2.3 实数同步分层练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学苏科版八年级上册“2.3实数”同步练，以“夯实基础-能力提升-拓展创新”分层设计，通过概念辨析、几何直观、综合探究三阶路径巩固无理数概念、估值及运算，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|无理数概念、估值、相反数|选择填空为主，聚焦单一知识点，如无理数识别、简单估值，强化符号意识| |能力提升|实数与数轴、几何图形结合|图文结合题，如数值转换机、正方形面积与边长关系，体现几何直观与运算能力| |拓展创新|跨情境综合应用|任务型探究题，如图形拼接、阅读理解，融合模型观念与创新意识，衔接实际问题|

苏科版数学八年级上册 2.3 实数 同步分层练习 一、夯实基础 1．下列四个数中，是无理数的为(　　) A．- 3.14 B． C． D．3 2．估计的值应在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．已知n<<n+1，则整数n的值为 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4． 估计 的值（　　） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 5．在实数0.3，，，中，其中无理数是（　　） A．0.3 B． C． D． 6．下列四个实数中，比-2大的无理数是(　　) A．0 B．- 1 C． D．- 5 7．比较大小：　 　2（填“>”“<”或“=”) 8．已知实数 其中为无理数的是　 　. 9．的相反数是　 　. 二、能力提升 10．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为100，则输出y的值为 (　　) A．10 B．-10 C． D． 11．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A3B3的长为(　　) A． B． C． D． 12．写出一个大于2的无理数　 　． 13．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），作，则点所表示的数为　 　． 14．如图，长方形ABCD内有两个相邻的大小不同的正方形，面积为13的正方形EFGH，面积为16的正方形MNCD，其中E点和F点都在边AB上，H点和G点都在边MN上. （1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间?与哪个整数比较接近?（直接写结果） （2）求图中阴影部分的面积； （3）若小正方形边长的整数部分为x，小数部分为y，求的值. 15．阅读下面的文字，解答问题，例如： 即 的整数部分是2，小数部分是 （1）试解答： 的整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）已知 小数部分是m， 小数部分是n，且 请求出满足条件的x的值. 三、拓展创新 16．综合与探究 下面是小明同学学习了实数后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． 如：确定的小数部分，首先要明确7在完全平方数4和9之间，再求解． ∵，∴（依据）． ∴． ∴的整数部分是2，小数部分是． 任务一： （1）小明的感悟中，依据是：被开方数越大，其算术平方根__________； （2）已知的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）直接比较和的大小； 任务二： （4）设，a是整数，b满足，求的值． 17．综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：A：-3.14是有理数，所以A 不符合题意； B：是无理数，所以B符合题意； C：是有理数，所以C 不符合题意； D：3是有理数，所以D不符合题意； 故答案为：B。 【分析】根据无理数的定义逐项进行识别，即可得出答案。 2．【答案】D 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：∵ ∴ 故答案为：D 【分析】估算无理数的范围即可. 3．【答案】A 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：∵， ∴， 即 ， 又∵ ，且为整数， ∴． 故答案为：A . 【分析】根据无理数的估算解答即可． 4．【答案】C 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：，，且， ，即， 因此的值在5到6之间． 故答案为：C. 【分析】根据无理数的估算解答即可. 5．【答案】C 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：0.3，是分数，，是整数，它们属于有理数 是无理数 故选：C. 【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数. 6．【答案】C 【知识点】实数的大小比较 【解析】【解答】解：， 是无理数 故答案为：C . 【分析】先比较大小，然后找出比-2大的无理数解答即可. 7．【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【解析】【解答】解：将两个数分别平方，得，。 ，且两个数均为正实数，正实数平方越大，原数越大， 故答案为： 【分析】本题考查实数的大小比较，采用平方法将无理数转化为有理数比较。解题时利用平方法对两个正实数分别平方，将无理数运算转化为整数比较；依据 “两个正实数，平方值大的原数更大” 的规律，通过比较平方后的结果 5 和 4，即可得出大于 2 的结论。 8．【答案】2π 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：，为整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 2π是无限不循环小数，属于无理数； ，为整数，属于有理数； 故答案为：2π. 【分析】根据无理数定义(无限不循环小数，不能表示为分数)，即可求解. 9．【答案】 【知识点】实数的相反数 【解析】【解答】解：的相反数是， 故答案为：． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可． 10．【答案】C 【知识点】无理数的估值；求算术平方根；求代数式的值-程序框图 【解析】【解答】解：输入x=100，取算术平方根， 输入x=10，取算术平方根， 输出. 故答案为：C. 【分析】根据数值转换机示意图进行算术平方根的运算即可. 11．【答案】D 【知识点】实数在数轴上的表示；线段上的两点间的距离 【解析】【解答】解：由题意可得表示整数2，∴， ∴， ∵， ∴表示整数3， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴表示整数4， ∴. 故答案为：D 【分析】本题考查数轴与实数运算，分别利用线段和差依次算出，，，，及整数表示的数，进而求出的长. 12．【答案】如 （答案不唯一） 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：∵2= ， ∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如 （答案不唯一）． 【分析】根据无理数的定义及实数的大小的比较求解即可。 13．【答案】 【知识点】实数在数轴上的表示；求算术平方根 【解析】【解答】解：∵正方形面积为10， ∴边长． ∵点A在数轴上表示的数为1，点M在A的右侧， ∴， ∴点M表示的数为． 故答案为：. 【分析】先利用算术平方根计算出正方形的边长AD；再确定M的位置，进而得出AM的长；最后利用数轴知识，计算点M对应的数值，即可得出答案. 14．【答案】（1）解：∵小正方形的面积为13，∴小正方形的边长为 ∴小正方形的边长在3和4之间，与整数4比较接近 （2）解：∵正方形MNCD的面积为16， ∴正方形MNCD的边长为4， ∴图中阴影部分的面积=S矩形ABNM-S正方形EFGH （3）解∵小正方形的边长为 的整数部分为3，小数部分为 即 ​​​​​​​ 【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用 【解析】【分析】(1)利用9<13<16得到，从而可判断小正方形的边长在哪两个连续的整数之间，与哪个整数比较接近； (2)先确定正方形MNCD的边长为4，然后利用图中阴影部分的面积=S矩形ABNM-S正方形EFGH进行计算； (3)先利用得到x=3，，然后把它们分别代入所求的代数式值进行乘方运算即可. 15．【答案】（1）4； （2）解： 的整数部分是4，小数部分是 的整数部分是13，小数部分是 所以x+1=±1 解得： 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：∵，即 ∴的整数部分是4，小数部分是 故答家是：4；. 【分析】(1)根据夹通法可求的整数部分和小数部分； (2)首先估算出m，n的值，进而得出m+n的值，可求满足条件的x的值. 16．【答案】（1）越大； （2）∵， ∴，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分， ∵， ∴，即， ∴的整数部分， ∴ （3）； （4）∵， ∴，即， ∴，即， ∵，a是整数，b满足， ∴，， ∴​​​​​​​ 【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；算术平方根的性质（双重非负性） 【解析】【解答】解：（1）被开方数越大，其算术平方根越大， 故答案为：越大； （3）∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴； 【分析】 （1）根据算术平方根的性质填空即可； （2）先确定的小数部分a和的整数部分b，再代入求值计算即可； （3）分别估算+2和的取值范围，比较大小； （4）先确定的整数部分a和小数部分b，再代入计算求值即可. 17．【答案】解：（1）2；；； （2）1；13；； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【知识点】实数的大小比较；求算术平方根；算术平方根的实际应用 【解析】【解答】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；故答案为：2；；； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为， 故答案为：1；13；. 【分析】（1）利用正方形的面积公式及图形分析求解即可； （2）利用正方形的面积公式及图形分析求解即可； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，利用“ 裁出一块面积为的长方形纸片 ”列出方程求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版数学八年级上册 2.3 实数 同步分层练习 一、夯实基础 1．下列四个数中，是无理数的为(　　) A．- 3.14 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：A：-3.14是有理数，所以A 不符合题意； B：是无理数，所以B符合题意； C：是有理数，所以C 不符合题意； D：3是有理数，所以D不符合题意； 故答案为：B。 【分析】根据无理数的定义逐项进行识别，即可得出答案。 2．估计的值应在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】D 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：∵ ∴ 故答案为：D 【分析】估算无理数的范围即可. 3．已知n<<n+1，则整数n的值为 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：∵， ∴， 即 ， 又∵ ，且为整数， ∴． 故答案为：A . 【分析】根据无理数的估算解答即可． 4． 估计 的值（　　） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 【答案】C 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：，，且， ，即， 因此的值在5到6之间． 故答案为：C. 【分析】根据无理数的估算解答即可. 5．在实数0.3，，，中，其中无理数是（　　） A．0.3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：0.3，是分数，，是整数，它们属于有理数 是无理数 故选：C. 【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数. 6．下列四个实数中，比-2大的无理数是(　　) A．0 B．- 1 C． D．- 5 【答案】C 【知识点】实数的大小比较 【解析】【解答】解：， 是无理数 故答案为：C . 【分析】先比较大小，然后找出比-2大的无理数解答即可. 7．比较大小：　 　2（填“>”“<”或“=”) 【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【解析】【解答】解：将两个数分别平方，得，。 ，且两个数均为正实数，正实数平方越大，原数越大， 故答案为： 【分析】本题考查实数的大小比较，采用平方法将无理数转化为有理数比较。解题时利用平方法对两个正实数分别平方，将无理数运算转化为整数比较；依据 “两个正实数，平方值大的原数更大” 的规律，通过比较平方后的结果 5 和 4，即可得出大于 2 的结论。 8．已知实数 其中为无理数的是　 　. 【答案】2π 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：，为整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 2π是无限不循环小数，属于无理数； ，为整数，属于有理数； 故答案为：2π. 【分析】根据无理数定义(无限不循环小数，不能表示为分数)，即可求解. 9．的相反数是　 　. 【答案】 【知识点】实数的相反数 【解析】【解答】解：的相反数是， 故答案为：． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可． 二、能力提升 10．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为100，则输出y的值为 (　　) A．10 B．-10 C． D． 【答案】C 【知识点】无理数的估值；求算术平方根；求代数式的值-程序框图 【解析】【解答】解：输入x=100，取算术平方根， 输入x=10，取算术平方根， 输出. 故答案为：C. 【分析】根据数值转换机示意图进行算术平方根的运算即可. 11．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A3B3的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数在数轴上的表示；线段上的两点间的距离 【解析】【解答】解：由题意可得表示整数2，∴， ∴， ∵， ∴表示整数3， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴表示整数4， ∴. 故答案为：D 【分析】本题考查数轴与实数运算，分别利用线段和差依次算出，，，，及整数表示的数，进而求出的长. 12．写出一个大于2的无理数　 　． 【答案】如 （答案不唯一） 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：∵2= ， ∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如 （答案不唯一）． 【分析】根据无理数的定义及实数的大小的比较求解即可。 13．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），作，则点所表示的数为　 　． 【答案】 【知识点】实数在数轴上的表示；求算术平方根 【解析】【解答】解：∵正方形面积为10， ∴边长． ∵点A在数轴上表示的数为1，点M在A的右侧， ∴， ∴点M表示的数为． 故答案为：. 【分析】先利用算术平方根计算出正方形的边长AD；再确定M的位置，进而得出AM的长；最后利用数轴知识，计算点M对应的数值，即可得出答案. 14．如图，长方形ABCD内有两个相邻的大小不同的正方形，面积为13的正方形EFGH，面积为16的正方形MNCD，其中E点和F点都在边AB上，H点和G点都在边MN上. （1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间?与哪个整数比较接近?（直接写结果） （2）求图中阴影部分的面积； （3）若小正方形边长的整数部分为x，小数部分为y，求的值. 【答案】（1）解：∵小正方形的面积为13，∴小正方形的边长为 ∴小正方形的边长在3和4之间，与整数4比较接近 （2）解：∵正方形MNCD的面积为16， ∴正方形MNCD的边长为4， ∴图中阴影部分的面积=S矩形ABNM-S正方形EFGH （3）解∵小正方形的边长为 的整数部分为3，小数部分为 即 ​​​​​​​ 【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用 【解析】【分析】(1)利用9<13<16得到，从而可判断小正方形的边长在哪两个连续的整数之间，与哪个整数比较接近； (2)先确定正方形MNCD的边长为4，然后利用图中阴影部分的面积=S矩形ABNM-S正方形EFGH进行计算； (3)先利用得到x=3，，然后把它们分别代入所求的代数式值进行乘方运算即可. 15．阅读下面的文字，解答问题，例如： 即 的整数部分是2，小数部分是 （1）试解答： 的整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）已知 小数部分是m， 小数部分是n，且 请求出满足条件的x的值. 【答案】（1）4； （2）解： 的整数部分是4，小数部分是 的整数部分是13，小数部分是 所以x+1=±1 解得： 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：∵，即 ∴的整数部分是4，小数部分是 故答家是：4；. 【分析】(1)根据夹通法可求的整数部分和小数部分； (2)首先估算出m，n的值，进而得出m+n的值，可求满足条件的x的值. 三、拓展创新 16．综合与探究 下面是小明同学学习了实数后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． 如：确定的小数部分，首先要明确7在完全平方数4和9之间，再求解． ∵，∴（依据）． ∴． ∴的整数部分是2，小数部分是． 任务一： （1）小明的感悟中，依据是：被开方数越大，其算术平方根__________； （2）已知的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）直接比较和的大小； 任务二： （4）设，a是整数，b满足，求的值． 【答案】（1）越大； （2）∵， ∴，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分， ∵， ∴，即， ∴的整数部分， ∴ （3）； （4）∵， ∴，即， ∴，即， ∵，a是整数，b满足， ∴，， ∴​​​​​​​ 【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；算术平方根的性质（双重非负性） 【解析】【解答】解：（1）被开方数越大，其算术平方根越大， 故答案为：越大； （3）∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴； 【分析】 （1）根据算术平方根的性质填空即可； （2）先确定的小数部分a和的整数部分b，再代入求值计算即可； （3）分别估算+2和的取值范围，比较大小； （4）先确定的整数部分a和小数部分b，再代入计算求值即可. 17．综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】解：（1）2；；； （2）1；13；； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【知识点】实数的大小比较；求算术平方根；算术平方根的实际应用 【解析】【解答】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；故答案为：2；；； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为， 故答案为：1；13；. 【分析】（1）利用正方形的面积公式及图形分析求解即可； （2）利用正方形的面积公式及图形分析求解即可； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，利用“ 裁出一块面积为的长方形纸片 ”列出方程求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $