重难点04：线线角、线面角、二面角的10种求法讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高二数学空间角核心知识点，系统梳理线线角（含平行四边形、中位线、补形三种平移法）、线面角（垂线法、等体积法）、面面角（定义法、三垂线法等四种方法）的定义与求解步骤，构建从线线到线面再到面面的完整学习支架。 资料按10种方法分题型设计，如用平行四边形平移法解正方体线线角，等体积法求线面角，射影面积法解无棱二面角，培养学生数学眼光（空间观念）与数学思维（推理运算），课中助教师分层教学，课后供学生针对性练习查漏补缺。

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题04 线线角 线面角 面面角的10种方法 知识点一、线线角的定义与求解 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 知识点二、线面角的定义与求解 1、直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 知识点03 二面角 1、二面角的定义 （1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 （3）二面角的大小范围：[0°，180°] 2、求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 3、确定二面角的平面角的方法： 法一：定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 （1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 法二：三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 （1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 法三：垂面法（空间一点垂面法） （1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 法四：射影面积法求二面角 （1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 考点一、异面直线所成的角 题型一：利用平行四边形平移求线线角 1．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2. 在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3.在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4.在正三棱柱中，，，分别是中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 题型二：利用中位线平移求线线角 5.在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6. 如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 7.三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 8.如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 9.上海大剧院的建筑顶部采用两边反翘的白色弧形设计，寓意“天圆地方”，其可抽象为一个上、下底面均为扇环形的柱体．现有一扇环形柱体如图，底面，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 11.如图所示圆锥中，为底面的直径，，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为． （1）求圆锥的侧面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 题型三：补形法求线线角 12.在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 13.正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 14.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 考点二、直线与平面所成的角 题型四：用垂线法求线面角 15.如图，等腰梯形是圆台的轴截面，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 16.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （1）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 17. 已知在正三棱柱中，，点、分别为棱、的中点． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求四面体的体积． 18. 如图，在四棱锥，底面，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 题型五：利用等体积法求线面角 19.如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 20.三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 21. 正方体的棱长为，是线段上的动点. (1)求证：平面平面； (2)与平面所成的角的余弦值为，求的长． 22. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. (1)求证:平面MCD; (2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 考点三、二面角 题型六：利用定义法求二面角 23.如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 24.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点． (1)求证：平面平面；(2)求二面角的正切值． 25.三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为平面，，D为中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值． 题型七：利用三垂线法求二面角 26.如图，正三棱柱的棱长都相等，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 27.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ． 28.如图，在长方体中，，． （1）求二面角的正切值； （2）设三棱锥的体积为，是否存在体积为为正整数），且十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内角的大小；若不存在，请说明理由． 28. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，分别为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 题型八：利用垂面法求二面角 29.如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H． （1）求证：AB⊥平面PCD； （2）若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小． 30.已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为_________. 31. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.    (1)求点C到平面的距离. (2)求二面角的余弦值. 题型九：射影面积法求二面角 32. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小． 33. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． (1)证明：AB⊥平面PAD； (2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 34.如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 题型十：线面角、二面角中的探索性问题 35.如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 36.如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 37.如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题04 线线角 线面角 面面角的10种方法 知识点一、线线角的定义与求解 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 知识点二、线面角的定义与求解 1、直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 知识点03 二面角 1、二面角的定义 （1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 （3）二面角的大小范围：[0°，180°] 2、求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 3、确定二面角的平面角的方法： 法一：定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 （1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 法二：三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 （1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 法三：垂面法（空间一点垂面法） （1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 法四：射影面积法求二面角 （1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 考点一、异面直线所成的角 题型一：利用平行四边形平移求线线角 1．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做出平行线，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】 如图所示，不妨设正方体的棱长为1. 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 在中，， 所以为等边三角形，则， 因此，异面直线与所成的角为. 故选：C. 2. 在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，连接，，，利用正方体的性质得，则或其补角即为所求的异面直线与所成角，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】如图：    取中点，连接，，，， 由正方体可知，，所以四边形为平行四边形，所以， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 即或其补角即为所求，设，则，， 由正方体可知，平面，平面， 即，则， 在中，由余弦定理， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 3.在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 4.在正三棱柱中，，，分别是中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，取的中点，的中点，的中点, 易知,, 所以异面直线与所成角为或其补角. 由正三棱柱的几何特征可得,，. , , ，， , 在中，由余弦定理可得, 所以直线与所成角的余弦值为. 故选:A. 题型二：利用中位线平移求线线角 5.在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设棱长为1，取中点为， 由为的中位线知，， 所以是异面直线，所成角的平面角， 在中，，， . 6. 如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 故选：C． 7.三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 8.如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助等角定理与余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 9.上海大剧院的建筑顶部采用两边反翘的白色弧形设计，寓意“天圆地方”，其可抽象为一个上、下底面均为扇环形的柱体．现有一扇环形柱体如图，底面，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，, 底面，，所以底面，， 由底面扇环所对的圆心角为，所以， 的长度是长度的2倍，所以，因为，所以, 同理，，所以，所以， 则即为直线与所成的角， 因为底面，所以， 在中，根据余弦定理， 所以，因为，所以， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 10. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接，与交于点， 则为中点，又为中点，， 又平面，平面， 平面． （2）取中点，连接，、是、的中点，， 就是异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，， 则， ， 所以直线与夹角的正弦值为. 11.如图所示圆锥中，为底面的直径，，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为． （1）求圆锥的侧面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】（1）根据已知条件求出圆锥的底面半径和母线长，然后根据圆锥的侧面积公式求解即可； （2）连接，，可得为异面直线与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求解即可． 【解答】解：（1）设圆锥底面半径为，母线长为，因为为直径，是的中位线， 所以，， 所以侧面积； （2）连接，，由，分别为，的中点，得， 所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，取中点为，连接，，则， ，所以， 在中，， 所以异面直线与所成角的大小为． 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，是中档题． 题型三：补形法求线线角 12.在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】如图，在正四棱柱下方补一个完全相同的正四棱柱， 连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 则，所以或其补角为异面直线与所成的角， 在中，. 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 13.正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】在正方体右侧作出一个全等的正方体， 连接，如图， 易知，所以四边形是平行四边形，则， 所以是与所成角的平面角或补角， 不妨设正方体的棱长为， 则在正方体中，， 在中，， 在中，， 所以在中，， 所以与所成角的余弦值为. 14.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】取中点，连接，延长至点，使得，连接， 则， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为,，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以是异面直线与夹角或其补角， 设正方体棱长为1，则， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与夹角的余弦值为.故选：D 考点二、直线与平面所成的角 题型四：用垂线法求线面角 15.如图，等腰梯形是圆台的轴截面，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，过点作交于点，如下图： 因为几何体为圆台，所以平面，所以， 又因为，所以为等腰直角三角形， 因为为中点，所以， 又因为，所以平面， 所以直线与平面所成的角为， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，故选：B. 16.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （1）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 【解析】方法一：（1）由得， 所以. 故. 由，得， 由得， 由，得，所以，故. 因此平面. （2）如图，过点作，交直线于点，连结. 由平面得平面平面， 由得平面， 所以是与平面所成的角. 由得， 所以， 故. 因此，直线与平面所成的角的正弦值是. 17. 已知在正三棱柱中，，点、分别为棱、的中点． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求四面体的体积． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角 【分析】（1）由题意可得平面，从而得即为直线与平面所成的角，再解三角形即可得解； （2）由（1）知是四面体的底面上的高，接着计算的面积及长度，再由三棱锥的体积公式计算即可得解． 【解答】解：（1）由题意可得， 又，，且，平面， 平面， 为直线与平面所成的角， ，， ， 直线与平面所成角的大小为． （2）由已知得． 由（1）知是四面体的底面上的高， 四面体的体积． 【点评】本题主要考查线面角的计算，锥体体积的计算，属基础题． 18. 如图，在四棱锥，底面，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）在中，，，，则，，所以 在中，， 故，所以为直角三角形，故， 又因为底面，底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又平面，故平面平面. （2）如图：作于， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，故为与平面所成的角， 中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 题型五：利用等体积法求线面角 19.如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，； 平面，平面，，， 又，， ，， ， ，， 设点到平面的距离为，与平面的夹角为， ，解得：， ， 又，，即直线与平面的夹角为.故选：C. 20.三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点，连接， ， ≌，，， ，是边长为的正三角形， ， 面，面， 作于， 面， 面，面， 在中由余弦定理得， ， ， ，， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A. 21. 正方体的棱长为，是线段上的动点. (1)求证：平面平面； (2)与平面所成的角的余弦值为，求的长． 【解析】（1）因为平面，且平面，可得， 四边形为正方形，则， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）设在平面上的射影点为，连接， 可知是以边长为的等边三角形，则， 因为，即，解得， 设与平面所成的角的大小为，因为，则， 则，可得， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 22. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. (1)求证:平面MCD; (2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 【解析】（1）取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为为PB的中点， 所以，又，所以，故S，M，C，D四点共面， 由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故， 又平面平面MCD，因此平面MCD； （2）连接AC，BD交于点，则为平行四边形ABCD的中心， 又， 则等腰中，根据三线合一，有， 又，平面， 故平面， 设， 则， ， ， 相加并整理得，① 在Rt，Rt中，有， 即，（2），，③ 解方程组①②③得，， 故， 于是， 在中，是PC中点， 故， 于是， 设点A到平面PBC的距离为，由，得， 故， 故所求线面角的正弦值. 考点三、二面角 题型六：利用定义法求二面角 23.如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【解析】取BD的中点O，连接A1O，C1O，A1C1，如图所示： 因为长方体中， 所以，即 ， 所以，，且. 所以为二面角的平面角， 24.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证明出平面平面； （2）先根据条件做出二面角的平面角，假设边长后利用即可求出结果. 【详解】（1）证明：由条件有， 且平面，， 平面，又平面，； 又，是的中点，； 又平面，， 平面，平面，． 由已知，且平面，， 平面．又平面， 平面平面． （2）取中点，则，作于，连结． 底面，底面． 为在平面内的射影， ，， 为二面角的平面角． 设， 在中，，， ； 二面角的正切值为． . 25.三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为平面，，D为中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由平面，证得，再由，得出，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面； （2）作，连接，证得 平面，得到，再由平面，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解. 【详解】（1）证明：由平面，平面，所以， 在直角中，，且是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：如图所示，作交于点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为且，平面，所以 平面， 因为平面，故， 又由，，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由，可得， 又由，可得, 在直角中，，即二面角正切为. 题型七：利用三垂线法求二面角 26.如图，正三棱柱的棱长都相等，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接， 因为为等边三角形，则， 又因为平面，平面， 则， 可知，可得，则， 所以二面角的平面角为， 设，则， 所以.故选：B. 27.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ． 【答案】 【解析】过作，垂足为，过作，垂足为，连接. 平面平面，平面平面， 又，平面， 根据面面垂直的性质定理可得，平面， 又平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故，于是二面角的平面角为， 根据题目数据，在中，，， 则，则. 28.如图，在长方体中，，． （1）求二面角的正切值； （2）设三棱锥的体积为，是否存在体积为为正整数），且十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内角的大小；若不存在，请说明理由． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法 【分析】（1）过作交于，连接由线面垂直的性质定理可得，再由等面积法可得的长，则二面角的正切值，即可得出答案． （2）由等体积法可得，由十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，则每条棱的长度为2，设菱形的一个角为，则底面积为，则直四棱柱的体积为，进而可得答案． 【解答】解：（1）过作交于，连接， 为正方体，则平面， 又在底面的投影为， ，且， 则二面角的正切值． （2）三棱锥的体积为， 因为十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，则每条棱的长度为2， 设菱形的一个角为，则底面积为， 则直四棱柱的体积为，即， 为正整数， 不妨取，则，即， 则存在体积为为正整数），且十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，且菱形的内角为． 【点评】本题考查二面角，几何体的体积，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 28. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，分别为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）因为， 所以， 又，所以，所以， 又、平面，所以平面， 又平面，所以 因为是等边三角形，是的中点，所以， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为平面平面，所以平面平面， 在中，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 连接，如图所示， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角， 在中，， 又平面平面，所以， 在中，， 又， 所以，解得， 因为平面平面，所以，又， 在中，， 所以，即二面角的平面角的余弦值为. 题型八：利用垂面法求二面角 29.如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H． （1）求证：AB⊥平面PCD； （2）若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）120° 【解析】（1）证明：因为，，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB． 又，故AB⊥平面PCD． （2）∵P，C，D，H四点共面， 所以由（1）可得AB⊥平面CDH，AB⊥DH，AB⊥CH， ∴∠CHD是二面角的平面角； ∴在四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝90°， 又根据已知条件∠CPD＝60°； ∴∠CHD＝120°； 即二面角的大小是120°． 30.已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为_________. 【答案】或 【解析】设点是二面角内的一点，过P分别作直线的平行线，且垂直于于，垂直于于，设平面交直线于点，连接，，由于，，，， 故，，又，平面， 故平面，又，平面，故，， 所以为二面角的平面角， 因为直线所成角的大小为，所以或， 当时，如图 因为，所以； 当时， 如图 因为，所以; 综上，二面角的大小为或 故答案为：或 31. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.    (1)求点C到平面的距离. (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）由题设，面面，面，面面， 所以面，面，故，即， 所以，而，， 中上的高，故， 令点C到平面的距离为，又，且，到面的距离为正三角形的高， 所以，可得，故点C到平面的距离为. （2）由，面面，面，面面， 所以面，面，故，则， 又，故为等腰三角形，则上的高为， 令到的距离为，则， 由（1）知：点C到平面的距离为， 若锐二面角为，则，故， 所以二面角的余弦值为. 题型九：射影面积法求二面角 32. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小． 【解析】因为平面平面， 所以， 又，且，平面， 所以平面， 同理平面， 所以在平面上的射影为． 设平面与平面所成二面角为，所以，所以． 故平面与平面所成二面角的大小为． 33. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． (1)证明：AB⊥平面PAD； (2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【解析】（1）证明：∵底面ABCD是正方形， ∴AB⊥AD， ∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD， ∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD； （2）(法一)由题意，△PBD在面PAD上的射影为△PAD． 设AD＝a，则S△PAD， △PBD中，PD＝a，BDa，PBa， ∴S△PBD， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为． （法二）如图所示：取中点，连接. 设AD＝a，则， 所以, 所以是平面PAD与平面PDB所成的二面角的平面角， 在中，, 所以. 34.如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【解析】过 A作的延长线于E， 连结 DE， ∵平面平面，平面平面， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面内的射影， ∴ 为在平面内的射影， 设，则， ∴由余弦定理可得，∴， ∴ ， 又，∴ ， 设二面角为，∴ . 而二面角与互补， ∴二面角 的余弦值为. 题型十：线面角、二面角中的探索性问题 35.如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 36.如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可知平面，即可得，由题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）做辅助线，分析可知，由垂直关系可得，设，利用等体积法运算求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中，， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则，， 可得，， 由得，， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 37.如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的长为或 【分析】（1）由勾股定理逆定理求得，再借助三角形的中位线性质证得，，从而得到平面，进而得证； （2）先求出，再算出，根据等体积法，，从而得到点到平面的距离； （3）与平面所成的角为，设，在中，用余弦定理表示出，再在中，表示，，列方程求解即可. 【详解】（1）在中，，，所以， 所以，又点，分别为边，的中点， 所以，，，所以，， 所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） 因为，，所以二面角的平面角为， 所以，又，所以是等边三角形， 取的中点，连接，如图所示，所以，，， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面，因为，平面，平面， 所以平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 在中，，，， 所以， 设点到平面的距离为，又，所以， 解得，即点到平面的距离为． （3）由（2）知平面，所以与平面所成的角为． 在中，，，，设， 由余弦定理得． 因为平面，又平面，所以， 所以， 即，所以， 整理得，解得或， 故在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为， 的长为或． 【点睛】方法点睛：翻折问题的解题策略是确定翻折前后“变”与“不变”的关系，一般地，位于“折痕”同侧的线面之间的位置关系和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的线面之间的位置关系和数量关系可能会发生变化.对于不变的关系，可以在平面图形中处理，对于变化的关系，则要在立体图形中处理. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $