重难点03：线线角、线面角、二面角的求法 (10大题型+40题提升）培优讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 线线角 线面角 二面角的几何求法 知识点一、线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①直接平移法(可利用图中已有的平行线)； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 知识点二、线面角的定义与求解 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°] 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 知识点三、二面角的定义与求解 1、二面角 （1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 （3）二面角的大小范围：[0°，180°] 2、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 3、确定二面角的平面角的方法： （1）定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． 具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 （2）三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 （3）垂面法（空间一点垂面法） 方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 （4）射影面积法求二面角 方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （5）补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题． 考点一:求异面直线所成的角 题型01、直接平移法求线线角 【例1】（24-25上海高二上阶段练习）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【跟踪训练】 1．（24-25高二上上海闵行·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2.（2025高一·全国·专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 题型02、中位线平移法线线角 【例2】（24-25高二上上海松江·期中）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（24-25高二上上海奉贤·期中）在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上七宝中学阶段练习）如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上大同中学阶段练习）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型03、补形平移法线线角 【例3】（24-25高一下·天津和平·期中）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（24-25高二上七宝中学阶段练习）在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是（ ） A．60° B．75° C．90° D．105° 2．（24-25高二上复兴高级中学阶段练习）如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为 . 3.（24-25高二上格致中学阶段练习）在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值． 考点二:求直线与平面所成的角 题型04、垂线法求线面角 【例4】在棱长均相等的正三棱柱中,E为棱AB的中点,则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例5】（23-24高一下·江西九江·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，是边长为1的等边三角形，. (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高一下·重庆·月考）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型05、等体积法求线面角 【例6】（23-24高二上上海阶段练习）如图，正方体的棱长是. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）如图，在正方体中，E为的中点．求直线与平面所成角的正弦值． 2.（23-24高二上上海阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 3.如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （1）证明：EF⊥DB； （2）求DF与面DBC所成角的正弦值． 考点三:求二面角 题型06、定义法求二面角 【例7】（24-25高一下·黑龙江·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-AC-B1的正切值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小． 2．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥． (1)证明：平面ACD； (2)若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值． 3.（23-24高二上上海阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，. 求二面角的余弦值； 题型07、三垂线法求二面角 【例8】（22-23高一下·贵州贵阳·月考）如图，正三棱柱的棱长都相等，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的正切值。 2.在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A­BD­P的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 3.（22-23高一下·福建莆田·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ． 4.（22-23高一下·湖南株洲·月考）已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为 ． 题型08、垂面法求二面角 【例9】（23-24高二上·上海·期中）已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为 . 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，垂直平分且分别交于点，又，求二面角的大小． 2．（23-24高二上上海阶段练习）斜三棱柱中，所有棱长都为2，，平面平面. (1)若为中点，E点在线段上，且，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 题型09、射影面积法求二面角 【例10】（23-24高二上上海阶段练习）如图，已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥面AC，SB=. 求面ASD与面BSC所成的二面角的大小。 【例11】（23-24高二上上海阶段练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【跟踪训练】 1.（23-24高一下·全国·单元测试）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 2.（23-24高二上上海阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 题型10、补棱法求二面角 【例12】（22-23高三上·贵州·月考）已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，侧面与平面所成的二面角的正切值等于 ． 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）如图，在正方体中，分别为、的中点，则平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为 ． 2.如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点． (1)证明：直线平面； (2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值． 一、填空题 1.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝ . 2.（2024·上海·复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______． 3.（2024上海市徐汇中学高二期中）如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小为________. 4．（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）在三棱锥中，平面，则与所成的角的余弦值为 ． 5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________. 6.（22-23高二上·辽宁葫芦岛·月考）在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，，则平面PAB与平面ABCD的夹角为 7.（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为 ． 8.（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在边长为2的正方体中，为棱的中点，则二面角的正切值是 . 9.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱， ，则二面角的大小为___________. 10.（23-24高一下·全国·专题练习）已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为 ． 二、选择题 11．（24-25高一下·浙江·期中）在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 12.如图，在直三棱柱中，， ， ，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D.  13.（23-24高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 14．（24-25高一上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都是1，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A． B． C． D． 16.已知正方体的体积为，点在正方形上，且到的距离分别为，则直线 与平面所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 17.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥为阳马,侧棱底面,,为棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 18.已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 20.直三棱柱中，为正方形，，，为棱上任意一点，点、分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）当点为中点时，求直线和平面所成角的正弦值. 21.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成线面角的正弦值. 22．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱中，点是的中点，底面的边长为2，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 23.如图，，，，，是线段上一点， ，店在线段上，且. （1）求证：平面 （2）求二面角的正切值. 24.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面，若，，，求二面角的余弦值. 25.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.求二面角P-BC-A的平面角的大小. 26.如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且． (1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角大小的余弦值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 线线角 线面角 二面角的几何求法 知识点一、线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①直接平移法(可利用图中已有的平行线)； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 知识点二、线面角的定义与求解 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°] 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 知识点三、二面角的定义与求解 1、二面角 （1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 （3）二面角的大小范围：[0°，180°] 2、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 3、确定二面角的平面角的方法： （1）定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． 具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 （2）三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 （3）垂面法（空间一点垂面法） 方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 （4）射影面积法求二面角 方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （5）补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题． 考点一:求异面直线所成的角 题型01、直接平移法求线线角 【例1】（24-25上海高二上阶段练习）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【解析】设正方体的棱长为，连接，，， 因为，故或其补角为直线与直线所成角. 而，，， 故，所以， 所以，因为为锐角，故，故选：A. 【跟踪训练】 1．（24-25高二上上海闵行·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做出平行线，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】 如图所示，不妨设正方体的棱长为1. 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 在中，， 所以为等边三角形，则， 因此，异面直线与所成的角为. 故选：C. 2.（2025高一·全国·专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接. 因为为中点，且，所以四边形为矩形，所以，所以或其补角为异面直线与所成的角. 设圆的半径为1，则.因为，所以.在直角中，，得.所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C. 题型02、中位线平移法线线角 【例2】（24-25高二上上海松江·期中）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 【跟踪训练】 1．（24-25高二上上海奉贤·期中）在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到或其补角是直线与所成的角，求出各边长，利用余弦定理求出答案.. 【详解】取棱的中点，连接，， 因为是的中点，所以，⊥， 则或其补角是直线与所成的角，. 由题中数据可知，，， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理可得， 则， 故. 故选：A 2.（24-25高二上七宝中学阶段练习）如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接. 因为，所以与所成的角为（或其补角）. 令，在中，由，得. 又，， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 故选：C 3．（24-25高二上大同中学阶段练习）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图： 在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 题型03、补形平移法线线角 【例3】（24-25高一下·天津和平·期中）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直三棱柱补成直四棱柱，因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角，在中，运用余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，过点作且，同理过点作且， 将直三棱柱补成直四棱柱，连接和， 因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角. 因为，，，所以，， 在中，，，， ， 所以，在中，， 故选：C. 【跟踪训练】 1.（24-25高二上七宝中学阶段练习）在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是（ ） A．60° B．75° C．90° D．105° 【答案】C 【解析】设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1， 连接B1C2，则B1C2∥BC1， 所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)． 连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝， 所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°. 2．（24-25高二上复兴高级中学阶段练习）如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可. 【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为的正方体. 如图所示.取的三等分点，连接，根据正方体性质，知道. 则为直线 与 所成角或补角. 连接，.根据正方体性质，知道． ， ， ， ， 在中，由余弦定理可得，， 则直线 与 所成角的余弦值为. 故答案为：. 3.（24-25高二上格致中学阶段练习）在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值． 【答案】 【解析】如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC­A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD， 由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直 线A1B与AC1所成的角． 设AB＝a， ∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1， ∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a. 又∠BAC＝90°，∴在矩形ABCD中，AD＝a， ∴A1D1＝a， ∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°， ∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝. 考点二:求直线与平面所成的角 题型04、垂线法求线面角 【例4】在棱长均相等的正三棱柱中,E为棱AB的中点,则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题线面角的定义,作出线面角,根据勾股定理算出线面角所在直角三角形的边长,进而求出正弦值. 【详解】过E作,F为垂足,连接,则为直线与平面所成角, 设三棱柱的棱长为2,则,, ∴. 故选：A 【例5】（23-24高一下·江西九江·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，是边长为1的等边三角形，. (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知得出，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）取的中点，由面面垂直的性质定理得出即为与平面所成的角，求出，再求三棱锥的体积. 【详解】（1）是边长为1的等边三角形， 为的中点，， ，， ， 又平面平面； （2）由（1）知平面，且平面， 平面平面， 取的中点，连接， ，平面平面， 面， 即为与平面所成的角，， 为的中位线，， 在中，， 故三棱锥的体积为 . 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由题意作出于H，可得，，中勾股定理解得，即为点到平面的距离. 【详解】过C作于H，连结，则，. 在和中，，. 又在中有，即，得. 即C到平面的距离为1. 故选：C. 2．（23-24高一下·重庆·月考）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D 作于点N，证明平面，得CD与平面ACM 所成的角为，在中，求的余弦值. 【详解】如图，过点D 作于点N， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又四边形ABCD为矩形，，，平面AMD， 所以平面AMD，因为平面AMD，所以， 在中，，M为PD 的中点，所以且， 又，平面CDM，所以平面CDM， 因为平面ACM，所以平面平面， 因为平面平面，，平面， 所以平面，所以CD与平面ACM 所成的角为. 因为平面，平面，所以， 在中，. 故选：B. 题型05、等体积法求线面角 【例6】（23-24高二上上海阶段练习）如图，正方体的棱长是. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理即可证得结论成立； （2）设点到平面的距离为，计算出三棱锥的距离，以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离，再求出. 【详解】（1）证明：连接、，如下图所示： 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面，平面，平面， 平面，， 四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面，平面，平面， 平面，， 又因为，平面，平面， 平面. （2）设点到平面的距离为，， ， 易知，则是边长为的正三角形， 所以，， 所以，，解得， 因此，点到平面的距离为 因为， 所以平面所成角的正弦值为. 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）如图，在正方体中，E为的中点．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 【解析】设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h， 在中，， ， 所以，易得． 由，得，解得， 设直线与平面所成的角为，所以． 2.（23-24高二上上海阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，且到平面的距离为. 又，，故到上高为，所以. 设到平面的距离为， 由得：，解得， 故直线与平面所成角的正弦值为.故选：D 3.如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （1）证明：EF⊥DB； （2）求DF与面DBC所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】作交于，连接． ∵平面平面，而平面平面，平面， ∴平面，而平面，即有． ∵， ∴． 在中，， 即有，∴． 由棱台的定义可知，，所以，， 而， ∴平面，而平面，∴． （2）设H到平面DBC的距离为h， 设,则, 设直线与平面所成角为， 由已知得与平面所成角也为． 由，, 求得，所以． 考点三:求二面角 题型06、定义法求二面角 【例7】（24-25高一下·黑龙江·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-AC-B1的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题连接AB1，B1C，AC，取AC的中点O，连接B1O，BO，可得即为所求二面角，设出正方体棱长后，在Rt△B1OB中，表示出各边长即可求解. 【详解】 如图，连接AB1，B1C，AC，取AC的中点O，连接B1O，BO， 由AB＝BC，得BO⊥AC， 由AB1＝B1C，得B1O⊥AC， 故∠B1OB即为二面角B-AC-B1的平面角， 不妨设正方体的棱长为1，则在△ABC中，BO＝AC＝， 又B1B＝1，在Rt△B1OB中，tan ∠B1OB＝＝． 故选：B． 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小． 【答案】30° 【解析】因为AC⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD， 所以BD⊥AC. 又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C， 所以BD⊥平面 ACD. 因为AD⊂平面 ACD，所以AD⊥BD， 所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角． 在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°. 2．（23-24高一下·浙江温州·期末）如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥． (1)证明：平面ACD； (2)若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角的平面角为，可得，结合（1）分析可知锐二面角平面角为，运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，且，平面， 所以平面ACD. （2）过作，垂足为，连接，即， 因为平面ACD，平面ACD，则， 且，平面，则平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，且，可得， 由（1）可知：，则锐二面角平面角为， 且∥，可知， 可得， 所以锐二面角平面角的正弦值为. 3.（23-24高二上上海阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，. 求二面角的余弦值； 【解析】（1）连接，交于点，连接， 因为底面为菱形，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，所以为等边三角形， 取的中点，连接，则， 在中，作交于点， 所以为二面角的平面角， 在中，因为，所以， 所以， 在中，， 所以， 在中，， 由余弦定理得， 在中，由余弦定理， 所以二面角的余弦值为； 题型07、三垂线法求二面角 【例8】（22-23高一下·贵州贵阳·月考）如图，正三棱柱的棱长都相等，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接， 因为为等边三角形，则， 又因为平面，平面， 则， 可知，可得，则， 所以二面角的平面角为， 设，则， 所以.故选：B. 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的正切值。 【答案】2 【解析】如图，PA⊥平面BD，过A作AH⊥BC于H，连结PH，则PH⊥BC 又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角。 在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=； 在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=， 2.在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A­BD­P的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A 【解析】作AO⊥BD交BD于点O，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD. ∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO， ∴PO⊥BD，∴∠AOP即为所求二面角A­BD­P的大小． ∵AO＝＝， ∴tan∠AOP＝＝，故二面角A­BD­P的大小为30°. 3.（22-23高一下·福建莆田·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ． 【答案】 【解析】过作，垂足为，过作，垂足为，连接. 平面平面，平面平面， 又，平面， 根据面面垂直的性质定理可得，平面， 又平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故，于是二面角的平面角为， 根据题目数据，在中，，， 则，则. 4.（22-23高一下·湖南株洲·月考）已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 过作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面 ， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角三角形中，因为， 所以,， 在直角三角形中，. 题型08、垂面法求二面角 【例9】（23-24高二上·上海·期中）已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为 . 【答案】或 【解析】设点是二面角内的一点，过P分别作直线的平行线， 且垂直于于，垂直于于， 设平面交直线于点，连接，， 由于，，，， 故，，又，平面， 故平面，又，平面，故，， 所以为二面角的平面角， 因为直线所成角的大小为，所以或， 当时，如图 因为，所以； 当时，如图 因为，所以; 综上，二面角的大小为或 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，垂直平分且分别交于点，又，求二面角的大小． 【答案】60° 【解析】因为且是的中点，所以是等腰底边的中线，可得， 又因为，且平面， 所以平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，所以是所求二面角的平面角， 因为底面，且底面，所以， 设，则， 因为，可得，所以, 又由，所以，即所求的二面角等于． 2．（23-24高二上上海阶段练习）斜三棱柱中，所有棱长都为2，，平面平面. (1)若为中点，E点在线段上，且，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）构造线线平行，判断线面平行. （2）利用射影三角形的面积求二面角的三角函数. 【详解】（1）如图： 连接，交于点，再连接. 因为，所以，所以，又， 所以，平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接、. 因为四边形是边长为2的菱形，且，所以为等边三角形. 所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在中：，所以. 在中：，，所以. 又. 设二面角为. 则. 所以. 即二面角的正弦为. 题型09、射影面积法求二面角 【例10】（23-24高二上上海阶段练习）如图，已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥面AC，SB=. 求面ASD与面BSC所成的二面角的大小。 【答案】 【解析】SD⊥面AC，面AC，. 又四边形ABCD是正方形，. 而，CD⊥面ASD. 又AB∥CD，BA⊥面ASD. △SBC在面SAD的射影是△SAD， 设它们的面积分别为S和，所成的二面角为 . 故. 所以面ASD与面BSC所成的二面角的大小为. 【例11】（23-24高二上上海阶段练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【解析】过 A作的延长线于E， 连结 DE， ∵平面平面，平面平面， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面内的射影， ∴ 为在平面内的射影， 设，则， ∴由余弦定理可得，∴， ∴ ， 又，∴ ， 设二面角为，∴ . 而二面角与互补， ∴二面角 的余弦值为. 【跟踪训练】 1.（23-24高一下·全国·单元测试）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD， ∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD， ∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD； （2）(法一)由题意，△PBD在面PAD上的射影为△PAD． 设AD＝a，则S△PAD， △PBD中，PD＝a，BDa，PBa， ∴S△PBD， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为． （法二）如图所示：取中点，连接. 设AD＝a，则， 所以, 所以是平面PAD与平面PDB所成的二面角的平面角， 在中，, 所以. 2.（23-24高二上上海阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 【答案】（1）体积，圆柱的侧面积；（2） 【解析】（1）因为圆柱的底面直径，母线长， 所以，圆柱的体积为，圆柱的侧面积为. （2）因为是圆柱的底面直径，所以， 因为是圆柱的母线，所以平面， 在中，，，所以， ∴， 由勾股定理得， 在中，∴， 则， 设二面角为，则由射影面积法可得 所以， 因此，二面角的正弦值为. 题型10、补棱法求二面角 【例12】（22-23高三上·贵州·月考）已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，侧面与平面所成的二面角的正切值等于 ． 【答案】 【解析】如图，设，连接， 则平面平面 过作，垂足为，连接 ∵平面，平面，则 ，平面 ∴平面，则 所以平面与平面所成的二面角的平面角为 因为，，所以，则 设正方体的棱长为a，则，， 在中，则 【跟踪训练】 1.（23-24高二上上海阶段练习）如图，在正方体中，分别为、的中点，则平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为 ． 【答案】 【解析】设棱长为1，延长、、交于一点， 所以，，，则，故． 同理，则即为所求二角的平面角，而， 所以，其正弦值为． 2.如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点． (1)证明：直线平面； (2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接、、， 在正方体中，且， 、分别为、的中点，则且， 故四边形为平行四边形，则且， 又因为且，则且， 故四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面， 因为且，故四边形为平行四边形，则， 、分别为、的中点，则，则， 平面，平面，平面， ，、平面，所以，平面平面， 平面，平面. （2）延长、交与点，连接，则直线即为直线， 因为且，为的中点，则， 故点为的中点，为的中点， 在中，，，， 由余弦定理可得，则， ，则， 过点在平面内作直线，垂足为点，连接， ，所以，， 平面，平面，， ，，、平面，平面， 平面，，故二面角的平面角为， 且，故点到直线的距离为， ，因此，二面角的平面角的余弦值为. 一、填空题 1.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝ . 【答案】5 【分析】取AD的中点P，连接PM、PN，∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，解△MPN即可. 【详解】取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3， ∴MN＝5. 故答案为：5. 2.（2024·上海·复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______． 【答案】 【分析】取的中点，分别连接，把异面直线与所成的角即为直线与所成的角，在中，根据，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为、分别为与的中点， 可得，且， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 在中，因为，所以， 所以，即直线与所成的角为， 所以异面直线与所成的角. 故答案为：. 3.（2024上海市徐汇中学高二期中）如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小为________. 【答案】 【分析】连接AC，取AC的中点G，连接MG，NG，根据分别是的中点，得到，则是异面直线与所成的角，然后利用余弦定理求解. 【详解】 如图所示： 连接AC，取AC的中点G，连接MG，NG， 又因为分别是的中点， 所以， 所以是异面直线与所成的角， 因为， 所以， 则， 因为， 所以， 故答案为： 4．（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）在三棱锥中，平面，则与所成的角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义，将与所成的角转化为平面交，根据余弦定理，即可求解. 【详解】过点作，且，连接，四边形是平行四边形， 所以与所成的角为或其补角， 因为平面，平面，所以，， 又，且，所以，， 又，所以， 则，又，， ，所以, 中， 故答案为： 5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________. 【答案】 【解析】连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角. 因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2， 又AA1＝1，所以AC1＝3， 所以sin∠AC1A1＝＝. 6.（22-23高二上·辽宁葫芦岛·月考）在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，，则平面PAB与平面ABCD的夹角为 【答案】 【解析】分别取的中点，连接， 因为侧面PAB是等边三角形，，四边形ABCD是边长为2的正方形， 所以， ， 又，平面平面, 所以是平面PAB与平面ABCD的平面角， 又， 所以，所以， 所以平面PAB与平面ABCD的夹角为 7.（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如下图所示： 当与重合时，可得：； ②当异于时，延长交于点，连接， 则为平面与平面的交线， 由平面，平面，可得： 过作于点，连接，可得：平面，可得： 故为平面与平面所成的角，即 设，可得：，， 可得： 当且仅当，即为的中点时取等号. 综上，的最小值为 8.（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在边长为2的正方体中，为棱的中点，则二面角的正切值是 . 【答案】 【解析】作于，可得， 连接， 因为平面，所以，平面，平面， 又因为，所以平面， 因为平面，所以， 就是二面角的平面角， . 9.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱， ，则二面角的大小为___________. 【答案】. 【解析】由题意，四棱锥中，底面是边长为的正方形，， 所以，所以，所以， 同理， 因为，所以平面，则， 又，且，所以平面，则， 所以为二面角的平面角， 在中，，所以， 所以二面角的大小为. 10.（23-24高一下·全国·专题练习）已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为 ． 【答案】 【解析】设平面交直线于点，连接，，由于，，，， 故，，又，平面， 故平面，又，平面，故，， 所以为二面角的平面角， 由于，，，，故，， 故在四边形中，与互补， 又，， 在中由余弦定理， 即，解得， 又，所以， 故，则二面角的大小为． 二、选择题 11．（24-25高一下·浙江·期中）在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，连接，，，利用正方体的性质得，则或其补角即为所求的异面直线与所成角，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】如图：    取中点，连接，，，， 由正方体可知，，所以四边形为平行四边形，所以， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 即或其补角即为所求，设，则，， 由正方体可知，平面，平面， 即，则， 在中，由余弦定理， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 12.如图，在直三棱柱中，， ， ，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D.  【答案】C 【解答】如图，连接， ∵，∴异面直线与所成角的平面角为. ∵，，， ∴，，， ∴在中，. 又∵，∴， ∴异面直线与所成角的大小为.故选. 13.（23-24高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    14．（24-25高一上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，进而可求出结果. 【详解】 连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点， 所以， 因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为. 故选：B 15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都是1，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正三棱柱上方放一个与它相同正三棱柱，如图， 取中点，连接，则与平行且相等， 因此是平行四边形，， 所以是异面直线与所成角或其补角． 中，，，， 因为，所以． 16.已知正方体的体积为，点在正方形上，且到的距离分别为，则直线 与平面所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】易知；连接，在直角中，可计算； 又，所以点是的中点； 连接与交于点，易证平面， 直线在平面内的射影是， 所以就是直线与平面所成的角， 在直角中， . 17.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥为阳马,侧棱底面,,为棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为平面,平面,故可得, 又,,平面, 故可得平面.连接. 故即为直线与平面所成角.不妨设, 故在直角三角形中,,, 故可得.则. 则直线与平面所成角的正弦值为. 18.已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接， 因为平面， 平面，所以， 因为， ，故平面， 因为平面，故， 所以为的平面角， 在直角三角形中， ，，故， 故，故选B. 19．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠前后的不变量，再用定义法找出二面角的平面角即可求解. 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，，    因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以， 故选：B 三、解答题 20.直三棱柱中，为正方形，，，为棱上任意一点，点、分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）当点为中点时，求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）在直三棱柱中，为棱上任意一点，连接AM，如图， 因点、分别为，的中点，则， 而平面，平面， 所以平面. （2）直三棱柱中，令，则， 而，点为中点， 则有，，，， 又平面，平面，则， 而，平面， 有平面，平面， 于是得， 又点为中点，即， ∴，， 令点到平面的距离为h， 由得：， 即，解得， 因平面经过线段的中点M， 则点到平面的距离等于点到平面的距离h， 即，而， 令直线和平面所成角为， 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 21.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成线面角的正弦值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据，再根据棱锥的体积计算公式，求解即可； （2）根据（1）中所求棱锥的体积，求得点到平面的距离，结合的长度，利用公式，直接求解即可. 【详解】（1）面面，故，故， 又在直角梯形中，，； 又为中点，故 . （2）因为//，故，又面面，故， 又面， 故面面，则，则△为直角三角形； 易知， 故， 设点到面的距离为， 由（1）可得，解得； 因为分别为的中点，故//， 则面，又面，则， 故△为直角三角形，则， 设直线与平面所成角为，则. 22．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱中，点是的中点，底面的边长为2，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，即可证，利用线面平行的判断定理即可证明； （2）先证平面，再由计算即可； （3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，利用等体积法求出，最后计算即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是矩形，所以为的中点，又是的中点， 又，又平面，平面， 所以平面. （2）由于，又是的中点，所以， 在正三棱柱中，平面，平面，所以， 又平面平面， 所以平面，所以是三棱锥的高，又，所以， （3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 由（2）有平面，又平面，所以， 因为，，所以， 又，即，解得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 23.如图，，，，，是线段上一点， ，店在线段上，且. （1）求证：平面 （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：∵， ∴是以为直角的直角三角形， 同理可证∴是以为直角的直角三角形, ∴是以为直角的直角三角形 故平面， 又∵， 而， 故，又已知 ∴平面 （2）由（1）知，平面， ∴是在平面上的射影，故 在平面内，过作垂直交于， 则平面， ∴是在平面上的射影， ∴， 故是二面角的平面角 二面角的正切值为. 24.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面，若，，，求二面角的余弦值. 【答案】 【解析】连接，∵平面 ∴为的射影， 设二面角的平面角为 ∵侧面为菱形，且， ∴， 又∵的中点为， ∴， ∵，∴， ∴. 在中，由余弦定理可得，∴， ∴ ∴. 25.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.求二面角P-BC-A的平面角的大小. 【答案】 【解析】设二面角P-BC-A的平面角为， ∵PA⊥AB，PA⊥AC，且AB、AC⊂平面ABC， ∴PA⊥平面ABC ∴为的射影，PA⊥BC， ∵BC⊥AB且PA、AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， ∵PA=AB=BC=2， ∴， ∴，， ∴，所以二面角P-BC-A的平面角的大小为. 26.如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且． (1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角大小的余弦值． 【解析】（1），理由如下： 由分别是的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面平面，平面， 所以. （2）令，连接，由是菱形，，得都是正三角形， 则，，而平面， 于是平面，又平面，则平面平面， 在平面内过作于，由平面平面， 因此平面，连接，则是直线与平面所成的角， 在正中，，， ，则， 于是，， 所以直线与平面所成角的正弦值是. （3）在中，， 即，显然，则有，同理， 取的中点，连接，则，有， 因此是二面角的平面角，而， 则， 所以二面角大小的余弦值是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $