第十四章 全等三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 全等三角形单元强化卷，覆盖判定、性质及应用，通过基础题、综合题和创新题梯度设计，培养几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与培优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|全等判定（如SAS条件补充）、角平分线性质|基础巩固，结合图形辨析，强化抽象能力| |填空题|6/12|中线取值范围、动点全等|知识迁移，注重空间观念，渗透动态思维| |解答题|8/72|实际测量（水池宽度）、动态几何（等腰直角三角形旋转）|综合应用，培养模型意识与创新思维，贴合真题命题趋势|

第十四章 全等三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，，其中，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 3．如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 4．如图所示，小美站在河边的点A处，在河的对面（小美的正北方向）的B处有一电线塔，她想知道电线塔离她有多远，于是向正西方向走了40步到达一棵树C处，接着再向前走了40步到达D处，然后她左转直行，当看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，一共走了160步．如果小美一步大约，估计小美在点A处时与电线塔的距离为（     ） A． B． C． D． 5．下列作图中，点M到，两边距离相等的是（     ） A． B． C． D． 6．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，若点A坐标为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，的面积为，平分，于点G，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 11．如图，、的平分线、交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（     ） ①平分；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图所示，长方形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，G到边的距离为（     ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 14．如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，量出，则底部内径的长度为_________． 15．已知中，，，则边上的中线的取值范围是________________．（用不等式表示） 16．如图，的两个外角的平分线，相交于点O，连接若点O到的距离为7，，则的面积为_________． 17．如图，点E是上的一点，，则下结论：①，②，③，④，成立的有 _____个．    18．如图，等腰中，，，，点D为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为____． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，，点E在边上，与相交于点F． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 20．（8分）小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 21．（8分）如图，已知，，，则，请说明理由． 解：∵（________）， ∴________， ∴__________， 在和中， ∵， ∴____________________（__________）， ∴（________）， ∴． 22．（8分）和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 23．（10分）如图，、分别平分、，交于E点． （1）如图1，求的度数．      （2）如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    （3）试证明（2）中的猜想． 24．（10分）已知中，平分，交于点E，平分，交于点D，与交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接，求证：平分． 25．（10分）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 26．（10分）问题情境：已知射线和射线相交于点B．且．点D在射线上，作射线，在射线上取一点E，连接，，使． （1）如图1，与的数量关系为________； （2）如图2，当点D在延长线上，时． ①根据要求作图：在射线上取一点F，使，连接． ②求的度数； （3）如图3，当，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章全等三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 2 3 4 5 6 个 8 9 10 11 12 A A D B A B A D D B D B 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.AB=DC 14.9.5 15.3<AD<15 16.28 17.1 5 18.2或2 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】(1)6：(2)10° 【解析】(1)解：：△ABC≌△DEB .AB=DE=13,EB=BC=7. :.AE=AB-EB=13-7=6: (2)解：：∠DEB是△AEF的外角， .∠DEB=∠AFE+∠A, 又∠AFE=50°，∠DEB=80°， .∠A=∠DEB-∠AFE=30°， 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ABC≌△DEB. .∠A=∠D=30°，∠DEB=∠ABC=80°. .∠ACB=180°-∠A-∠ABC=70°=∠DBE, :.∠DBC=∠ABC-∠DBE=80°-70°=10° 20.【答案】AB=8m 【解析】解：：∠ABD=90°， ∠CBD=180°-∠ABD=90°， .∠ABD=∠CBD 在△ABD和△CBD中， 「∠ABD=∠CBD BD=BD ∠ADB=∠CDB :△MBD≌aCBD(ASA) .AB=CB, ..BC=8m, .AB=8m」 21.【答案】已知，CF+CE,BC,BC=EF,ABC,DEF,SAS,三角形全等的对应角相等 【解析】略 22.【答案】(1)证明见解析：(2)AD=CE,AD⊥CE,理由见解析 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)证明：在△ADB和△CEB中， BD=BE ∠ABD=∠CBE AB=CB :△MDB≌ACEB(SAS) .AD=CE: (2)解：AD=CE,AD⊥CE,理由如下： 如图，延长EC交DA的延长线于点H,交BD于点O, .:∠ABC=∠DBE=90°， :.∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, .∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， AB=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE :△ABD≌aCBE(SAS) .AD=CE,∠ADB=∠CEB, 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DOH=∠EOB, .∠DHO=∠EBD=90°. AD⊥CE. 23.【答案】(1)90°；(2)AD=AB+CD,(3)证明见解析 【解析】(1)解：：AM∥DN, .∠MAD+∠ADN=180°， :AE、DE分别平分∠MAD、∠ADN, A∠EAD=∠MAD∠EDA=;∠HDN 2 2 :∠4ED=180°-（∠EMD+∠ED4)=180°-（∠MAD+∠ADN)=90° (2)解：猜想：AD=AB+CD: (3)证明：在AD上截取AF=AB,连接EF. AB M :AE平分∠BAD, .∠BAE=∠FAE 在△ABE和△AFE中， AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE, :△ABE≌△AFE(SAS) 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠ABC=∠AFE. :AB∥CD, .∠ABC+∠BCD=180°， 又，∠AFE+∠DFE=180°， ∴.∠DFE=∠BCD :DE平分∠ADC, .∠ADE=∠CDE. 在△FDE和△CDE中， ∠DFE=∠DCE∠ADE=∠CDE DE=DE :△FDE≌aCDE(AAS) .DF CD. .AF+DF=AB+CD 即AD=AB+CD. 24.【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析 【解析】(I)证明：：BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, t4E=∠C8E=号4c=a.4cD=∠8CD4C8=A ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2C-2B ∠BOC=180°-∠CBO-∠BC0=180°-a-B 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∠BOC=90°+÷∠BAC 2 (2)证明：过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H, H E O B G 图2 BE平分∠ABC, ..OF =OG, :CD平分∠ACB, ..OG=OH, ..OF =OH ,AO平分∠BAC. 25. 【答案】(I)EF=BE+FD:(2)EF+DF=BE,证明见解析 【解析】(I)解：线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF. 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, D M B E C :∠ABC=∠D=90°，∠ABC+∠I=180°，即：∠ABC+∠D=180°， .∠1=∠D, 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABM和△ADF中， AB=AD ∠1=∠D BM=DF :△MBM≌aADF(SAS) AM=AF,∠3=∠2， ,∠EAF=)∠BAD ∠EAF+∠2+∠4=∠BAD, ,∠2+∠4=∠EAF, :.∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF, 在△MAE和△FAE中， AM=AF ∠MAE=∠FAE AE=AE :△MHE≌aFAE(SAS) .EF=EM, .EM=BM+BEBE+DF, EF =BE+FD: (2)解：结论：EF+DF=BE 理由：在BE上截取BM=DF,连接AM, D M 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°， ∴.∠B=∠ADF, 在△ABM与△ADF中， BM=DF ∠ABM=∠ADF AB=AD :△MBM≌△ADF(SAS) :AM=AF,∠BAM=∠DAF,则∠BAM+∠MAD=∠DAF+∠MAD, .∠BAD=∠MAF, 1 .∠EMF=∠BAD 2 ,∠EAF+∠EAM=∠MAF, .∠EAF=∠EAM, 在△AEM与△AEF中， AM=AF ∠EAM=∠EAF AE=AE ÷△4EM≌△AEF(SAS) .EM=EF, 即BE-BM=EF, 即BE-DF=EF, .'EF +DF BE. 90- 1 26.【答案】(1)∠A=∠C；(2)①作图见解析：②135°：(3) 2090+ 【解析】(1)解：如图， 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 :∠C+∠ABC+∠BOC=180°，∠A+∠AEC+∠AOE=180°， 又：∠AEC=∠ABC,∠BOC=∠AOE, .∠A=∠C: (2)解：①如图， 图2 ②由(1)得∠A=∠C,由①得AF=CE, 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠A=∠C AF=CE :△MBF≌aCBE(SAS) BF=BE,∠AFB=∠CEB. ∠BEF=∠BFE, .∠CEB=∠BEF, 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠AEC=∠ABC=90°， .∠CEF=90°， ∠CEB=∠BEF=L∠CEF=45 2 ·.∠AEB=∠AEC+∠CEB=90°+45°=135°： (3)解：分以下两种情况： 当点D在线段BC上时，如图，在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF, E B 由(1)知：∠A=∠C. 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠A=∠C AF=CE ·△MBF≌△CBE(SAS) BF=BE,∠ABF=∠CBE, .∠ABC=a=∠ABF+∠FBC, :.∠CBE+∠FBC=a,即∠FBE=a, ∠AEB=∠EFB=180°-&=90°-1 2 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点D在CB的延长线上时，在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF,AC,如图， 图4 由(I)知：∠BAF=∠ECB, 在△ABF和△CBE中， (AB=CB ∠BAF=∠BCE AF=CE :△MBF≌aCBE(SAS) .BF=BE,∠ABF=∠CBE, .∠ABF-∠ABE=∠CBE-∠ABE, :.∠ABC=∠EBF=a, BF BE, ∠BEF=∠BFE=I80°-a 2, ∠ABB=180°-∠BEF=180°-180°-4=90°+1a 2 2 490°、1 1 90°+ -d 综上所述，∠AEB的度数为2或 11/11函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章全等三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.如图， △1BC2a4BG,其中∠A=36°，∠C=24,则∠B=（) BB CC A.120 B.60° C.140 D.135° 【答案】A 【解析】解：·△ABC≌aABC :∠C=∠C=240 :∠A=36°， .∠B=180°-∠A-∠C=120°， 2.如图，点E,F在AC上，AD=BC,AD∥BC,下列条件中不能使△ADF≌aCBE成立是( A.DF=BE B.AE=CF C.BE∥DE D.∠D=∠B 【答案】A 【解析】解：AD∥BC, 1/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=∠C, 由AD=BC,DF=BE,根据“SSA”不能得出△ADF≌aCBE,故A符合题意： AE=CF, ·.AE+EF=CF+EF, 即AF=CE, 由AD=BC,AF=CE,根据“SAS”能得出△ADF≌△CBE,故B不符合题意： :BE∥DF, .∠AFD=∠CEB, 由AD=BC,根据“AAS”能得出△ADF≌△CBE,故C不符合题意； 由AD=BC,∠D=∠B,根据“ASA”能得出△ADF≌aCBE,故D不符合题意. 3.如图，OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB过线段OP的中点 【答案】D 【解析】解：：OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB. 2/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOP=∠BOP,∠OAP=∠OBP=90°， 又OP=OP, ÷△OAP≌AOBP(AAS) .PA=PB,OA=OB,∠OPA=∠OPB,PO平分∠APB, 故选项A、B、C中结论成立，不符合题意， :现有条件和图形不能证明AB过线段OP的中点， 故选项D中结论不成立，符合题意。 3/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图所示，小美站在河边的点A处，在河的对面（小美的正北方向）的B处有一电线塔，她想知道电 线塔离她有多远，于是向正西方向走了40步到达一棵树C处，接着再向前走了40步到达D处，然后她左 转90°直行，当看到电线塔、树与自己现处的位置B在一条直线时，一共走了160步，如果小美一步大约 40cm ,估计小美在点A处时与电线塔的距离为() ! E A.16m B.32m c.48m D.64m 【答案】B 【解析】解：由题意可得∠A=∠D=90°，AC=CD=40步， .DE的步数为160-40-40=80步， :一步大约40cm, :.DE=80×40cm=3200cm=32m. 在△ABC与△DEC中， ∠A=∠D AC=DC ∠ACB=∠DCE :△ABC≌aDEC(ASA) .AB=DE =32m, 4/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即小美在点A时与电线塔的距离为32m」 5.下列作图中，点M到AB,BC两边距离相等的是（) M B B 【答案】A 【解析】解：由作图得，选项A中点M在∠ABC的平分线上， ∴点M到AB,BC两边距离相等，符合题意： 选项B,C,D中点M不在∠ABC的平分线上，不符合题意. 6.如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=() A.105° B.135o C.120° D.115° 【答案】B 【解析】解：如图， B D :AC=DE,BC=AD,∠ACB=∠ADE=90°， 5/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△4BC≌AEAD(SAS) .∠1=∠DAE, .∠1+∠3=∠DAE+∠3=90° 由图可知，∠2=45°， ∴.∠1+∠2+∠3=90°+45°=135° 7.如图，点D为△ABC内一点，点P为△ABC外一点，连接CD,BD,BP,DP,且BC=BP, CD∠ACB∠DBP=∠DBC∠ACB=62° 平分 2°，则∠P的度数为（) A.31° B.30° C.28 D.20° 【答案】A 【解析】解：：CD平分∠ACB,∠ACB=62°， 1 ∠BCD=∠ACB=31° 2 在△BCD和△BPD中 BC=BP ∠DBC=∠DBP BD=BD :△BCD≌aBPD(SAS) 6/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P=∠BCD=31° 8.如图，在平面直角坐标系中，△40B为等腰直角三角形，∠A0B=90,若点4坐标为3,1)，则点B 的坐标为() VA A.(3,-1) B.（-3,1) c.(1,-3) D.（1,3) 【答案】D 【解析】解：如图，分别过点A,B作x轴的垂线，交x轴于点C,D, B DO .∠AC0=∠BD0=90°， :.∠CAO+∠AOC=90°，∠OBD+∠DOB=90° :△AOB为等腰直角三角形， .AO=OB,∠AOB=90°， .∠AOC+∠DOB=90°， .∠AOC=∠OBD,∠CAO=∠DOB 在△AOC和△OBD中， 7/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOC=∠OBD AO=OB ∠CAO=∠DOB :△4OC≌aOBD(ASA) .AC=OD.OC=BD :点A的坐标为 3,10 .AC=OD=1,OC=BD=3. ·点B在第二象限， ÷点B的坐标为(13)】 9.如图，aDE 的面积为l2cm',EG平分∠DEF,FGLEG于点G,连接DG,则△DEG 的面积 为() A 3cm2 B.4cm2 C.5cm2 D. 6cm2 【答案】D 【解析】解：延长FG交DE于点H, G D H E 8/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EG平分LDEF,FG⊥EG于点G, .∠HEG=∠FEG,∠EGH=∠EGF=90°， EG=EG. :△HEG≌aFEG(ASA) 1 S.-S..rm HG=FG 2 .S.DGH=S.DGF -2S.on 1 ∴.△DEG的面积为： I0.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在线段AD上，且DE=2AE,F是AD延长线上一点， DE=DF,连接BE、CF、CE,G是BC的中点，连接BG.则下列结论错误的是() B A,CF=BE B.S.AWC=28. C.S.=S.c D.∠BEC+∠ECF=180° 【答案】B 【解析】解：：AD是△ABC的中线， .BD=DC, 9/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BED和△CFD中， BD=CD ∠BDE=∠CDF ED=DF :△BED≌ACFD(SAS) :CF=BE,故A正确，不符合题意， :△BED≌ACFD, .∠EBC=∠FCB, ∴.∠BEC+∠ECF=∠BEC+∠ECB+∠FCB=∠BEC+∠ECB+∠EBC=18O°， 故D正确，不符合题意： S.ECF=S.cFD+S.EC S.BEC=S.8E+S.E0C △BED≌△CFD, .S.MED=S.CFD :S.cr=S,版c,故C正确，不符合题意： :AD是△ABC的中线， 1 S.=S..CD=7S. .DE =2AE. 2 DE=三AD 3 2 21 1 3 2×5S,ABc=S。ABC 3 10137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 21 S.CDE= 3 32 04ABC=。 3 S.e-.wo+5.cn .S.ABC= S,c,故B错误，符合题意。 I1.如图，∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中正确 的个数是() C ①CP平分∠ACF,②∠ABC+2∠1PC=180°，③∠ACB=2∠APB:④S.Pc=S,Pw+S.av A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】解：①过点P作PD⊥AC于D, M A B CN F :PB平分∠ABC,PA平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC, .PM=PN,PM=PD, 11/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PM=PN=PD. PN⊥BF,PD⊥AC, ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确： ②PM⊥BE,PN⊥BF, .∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°， ∴.∠ABC+∠MPN=180°， 在Rt△PAM和RtAPAD中， PA=PA PM=PD. :RtaPAME≌RtPAD(HL). .∠APM=∠APD, Rt△PCD≌RtAPCN(HL) 同理： ∴.∠CPD=∠CPN, .∠MPN=2∠APC, .∠ABC+2∠APC=180°，②正确： ③：PA平分∠CAE,BP平分∠ABC, .∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM, ∠PAM=)∠ABC+∠APB 2 12137 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠4Bc+∠4CB=24Bc+∠4PB :.∠ACB=2∠APB,③正确： ④由②可知 tePAM≌RtePAD(HL)R△PCD≌RtaPCN(HL) S.APD=S.APM S.cO-S.cY :S+S.cN=S代，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个. 13137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 AB=- 12.如图所示，长方形ABCD的边 2,BC=3,E为AB上一点，且AE=1,F为AD边上的一 个动点，连接EF,若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG，则当CG取最 小值时，G到BC边的距离为() A.1 3 C.2 B.2 D.2 【答案】B 【解析】解：如图所示，过点G作GH⊥AB于点H,作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N, D B ,四边形ABCD是长方形， 11 ÷∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=CD= 2,，AD=BC=3, ,GH⊥AB,MN∥AB, :.∠AHG=∠HGM=∠A=90°， .∠HEG+∠HGE=90°，∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°， :△EFG是等腰直角三角形， 14137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FEG=90°，EF=EG, .∠HEG+∠AEF=90°， .∠AEF=∠HGE, 在△AEF和△HGE中， 「∠AEF=∠HGE ∠A=∠EHG EF=GE △AEF≌AHGE(AAS) .AE=HG=1, :当点F在线段AD上运动时，点G在线段MN的某一部分上运动，如图所示， D(F) 当点D,F重合时，线段CG的值最小， 根据作图，∠A=∠AHG=∠HGM=∠B=∠BNG=∠BHG=90°， :.四边形BNGH和四边形AHGM都是长方形， ∴.HG=BW=1. BH-NG-AB-AE-EH=AB-AE-AF-11-1-3=3 2 2 3 NG= ∴.G到BC边的距离为2. 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.) 15137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.如图，己知∠ABC=∠DCB,要用“边角边(SAS)”判定△ABC≌△DCB,还需添加一个条件， 这个条件是一·（只需添加一个条件，不添加辅助线） y D B 【答案】AB=DC 【解析】解：，要用“边角边(SAS)”判定△ABC≌△DCB,己知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即AB=DC 14.如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径CD,考古学家将两根细木条的中点O固定在一 起，量出AB=9.5cm,则底部内径CD的长度为 cm 【答案】9.5 【解析】解：，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起， ..OA=OD,OB=OC. 又，∠AOB=∠DOC, ÷△AOB≌aDOC(SAS) .CD=AB=9.5cm. 16137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.己知△ABC中，AB=12,AC=18,则BC边上的中线AD的取值范围是 (用 不等式表示) 【答案】3<AD<15 【解析】解：如图，延长AD,使得DE=DA,连接CE, E :AD是△ABC的中线， .'BD=CD. ∠ADB=∠EDC, :△MBD≌aECD(SAS) .AB=CE=12, AC=18. ∴根据三角形三边关系可得AC-CE<AE<AC+CE,即6<2AD<30, .3<AD<15 16.如图，△ABC的两个外角的平分线AD,CE相交于点O,连接OB若点O到BC的距离为7， AB=8,△ABO ,则 的面积为 17137 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 -D B 【答案】28 【解析】解：，△ABC的两个外角的平分线AD,CE相交于点O, ∴，点O到BC的距离等于点O到AC的距离，点O到AC的距离等于点O到AB的距离， ∴，点O到AB的距离等于点O到BC的距离， :点O到BC的距离为7， ∴.点O到AB的距离为7， :AB=8, 1 ×8×7=28 ∴.△ABO的面积为2 17.如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌RtAEBC,则下结论：①AC=BC,②AD∥BE,③ ∠ACB=90°OAD+DE=BE ,④ ,成立的有个. 【答案】1 【解析】解：，Rt△ACD≌RtAEBC, .AC=BE, 18137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在RtABEC中，BE<BC, .AC<BC, .①错误： ,∠CAD=∠CEB=∠BED=90°，∠D<∠CAD, .∠D≠∠BED, .AD和BE不平行， .②错误： :Rt△ACD≌Rt△EBC, :.∠ACD=∠CBE,∠D=∠BCE, ∠CAD=90°， ∠ACD+∠D=90°， .∠ACB=∠ACD+∠BCE=90°， ∴.③正确： ,Rt△ACD≌Rt△EBC, .AD=CE,CD=BC, CD=CE+DE=AD+DE=BC .BE<BC, .AD+DE BE, .④错误 18.如图，等腰△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=20Cm,BC=16cm,点D为AB中点，如果点P 19137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在线段BC上以2Cms的速度由点B向点C运动，同时，点O在线段CA上由点C向点A运动.当△BPD 与aCQ 全等时，点的运动速度为 cm/s 5 【答案】2或2 【解析】解：AB=AC=20cm,BC=16cm, BD=1×20=10cm 设点P、Q的运动时间为t, PC=(16-2t)cm AB=AC. .∠B=∠C, :△BPD与ACOP 等， .BD=PC或BP=PC, ①当BD=PC时，16-2t=10. 解得：t=3, BP=CQ=2×3=6 则 故点0的运动速度为：6÷3=2cm/s: 20137 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 ②当BP=PC时， .BC=16cm, .BP=PC=8em BD=CO=10cm :.1=8÷2=4(秒). 5 0÷4=5cm/s 故点Q的运动速度为 2 5 故答案为：2或2. 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） I9.(8分)如图，△ABC≌△DEB,点E在边AB上，DE与AC相交于点F. (1)若DE=13,BC=7,求线段AE的长： (2)若∠AFE=50°，∠DEB=80°，求∠DBC的度数. 【答案】(1)6：(2)10° 【解析】(I)解：：△ABC≌△DEB」 .AB=DE=13.EB=BC=7, AE=AB-EB=13-7=6: (2)解：：∠DEB是△AEF的外角， 21137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DEB=∠AFE+∠A, 又∠AFE=50°，∠DEB=80°， .∠A=∠DEB-∠AFE=30°， .'△ABC≌△DEB, .∠A=∠D=30°，∠DEB=∠ABC=80°， .∠ACB=180°-∠A-∠ABC=70°=∠DBE, :.∠DBC=∠ABC-∠DBE=80°-70°=10°， 22137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(8分)小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽AB，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽AB ①在地面上找到可以直接到达点A,B的 一点D,使∠ABD=90°： ②在AB的延长线上确定一点C,使 测量方案及示意图 ∠ADB=∠CDB D ③测量出BC=8cm. 根据以上信息，求水池的宽AB. 【答案】AB=8m 【解析】解：∠ABD=90°. .∠CBD=180°-∠ABD=90°， ∠ABD=∠CBD, 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD BD=BD ∠ADB=∠CDB :△ABD≌△CBD(ASA) .AB=CB, .BC=8m, .AB=8m 23137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(8分)如图，己知AB=DE,BE=CF,∠B=∠DEF,则AC∥DF,请说明理由. 解：：BE=CF() .BE+CE= EF, 在△ABC和△DEF中， AB=DE(已知) ∠B=∠DEF(已知) )已知) ∴△ 2△ .∠ACB=∠F(), .AC∥DF 【答案】已知，CF+CE,BC,BC=EF,ABC,DEF,SAS,三角形全等的对应角相等 【解析】略 22.(8分)△ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC,，BE=BD, ∠DBE=∠ABC=90° )的三角板， 【问题初探】 (I)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明： AD=CE 24137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与 CE 的数量关系和位置关系，并说明理由. D B 图(1) 图(2) 【答案】(1)证明见解析：(2)AD=CE,AD⊥CE,理由见解析 【解析】(I)证明：在△ADB和△CEB中， BD=BE ∠ABD=∠CBE AB=CB :△ADB≌△CEB(SAS) :.AD=CE; (2)解：AD=CE,AD⊥CE,理由如下： 如图，延长EC交DA的延长线于点H,交BD于点O, D B 25137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC=∠DBE=90°， :.∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, .∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， AB=BC I∠ABD=∠CBE BD=BE :△ABD≌ACBE(SAS) .AD=CE,∠ADB=∠CEB. :∠DOH=∠EOB. :.∠DHO=∠EBD=90°. .AD⊥CE. 23.(I0分)如图AM∥DN,AE、DE分别平分∠MAD、∠ADN,交于E点. (1)如图1，求∠AED的度数. M 图1 26137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，过点E的直线分别交AM、DN于B、C,猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：- AB M E 图2 (3)试证明(2)中的猜想. 【答案】(1)90°：(2)AD=AB+CD;(3)证明见解析 【解析】(1)解：：AM∥DN, .∠MAD+∠ADN=180°， :AE、DE分别平分∠MAD、∠ADN, A∠E4D-MHD∠EDA=∠ADN 2 2 :∠4ED=180-(2ED+∠ED4)=I80-(∠M1D+∠4DN)-=90 (2)解：猜想：AD=AB+CD: (3)证明：在AD上截取AF=AB,连接EF AB M :AE平分∠BAD, ∴.∠BAE=∠FAE. 27137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABE和△AFE中， AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE, :△ABE≌△AFE(SAS) .∠ABC=∠AFE, :AB∥CD, ∴.∠ABC+∠BCD=180°， 又：∠AFE+∠DFE=180°， ∴.∠DFE=∠BCD :DE平分∠ADC, :.∠ADE=∠CDE. 在△FDE和△CDE中， ∠DFE=∠DCE∠ADE=∠CDE DE=DE ÷△FDE≌aCDE(AAS) ∴.DF=CD, ∴.AF+DF=AB+CD 即AD=AB+CD. 24.(10分)已知△ABC中，BE平分∠ABC,BE交AC于点E,CD平分∠ACB,交AB于点D, BE CD 与交于点O 28137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 1 ∠BOC=90°+∠BAC (1)如图1.求证： 2 (2)如图2，连接OA,求证：AO平分∠BAC. 【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析 【解析】(1)证明：：BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, ABE=∠CBE=)∠ABC=W∠ACD=∠BCD=号∠ACB=B 设 2 ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2a-2B ∠BOC=180°-∠CB0-∠BC0=180°-a-B ∠B0C=90+2∠BAC (2)证明：过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H, H E D B 图2 BE平分∠ABC, ..OF=0G, :CD平分∠ACB, 29137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.OG=OH, ..OF =OH .AO平分∠BAC. 25.(10分)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、 ∠EAR=∠BAD CD上的点，若 2 ,可求得EF、BE、FD之间的数量关系为 (只思考解题 思路，完成填空即可，不必书写证明过程) (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线 EAF=∠BAD 上的点，若 2 ,判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明， 若不成立，请说明理由. D D B B E E 图1 图2 【答案】(1)EF=BE+FD:(2)EF+DF=BE,证明见解析 【解析】(I)解：线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF, 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, 30137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE C :∠ABC=∠D=90°，∠ABC+∠1=180°，即：∠ABC+∠D=180°， ∠1=∠D 在△ABM和△ADF中， (AB=AD ∠1=∠D BM=DF :△MBM≌aADF(SAS) :.AM=AF,∠3=∠2， ZEAF-14BAD ∠EAF+∠2+∠4=∠BAD, ∴.∠2+∠4=∠EAF, :.∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF, 在△MAE和△FAE中， AM=AF ∠MAE=∠FAE AE=AE :△MME≌△FAE(SAS) ∴.EF=EM, .EM=BM+BEBE+DF, ∴.EF=BE+FD； (2)解：结论：EF+DF=BE, 31137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由：在BE上截取BM=DF,连接AM, A D M :∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°， .∠B=∠ADF, 在△ABM与△ADF中， BM=DF ∠ABM=∠ADF AB=AD :△MBM≌AADF(SAS) ∴.AM=AF,∠BAM=∠DAF,则∠BAM+∠MAD=∠DAF+∠MAD, .∠BAD=∠MAF, .∠EAF=∠BAD ∠EAF+∠EAM=∠MAF, ∴.∠EAF=∠EAM, 在△AEM与△AEF中， AM=AF ∠EAM=∠EAF AE=AE :△AEM≌△AEF(SAS) .EM=EF, 即BE-BM=EF, 即BE-DF=EF, 32137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EF+DF=BE. 33/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(I0分)问题情境：已知射线AB和射线CB相交于点B.且AB=CB.点D在射线CB上，作射线 AD AD CEBE,∠AEC=∠ABC ，在射线上取一点E,连接 ,使 图1 图2 图3 (1)如图1，∠A与∠C的数量关系为 (2)如图2，当点D在CB延长线上，∠AEC=∠ABC=90°时. ①根据要求作图：在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF, ②求∠AEB的度数： (3)知图3，当ABC=∠ABC=a(90°<a<180P）,请直接写出∠AEB的度数〈用含a的式子表 示). 1 【答案】)∠A=∠C:(2)0作图见解析4②135°，3)90°-。a90+ 2或 【解析】(1)解：如图， B 图1 ,∠C+∠ABC+∠BOC=180°，∠A+∠AEC+∠AOE=180°， 又：∠AEC=∠ABC,∠BOC=∠AOE, 34137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=∠C: (2)解：①如图， 图2 ②由(1)得∠A=∠C,由①得AF=CE, 在△ABF和△CBE中， 「AB=CB ∠A=∠C AF=CE :△4BF≌ACBE(SAS) ∴BF=BE,∠AFB=∠CEB, .∠BEF=∠BFE, .∠CEB=∠BEF, .∠AEC=∠ABC=90°， .∠CEF=90°， ,∠CEB=∠BEF=)∠CEF=45 2 .∠AEB=∠AEC+∠CEB=90°+45°=135°： (3)解：分以下两种情况： 当点D在线段BC上时，如图，在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF, 35137 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 由(1)知：∠A=∠C, 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠A=∠C AF=CE ÷△MBF≌△CBE(SAS) BF=BE,∠ABF=∠CBE, .∠ABC=C=∠ABF+∠FBC, ∴.∠CBE+∠FBC=a,即∠FBE=a, ∠ABB=∠EFB-1802-&=90- 2 20 当点D在CB的延长线上时，在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF,AC,如图， 图4 由(I)知：∠BAF=∠ECB, 36137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠BAF=∠BCE AF=CE :△MBF≌aCBE(SAS) BF=BE,∠ABF=∠CBE, .∠ABF-∠ABE=∠CBE-∠ABE, ∴.∠ABC=∠EBF=a, BF =BE. ,∠BEF=∠BFE=I80°-a 2 ,∠4EB=180°-∠BEF=180°-1809-a=90°+ -0 1 1 90°-2a90°+二a 综上所述，∠AEB的度数为2或 2 37/37