第13讲 概率初步单元复习+小测（核心知识+6易错辨析+8典例精讲）-2026-2027学年高二上学期数学重难点复习讲义（沪教版必修第三册）

本讲义聚焦高中数学概率初步核心知识，系统梳理随机现象与样本空间（含样本点、事件关系）、古典概型（有限等可能条件及计算）、频率与概率（大数稳定特性）、随机事件独立性（判断及乘法公式），构建从概念到计算再到应用的完整学习支架。 资料亮点在于6大易错辨析（如互斥与对立区别）和8类典例精讲（如样本空间书写、古典概型计算），通过生日相同事件判断等实例培养数学眼光，易错点分析提升数学思维，课中辅助教师系统复习，课后小测助学生查漏补缺。

第13讲 概率初步单元复习+小测 （核心知识+6易错辨析+8典例精讲） 【题型一】判断事件是否是随机事件 【题型五】互斥事件的概率加法公式 【题型二】写出样本空间 【题型六】频率与概率 【题型三】计算古典概型问题的概率 【题型七】独立事件的判断 【题型四】利用对立事件的概率公式求概率 【题型八】独立事件的乘法公式 【知识点01】随机现象与样本空间 1. 确定性现象与随机现象 在一定条件下必然发生或必然不发生的现象为确定性现象；在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象为随机现象。概率论研究对象为随机现象。 2. 样本空间与样本点 随机试验的每一个可能结果称为样本点，所有样本点构成的集合称为样本空间，记作。 样本空间性质：样本点互斥、完备，每次试验有且仅有一个样本点发生。 3. 随机事件 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母表示。 必然事件：，一定发生，概率 不可能事件：，一定不发生，概率 4. 事件的关系与运算 包含：，若发生则一定发生； 并事件：（或发生）； 交事件：（且发生）； 互斥事件：，不能同时发生； 对立事件：，记作，满足。 【知识点02】古典概型 1. 古典概型两大条件 ① 有限性：样本空间中样本点个数有限；② 等可能性：每个样本点发生的概率相等。 2. 古典概率计算公式 3. 概率基本性质 ；若互斥，则。 【知识点03】频率与概率 1. 频率定义 若重复进行次试验，事件发生次，则事件的频率：。 2. 频率与概率的关系 概率是事件本身固有的理论定值；频率是试验后的统计值。当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，可用频率估计概率。 【知识点04】随机事件的独立性 1. 独立事件定义 若事件的发生不影响事件发生的概率，则称相互独立。 2. 独立事件核心公式 3. 独立事件推论 若相互独立，则与、与、与均相互独立。 4. 独立与互斥区别 互斥：不能同时发生；独立：互不影响发生概率。一般独立不互斥，互斥不独立。 易错点1：混淆互斥事件与对立事件 对立一定互斥，互斥不一定对立；对立事件要求“有且仅有一个发生”，互斥仅要求“不同时发生”。做题优先判断是否满足全集覆盖。 易错点2：古典概型忽略等可能性 计数直接套公式，未验证每个结果是否等可能，不等可能样本点不能使用。 易错点3：频率与概率概念混淆 概率是定值，频率是变量；不能说“频率等于概率”，只能说“频率稳定于概率、用频率估计概率”。 易错点4：独立事件公式滥用 未判断独立直接相乘概率；题目无“互不影响、独立、放回”条件时，不能直接使用。 易错点5：互斥事件误用加法公式 仅限互斥，非互斥必须用一般公式：。 易错点6：有序无序计数混乱 掷骰子、摸球、抽取问题中，样本空间计数必须统一有序或无序，前后标准不一致直接导致概率算错。 【题型一】判断事件是否是随机事件 【典例1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（    ） A．事件A、B都是确定事件 B．事件A、B都是不确定事件 C．事件A是不确定事件，事件B是确定事件 D．事件A是确定事件，事件B是不确定事件 【答案】D 【分析】根据确定事件、不确定事件的定义可得答案. 【详解】事件A：一年最多有366天，所以367人中至少有2人生日相同，是确定事件； 事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况， 点数为偶数是不确定事件. 故选：D. 【变式1-1】下列事件中，随机事件的个数是（    ）个． ①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为； ③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用随机事件的定义逐个判断，可得出结论. 【详解】对于事件①，某人购买福利彩票一注，中奖万元，该事件为随机事件； 对于事件②，三角形的内角和为，该事件为必然事件； 对于事件③，地球上，没有空气和水，人类可以生存下去，该事件为不可能事件； 对于事件④，同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上，该事件为随机事件. 因此，随机事件的个数为. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二·上海·随堂练习）导体通电时发热是否随机现象？ ________．（选用“是”或“否”填空） 【答案】否 【分析】根据随机试验的结果是否确定发生还是随机发生即可判断. 【详解】因导体通电就会发热，故是确定性现象，不是随机现象. 故答案为：否. 【变式1-3】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 【答案】确定性现象，随机现象，确定性现象，随机现象，举例见解析. 【分析】利用随机现象、确定性现象的意义直接判断即可. 【详解】（1）明天太阳升起是确定性现象； （2）明天上海局部地区下雨是随机现象； （3）明年小明又大一岁是确定性现象. （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯是随机现象. 如：导体通电时发热、抛一块石头下落都是确定性现象； 掷一枚硬币出现正面、某人射击一次中靶、一个电影院某天的上座率超过50%都是随机现象. 【题型二】写出样本空间 【典例2-1】从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝____________． 【答案】{12，13，23} 【分析】利用列举法求解. 【详解】解：从数字1，2，3中任取两个数字，共有3个结果：12，13，23， 所以Ω＝{12，13，23}． 故答案为：{12，13，23} 【变式2-1】若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为______. 【答案】 【分析】根据题意选出一男一女，即从中选一个，从中选一个，即可得答案. 【详解】由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为， 故答案为： 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是________． 【答案】 【分析】根据题意直接列举即可. 【详解】若取出的两个球标号为1，2，则标号和为3， 若取出的两个球标号为1，3，则标号和为4， 若取出的两个球标号为2，3，则标号和为5， 所以此随机现象的样本空间是. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高二上·上海·课后作业）同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到的数为，转盘（2）得到的数为，结果为． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？ (4)用集合表示事件：；用集合表示事件：． 【答案】(1) (2) (3) “”包含的样本点为，，，， “且”包含的样本点为，，，，，； (4)， 【分析】（1）利用列举法可得样本空间； （2）根据样本空间即可得样本点个数； （3）根据样本空间可得答案； （4）根据样本空间可得答案. 【详解】（1）这个试验的样本空间为 （2）由（1）可知，这个试验的样本点的个数为； （3）“”包含的样本点为，，，， “且”包含的样本点为，，，，，； （4）由（1）可知，． 【题型三】计算古典概型问题的概率 【典例3-1】（24-25高二·上海·课堂例题）同时旋转两枚均匀的硬币，M表示“至少出现一枚图朝上”，N表示“两枚都不出现图朝上”，则M、N两个事件概率大小关系是（    ） A． B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】若用1表示出旋转一枚硬币“图朝上”，用0表示旋转一枚硬币“图朝下”，同时旋转两枚硬币，两枚的结果用表示，列举出所有情况，从而可求出，进而进行比较. 【详解】若用1表示旋转一枚硬币“图朝上”，用0表示旋转一枚硬币“图朝下”，同时旋转两枚硬币，两枚的结果用表示， 则试验样本空间为，有4种， 其中，, 所以， 所以. 故选：A 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期末）已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______. 【答案】 【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出点数之和为8的情况，即可求解. 【详解】将先后两次的向上点数记为有序实数对，则共有个基本事件， 其中向上点数之和为8的情况有，共5种， 所以满足条件的概率为. 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高二下·上海·期中）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）列举法写出样本空间； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【详解】（1）从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 . （2）由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，共1个样本点， 由（1）知样本点个数为，所以. （3）设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得； （2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得. 【详解】（1）样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； （2） ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 【题型四】利用对立事件的概率公式求概率 【典例4-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知，则_________ 【答案】 【分析】根据对立事件的关系求解即可. 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二上·上海浦东新·期末）记事件A的对立事件为，若，则为__________. 【答案】 【分析】由对立事件的概率公式计算求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【变式4-2】已知某次摸奖的中奖概率为，则不中奖的概率为______. 【答案】/0.75 【分析】根据对立事件的概率公式即可求. 【详解】设“某次摸奖中奖”为事件，则“不中奖”为事件， 由题意，所以. 故答案为：. 【变式4-3】从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母a的值； (2)求至多遇到5个红灯的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率之和为1，由题中数据，即可列出等式，求出的值； （2）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得，解得. （2）设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件， 则. 【题型五】互斥事件的概率加法公式 【典例5-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若三个事件A、B、C两两互斥，，，，则等于（    ） A．0.1； B．0.5； C．0.9； D．1． 【答案】C 【分析】利用两两互斥的事件的并的概率公式计算即得. 【详解】由可得, 因事件A、B、C两两互斥，故. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·上海·期末）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为____. 【答案】/0.4 【分析】利用互斥事件的加法公式可得答案. 【详解】设事件 A 为取出的两粒棋子都是黑子，事件 B 为取出的两粒棋子都是白子， 事件 C 为取出的两粒棋子颜色不同（一黑一白）， 根据题意：， 又因为，， 所以， 即. 故答案为： 【变式5-2】某城市2020年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 30 60 100 110 130 140 概率 其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染．求该城市2020年空气质量达到良或优的概率． 【答案】 【分析】根据题意，分析表格可得空气污染指数为30、60、100的概率，再结合互斥事件概率的加法公式进行求解． 【详解】设“空气质量达到良或优”为事件， “空气质量达到良”为事件， “空气质量达到优”为事件， 则，且与互斥， ，． 所以， 即该城市2020年空气质量达到良或优的概率为． 【变式5-3】（24-25高二·上海·随堂练习）（1）掷一颗均匀的骰子，设事件A：点数为奇数；事件B：点数不超过2．求． （2）已知样本空间Ω的事件A，B，C两两互斥，表示事件A，B，C中至少有一个发生．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）运用古典概型公式求解；（2）运用互斥的概率公式证明 【详解】（1）解：依题意掷一颗均匀的骰子出现的点数有6种结果，即基本事件总数为6，事件A包含的基本事件有1点、3点、5点，事件B包含的基本事件有1点、2点，则包含的基本事件有1点、2点、3点、5点共4个；故； （2）因为A，B，C两两互斥，故，C也是互斥事件， 所以，而A，B互斥，故， 故． 【题型六】频率与概率 【典例6-1】某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合频率与概率之间的关系运算求解. 【详解】由题意可知：体重减轻的频率为， 用频率估计概率可知：体重减轻的概率为. 故选：A. 【变式6-1】在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 【答案】D 【分析】求出取出一张恰好为梅花的概率，根据频率的稳定性即可求解. 【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张， 所以取出一张恰好为梅花的概率为， 根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·上海·单元测试）某同学进行了15局的赛车游戏，其中10局取得胜利，则取得胜利的频率是________． 【答案】 【分析】根据频率公式即可求解. 【详解】取得胜利的频率是， 故答案为： 【变式6-3】受精的新鲜鸡蛋在适宜的温度下平均需要21天孵化出小鸡，对于1个鸡蛋来说，它可能20天孵出，也可能21天孵出，……，下表是不同孵化天数的鸡蛋数的记录： 孵化天数 20 21 22 23 鸡蛋数 0 49 820 93 38 0 (1)求孵化天数在21天的经验概率； (2)求孵化天数超过21天的频率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用21天孵化的频数除以总数，求出频率即为经验概率；（2）求出超过21天孵化的鸡蛋个数，除以总数，即为频率. 【详解】（1）由表格数据可以得到：一共有个鸡蛋，其中在21天孵化的鸡蛋数为820个，故孵化天数在21天的经验概率就是频率，故答案为； （2）孵化天数超过21天的鸡蛋个数为，故孵化天数超过21天的频率为. 【题型七】独立事件的判断 【典例7-1】（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （    ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 【答案】A 【分析】根据互相独立事件、互斥事件的定义确定即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以， 所以事件与事件是相互独立事件，不是互斥事件. 故选：A. 【变式7-1】以下两次试验不是独立的随机试验的是___________.（填序号） （1）抛掷一次硬币，拿起来再掷一次； （2）抛掷一枚硬币和一颗骰子； （3）从一个放有两种颜色的球的罐子里摸一个球，放回去摇匀再摸一个球； （4）从一个放有两种颜色的球的罐子里摸一个球，不放回去摇匀再摸一个球； 【答案】（4） 【分析】利用独立事件的概念即得. 【详解】对于（1）（2）（3），两次试验的结果互相不受影响，故两次试验是独立的随机试验； 对于（4），第二次试验的结果受第一次试验结果影响，故两次试验不是独立的随机试验. 故答案为：（4）. 【变式7-2】投掷一颗骰子一次，定义三事件如下：，，．试判断： (1)、是否相互独立？ (2)、是否相互独立？ 【答案】(1)，不相互独立； (2)，相互独立． 【分析】（1）（2）求出 、、及、，即可判断事件是否独立. 【详解】（1）由题意 ，，而，则， 所以，故、不相互独立； （2）由题意 ，，而，则， 所以，故，相互独立； 【变式7-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件： “首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立． 【答案】不独立 【分析】根据概率公式求出、、，再由相互独立事件的概率公式判断是否独立． 【详解】答案：，， ， ，所以事件不独立． 【题型八】独立事件的乘法公式 【典例8-1】（25-26高二上·上海·期末）已知事件A与事件B相互独立，如果，那么________. 【答案】/ 【分析】根据独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【变式8-1】若，且事件与事件相互独立，则___________． 【答案】 【分析】根据独立事件的概率公式求出. 【详解】由题意可得，. 故答案为： 【变式8-2】（24-25高二下·上海静安·期末）质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. (1)抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率； (2)抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 【答案】(1) (2)事件A和B不独立，事件A和C独立 【分析】（1）因抛掷骰子得到的点数奇偶各占一半，易得题中概率； （2）依题分别求出事件的概率，以及与的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即可判断. 【详解】（1）抛掷一次骰子，奇偶点数各占一半，故点数是偶数的概率是； （2）依题易得，因“两次点数和为6”包括“”5种情况，故； 又“两次点数和为7”包括“”6种情况，故， 当第一次点数为4，则第二次点数只可能为2时，两次点数才会是6，所以， 而，故事件和B不独立． 第一次点数为4，则第二次点数只可能为3时，两次点数才会是7，所以， 而，故事件和C独立． 【变式8-3】（25-26高三上·上海·期中）某项室内体育赛事共有大学生志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 m 其中、均为正整数，． (1)从这36名大学生志愿者中随机抽取两名作为某个小项目的主持人，求抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”．试给出一组、的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)(写出一组即可) 【分析】（1）先求出对立事件的概率进而可求出结果. （2）先根据题意求出，然后根据相互独立事件列出等式，求出即可. 【详解】（1）根据题意可知，设抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率是 . （2）由题意得， 而抽到的志愿者既是男生又会说韩语的概率为. 要使得事件与相互独立，那么， 即，化简得. 因为均为正整数，且，当时，； 当时，；当时，. 1. 概念层级 随机试验→样本空间→随机事件，概率描述随机事件发生的可能性大小，范围。 2. 两大核心模型 古典概型抓“有限+等可能”，直接比值计算；频率概率抓“大数稳定”，用于估计未知概率。 3. 事件关系解题口诀 互斥不同时，对立必互补；互斥用加法，独立用乘法；非互斥通用加减公式。 4. 独立与互斥核心区分 互斥看“能否同时发生”，独立看“是否互相影响”，考试高频辨析考点。 5. 应试避坑总结 分清频率与概率、区分互斥与对立、无独立条件不乘、非互斥不乱加、计数统一有序无序。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·课后作业）一家药物公司试验一种新药，在1000个病人中试验，其中857人有明显疗效，80人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率（经验概率）是________. 【答案】0.143/ 【分析】根据频率计算公式即可求解. 【详解】没有明显疗效的频率（经验概率）是， 故答案为：0.143 2．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知，记事件的对立事件为，则为________． 【答案】 【分析】由对立事件的概率和为1计算即可； 【详解】由对立事件的概率和为1可得， 故答案为：. 3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 【答案】/ 【详解】抛掷枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数的所有可能结果为，共6种， 且每种结果出现的可能性相等，其中点数为偶数的结果为，共种， 所以抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为. 4．（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是______. 【答案】6 【分析】利用列举法即可直接得出结果. 【详解】设第一次取出的球标号为，第二次取出的球标号为， 记基本事件为，， 则所有的基本事件为，共6个. 所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6. 故答案为：6 5．（25-26高二下·上海·期中）设甲、乙两射手独立地射击同一个目标，他们的命中率分别为0.85和0.9，在一次射击中，目标被击中的概率为__________. 【答案】 【详解】由题意得目标被击中的概率为： . 6．（24-25高二下·上海闵行·期中）设事件A、B是互斥事件，且，则________. 【答案】 【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式，进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由互斥事件的概率加法公式，可得. 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海·阶段检测）假设，则的取值范围 _____ 【答案】 【分析】由概率的运算性质，得到，结合事件与事件的关系，得到，即可求解. 【详解】因为， 由概率的运算性质，可得， 当事件包含于事件时，可得； 当事件与事件互斥时，可得， 所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 8．（24-25高二·上海·随堂练习）种下一粒种子发芽________随机事件（选用“是”；“否”填空）． 【答案】是 【分析】由随机事件的定义判断． 【详解】种下一粒种子可能发芽，也可能不发芽，故它是随机事件， 故答案为：是 9．（24-25高二上·上海·期末）已知是同一个样本空间中的独立事件，若，且，则________． 【答案】/ 【分析】利用事件的独立性得，又，进而得，即是方程的两根，利用二次方程的性质即可求解. 【详解】由题意得，又， 所以，所以是方程的两根， 解得或，又，所以. 10．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】15 【分析】根据频率与概率的关系得出概率，再据此即可列式求红球的个数. 【详解】设盒子中红球的个数为， 由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25， 则， 解得， 即盒子中红球个数大约15个. 故答案为：15 11．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则___________． 【答案】 【分析】根据互斥事件及所给条件求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且， ，解得， ， 则． 故答案为：． 12．（24-25高二·上海·课堂例题）已知函数，其中系数a、，任取一个函数有零点的概率是________. 【答案】 【分析】求出函数解析式一共有多少种不同的情况，再用列举法求出函数有零点的情况，由古典概型概率公式可得答案. 【详解】由已知，函数解析式一共有种不同的情况， 若函数有零点， 则相应的一元二次方程的， 即，所以有；；； ；；共6种情况， 由古典概型概率公式可得. 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期末）对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（   ） A．互斥事件 B．独立事件 C．对立事件 D．以上选项均不正确 【答案】A 【分析】利用概率加法公式求出，再结合互斥、对立、独立事件的定义逐一判断选项即可. 【详解】根据概率加法公式，对任意事件有， 将代入上式，得. 因为，所以事件互斥，故选项A正确； ，所以事件不独立，故选项B错误； 因为，所以事件不对立，故选项C错误；因此选项D错误. 14．（25-26高二下·上海·期末）本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由概率的加法公式代入题中条件即可求解. 【详解】设事件为“吹南风”，则，事件为“下雨”，则， 由题意得， 则，解得. 15．（25-26高二下·上海宝山·期末）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（     ）． A．至少有1个白球和2个都是白球 B．至少有1个白球和至少有1个红球 C．恰有1个白球和恰有2个白球 D．至少有1个白球和2个都是红球 【答案】C 【分析】由互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】从2红2白中取2个球，所有可能的结果为：2个红球，1红1白，2个白球； 选项A：“至少有1个白球”包含“1红1白”和“2个白球”，和“2个都是白球”可以同时发生，不是互斥事件，排除； 选项B：“至少1个白球”和“至少1个红球”都包含“1红1白”，可以同时发生，不是互斥事件，排除， 选项C：“恰有1个白球”（即1红1白）和“恰有2个白球”不能同时发生，是互斥事件； 且存在“2个都是红球”的情况，两个事件都不发生，因此不是对立事件，符合要求， 选项D： “至少有1个白球”包含“1红1白”和“2个白球”，和“2个都是红球”不能同时发生， 且涵盖了所有可能的结果，必有一个发生，是对立事件，不符合要求. 16．（25-26高二上·上海·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】A.利用对立事件的定义判断；B.利用相互独立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用互斥事件的定义判断. 【详解】A. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，总事件的基本事件还有等，所以 和不是对立事件，故错误； B. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，而，则，所以与是相互独立事件，故正确； C. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，则，，所以与不为相互独立事件，故错误； D. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，都有基本事件，所以与不为互斥事件，故错误； 故选：B 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1) 检出次品的频率，填表如下： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02 (2) (3)至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 【分析】（1）利用次品率的计算公式求解即可； （2）利用次品的经验概率及古典概型求解即可； （3）利用次品西装的件数约为（件）求解即可. 【详解】（1）略 （2）抽取的件数总和为， 检出次品的件数总和为， 故从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是． （3）如果要销售2000件西装，则次品西装的件数约为（件）， 所以至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 18．（25-26高二上·上海·阶段检测）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，，），女同学2名（记为，）、现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）. (1)写出这个随机试验的样本空间，并写出样本点的个数； (2)设事件为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3) 【分析】（1）列举法写出样本空间，得到样本点个数； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【详解】（1）从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间 ，共个样本点. （2）由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，，共1个样本点， 所以. （3）设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 19．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 【答案】(1)16 (2)， (3) 【分析】（1）由样本点的概念即可求解； （2）根据事件写出各自事件发生时的等价条件，即可得到各自事件发生时数对的样本点个数，从而求得各自事件发生的概率； （3）因为两个事件不可能同时发生，所以至少一个发生的概率为各自发生概率之和. 【详解】（1）数对的样本空间中所含样本点的个数个. （2）函数的对称轴为， 对于事件，则，即,因, 则满足事件的数对有，，共3个，故； 对于事件，则，则，满足事件的数对有，，，,，,共个，故. （3）由（2）可知，事件发生时有，事件发生时有，则事件与事件互斥， 则事件A、事件B至少一个发生的概率. 20．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大． 【答案】(1)错误 (2)0.63856，小获胜概率更大 【分析】（1）直接计算命中概率即可判断； （2）由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式代入计算，即可判断. 【详解】（1）小总命中率为， 小总命中率为， ，综上，小想法错误，小为校； （2）情况一：小第一次投篮就命中，其概率为； 情况二：小第一次未命中，小也未命中，然后小第二次投篮命中， 其概率为； 情况三：小第一次未命中，小也未命中，小第二次也未命中，小第二次也未命中，小第三次投篮命中， 其概率为， 则小的获胜概率为， 所以小获胜概率更大. 21．（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论； （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论． 【详解】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立，且， ， 则，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 所以， 所以当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为． （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 则结合（1）知事件相互独立，且，，，，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）有， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即，得②， 联立①，②得，解得或， 又，所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 概率初步单元复习+小测 （核心知识+6易错辨析+8典例精讲） 【题型一】判断事件是否是随机事件 【题型五】互斥事件的概率加法公式 【题型二】写出样本空间 【题型六】频率与概率 【题型三】计算古典概型问题的概率 【题型七】独立事件的判断 【题型四】利用对立事件的概率公式求概率 【题型八】独立事件的乘法公式 【知识点01】随机现象与样本空间 1. 确定性现象与随机现象 在一定条件下必然发生或必然不发生的现象为确定性现象；在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象为随机现象。概率论研究对象为随机现象。 2. 样本空间与样本点 随机试验的每一个可能结果称为样本点，所有样本点构成的集合称为样本空间，记作。 样本空间性质：样本点互斥、完备，每次试验有且仅有一个样本点发生。 3. 随机事件 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母表示。 必然事件：，一定发生，概率 不可能事件：，一定不发生，概率 4. 事件的关系与运算 包含：，若发生则一定发生； 并事件：（或发生）； 交事件：（且发生）； 互斥事件：，不能同时发生； 对立事件：，记作，满足。 【知识点02】古典概型 1. 古典概型两大条件 ① 有限性：样本空间中样本点个数有限；② 等可能性：每个样本点发生的概率相等。 2. 古典概率计算公式 3. 概率基本性质 ；若互斥，则。 【知识点03】频率与概率 1. 频率定义 若重复进行次试验，事件发生次，则事件的频率：。 2. 频率与概率的关系 概率是事件本身固有的理论定值；频率是试验后的统计值。当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，可用频率估计概率。 【知识点04】随机事件的独立性 1. 独立事件定义 若事件的发生不影响事件发生的概率，则称相互独立。 2. 独立事件核心公式 3. 独立事件推论 若相互独立，则与、与、与均相互独立。 4. 独立与互斥区别 互斥：不能同时发生；独立：互不影响发生概率。一般独立不互斥，互斥不独立。 易错点1：混淆互斥事件与对立事件 对立一定互斥，互斥不一定对立；对立事件要求“有且仅有一个发生”，互斥仅要求“不同时发生”。做题优先判断是否满足全集覆盖。 易错点2：古典概型忽略等可能性 计数直接套公式，未验证每个结果是否等可能，不等可能样本点不能使用。 易错点3：频率与概率概念混淆 概率是定值，频率是变量；不能说“频率等于概率”，只能说“频率稳定于概率、用频率估计概率”。 易错点4：独立事件公式滥用 未判断独立直接相乘概率；题目无“互不影响、独立、放回”条件时，不能直接使用。 易错点5：互斥事件误用加法公式 仅限互斥，非互斥必须用一般公式：。 易错点6：有序无序计数混乱 掷骰子、摸球、抽取问题中，样本空间计数必须统一有序或无序，前后标准不一致直接导致概率算错。 【题型一】判断事件是否是随机事件 【典例1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（    ） A．事件A、B都是确定事件 B．事件A、B都是不确定事件 C．事件A是不确定事件，事件B是确定事件 D．事件A是确定事件，事件B是不确定事件 【变式1-1】下列事件中，随机事件的个数是（    ）个． ①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为； ③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上． A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二·上海·随堂练习）导体通电时发热是否随机现象？ ________．（选用“是”或“否”填空） 【变式1-3】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 【题型二】写出样本空间 【典例2-1】从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝____________． 【变式2-1】若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为______. 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是________． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·课后作业）同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到的数为，转盘（2）得到的数为，结果为． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？ (4)用集合表示事件：；用集合表示事件：． 【题型三】计算古典概型问题的概率 【典例3-1】（24-25高二·上海·课堂例题）同时旋转两枚均匀的硬币，M表示“至少出现一枚图朝上”，N表示“两枚都不出现图朝上”，则M、N两个事件概率大小关系是（    ） A． B．； C．； D．． 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期末）已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______. 【变式3-2】（25-26高二下·上海·期中）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【题型四】利用对立事件的概率公式求概率 【典例4-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知，则_________ 【变式4-1】（24-25高二上·上海浦东新·期末）记事件A的对立事件为，若，则为__________. 【变式4-2】已知某次摸奖的中奖概率为，则不中奖的概率为______. 【变式4-3】从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母a的值； (2)求至多遇到5个红灯的概率． 【题型五】互斥事件的概率加法公式 【典例5-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若三个事件A、B、C两两互斥，，，，则等于（    ） A．0.1； B．0.5； C．0.9； D．1． 【变式5-1】（25-26高二上·上海·期末）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为____. 【变式5-2】某城市2020年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 30 60 100 110 130 140 概率 其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染．求该城市2020年空气质量达到良或优的概率． 【变式5-3】（24-25高二·上海·随堂练习）（1）掷一颗均匀的骰子，设事件A：点数为奇数；事件B：点数不超过2．求． （2）已知样本空间Ω的事件A，B，C两两互斥，表示事件A，B，C中至少有一个发生．求证：． 【题型六】频率与概率 【典例6-1】某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 【变式6-2】（25-26高二上·上海·单元测试）某同学进行了15局的赛车游戏，其中10局取得胜利，则取得胜利的频率是________． 【变式6-3】受精的新鲜鸡蛋在适宜的温度下平均需要21天孵化出小鸡，对于1个鸡蛋来说，它可能20天孵出，也可能21天孵出，……，下表是不同孵化天数的鸡蛋数的记录： 孵化天数 20 21 22 23 鸡蛋数 0 49 820 93 38 0 (1)求孵化天数在21天的经验概率； (2)求孵化天数超过21天的频率． 【题型七】独立事件的判断 【典例7-1】（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （    ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 【变式7-1】以下两次试验不是独立的随机试验的是___________.（填序号） （1）抛掷一次硬币，拿起来再掷一次； （2）抛掷一枚硬币和一颗骰子； （3）从一个放有两种颜色的球的罐子里摸一个球，放回去摇匀再摸一个球； （4）从一个放有两种颜色的球的罐子里摸一个球，不放回去摇匀再摸一个球； 【变式7-2】投掷一颗骰子一次，定义三事件如下：，，．试判断： (1)、是否相互独立？ (2)、是否相互独立？ 【变式7-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件： “首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立． 【题型八】独立事件的乘法公式 【典例8-1】（25-26高二上·上海·期末）已知事件A与事件B相互独立，如果，那么________. 【变式8-1】若，且事件与事件相互独立，则___________． 【变式8-2】（24-25高二下·上海静安·期末）质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. (1)抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率； (2)抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 【变式8-3】（25-26高三上·上海·期中）某项室内体育赛事共有大学生志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 m 其中、均为正整数，． (1)从这36名大学生志愿者中随机抽取两名作为某个小项目的主持人，求抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”．试给出一组、的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 1. 概念层级 随机试验→样本空间→随机事件，概率描述随机事件发生的可能性大小，范围。 2. 两大核心模型 古典概型抓“有限+等可能”，直接比值计算；频率概率抓“大数稳定”，用于估计未知概率。 3. 事件关系解题口诀 互斥不同时，对立必互补；互斥用加法，独立用乘法；非互斥通用加减公式。 4. 独立与互斥核心区分 互斥看“能否同时发生”，独立看“是否互相影响”，考试高频辨析考点。 5. 应试避坑总结 分清频率与概率、区分互斥与对立、无独立条件不乘、非互斥不乱加、计数统一有序无序。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·课后作业）一家药物公司试验一种新药，在1000个病人中试验，其中857人有明显疗效，80人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率（经验概率）是________. 2．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知，记事件的对立事件为，则为________． 3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 4．（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是______. 5．（25-26高二下·上海·期中）设甲、乙两射手独立地射击同一个目标，他们的命中率分别为0.85和0.9，在一次射击中，目标被击中的概率为__________. 6．（24-25高二下·上海闵行·期中）设事件A、B是互斥事件，且，则________. 7．（25-26高二上·上海·阶段检测）假设，则的取值范围 _____ 8．（24-25高二·上海·随堂练习）种下一粒种子发芽________随机事件（选用“是”；“否”填空）． 9．（24-25高二上·上海·期末）已知是同一个样本空间中的独立事件，若，且，则________． 10．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为______． 11．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则___________． 12．（24-25高二·上海·课堂例题）已知函数，其中系数a、，任取一个函数有零点的概率是________. 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期末）对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（   ） A．互斥事件 B．独立事件 C．对立事件 D．以上选项均不正确 14．（25-26高二下·上海·期末）本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（     ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·上海宝山·期末）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（     ）． A．至少有1个白球和2个都是白球 B．至少有1个白球和至少有1个红球 C．恰有1个白球和恰有2个白球 D．至少有1个白球和2个都是红球 16．（25-26高二上·上海·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 18．（25-26高二上·上海·阶段检测）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，，），女同学2名（记为，）、现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）. (1)写出这个随机试验的样本空间，并写出样本点的个数； (2)设事件为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率. 19．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 20．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大． 21．（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $