·天津·期末）如图，每个小正方形的边长为1，观察图中阴影部分面积的计算方法与图形下方对应算式的计算规律，完成填空： （Ⅰ）写出最后一个图形中阴影部分的面积对应的算式及其结果：_______； （Ⅱ）根据以上观察，式子化简的结果为_______； （Ⅲ）结合以上规律，计算的结果为_______． 代数式中规律解答题题型03 1．观察下列各式：第一式：；第二式：；第三式：；第四式：；用含字母的式子表示第个式子 2．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 3．【观察思考】如下图所示． 【规律发现】请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“◎”的个数为________ (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，则第n个图案中“★”的个数可表示为________． (3)【规律应用】结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和的结果等于第n个图案中“◎”的个数的． 新定义问题题型04 1．若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有______． 2．（25-26七年级·四川·期中）一个三位自然数的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，则称为“谐和数”．例如：172满足，所以172是“谐和数”，显然712也是“谐和数”．最大的“谐和数”与最小的“谐和数”之差为________． 3．（24-25七年级上·云南保山·期末）【阅读材料】探索并运用“割尾法”来判定一个三位数能否被7整除的奥秘． 方法： 1．割尾取整：首先，我们巧妙地割去三位数的末尾数字c，从而得到一个两位数（在数学表达中，实则代表的数值）． 2．差值计算：接着，我们计算这个两位数与c的两倍（即）之间的差值，得到的结果即为． 3．判定规则：若此差值恰好为7的倍数，那么，我们就可以断言，原三位数同样能被7整除． 实例演示：以三位数273为例，我们割去其末尾数字3，得到27．随后，计算27与3的两倍的差值，即：，鉴于21是7的倍数，因此，我们可以确信273同样能被7整除． (1)【类比运用】尝试用“割尾法”判断476能否被7整除； (2)【推理验证】已知三位数，请用含a，b，c的表达式表示和“割尾法”后所得的差． 4．（25-26七年级上·山西晋城·期中）从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳，它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略． 【提出问题】 在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）存在一定的数量关系．若a取定值，请探究格点多边形的面积S与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系． 【特例感知】 当取时，小明利用归纳的策略完成以下探究.在正方形网格纸中（每个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的图形（图1、图2、图3）． 根据图1、图2、图3得到的数据如下： b S 图1 4 3 图2 6 4 图3 7 ① ①处应填______； 由此发现规律：格点多边形的面积S=______（用含b的代数式表示）． 【问题解决】 在内部格点为2的格点多边形中，如果，那么格点多边形的面积S=_____． 【联系拓广】 如图4，在等边三角形网格纸中（每个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）有新的数量关系．请你按照以上的归纳策略继续探究，得到内部格点为2的格点多边形的面积S 与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系为______；当时，格点多边形的面积S=______． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1 列代数式表示数量关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用字母表示数 题型02 列代数式 题型03 正比例关系 题型04 反比例关系 题型05 代数式的识别 题型06 代数式的书写方法 题型07 代数式表示的实际意义 B组 能力进阶 题型 综合与实践问题 C组 思维拔高 题型01 用代数式表示数的规律 题型02 用代数式表示图形的规律 题型03 代数式中规律解答题 题型04 新定义问题 用字母表示数题型01 1．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，这个两位数用含有字母的式子表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式表示．根据十位数字a表示a个十，即；个位数字b表示b个一，即为b，再求和即可表示出该两位数． 【详解】解：∵十位数字a表示a个十，即；个位数字b表示b个一，即为b， ∴这个两位数为． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若四月份增长率为，五月份增长率为，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数，解题的关键是找出三、四、五月份销售量之间的关系． 【详解】解：根据题意得，四月份的销售量是，五月份的销售量为， 故选：B． 3．某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分每立方米按1.2元收费．已知某户用煤气x立方米（x＞60），则该户应交煤气费_____元． 【答案】（1.2x﹣24） 【分析】根据应交煤气费=前60立方米的付费+超过60立方米的付费列式即可. 【详解】∵超出60立方米的煤气用量为：x﹣60， ∴超出的费用是1.2（x﹣60）=1.2x﹣72元， ∴应交煤气费是1.2x﹣72+60×0.8=1.2x﹣24． 故答案为1.2x﹣24. 【点睛】本题考查列代数式，找到所求的量的等量关系是解题关键. 4．（24-25下·山东东营·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了用字母表示数，有理数乘方，中间正方形的两个数分别为，，根据该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，中间正方形的两个数分别为，， ∵该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．求下列图形阴影部分的面积： 【答案】（1）    （2） 【分析】（1）根据图示，用长是4y，宽是3x的长方形的面积减去长是3y，宽是2x的长方形的面积，求出阴影部分的面积是多少即可； （2）根据图示，用边长是x的正方形的面积减去两个半径是的半圆的面积，求出阴影部分的面积是多少即可． 【详解】（1）阴影部分的面积为3x·4y－3y（3x－x）=12xy-6xy=6xy； （2）圆的半径等于， ∴S圆＝π（）2， 故阴影部分的面积为x2－π（）2= 【点睛】此题考查了不规则图形的面积的计算方法，一般都是转化到规则图形中，利用面积公式计算解答． 列代数式题型02 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共70本供学生阅读，其中甲种读本的价格为8元／本，乙种读本的价格为10元／本，若购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据购买甲，乙两种读本的总数为70，购买甲种读本x本，用含x的式子表示购买乙种读本的数量，再根据费用=数量×每本的价格可得到答案． 本题考查了根据真实生活情境列代数式的相关知识，找到正确的数量关系是解题的关键． 【详解】解：因为购买甲，乙两种读本的总数为70，购买甲种读本x本， 所以购买乙种读本的数量为． 因为乙种读本的价格为10元/本， 所以购买乙种读本的费用为：元． 故选：B． 2．“比a的3倍大5的数”用代数式表示为_____． 【答案】 【分析】a的3倍表示为，从而可得答案． 【详解】解：比数a的3倍大5的数：． 故答案为． 【点睛】本题考查的是列代数式，掌握语句的含义是解本题的关键． 3．一商场将某件进价为m元的商品按进价提高后标价，再打八折出售，那么这件商品的售价是______元． 【答案】 【分析】该题主要考查了列代数式在现实生活中的实际应用问题；解题的关键是准确把握命题中隐含的数量关系，正确列出代数式．根据题意直接列出代数式，化简、运算即可解决问题． 【详解】由题意得： 这件商品得售价是（元）． 故答案为． 4．（24-25八年级上·河南开封·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历．任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，发现结果都是7．若将方框部分的左上角数字设为，用等式表示这一规律为_______． 【答案】 【分析】本题考查列代数式．根据题意用含n的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：设日历中所示的方框左上角数字为n， 则其余三个数从小到大依次是：， ∴用含x的式子可表示为． 故答案为：． 5．小明用3天看完一本课外读物，第一天看了a页，第二天看的比第一天多50页，第三天看的比第二天少85页． （1）用含a的代数式表示这本书的页数． （2）当a=50时，这本书的页数是多少？ 【答案】（1）3a+15；（2）165． 【详解】试题分析：（1）先用a表示出第二天与第三天看的页数，再把三天的页数相加即可； （2）把a=50代入（1）中的式子，即可求出答案． 试题解析：解：（1）a+(a +50)+[ (a +50)-85]  化简得：3a+15； （2）当a=50时，3a+15=3×50+15=165． 答：当a=50时，这本书的页数是165页． 点睛：本题考查的是列代数式，解题的关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式． 正比例关系题型03 1．（25-26七年级上·湖北黄石·质检）在电路中，电压U、电流I和电阻R满足关系式．如果电压U保持不变，那么电流和电阻R之间的关系是（    ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了反比例关系，根据欧姆定律，电压U保持不变时，电流I与电阻R的乘积为定值，因此成反比例关系． 【详解】∵，且为常数， ∴常数， ∴与成反比例． 故选：B． 2．正方形的边长与面积（    ）． A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】C 【分析】本题考查正比例和反比例关系，根据两个量的乘积一定，两个量成反比例关系，两个量的比值一定，两个量成正比例关系，进行判断即可． 【详解】解：正方形的面积等于边长的平方，故正方形的面积与边长的平方成正比例，正方形的边长与面积不成比例； 故选C． 3．（24-25七年级上·陕西安康·月考）和是两个相关联的量，均不为0），则和（   ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定是否成比例 【答案】B 【分析】本题考查成正比例和反比例的定义：判断和之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 根据正比例和反比例的意义判断，即可得到答案． 【详解】解：由（均不为0）， 得， 所以和成反比例， 故选：B． 4．如图，在长方形中，动点沿着边从点移动到点，三角形的面积随动点的运动在不断变化．当时，三角形的面积是，当时，三角形的面积是__________．在点的运动过程中，三角形的面积和线段的长度成__________比例关系． 【答案】 48 正 【分析】本题考查了正比例关系，理解题意，掌握正比例关系的含义是关键． 根据三角形面积为得到，再代入三角形面积公式，结合正比例关系的概念判定即可． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 当时，三角形的面积是， ∴， 解得，， ∴当时，， ∵，线段的长不变，三角形的面积随着的长度增大而增大， ∴三角形的面积和线段的长度成正比例关系， 故答案为：①；② 正． 5．（25-26七年级·期末）观察下面两个表格并回答问题． 表购买同一种故事书 数量/本 总价/元 表用同样的钱购买不同的故事书 单价/元 数量/本 (1)哪个表中的两种量成正比例？为什么？ (2)哪个表中的两种量成反比例？为什么？ 【答案】(1) 在表1中， ， ， ， ， 因为总价和数量的比值一定，所以表1中的总价和数量成正比例． (2) 在表2中， ， ， ， ， 因为单价和数量的乘积一定，所以表2中的单价和数量成反比例． 【分析】本题考查了正比例和反比例关系，掌握比值为定值的两个量成正比例，乘积为定值的两个量成反比例是解题的关键． （1）根据比值为定值的两个量成正比例，即可求解． （2）根据乘积为定值的两个量成反比例，即可求解． 【详解】（1）略 （2） 略 反比例关系题型04 1．下列关系式：其中，成反比例关系的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】本题主要考查了反比例关系的定义，两个变量的乘积为常数且不为零，即形式为（x、y为变量，k为常量，且）或，那么这两个变量成反比例，据此逐一判断即可． 解：成反比例关系的有，共3个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）现有以下五个说法：①0的相反数等于其本身；②倒数等于其本身的数只有1；③若两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等；④若三角形的面积一定，则它的一条边与该边上的高成反比例关系；⑤若a，b互为倒数，则a与b为反比例关系．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、相反数的意义、倒数、成反比例，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 根据绝对值、相反数的意义、倒数、成反比例解答即可； 【详解】解：①0的相反数等于其本身，故正确； ②倒数等于其本身的数有1和，故不正确； ③若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故不正确； ④若三角形的面积一定，则它的一条边与该边上的高乘积为定值，故它的一条边与该边上的高成反比例关系，故正确； ⑤若a，b互为倒数，则a，b乘积为定值，则a与b为反比例关系，故正确． 综上，正确的为①④⑤，共3个， 故选：C． 3．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）已知张阿姨购买苹果的总价一定，若苹果的单价为元/千克，张阿姨购买了千克苹果，则与成_____比例关系．（填“正”或“反”）． 【答案】反 【分析】本题主要考查了反比例的定义，熟练掌握“两个量的乘积为定值时，这两个量成反比例”是解题的关键． 根据总价一定，利用单价与数量的乘积关系，结合反比例定义判断． 【详解】解：设总价为元（为常数），则， ∵与的乘积为定值， ∴与成反比例． 故答案为：反． 4．（25-26七年级上·贵州安顺·期中）甲同学计划看一本书，每天看的页数与需要的天数之间的关系如下表所示． 每天看的页数 10 15 20 25 30 … 需要的天数 30 20 15 12 10 … (1)这本书共有______页． (2)用x表示每天看的页数，用t表示需要的天数，用式子表示x与t的关系．x与t成什么比例关系？ (3)若计划6天看完这本书，则每天需要看多少页？ 【答案】(1) (2)，反比例关系 (3)页 【分析】本题考查反比例关系的应用，根据题意准确分析是解题的关键． （1）根据每天看的页数乘以需看的天数计算即可得解； （2）书的总页数固定，每天看的页数与需要的天数乘积为定值，因此成反比例关系； （3）用总页数除以计算即可； 根据表格数据计算总页数，再利用关系式求解问题． 【详解】（1）总页数为（页）； 故答案是：． （2）书的总页数固定为300页， ， 与的乘积为定值， 与成反比例关系． （3），， ； 答：若计划6天看完这本书，则每天需要看页． 5．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【问题背景】智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，赣南是脐橙之乡，赣州某果业公司为了提高采摘效率决定引进相关机器人，据了解某品牌的脐橙采摘机器人，可以识别周边一定范围内的脐橙，并自动对成熟的脐橙进行采摘，它的一个机械手可以采摘一个脐橙． 【构建联系】 （1）若采摘机器人需要识别范围内的脐橙，所需识别时间随着每秒识别范围（单位：，且不为）的变化而变化，根据下表机器人的每秒识别范围，分别计算对应所需要的识别时间．填写下表： 每秒识别范围（单位：） … 识别时间（单位：） … （2）根据（1）思考，每秒识别范围与识别时间是反比例关系吗？为什么？ 【深入探究】 （3）若该机器人搭载了个机械手（），假设所有机械手同时独立工作，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个脐橙，则机器人可比工人多采摘多少个脐橙？ 【答案】 （1）填写表格数据如下： 每秒识别范围（单位：） … 识别时间（单位：） … （2）每秒识别范围与识别时间是反比例关系， 理由：每秒识别范围识别时间，积一定， 每秒识别范围与识别时间是反比例关系； （3）机器人可比工人多采摘个脐橙． 【分析】本题考查代数式的应用，有理数除法的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）用除以每秒识别范围即可求出识别时间，再填表即可； （2）根据（1）中所得数据求解； （3）列代数式表示出机器人采摘量，减去人工采摘量即可． 【详解】解：（1）， ，，，， （2）略； （3）， 机器人可摘：个， 人工可摘：个， 机器人可比工人多采摘个脐橙． 代数式的识别题型05 1．下列各式中代数式的个数是（   ） ，，． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查代数式定义，熟记代数式定义“代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子”逐个判定即可得到答案． 【详解】解：是等式，是不等式， ，，中，为代数式的有，，共3个， 故选：B ． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·联考）下列说法错误的一项是（   ） A．代数式表示“x，y两数的平方和” B．代数式表示“x，y的和的5倍” C．“x的5倍与y的和的一半”，用代数式表示为 D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为 【答案】C 【分析】根据每个选项的描述，进行判断代数式是否正确表示，即可作答． 【详解】解：A、代数式表示“x，y两数的平方和”，故该选项正确，不符合题意； B、代数式表示“x，y的和的5倍”，故该选项正确，不符合题意； C、“x的5倍与y的和的一半”，用代数式表示为，故该选项错误，符合题意； D、比x的2倍多3的数，用代数式表示为，故该选项正确，不符合题意． 3．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法错误的是（   ） A．，3，a，，这些都是代数式 B．的意义是a的3倍与2的和 C．的意义是a与2的和的3倍 D．橙子原价c元/千克，现在按八五折优惠出售，用代数式表示橙子的售价为元/千克 【答案】D 【分析】本题考查代数式的定义、意义以及折扣问题． 解题的关键在于准确理解代数式的概念，能正确解读代数式所表达的实际意义，同时掌握折扣的计算方法． 【详解】选项A：、3、a、均为代数式，正确； 选项B：表示a的3倍与2的和，正确； 选项C：表示a与2的和的3倍，正确， 选项D：∵ 八五折表示原价的，即倍， ∴ 橙子的售价应为元/千克，而非元/千克， ∴ 选项D错误． 故选：D． 4．关于字母a所表示的数，下列说法正确的是（    ） A．a一定是正数 B．a的相反数是 C．a的倒数是 D．a的绝对值等于a 【答案】B 【分析】根据代数式的定义、相反数的性质，绝对值的性质及倒数的性质逐一判断即可得答案． 【详解】A.a可以表示正数、负数和0，故该选项错误， B.a的相反数是，故该选项正确， C.0没有倒数，故该选项错误， D.当a＜0时，a的绝对值等于-a，故该选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式的定义、相反数的性质，绝对值的性质及倒数的性质，熟练掌握相关定义与性质是解题关键． 5．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义、书写规范及含义的理解，逐一判断各说法的正确性． 【详解】∵ 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，单独的数字或字母也是代数式， ∴ 说法①中“a是代数式”正确，但“1不是代数式”错误，故①错误； ∵ 带分数在代数式中应化为假分数，应写为， ∴ 表示a，b，的积的代数式应为，而非，故②错误； ∵ 代数式的运算顺序是先求差再求商， ∴ 其含义是a与4的差除以b的商，故③正确； ∵ “两数平方的差”指，“两数的积的4倍”指， ∴ 它们的和应为，而， 两者不等，故④错误． 故选：A． 代数式的书写方法题型06 1．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）书写代数式时，常常会作一些要求，对于这个代数式，你认为最规范的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写规范：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．熟练掌握代数式的书写规范是解题关键．根据代数式的书写规范要求解答即可得． 【详解】解：对于这个代数式，最规范的形式是． 故选：D． 2．（25-26七年级上·海南万宁·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键． 【详解】解： 符合代数式书写要求； 含有除号，应改为，不符合要求； 符合要求； 符合要求； 系数为带分数，应改为，不符合要求， 符合要求的有 、、，共个， 故选：B． 3．对于代数式，第三学习小组讨论后得出如下结论：①代数式还可以写成；②如图，较大正方形的边长为y，较小正方形的边长为1，则代数式表示阴影部分的面积；③其可以叙述为：y与1的平方差的一半；④代数式的值可能是﹣1，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据代数式的书写方式、代数式与图形、平方差、偶次方的非负性逐个判断即可得． 【详解】解：代数式还可以写成，则①正确； 图中阴影部分的面积等于较大正方形的面积与较小正方形的面积之差的一半，即为，则②正确； 代数式可以叙述为：与1的平方差的一半，则③正确； ， ， 所以代数式的值不可能是，即④错误； 综上，正确的个数为3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式、偶次方的非负性等知识，熟练掌握代数式的意义是解题关键． 4．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；__________________    （2）；__________________   （3）；__________________    （4）；__________________ （5）；__________________   （6）米．__________________ 【答案】 米 【分析】根据代数式的书写格式解答即可 【详解】解：（1）应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； (5)应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； (6)米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 【点睛】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号． 5．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 【答案】(1)小时 (2)小时，小时 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的等量关系来列代数式进行解答． （1）根据路程、速度和时间三个量之间具有关系：时间路程速度，用代数式表示出汽车从甲地到乙地需要行驶的时间； （2）早到的时间原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时间，用代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（小时）， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时． （2）解：（小时）， 小时， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时，汽车加快速度后可以早到小时． 代数式表示的实际意义题型07 1．代数式的意义可以是（   ） A．a的2倍与3的和 B．a的2倍与3的差 C．a的2倍与3的积 D．a与3的和的2倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的意义，表示的是a的2倍，加3表示的是与3的和，据此可得答案． 【详解】解：代数式的意义可以是a的2倍与3的和， 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，下列说法中能正确表达这批图书的促销方法的是(　　) A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义，熟练掌握其实际意义是解题的关键．根据代数式的实际意义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得将原价为元的一批图书以元的价格出售表示的意义为在原价的基础上减去元后再打折， 故选：C． 3．（25-26七年级上·北京·期中）代数式“”可以解释为：长为，宽为的长方形，其周长为．请再赋予代数式“”一个实际意义：__________． 【答案】购买单价为a元的甲商品2件和单价为b元的乙商品2件，总费用为元（答案不唯一）． 【分析】代数式“2a+2b”可以表示为两个数的和的两倍，常见实际意义包括几何周长或总成本等．为避免与给定长方形周长例子重复，选择总成本作为实际意义，其中a和b分别表示两种商品的单价，2a+2b表示购买2件a商品和2件b商品的总费用． 【详解】解：代数式“”可以解释为：购买单价为a元的甲商品2件和单价为b元的乙商品2件，总费用为元（答案不唯一）． 故答案为：购买单价为a元的甲商品2件和单价为b元的乙商品2件，总费用为元（答案不唯一）． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）三只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相等的三份，多了一个自己吃掉，并把自己一份藏起来；第二只猴子把剩下的两份桃再次分成数量相等的三份，多了一个也自己吃掉，并把自己一份藏起来；第三只猴子也完成了同样的操作，则桃子至少有____________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，找出正确的等量关系是解题的关键．首先设第三只猴子分过后每份桃子有个，再根据题意分别表示出第二只猴子所分的桃子，第一只猴子所分的桃子，最后根据桃子的数量为正整数取值即可． 【详解】设第三只猴子分过后每份桃子有个，则第三只猴子所分的桃子有个， 第二只猴子所分的桃子有个，即个， 第一只猴子所分的桃子有个，即个， ， 且和均为正整数， 为正整数， 是的倍数， 的最小值为， 当时，， 桃子至少有个， 故答案为：． 5．如果用表示脚印长度， 表示身高，那么经大数据统计推得与关系大约是（单位cm），试依此结论解决下列问题： (1)若某人脚印长度为，则他的身高约为多少？ (2)现有一脚印长度为，若 A，B 两人身高分别为，请你判断该脚印是谁的可能性更大，为什么？ 【答案】（1）他的身高约为；（2）A身高的可能性大 【分析】（1）根据题目给出的代数式代数计算即可. (2)将题目中脚印长度代入与关系式，求得身高数据，再分别与A，B 两人身高比较即可. 【详解】解：（1）当时; 答：他的身高约为. （2）A的可能性大 当时， ,所以A身高的可能性大 【点睛】本题考查的是代数式的应用与代数计算，正确理解题意并代数运算是解答关键. 综合与实践问题题型 1．（25-26七年级上·河北保定·期中）若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，则当x取任意有理数时，代数式的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值表示的两点之间的距离意义，运用数形结合是解题的关键．根据两点之间的距离可知，当x对应的点在1和7对应的点之间时，的最小值，即可得解． 【详解】解：表示x对应的点到1和7对应的点的距离之和， 则当x对应的点在1和7对应的点之间时，取得最小值，最小值为， 故选：． 2．（24-25七年级上·广西来宾·期中）如图所示，在数轴上有三个点，，，回答下列问题： (1)求，两点间的距离； (2)若点与点的距离是6，求点所表示的数； (3)若点与点的距离是，请你求出点所表示的数．（用字母表示） 【答案】(1)4 (2)4或 (3)或 【分析】本题考查了数轴及绝对值，有理数的减法，列代数式； （1）利用右边减左边的数可求出两点间的距离； （2）分两种情况在点的右边或在点的左边求解； （3）分两种情况在点的右边或在点的左边求解． 【详解】（1）解：，两点间的距离是， （2）若点与点的距离是，则点表示的数是或， （3）点与点的距离是 ∴点表示的数为或． 3．（25-26七年级·期末）某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边 (2)升 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减和列代数式． （1）根据有理数的加减求出结果进行判断即可； （2）利用绝对值求出走过的路程，再利用乘以，即可求解． 【详解】（1）解：． 答：出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边； （2）解： (升) 答：这天下午汽车共耗油升． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）小米家上半年的用电情况如下（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 请解决以下问题： (1)小米家用电量最多的是________月份，实际用电量为________度； (2)小米家一月份应交纳电费________元； (3)若小米家七月份用电量为x度，则小米家七月份应交纳的电费为________元．（用含x的代数式表示） (4)若七月份交纳电费131元，请问七月份的用电量是多少度？ 【答案】(1)六；240 (2)91 (3) (4)220度 【分析】此题考查了有理数运算的实际应用、列代数式的应用等知识． （1）以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负，据此即可判断用电量最多的是六月份，再求出用电量即可； （2）求出小米家一月份的用电量，再根据对应的价格进行求解即可； （3）根据收费标准列代数式求解即可； （4）首先计算判断出七月份的用电量超过了200度，然后得到求解即可． 【详解】（1）解：∵以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负， ∴小米家用电量最多的是六月份， 实际用电量为：（度）； 故答案为：六，240； （2）小米家一月份的用电量为（度）， 小米家一月份应交纳电费为：（元）； 故答案为：六，91； （3）解：若小米家七月份用电量为x度， 小米家七月份应交纳的电费为： 元； 故答案为：； （4）解：当居民每月用电量为50度时，应交纳电费（元）； 当居民每月用电量为200度时，应交纳电费（元）； ∵， ∴七月份的用电量超过了200度， ∴， 解得， ∴七月份的用电量是220度． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为秒，三角形的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为______；当点在线段上时，的长度为______．（用含的代数式表示） (2)当时，三角形的面积为 ； (3)求点运动过程中三角形的面积和运动时间之间数量关系．（用含的代数式表示） (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)2； (3)； (4) 【分析】本题考查动点问题，分段进行计算是解题的关键． （1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点B的坐标，根据点的运动求出线段的长； （2）根据的值可知，点在线段上，然后利用计算解题； （3）分为，和时，点P的位置计算即可； （4）根据可得点P在上，然后列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点是的中点， ∴， 又∵是正方形，且点B在第一象限， ∴点B的坐标为； 点在线段上时，； 故答案为：，； （2）当时，点在线段上， ∴； （3）解：当时，点P在上， ； 当时，点P在上， ； 当时，点P在上，， ； 综上所述，； （4）解：∵， ∴点P在上，即，解得． 用代数式表示数的规律题型01 1．用你发现的规律解答下列问题：，，，探究   ），用含有的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，将，，，…，按照题目规律展开，最后中间全部抵消，剩首尾两项，计算可得； 【详解】解：原式 故选：B． 2．正整数构成的数列，满足：①数列递增，即；②，则称为“类斐波拉契数列”，例如：.则满足的“类斐波拉契数列”有（   ）种. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】分析各数据间的关系，设第一个数为n，第二个数为n+d，则第三个数为2n+d，第四个数为3n+2d，第五个数为5n+3d，列式得到5n+3d=59，再确定n与d的值即可得到答案. 【详解】设第一个数为n，第二个数为n+d，则第三个数为2n+d，第四个数为3n+2d，第五个数为5n+3d， ∵， ∴5n+3d=59， ∴， ∵此数列为正整数数列， ∴n、d为正整数， ∴当d=3、13、8、18时，n=10、4、7、1，共有4种， 故选：D. 【点睛】此题考查列代数式求值，正确理解题意列出关系式是解题的关键，得到后需选数代入求值. 3．观察下列各式： 请你猜想规律，用含自然数的等式表示出来：______________． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示数字规律，通过观察等式的变形即可求解． 【详解】由题意得：该规律用含自然数的等式表示出来为， 故答案为：． 4．（25-26七年级·期末）观察下面一列数：，，，，，，则第个数为__________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的一列数发现分子和分母的变化规律是（为正整数），然后利用规律解决问题． 【详解】解：∵， ∴第个数的符号为，分子为，分母为：， ∴第个数为（为正整数）， 当时，， 即第100个数为． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·北京·期中）小帆同学利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 1 2 3 4 5 6 …… 输出 2025 2024 2023 2022 2021 2020 …… 输出 1 3 5 7 9 11 …… 输出 …… (1)那么当输入的数据是13时，输出的______，______． (2)用式子表示与的关系______，与成______比例关系．（正或反） (3)当输入的数据是（为正整数）时，输出的______，______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2)，反 (3)； 【分析】本题考查了用代数式表示数的规律、反比例关系，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据表格可得输入的数据与之和等于2026，输出的是连续的奇数，归纳类推出一般规律，由此即可得； （2）根据表格可得，满足反比例关系，由此即可得； （3）根据输入的数据与之和等于2026，输出的是连续的奇数，归纳类推出一般规律即可得． 【详解】（1）解：由表格可知，当输入的数据是13时，输出的； 当输入1时，， 当输入2时，， 当输入3时，， 依此类推，当输入的数据是13时，输出的， 故答案为：，． （2）解：由表格可知，，，，，，，， 所以，与成反比例关系， 故答案为：，反． （3）解：由表格可知，输入的数据与之和等于2026， 则当输入的数据是（为正整数）时，输出的； 当输入1时，， 当输入2时，， 当输入3时，， 归纳类推得：当输入的数据是（为正整数）时，输出的， 故答案为：；． 用代数式表示图形的规律题型02 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数是（   ） A．40 B．41 C．31 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律探究，掌握图形规律探究方法善于总结规律是解题的关键．先列出前几个图形中圆的个数，然后推论出第n个图形中圆的个数为，最后把代入求解即可． 【详解】解：第1个图形中有个圆， 第2个图形中有个圆， 第3个图形中有个圆， … 第n个图形中有个圆， 当时，有个圆 ． 故选：C ． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）观察图中正方形四个顶点所标数的规律，可知数2025应标在（    ） A．第506个正方形的左上角 B．第506个正方形的左下角 C．第507个正方形的右上角 D．第507个正方形的右下角 【答案】D 【分析】本题主要考查了用代数式表示规律问题， 先根据图形的变化特点可得数字变化的规律，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可知每个正方形有4个数，按照右下，右上，左上，左下四个数字依次增加1， ∵， ∴数2025应标在第507个正方形的右下角． 故选：D． 3．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则an＝__________ 所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … an 【答案】3n+1 【详解】从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1． 故 答案为3n+1 4．（2025·广东·三模）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y=_________．    【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，经观察发现：最上面的数与左下的数为两个连续整数，右下的数是最上面的数字加2再乘以左下的数，据此即可求解． 【详解】解：由，，， 得． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·天津·期末）如图，每个小正方形的边长为1，观察图中阴影部分面积的计算方法与图形下方对应算式的计算规律，完成填空： （Ⅰ）写出最后一个图形中阴影部分的面积对应的算式及其结果：_______； （Ⅱ）根据以上观察，式子化简的结果为_______； （Ⅲ）结合以上规律，计算的结果为_______． 【答案】 40 【分析】本题主要考查图形的变化规律，有理数的混合运算． （Ⅰ）分析所给的三个图形与算式即可求解； （Ⅱ）对上述的图形与算式进行总结即可； （Ⅲ）利用所得的规律进行求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵，，，…， ∴所求的图形的算式为， 故答案为：； （Ⅱ）， 故答案为：； （Ⅲ）原式 故答案为：40． 代数式中规律解答题题型03 1．观察下列各式：第一式：；第二式：；第三式：；第四式：；用含字母的式子表示第个式子 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律，掌握从特殊到一般的推理过程进行归纳规律成为解题的关键． 根据已有式子，推出规律即可解答． 【详解】解：第一式：； 第二式：； 第三式：； 第四式：； …… 第个式子是． 2．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律，正确找出规律是解题的关键． （1）仿照题干中的例子进行计算即可； （2）观察（1）中的式子，用表示出该规律即可 （3）根据（2）中得到的规律将所求式子展开，观察发现，第一项和最后一项除外，中间的所有项都会相互抵消，据此进行计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，； （2）解：根据题干，结合（1）中的算式，可以观察得到规律为： 对于任意正整数，都有， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 则 ． 3．【观察思考】如下图所示． 【规律发现】请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“◎”的个数为________ (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，则第n个图案中“★”的个数可表示为________． (3)【规律应用】结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和的结果等于第n个图案中“◎”的个数的． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了图形的变化类，列代数式，找出变化规律是解题的关键． （1）先计算前个图中◎的个数，找出规律求解； （2）先计算前个图中★的个数，找出规律求解； （3）根据（2）中的规律进行求解即可. 【详解】（1）解：第个图案中“◎”的个数为； 第个图案中“◎”的个数为； 第个图案中“◎”的个数为； 第个图案中“◎”的个数为； ……， 第个图案中“◎”的个数为； 故答案为：； （2）第个图案中“★”的个数可表示为个， 第个图案中“★”的个数可表示为个， 第个图案中“★”的个数可表示为个， …， 按照这个规律，则第个图案中“★”的个数可表示为. 故答案为：. （3）由题意，得， 即， 解得． 新定义问题题型04 1．若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有______． 【答案】①②③ 【分析】对所给的代数式，任意交换两个字母，然后进行分析判断即可得到答案． 【详解】解：①代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ②代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ③中，任意交换，得到的代数式都是，故是完全对称式； ④，交换得到，与原代数式不一样，所以不是完全对称式． 所以是完全对称式的是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查代数式的基本概念，根据所给的完全对称式的定义进行判断分析是解题的关键． 2．（25-26七年级·四川·期中）一个三位自然数的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，则称为“谐和数”．例如：172满足，所以172是“谐和数”，显然712也是“谐和数”．最大的“谐和数”与最小的“谐和数”之差为________． 【答案】802 【分析】本题考查新定义，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键． 根据“谐和数”的定义，百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，且各位数字互不相同，通过分析个位数字的可能取值，列举所有满足条件的数，并找出最大和最小者求差即可得到答案． 【详解】解：设百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则，且均为的整数且互不相同， ， 则，解得， 故可取1、2、3、4， 当时，，由于均为的整数且互不相同，故排除131、311、221，即没有满足条件的数； 当时，，故满足条件的数有172、352、532、712； 当时，，故满足条件的数有483、573、753、843； 当时，，故满足条件的数有794、974； “谐和数”中最小者为172，最大者为974，其差为， 故答案为：802． 3．（24-25七年级上·云南保山·期末）【阅读材料】探索并运用“割尾法”来判定一个三位数能否被7整除的奥秘． 方法： 1．割尾取整：首先，我们巧妙地割去三位数的末尾数字c，从而得到一个两位数（在数学表达中，实则代表的数值）． 2．差值计算：接着，我们计算这个两位数与c的两倍（即）之间的差值，得到的结果即为． 3．判定规则：若此差值恰好为7的倍数，那么，我们就可以断言，原三位数同样能被7整除． 实例演示：以三位数273为例，我们割去其末尾数字3，得到27．随后，计算27与3的两倍的差值，即：，鉴于21是7的倍数，因此，我们可以确信273同样能被7整除． (1)【类比运用】尝试用“割尾法”判断476能否被7整除； (2)【推理验证】已知三位数，请用含a，b，c的表达式表示和“割尾法”后所得的差． 【答案】(1)能 (2)；． 【分析】本题考查了用列代数式，整式的加减，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题干举例进行解答即可； （2）根据题意表示出，，求解即可； 【详解】（1）解：对于三位数476，割掉末位数字6得47，，因为35是7的倍数，所以476能被7整除． （2）解：∵， ∴； 4．（25-26七年级上·山西晋城·期中）从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳，它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略． 【提出问题】 在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）存在一定的数量关系．若a取定值，请探究格点多边形的面积S与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系． 【特例感知】 当取时，小明利用归纳的策略完成以下探究.在正方形网格纸中（每个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的图形（图1、图2、图3）． 根据图1、图2、图3得到的数据如下： b S 图1 4 3 图2 6 4 图3 7 ① ①处应填______； 由此发现规律：格点多边形的面积S=______（用含b的代数式表示）． 【问题解决】 在内部格点为2的格点多边形中，如果，那么格点多边形的面积S=_____． 【联系拓广】 如图4，在等边三角形网格纸中（每个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）有新的数量关系．请你按照以上的归纳策略继续探究，得到内部格点为2的格点多边形的面积S 与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系为______；当时，格点多边形的面积S=______． 【答案】【特例感知】4.5，；【问题解决】8.5；【联系拓广】，12 【分析】此题考查的是格点多边形的面积问题，解决本题的关键是关键由特殊找出规律得出结论． 特例感知：观察图中特例计算出对应的数据，再由特殊情况计算找出规律即可得出结论； 问题解决：由特殊情况计算找出规律即可得出结论； 联系拓广：由特殊情况计算找出规律即可得出结论，再将图4中的a和b代入即可得解； 【详解】解：特例感知： 图3边上的格点数，面积为，①处应填4.5； 观察图1至图3数据可得； 故答案为：4.5，； 问题解决： 当时，， 故答案为：8.5； 联系拓广：如图 图中正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，数据如下表： b S 图5 6 8 图6 8 10 图n 观察表格数据可得：， 所以时，， 故答案为：；12． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $