第十四章 全等三角形（单元分层自测·培优卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册全等三角形培优单元卷，通过社区充电点选址、智能闸机设计等现实情境及项目化学习（劳动基地小门位置确定），覆盖全等判定与性质、角平分线等核心知识，适配单元复习，提升推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等图形识别、性质应用|第5题结合社区充电点考角平分线性质，体现数学眼光| |填空题|6/18|作图依据、面积计算|第11题全等作图依据，考查推理意识| |解答题|9/72|综合证明、动态探究|24题动点全等问题，23题项目化实践，培养应用意识|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可得， A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据尺规作图的痕迹判断是的角平分线，最后计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：平分， ∴． 5．（25-26八年级下·山西运城·期末）运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 6．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 【答案】D 【分析】过点作，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积. 7．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出长． 【详解】解：过点作于，如图， ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 9．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【详解】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 【答案】 【分析】本题需要先读懂尺规作图的痕迹，得到三组对应相等的条件，再根据全等三角形的判定定理得到作图依据． 【详解】解：由作图痕迹可知，，，， 在和中， ， ， 因此作图的依据为． 12．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 【答案】33 【分析】过点作于点，作于点，连接，先得出，，再得出，然后根据的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，连接， ∵和的平分线交于点，且，，，， ∴，， ∵的周长是22， ∴， ∴的面积等于 ． 13．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 15．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，，求得，即；过作于点，根据全等三角形的判定和性质继续进行判断即可． 【详解】解：①为的角平分线， ， 在和中， ， ，故①正确； ②， ， ， ， ， ，故②正确； ③∵， ∴， ∵， ， ，，，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，故③正确； ④过作于点， ∵为的角平分线，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确． 综上可得，正确的是①②③④． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】解：条件是，证明如下：························2分 ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ．························6分 【分析】根据判断出添加条件，进而证明即可． 【详解】略． 18．（6分）（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：__________=__________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；；；；；全等三角形的对应角相等························6分 【分析】根据平行线的判定与性质结合证明即可． 【详解】略 19．（6分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略．························2分 （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴．························6分 20．（6分）（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可； （2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，， ， ，························3分 （2）解：， ，， 与的周长和为．························6分 21．（8分）（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【详解】（1）略；························3分 （2）解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴．························8分 22．（8分）（25-26八年级下·广东梅州·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略；························3分 （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：．························8分 23．（8分）（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)如图，即为所求； 【分析】（1）先作出线段线段，然后在点，处分别作出，即可； （2）作的角平分线与的交点即为点，根据三角形内角和定理先求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）略························3分 （2）解：图略； ，， ， 是的角平分线， ， ．························8分 24．（12分）（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2)或4 (3)2或6 【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于，于．由平分，推出，由，，，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：；························2分 （2）解：如图2中， ①当在线段上时，作于，于． 平分， ， ，，， ， ； ②当点运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， 当或4时，满足；························6分 （3）解：存在某个时间，使得与全等；理由如下： 由（1）知，， 是等腰直角三角形， ，， 当时，， ， ， 时， 当在延长线上时，， 解得：， 综上所述，满足条件的的值为2或6， 故答案为：2或6．························12分 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 25．（12分）（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】(1)∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ​， ∴（）．························3分 (2)．理由如下： ∵，且，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， 即．························7分 (3)​，理由如下：························8分 过点作延长线于，过点作于，则． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 同理可证： （）， 得， ∴． ∵的面积，的面积， ∴．························12分 【分析】（1）先根据垂直定义得，因为，所以可推出与互余，进而得，结合，用判定三角形全等． （2）根据，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合，用证，再根据线段和差关系推导的数量关系． （3）分别过D、E作的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证、，得到，进而得，根据同底等高三角形面积相等判断与的关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·培优（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C A A D C B C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．33 13． 14．5 15．6 16．①②③④ 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【答案】解：条件是，证明如下：························2分 ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ．························6分 【分析】根据判断出添加条件，进而证明即可． 【详解】略． 18．（6分） 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；；；；；全等三角形的对应角相等························6分 【分析】根据平行线的判定与性质结合证明即可． 【详解】略 19．（6分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略．························2分 （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴．························6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可； （2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，， ， ，························3分 （2）解：， ，， 与的周长和为．························6分 21．（8分） 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【详解】（1）略；························3分 （2）解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴．························8分 22．（8分） 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略；························3分 （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：．························8分 23．（8分） 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)如图，即为所求； 【分析】（1）先作出线段线段，然后在点，处分别作出，即可； （2）作的角平分线与的交点即为点，根据三角形内角和定理先求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）略························3分 （2）解：图略； ，， ， 是的角平分线， ， ．························8分 24．（12分） 【答案】(1) (2)或4 (3)2或6 【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于，于．由平分，推出，由，，，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：；························2分 （2）解：如图2中， ①当在线段上时，作于，于． 平分， ， ，，， ， ； ②当点运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， 当或4时，满足；························6分 （3）解：存在某个时间，使得与全等；理由如下： 由（1）知，， 是等腰直角三角形， ，， 当时，， ， ， 时， 当在延长线上时，， 解得：， 综上所述，满足条件的的值为2或6， 故答案为：2或6．························12分 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 25．（12分） 【答案】(1)∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ​， ∴（）．························3分 (2)．理由如下： ∵，且，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， 即．························7分 (3)​，理由如下：························8分 过点作延长线于，过点作于，则． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 同理可证： （）， 得， ∴． ∵的面积，的面积， ∴．························12分 【分析】（1）先根据垂直定义得，因为，所以可推出与互余，进而得，结合，用判定三角形全等． （2）根据，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合，用证，再根据线段和差关系推导的数量关系． （3）分别过D、E作的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证、，得到，进而得，根据同底等高三角形面积相等判断与的关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A．B． C． D． 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山西运城·期末）运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 6．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 7．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 12．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 13．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在的方格纸中，__________ ． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 15．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 16．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 18．（6分）（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：__________=__________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 19．（6分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 20．（6分）（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 21．（8分）（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 22．（8分）（25-26八年级下·广东梅州·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 23．（8分）（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 24．（12分）（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 25．（12分）（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A．B． C． D． 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山西运城·期末）运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 6．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 7．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 12．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 13．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在的方格纸中，__________ ． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 15．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 16．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 18．（6分）（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：__________=__________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 19．（6分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 20．（6分）（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 21．（8分）（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 22．（8分）（25-26八年级下·广东梅州·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 23．（8分）（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 24．（12分）（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 25．（12分）（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 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