第14讲 统计单元复习+小测（核心知识+6易错辨析+9典例精讲）-2026-2027学年高二上学期数学重难点复习讲义（沪教版必修第三册）

本讲义聚焦高中数学统计单元核心知识，系统梳理总体与样本、三大抽样方法（简单随机抽样、分层抽样、系统抽样）、统计图表（频率分布直方图、茎叶图等）、统计估计（平均数、方差、百分位数）及统计活动完整流程，构建从数据获取到分析推断的学习支架。 资料以“核心知识+易错辨析+典例精讲”为框架，6个易错点强化概念理解（如区分总体与样本），9类题型结合沪考真题（如分层抽样比例计算、直方图面积意义），培养学生用数学眼光观察数据特征、用数学思维推理统计规律、用数学语言表达分析结果的核心素养。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过变式练习与小测查漏补缺，提升统计应用能力。

第14讲 统计单元复习+小测 （核心知识+6易错辨析+9典例精讲） 【题型一】总体与样本 【题型六】茎叶图 【题型二】简单随机抽样的特征及适用条件 【题型七】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【题型三】随机数表法 【题型八】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【题型四】分层随机抽样 【题型九】总体百分位数的估计 【题型五】系统抽样 【知识点01】总体与样本、数据的获取 1. 统计核心概念 总体：研究对象的全体集合；个体：总体中的每一个研究对象； 样本：从总体中抽取的一部分个体组成的集合；样本容量：样本中个体的数量（无单位）。 统计核心思想：用样本估计总体，通过样本数据的特征推断总体的整体特征。 2. 数据的获取方式 ① 普查：对总体中所有个体进行调查，数据精准，但耗时耗力、成本高； ② 抽样调查：从总体中抽取部分样本调查，高效低成本，是统计研究的主要方式； 适用场景：破坏性检测、总体数量庞大、普查无法实施的统计问题。 【知识点02】三大抽样方法 1. 简单随机抽样 定义：从总体个个体中逐个不放回抽取个个体，每个个体被抽取的概率相等。 特点：不放回、等概率、随机、总体无明显分层差异；常用方法：抽签法、随机数表法。 抽样概率：每个个体被抽到的概率 2. 分层随机抽样 适用条件：总体由差异明显的几部分（层）组成。 核心原则：按比例分层抽取，保持每层抽样比例一致。 核心公式：设总体分为层，第层个体数为，总体容量，样本容量，则第层抽取个数： 3. 系统抽样 适用条件：总体数量大、个体分布均匀。 抽样步骤：编号→分段→首段随机抽取→等距抽取其余样本。 分段间隔公式：（向下取整） 【知识点03】统计图表 1. 频数分布表 将原始数据分组，统计每组数据的频数（数据个数）、频率，整理成的表格，是绘制直方图的基础。 核心公式：，所有组频率之和为。 2. 频率分布直方图（核心重难点） 坐标轴含义：横轴为数据分组区间（组距），纵轴为。 核心结论： ① 单个小矩形面积 = 该组数据频率； ② 所有小矩形面积之和 = ； ③ 。 用途：直观展示连续型数据的整体分布疏密情况。 3. 茎叶图（沪考高频） 结构：中间为“茎”（高位数字），两侧为“叶”（低位数字），可保留原始数据、无需分组。 优点：数据无丢失、便于对比两组数据、可直观判断数据集中与离散程度； 适用场景：样本容量较小的两组数据对比分析。 4. 散点图 定义：将两个变量的对应数据以坐标点绘制在平面直角坐标系中得到的图形。 用途：直观判断两个变量是否具备相关关系（正相关、负相关、无相关），是相关性分析的基础。 【知识点04】统计估计 1. 估计总体的分布 用样本频数分布、频率分布直方图，近似刻画总体数据分布规律，反映数据集中与离散区间。 2. 样本平均数 设样本数据，则： 3. 样本方差（离散程度） 方差越小，数据越稳定；方差越大，数据波动越大。 4. 估计总体百分位数（必考新增） 定义：将一组数据从小到大排序，计算百分位位置，对应数值即为百分位数，用于刻画数据排位水平。 百分位数位置公式： 取值规则： ① 若为整数，百分位数为第项与第项数据的平均值； ② 若非整数，向上取整，对应位置数据即为百分位数。 常用百分位数：25%（下四分位数）、50%（中位数）、75%（上四分位数）、95%分位数。 【知识点05】统计活动完整流程 1. 确定统计研究问题与总体对象；2. 设计抽样方案、获取样本数据； 3. 整理数据、绘制统计图表；4. 计算数字特征、分析数据； 5. 用样本特征估计总体，得出统计结论、分析误差。 易错点1：总体、个体、样本概念混淆 统计研究的对象是数据指标，不是物体本身；样本容量是纯数字，无单位，极易书写扣分。 易错点2：三种抽样方法适用场景混淆 总体有明显差异分层→分层抽样；总体量大、分布均匀→系统抽样；总体量小、无差异→简单随机抽样，场景判断错误直接失分。 易错点3：分层抽样比例计算失误 未统一抽样比例，每层抽取个数不按计算，凭主观取值，导致样本不具备代表性。 易错点4：频率分布直方图概念误区 纵坐标是频率/组距，不是频率；小矩形高度不代表频率，面积才是频率，是考试最高频易错点。 易错点5：样本估计总体逻辑错误 不能说“样本特征等于总体特征”，只能说“用样本特征估计总体特征”，统计结论具有随机性、近似性。 易错点6：普查与抽样调查适用场景乱选 破坏性检测、大范围总体必须用抽样；精准人口、安检等必须用普查，场景判断需结合实际意义。 【题型一】总体与样本 【典例1-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（   ） A．总体 B．样本 C．总体容量 D．样本容量 【答案】B 【分析】根据样本的定义即可求解. 【详解】抽取的125名学生的体重是样本， 故选：B 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）在“世界读书日”前夕，为了了解某地10000名居民每周的阅读时间，从中抽取了500名居民每周的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，10000名居民每周的阅读时间的全体是（    ） A．总体； B．个体； C．总体的一个样本； D．样本容量． 【答案】A 【分析】根据题意，结合总体、个体、样本容量的定义可得结论. 【详解】根据题意，结合总体、个体、样本容量的定义可得，10000名居民每周的阅读时间的全体是总体. 故选：. 【变式1-2】某校高二年级有300人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为___________． 【答案】120 【分析】根据样本量的定义求解即可. 【详解】由已知总体中的元素的个数为300，抽取变量为，故样本量为， 故答案为：120. 【变式1-3】（24-25高二·上海·课堂例题）说明在以下问题中，总体、个体、样本、样本容量各指什么？ (1)有关部门要了解某个地区初中三年级学生的身高，以掌握这些学生的身体发育情况，从中随机抽查了200名学生进行测量； (2)为了了解一块玉米地里所有单株玉米产量情况，随机在这块玉米地里抽取了100株单株玉米． 【答案】(1) 某个地区初中三年级学生的身高的全体叫做总体，每个学生的身高叫做个体，从中随机抽查了200名学生的身高叫做样本，样本容量是200； (2) 这块玉米地所有单株玉米的产量的全体叫做总体，每株玉米的产量叫做个体，这块玉米地里随机抽取100株单株玉米产量叫做样本，样本容量为100. 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义即可得结果. 【详解】（1）略 （2）略 【题型二】简单随机抽样的特征及适用条件 【典例2-1】（25-26高二上·上海·期末）已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（    ） A．变小 B．变大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】由简单随机抽样的定义可知每个个体被抽取的概率相等. 【详解】一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体， 则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率为. 故选：C. 【变式2-1】下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由简单随机抽样的定义对各个抽取方式进行判断即可得到结论. 【详解】①一次性抽取与逐个不放回的抽取等价，是简单随机抽样，③不是等可能抽取，故不是简单随机抽样，②④是简单随机抽样. 故选：C. 【变式2-2】下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A．从无数张高考试卷中抽取10份作为样本 B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验 C．从整数集中逐个抽取10个分析是奇数还是偶数 D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道 【答案】D 【分析】根据简单随机抽样的特点（逐个抽取、不放回、总体容量有限、等可能）可直接解答. 【详解】A项，总体容量无限，故A项错误； B项，是有放回抽取，故B项错误； C项，总体容量无限，故C项错误； D项，符合简单随机抽样的特点，故D项正确； 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？判断并简要说明理由． (1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本； (2)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质检，抽样时，从中任意拿出一个零件进行质检后再放回箱子里； (3)箱子里共有100个零件，从中一次性抽取5个零件作为样本； (4)某班有40名学生，指定体重最重的5名学生参加某项公益活动. 【答案】(1)不是．总体个数是无限的，简单随机抽样总体的个数是有限的； (2)是．是有放回的简单随机抽样； (3)不是．这是一次性抽取，简单随机抽样是逐个抽取； (4)不是．每个个体被抽取的机会不是等可能的，简单随机抽样总体中每个个体被选入样本的可能性相同 【分析】根据简单随机抽样的定义即可判断. 【详解】（1）不是．总体个数是无限的，简单随机抽样总体的个数是有限的； （2）是．有放回的简单随机抽样； （3）不是．这是一次性抽取，简单随机抽样是逐个抽取； （4）不是．每个个体被抽取的机会不是等可能的，简单随机抽样总体中每个个体被选入样本的可能性相同 【题型三】随机数表法 【典例3-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行: 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （    ）. A．09 B．05 C．65 D．71 【答案】A 【分析】根据随机数表的读法，注意除去重复的，得到第5组符合要求的编码. 【详解】第一行第7列为3，依次往右读，37，14，05，11，09. 09为第5个样本编号， 故选：A 【变式3-1】（25-26高二上·上海·单元测试）用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．这些步骤的先后顺序应为（    ） A．①②③④ B．①③④② C．③②①④ D．④③①② 【答案】B 【分析】根据随机数表法进行抽样的定义分析判断. 【详解】根据随机数表法进行抽样步骤可知，第一步将总体中的个体编号 第二步选定开始的数字， 第三步选定读数的方向， 第四步获取样本号码， 所以先后顺序应为①③④②. 故选：B 【变式3-2】（25-26高二下·上海宝山·期中）某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【答案】176 【详解】第1行第7列的数字开始，依次抽取175，068，331，047，447，176， 故第6个被抽到的同学的编号为176 【变式3-3】（24-25高二下·上海·阶段检测）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第3个零件编号是______． 0647 4373 8686 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 【答案】26 【分析】按照随机数表抽样的规则，从指定位置开始逐次读取两位数字，筛选出到范围内不重复的编号，找到第三个有效编号即可。 【详解】首先明确有效编号范围为到。 读取规则为：从第一行第3列开始，从左到右依次读取两位数字，数值的编号舍去，重复出现的编号仅保留第一次读取的结果. 读取过程如下： 首次读取两位数字为47，大于39，舍去； 后续依次读取得到43、73、86、86、96、47，均大于39，全部舍去； 读取得到36，符合要求，为第1个有效编号； 后续依次读取得到61、46、98、63、71、62，均大于39，全部舍去； 读取得到33，符合要求，为第2个有效编号； 接下来读取得到26，符合要求，为第3个有效编号； 故所求第3个零件编号为26. 【题型四】分层随机抽样 【典例4-1】一个志愿者组织有成员45人，40岁以上的成员有25人，如果按照年龄进行分层随机抽样，要抽取一个容量为18的样本，则应抽取40岁以上成员的人数为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】计算分层抽样的抽取比例乘以样本容量可得答案. 【详解】因为分层抽样的抽取比例为，所以应抽取40岁以上成员的人数为． 故选：B 【变式4-1】在120个零件中，有一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是______． 【答案】 【分析】根据分层抽样是等可能抽样，即可求得答案. 【详解】分层抽样是等可能抽样，故在120个零件中，有一级品24个，二级品36个，三级品60个， 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是， 故答案为： 【变式4-2】（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为______ 【答案】12 【分析】确定男女运动员的比例，根据分层抽样中的比例，即可求得答案. 【详解】由题意可知田径队中男运动员有60人，女运动员48人， 即男女运动员比例为， 故用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本， 则抽取女运动员的人数为， 故答案为：12 【变式4-3】（24-25高二·上海·课堂例题）学校某年级有600名学生，为了解同学们对本年级开设拓展课的意见，欲从中抽取一个容量为50的样本，请选择适当的抽样方法，并设计出具体的操作步骤. 【答案】分层抽样，步骤见解析 【分析】根据分层抽样方法即可求解. 【详解】1.确定分层方法，假设该年级600名学生中有420名男生，180名女生； 2.确定各层样本容量，男生应该抽，女生应该抽人； 3.给男生、女生编号； 4.利用随机数表法抽取样本编号； 5.根据样本编号取出相应样本. 【题型五】系统抽样 【典例5-1】某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体400名学生中抽25名学生做牙齿健康检查，现将400名学生从1到400进行编号，求得间隔数，即每16人抽取一个人，在中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从这16个数中应取的数是（    ） A．40 B．39 C．38 D．37 【答案】B 【分析】根据系统抽样的定义即可求出． 【详解】解：第一个为7，依次为，， 故从这16个数中应取的数是39， 故选：． 【点睛】本题考查了系统抽样的问题，属于基础题． 【变式5-1】从名学生中选取名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率 A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 【答案】C 【分析】按系统抽样的概念知应选C，可分两步：一是从2018人中剔除18留下的概率是，第二步从2000人中选50人选中的概率是，两者相乘即得． 【详解】从2018人中剔除18人每一个留下的概率是，再从2000人中选50人被选中的概率是，∴每人入选的概率是． 故选C． 【点睛】本题考查随机抽样的事件与概率，在这种抽样机制中，每个个体都是无差别的个体，被抽取的概率都相等． 【变式5-2】为了解300名学生的视力情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为_________. 【答案】15 【分析】根据系统抽样的抽样距的概念，可得结果. 【详解】由题意知：分段间隔为， 故答案为：15. 【变式5-3】从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___ 【答案】76 【分析】确定系统抽样间隔，根据样本中含编号为28的产品，即可求解，得到答案． 【详解】由系统抽样知，抽样间隔， 因为样本中含编号为28的产品， 则与之相邻的产品编号为12和44， 故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76． 【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，确定好抽样的间隔是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 【题型六】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【典例6-1】某地区对当地3000户家庭的当年所得年收入情况调查统计，年收入(单位：万元)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，，，，则年收入不超过6万元的家庭有(    ) A．900户 B．600户 C．300户 D．150户 【答案】A 【分析】根据频率分布直方图求出和这两组的频率之和，用这个频率之和乘以样本总量3000即可的答案． 【详解】由图可知，和这两组的频率之和为(0.05＋0.1)×2＝0.3， 年收入不超过6万元的家庭有3000×0.3＝900户． 故选：A． 【变式6-1】（24-25高二·上海·课堂例题）为了了解期末英语的测试成绩，我们抽取了三班学生的英语成绩进行分析，各数据段的分布如图（分数取整数），由此估计这次测验的优秀率（不小于80分）为________． 【答案】/ 【分析】根据频率分布直方图即可计算出答案 【详解】由图可知，的频率为； 的频率为 所以不小于分的频率为 以频率估计概率，这次测验的优秀率为 故答案为：0.56 【变式6-2】（24-25高二上·上海·单元测试）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为________，数据落在内的概率约为________．    【答案】 64 0.4/ 【分析】由样本的频率分布直方图进行求解即可． 【详解】解：样本数据落在内的频数为：； 数据落在内的概率约为：， 故答案为：，. 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在，，的公司职员中抽取10人，则评分在内的职员应抽取多少人？ 【答案】(1) (2)5人 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1可得a的值； （2）利用频率分布直方图可确定抽样比，即可计算出相应人数. 【详解】（1）由， 解得. （2）由频率分布直方图可知， 评分在，，内的职员人数之比为， 所以评分在内的职员应抽取（人）. 【题型七】茎叶图 【典例7-1】某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以5为组距，将数据分组，则下列频率分布直方图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：根据题中数据分别计算各组的频数，频率及，观察各选项的频率分布直方图即可得解. 解法二：选项C，D中组距不符合要求，由茎叶图知落在区间与上的频数相等，故频率、也分别相等，比较选项A，B即可得解. 【详解】解法一：由题意知样本容量为20，组距为5，列表如下: 分组 频数 频率 1 0.01 1 0.01 4 0.04 2 0.02 4 0.04 3 0.03 3 0.03 2 0.02 合计 20 1 观察各选项的频率分布直方图知A正确. 解法二：选项C，D中组距不符合要求，由茎叶图知落在区间与上的频数相等，故频率、也分别相等，比较选项A，B知A正确. 故选：A. 【变式7-1】将某选手的得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余分数的平均分为91，现场作的分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则（    ） 茎叶图 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据剩余分数的平均分求得的值. 【详解】去掉99，去掉87，5个数的和为， 而，还差，∴. 故选：B 【变式7-2】如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知（    ） A．甲运动员的成绩好于乙运动员 B．乙运动员的成绩好于甲运动员 C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D．甲运动员的最低得分为0分 【答案】A 【分析】根据茎叶图的特点观察可得出结论. 【详解】根据茎叶图可知，甲运动员得分的叶集中在茎2，3，4上，乙运动员得分的叶主要集中在茎1，2，3上，所以甲运动员的成绩好于乙运动员，故A正确，BC错误； 甲运动员的最低得分为22分，故D错误. 故选：A. 【变式7-3】（24-25高二上·上海·单元测试）某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多________天． 甲 乙 3 2 60 3 4 7 8 6 4 2 61 1 2 5 9 8 7 3 3 0 62 1 2 4 4 6 7 5 4 3 2 1 63 3 5 6 7 9 8 7 4 64 2 4 6 【答案】72 【分析】根据给定的茎叶图，得到游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案. 【详解】由给定的茎叶图知，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中， 游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天， 所以在全年中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多天. 故答案为： 【题型八】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【典例8-1】（24-25高二·上海·课堂例题）某学校高三年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人．为了调查学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校高三全体学生中抽取一个容量为25的样本，则应抽取女生的人数为（    ） A．20； B．18； C．15； D．10． 【答案】D 【分析】先计算出每个个体被抽到的概率，用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数. 【详解】每个个体被抽到的概率等于 ，应抽取女生的人数为   (人)， 故选：D            【变式8-1】（24-25高二·上海·课堂例题）某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（    ） A．5、10、15 B．3、9、18 C．3、10、17 D．5、9、16 【答案】B 【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案. 【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的人数为， 故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18. 故选：B 【变式8-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 【答案】 【分析】根据分层随机抽样的比例即可得到答案. 【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和， 已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为， 因此，样本总量. 【变式8-3】某工厂生产了某产品16800件，它们来自A、B、C三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采取分层抽样的方法进行抽样，已知A和C两条生产线抽取的产品个数与B抽取的相等，求B生产线生产了多少件产品？ 【答案】5600 【分析】生产线抽取的数量占抽取总数的，即可得到生产线生产了产品总数的，即可得解. 【详解】解：依题意和两条生产线抽取的产品个数与抽取的相等， 即生产线抽取的数量占抽取总数的，则生产线生产了产品总数的，即（件）. 【题型九】总体百分位数的估计 【典例9-1】（24-25高二上·上海·单元测试）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居民，他们的幸福感指数分别为5、6、7、8、9、5，则这组数据的第80百分位数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用百分位数的概念求解即可，先将数据排序，再计算第80百分位数的位置进而求解. 【详解】将数据排序：5、5、6、7、8、9，则 所以这组数据的第80百分位数是第5个数据，为8. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高二下·上海嘉定·期中）现有一组数1、1、2、3、3、5、6、7、9、9，则该组数的第20百分位数为______． 【答案】1.5/ 【详解】将10个数据从小到大排列，1、1、2、3、3、5、6、7、9、9， ，由于2为整数，所以第百分位数为第个和第数的平均数， 因此第百分位数. 【变式9-2】（25-26高二下·上海·期中）已知班内7位同学的体重数据（单位：kg）由以下茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）所示，则这组数据的第70百分位数是__________. 【答案】58 【详解】根据茎叶图，将7位同学的体重从小到大排列为：， 共个数据，则索引， 根据高中百分位数的计算规则，向上取整为， 即第个数据为所求，因此这组数据的第百分位数是. 【变式9-3】（24-25高二上·上海青浦·期末）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生? (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中，n是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. 【答案】(1)1600 (2)8.25小时 【分析】根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案． 根据极差可得，再结合学生总数量为100，可求出，再根据求第百分位数的方法即可求得. 【详解】（1）设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. （2）因为抽取100名学生的样本极差为2，， 所以， 又因为， 所以样本的第40百分位数为：（小时）. 1. 统计核心逻辑 总体为研究整体，样本为局部抽样，全程遵循样本估计总体，统计结果为近似估计值，非精准定值。 2. 抽样方法解题口诀 差异分层用分层，量大均匀用系统，量小无差随机抽；分层抽样必按比例，是考试核心计算考点。 3. 统计图表核心要点 扇形看比例、折线看趋势、直方看频率分布；直方图牢记“面积为频率”，杜绝高度等于频率的低级错误。 4. 数字特征核心作用 平均数反映数据平均水平，方差反映数据稳定程度；方差越小越稳定，数据离散程度越低。 5. 统计活动完整流程 定对象→抽样本→整数据→绘图表→算特征→估总体，完整闭环解决统计应用题。 6. 应试避坑总结 分清统计概念、选对抽样方法、直方图看面积、方差公式不丢项、抽样计算按比例、结论表述用“估计”。 一、填空题 1．（25-26高三上·上海·期末）样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 【答案】 【分析】按照百分位数的定义易得. 【详解】因，故这组数据的75百分位数为按照从小到大顺序排列后的第8个数，即为7. 故答案为：7. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）要想准确知道全班同学的平均年龄，应进行________． 【答案】普查 【分析】根据已知条件，结合抽样调查、普查的定义，即可求解． 【详解】要想准确知道全班同学的平均年龄， 根据班上学生人数不多，需要的人力，物力，财力不多， 应采用普查的方式， 故答案为：普查． 3．某校有个班，每班有人，要求从每班随机选派5人观看“校十佳歌手赛”决赛．在这个问题中样本容量是______． 【答案】 【分析】样本容量是个班一共选派的总人数. 【详解】由题意可知在这个问题中样本容量是36×5=180． 故答案为： 4．某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生．如果按照年级进行分层抽样，要抽取一个容量为180的样本，那么应抽取高二年级的学生人数为________． 【答案】60 【分析】利用分层抽样比来计算即可. 【详解】应抽取的高二年级的学生人数为． 故答案为：60 5．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间（单位：分钟），所得数据都在区间内，其频率分布直方图如图所示，已知活动时间在内的频数为80，则n的值为________． 【答案】 【分析】根据直方图计算活动时间在内的频率，由该区间的频数，进而求出样本容量. 【详解】由直方图知：活动时间在内的频率为， 又活动时间在内的频数为80，故. 故答案为： 6．（24-25高二下·上海·期末）某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为42的样本，则应从高三年级抽取__________个学生． 【答案】18 【分析】根据分层抽样定义列式得结果. 【详解】根据题意，高三年级在总体中所占的比例为， 所以应从高三年级抽取人. 故答案为：18. 7．（25-26高三上·上海·阶段检测）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分）．现随机抽取了其中个数据，依次为，则这组数据的第百分位数是________． 【答案】/ 【分析】先求出第百分位数的位置，再根据位置确定对应的数值． 【详解】对于个数据，第百分位数的位置为，， 第百分位数的位置为：， 又该调查数据升序排列为：， 第3个数据是，第4个数据是， 第百分位数为：． 故答案为：． 8．（2025高二上·上海·专题练习）从总体容量为240的研究对象中挑选10个样本，利用随机数表法抽取样本时，先将所有研究对象按001，002，，240进行编号，然后从随机数表第4行第5个数开始向右读，则选出的第4个编号是_________．（注：下面为随机数表的第4，5行） 49042443 36160865 53317333 03570684 57173172 84357012 17355239 47454753 01644305 44017425 26545229 10694745 【答案】172 【分析】根据随机数表法求得正确答案. 【详解】依题意，抽取的前4个编号依次为：160，173，068，172， 所以选出的第4个编号是172. 故答案为：172 9．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为_______. 【答案】 【分析】直接根据频率计算人数即可. 【详解】根据频率分布直方图得 该校的学生成绩不低于60分的学生人数为. 故答案为： 10．（24-25高二下·上海嘉定·期末）某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据在7~12cm之间，其茎叶图如图所示（整数部分作为茎，小数部分作为叶），则该样本数据的第75百分位数是______． 【答案】10.2 【分析】根据茎叶图得出从小到大的数据，利用百分位数定义直接求解即可. 【详解】由题知，样本数据有， 共个，则， 则这组数据的第百分位数为. 故答案为： 11．（25-26高二上·上海黄浦·期末）某校高一年级共有500名学生，学校计划用随机数法抽取30名学生参加一项问卷调查.将500名学生按的顺序进行编号，用下列随机数表进行抽取，从第2行第4个数字开始，按从左到右、从上到下的顺序读取，依次选取符合条件的编号，第2个被选中学生的编号为____________. 【答案】498 【分析】根据随机数表的用法依次得到学生编号即可. 【详解】从第2行第4个数字开始，读取的数字编号依次为：692,350,498,221，… 其中692大于499，跳过. 所以第二个被选学生的编号为498. 故答案为：498 12．（25-26高二下·上海·期末）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______．    【答案】 【详解】因为，所以， 所以考核成绩在的频率为，成绩在的频率为，在的频率为， 因为样本容量为，所以考核成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为，在的学生人数为， 这组学生总人数为， 设在考核成绩在的学生中抽取人，由分层抽样的定义可知，抽样比为， 则，故应在考核成绩为的学生中抽取人. 二、单选题 13．采用简单随机抽样的方法，从含有3个个体的总体中抽取1个，某个个体被抽到的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由随机抽样的性质可知，每个个体被抽到的概率均等，从而得到所求的概率. 【详解】由随机抽样的性质可知，每个个体被抽到的概率均等，概率均为. 故选：B. 14．（24-25高二上·上海·课后作业）在以下调查中，适合用普查的是（    ） A．调查一个县各村的粮食播种面积 B．调查一批玉米种子的发芽率 C．调查一批炮弹的杀伤半径 D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 【答案】A 【分析】利用全面调查的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】普查，是一种全面调查，是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，普查的优点是可以直接获得总体的情况，普查的缺点是当总体数目较多时，其工作量较大，有时会受到客观条件限制，无法对所有个体进行调查，有时调查的对象具有破坏性，不允许进行普查. 对于A，调查一个县各村的粮食播种面积，调查数目适中，适合用普查； 对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合用普查； 对于C，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，且具有破坏性，不适合用普查； 对于D，调查一个水库所有鱼中草鱼所占比例，调查数目较多，且受客观条件限制，不适合用普查； 故选：A. 15． 2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批个）口罩的质量，决定抽查其中的．在这个问题中下列说法正确的个数是（    ） ①总体是指这1000个口罩；           ②个体是每个口罩； ③样本是按的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念判断. 【详解】总体是研究对象的全体.这里是“1000个口罩的质量”，而非“1000个口罩”，所以①错误； 个体是总体中的单个单位.即“每个口罩的质量”，而非“每个口罩”，所以②错误； 样本是从总体中抽取的部分个体，即“按2%比例抽取的20个口罩的质量”，而非“20个口罩”，所以③错误； 样本容量是样本中个体的数量，抽取了1000×2%=20，所以样本容量为20，④正确. 故选：A. 16．某单位有职工750人，其中青年职工250人，中年职工350人，老年职工150人，为了了解该单位职工的心理健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为7人，则样本容量为（   ） A．15 B．25 C．35 D．75 【答案】A 【分析】根据题意，设样本容量为，利用分层抽样的定义和运算方法，列出方程，即可求解. 【详解】由题意知，该单位中中年职工的人数为350人，且样本中中年职工为7人， 设样本容量为，可得，解得. 故选：A． 三、解答题 17．（24-25高二·上海·课堂例题）某医院从开始设计到建成完工后，记者要对部分参与人员采访．决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人． (1)求这些人中每个人被抽到采访的概率？ (2)求从工人中抽取的人数． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据随机抽样的性质分析求解； （2）根据分层抽样的性质分析求解. 【详解】（1）由题意可知：每个人被抽到采访的概率为. （2）由题意可知：从工人中抽取的人数为. 18．（25-26高二上·上海长宁·期末）某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． (1)应抽取品种苹果树多少棵？ (2)若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：kg）分别为25、25、28、32、20、26、30、26、31、30，在图中画出10棵果树产量分布的茎叶图，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 【答案】(1)3； (2)； 【分析】（1）根据分层抽样的概念计算即可； （2）根据茎叶图的作法及经验概率计算即可. 【详解】（1）易知，所以抽取品种苹果树为棵； （2）茎叶图如下： 由图可知果树产量不小于30kg的概率为. 19．（25-26高二下·上海·期中）某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． (1)应抽取B品种苹果树多少棵？ (2)若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 【答案】(1)3；(2)；. 【分析】（1）利用分层抽样的性质，求出抽取品种苹果树的棵数； （2）先将茎叶图所给数据从小到大排列，再求其第80百分位数，最后估算概率. 【详解】（1）采取分层抽样的方法抽取，分别抽取三种苹果树的数量比为 ， 则抽取品种的数量占比为， ，即应抽取品种苹果树3棵. （2）先将这10个数从小到大排列：20，25，25，26，26，28，30，30，31，32， ，则这10个数的第80百分位数为 ， 根据频率接近于概率的性质，果树产量不小于的概率约为. 20．（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图求出的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得本次考试的总人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】（1）分数在的频率为， 由茎叶图知：分数在之间的频数为2，全班人数为． （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为． （3）将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共10个， 其中，至少有一个在之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在之间的概率是． 21．某城市户居民的月平均用电量单位：度，以，，，分组的频率分布直方图如图． (1)求直方图中的值； (2)在这户居民中，月平均用电量不低于度的有多少户？ (3)在月平均用电量为，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 【答案】(1)；(2)55；(3). 【分析】（1）利用频率分布表各小矩形面积和为1，列式计算即得. （2）根据频率分布直方图求出内的频率，再利用频率乘以样本容量即得. （3）利用（2）的信息，求出分层抽样的抽样比即可计算得解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得， 所以直方图中x的值是. （2）月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 所以月平均用电量不低于度的有户. （3）由（2）可知，抽取比例为， 所以月平均用电量在的用户中应抽取户． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 统计单元复习+小测 （核心知识+6易错辨析+9典例精讲） 【题型一】总体与样本 【题型六】茎叶图 【题型二】简单随机抽样的特征及适用条件 【题型七】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【题型三】随机数表法 【题型八】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【题型四】分层随机抽样 【题型九】总体百分位数的估计 【题型五】系统抽样 【知识点01】总体与样本、数据的获取 1. 统计核心概念 总体：研究对象的全体集合；个体：总体中的每一个研究对象； 样本：从总体中抽取的一部分个体组成的集合；样本容量：样本中个体的数量（无单位）。 统计核心思想：用样本估计总体，通过样本数据的特征推断总体的整体特征。 2. 数据的获取方式 ① 普查：对总体中所有个体进行调查，数据精准，但耗时耗力、成本高； ② 抽样调查：从总体中抽取部分样本调查，高效低成本，是统计研究的主要方式； 适用场景：破坏性检测、总体数量庞大、普查无法实施的统计问题。 【知识点02】三大抽样方法 1. 简单随机抽样 定义：从总体个个体中逐个不放回抽取个个体，每个个体被抽取的概率相等。 特点：不放回、等概率、随机、总体无明显分层差异；常用方法：抽签法、随机数表法。 抽样概率：每个个体被抽到的概率 2. 分层随机抽样 适用条件：总体由差异明显的几部分（层）组成。 核心原则：按比例分层抽取，保持每层抽样比例一致。 核心公式：设总体分为层，第层个体数为，总体容量，样本容量，则第层抽取个数： 3. 系统抽样 适用条件：总体数量大、个体分布均匀。 抽样步骤：编号→分段→首段随机抽取→等距抽取其余样本。 分段间隔公式：（向下取整） 【知识点03】统计图表 1. 频数分布表 将原始数据分组，统计每组数据的频数（数据个数）、频率，整理成的表格，是绘制直方图的基础。 核心公式：，所有组频率之和为。 2. 频率分布直方图（核心重难点） 坐标轴含义：横轴为数据分组区间（组距），纵轴为。 核心结论： ① 单个小矩形面积 = 该组数据频率； ② 所有小矩形面积之和 = ； ③ 。 用途：直观展示连续型数据的整体分布疏密情况。 3. 茎叶图（沪考高频） 结构：中间为“茎”（高位数字），两侧为“叶”（低位数字），可保留原始数据、无需分组。 优点：数据无丢失、便于对比两组数据、可直观判断数据集中与离散程度； 适用场景：样本容量较小的两组数据对比分析。 4. 散点图 定义：将两个变量的对应数据以坐标点绘制在平面直角坐标系中得到的图形。 用途：直观判断两个变量是否具备相关关系（正相关、负相关、无相关），是相关性分析的基础。 【知识点04】统计估计 1. 估计总体的分布 用样本频数分布、频率分布直方图，近似刻画总体数据分布规律，反映数据集中与离散区间。 2. 样本平均数 设样本数据，则： 3. 样本方差（离散程度） 方差越小，数据越稳定；方差越大，数据波动越大。 4. 估计总体百分位数（必考新增） 定义：将一组数据从小到大排序，计算百分位位置，对应数值即为百分位数，用于刻画数据排位水平。 百分位数位置公式： 取值规则： ① 若为整数，百分位数为第项与第项数据的平均值； ② 若非整数，向上取整，对应位置数据即为百分位数。 常用百分位数：25%（下四分位数）、50%（中位数）、75%（上四分位数）、95%分位数。 【知识点05】统计活动完整流程 1. 确定统计研究问题与总体对象；2. 设计抽样方案、获取样本数据； 3. 整理数据、绘制统计图表；4. 计算数字特征、分析数据； 5. 用样本特征估计总体，得出统计结论、分析误差。 易错点1：总体、个体、样本概念混淆 统计研究的对象是数据指标，不是物体本身；样本容量是纯数字，无单位，极易书写扣分。 易错点2：三种抽样方法适用场景混淆 总体有明显差异分层→分层抽样；总体量大、分布均匀→系统抽样；总体量小、无差异→简单随机抽样，场景判断错误直接失分。 易错点3：分层抽样比例计算失误 未统一抽样比例，每层抽取个数不按计算，凭主观取值，导致样本不具备代表性。 易错点4：频率分布直方图概念误区 纵坐标是频率/组距，不是频率；小矩形高度不代表频率，面积才是频率，是考试最高频易错点。 易错点5：样本估计总体逻辑错误 不能说“样本特征等于总体特征”，只能说“用样本特征估计总体特征”，统计结论具有随机性、近似性。 易错点6：普查与抽样调查适用场景乱选 破坏性检测、大范围总体必须用抽样；精准人口、安检等必须用普查，场景判断需结合实际意义。 【题型一】总体与样本 【典例1-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（   ） A．总体 B．样本 C．总体容量 D．样本容量 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）在“世界读书日”前夕，为了了解某地10000名居民每周的阅读时间，从中抽取了500名居民每周的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，10000名居民每周的阅读时间的全体是（    ） A．总体； B．个体； C．总体的一个样本； D．样本容量． 【变式1-2】某校高二年级有300人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为___________． 【变式1-3】（24-25高二·上海·课堂例题）说明在以下问题中，总体、个体、样本、样本容量各指什么？ (1)有关部门要了解某个地区初中三年级学生的身高，以掌握这些学生的身体发育情况，从中随机抽查了200名学生进行测量； (2)为了了解一块玉米地里所有单株玉米产量情况，随机在这块玉米地里抽取了100株单株玉米． 【题型二】简单随机抽样的特征及适用条件 【典例2-1】（25-26高二上·上海·期末）已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（    ） A．变小 B．变大 C．相等 D．无法确定 【变式2-1】下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A．从无数张高考试卷中抽取10份作为样本 B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验 C．从整数集中逐个抽取10个分析是奇数还是偶数 D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道 【变式2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？判断并简要说明理由． (1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本； (2)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质检，抽样时，从中任意拿出一个零件进行质检后再放回箱子里； (3)箱子里共有100个零件，从中一次性抽取5个零件作为样本； (4)某班有40名学生，指定体重最重的5名学生参加某项公益活动. 【题型三】随机数表法 【典例3-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行: 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （    ）. A．09 B．05 C．65 D．71 【变式3-1】（25-26高二上·上海·单元测试）用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．这些步骤的先后顺序应为（    ） A．①②③④ B．①③④② C．③②①④ D．④③①② 【变式3-2】（25-26高二下·上海宝山·期中）某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【变式3-3】（24-25高二下·上海·阶段检测）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第3个零件编号是______． 0647 4373 8686 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 【题型四】分层随机抽样 【典例4-1】一个志愿者组织有成员45人，40岁以上的成员有25人，如果按照年龄进行分层随机抽样，要抽取一个容量为18的样本，则应抽取40岁以上成员的人数为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式4-1】在120个零件中，有一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是______． 【变式4-2】（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为______ 【变式4-3】（24-25高二·上海·课堂例题）学校某年级有600名学生，为了解同学们对本年级开设拓展课的意见，欲从中抽取一个容量为50的样本，请选择适当的抽样方法，并设计出具体的操作步骤. 【题型五】系统抽样 【典例5-1】某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体400名学生中抽25名学生做牙齿健康检查，现将400名学生从1到400进行编号，求得间隔数，即每16人抽取一个人，在中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从这16个数中应取的数是（    ） A．40 B．39 C．38 D．37 【变式5-1】从名学生中选取名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率 A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 【变式5-2】为了解300名学生的视力情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为_________. 【变式5-3】从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___ 【题型六】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【典例6-1】某地区对当地3000户家庭的当年所得年收入情况调查统计，年收入(单位：万元)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，，，，则年收入不超过6万元的家庭有(    ) A．900户 B．600户 C．300户 D．150户 【变式6-1】（24-25高二·上海·课堂例题）为了了解期末英语的测试成绩，我们抽取了三班学生的英语成绩进行分析，各数据段的分布如图（分数取整数），由此估计这次测验的优秀率（不小于80分）为________． 【变式6-2】（24-25高二上·上海·单元测试）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为________，数据落在内的概率约为________．    【变式6-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在，，的公司职员中抽取10人，则评分在内的职员应抽取多少人？ 【题型七】茎叶图 【典例7-1】某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以5为组距，将数据分组，则下列频率分布直方图正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】将某选手的得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余分数的平均分为91，现场作的分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则（    ） 茎叶图 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-2】如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知（    ） A．甲运动员的成绩好于乙运动员 B．乙运动员的成绩好于甲运动员 C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D．甲运动员的最低得分为0分 【变式7-3】（24-25高二上·上海·单元测试）某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多________天． 甲 乙 3 2 60 3 4 7 8 6 4 2 61 1 2 5 9 8 7 3 3 0 62 1 2 4 4 6 7 5 4 3 2 1 63 3 5 6 7 9 8 7 4 64 2 4 6 【题型八】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【典例8-1】（24-25高二·上海·课堂例题）某学校高三年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人．为了调查学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校高三全体学生中抽取一个容量为25的样本，则应抽取女生的人数为（    ） A．20； B．18； C．15； D．10． 【变式8-1】（24-25高二·上海·课堂例题）某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（    ） A．5、10、15 B．3、9、18 C．3、10、17 D．5、9、16 【变式8-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 【变式8-3】某工厂生产了某产品16800件，它们来自A、B、C三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采取分层抽样的方法进行抽样，已知A和C两条生产线抽取的产品个数与B抽取的相等，求B生产线生产了多少件产品？ 【题型九】总体百分位数的估计 【典例9-1】（24-25高二上·上海·单元测试）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居民，他们的幸福感指数分别为5、6、7、8、9、5，则这组数据的第80百分位数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式9-1】（25-26高二下·上海嘉定·期中）现有一组数1、1、2、3、3、5、6、7、9、9，则该组数的第20百分位数为______． 【变式9-2】（25-26高二下·上海·期中）已知班内7位同学的体重数据（单位：kg）由以下茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）所示，则这组数据的第70百分位数是__________. 【变式9-3】（24-25高二上·上海青浦·期末）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生? (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中，n是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. 1. 统计核心逻辑 总体为研究整体，样本为局部抽样，全程遵循样本估计总体，统计结果为近似估计值，非精准定值。 2. 抽样方法解题口诀 差异分层用分层，量大均匀用系统，量小无差随机抽；分层抽样必按比例，是考试核心计算考点。 3. 统计图表核心要点 扇形看比例、折线看趋势、直方看频率分布；直方图牢记“面积为频率”，杜绝高度等于频率的低级错误。 4. 数字特征核心作用 平均数反映数据平均水平，方差反映数据稳定程度；方差越小越稳定，数据离散程度越低。 5. 统计活动完整流程 定对象→抽样本→整数据→绘图表→算特征→估总体，完整闭环解决统计应用题。 6. 应试避坑总结 分清统计概念、选对抽样方法、直方图看面积、方差公式不丢项、抽样计算按比例、结论表述用“估计”。 一、填空题 1．（25-26高三上·上海·期末）样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）要想准确知道全班同学的平均年龄，应进行________． 3．某校有个班，每班有人，要求从每班随机选派5人观看“校十佳歌手赛”决赛．在这个问题中样本容量是______． 4．某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生．如果按照年级进行分层抽样，要抽取一个容量为180的样本，那么应抽取高二年级的学生人数为________． 5．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间（单位：分钟），所得数据都在区间内，其频率分布直方图如图所示，已知活动时间在内的频数为80，则n的值为________． 6．（24-25高二下·上海·期末）某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为42的样本，则应从高三年级抽取__________个学生． 7．（25-26高三上·上海·阶段检测）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分）．现随机抽取了其中个数据，依次为，则这组数据的第百分位数是________． 8．（2025高二上·上海·专题练习）从总体容量为240的研究对象中挑选10个样本，利用随机数表法抽取样本时，先将所有研究对象按001，002，，240进行编号，然后从随机数表第4行第5个数开始向右读，则选出的第4个编号是_________．（注：下面为随机数表的第4，5行） 49042443 36160865 53317333 03570684 57173172 84357012 17355239 47454753 01644305 44017425 26545229 10694745 9．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为_______. 10．（24-25高二下·上海嘉定·期末）某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据在7~12cm之间，其茎叶图如图所示（整数部分作为茎，小数部分作为叶），则该样本数据的第75百分位数是______． 11．（25-26高二上·上海黄浦·期末）某校高一年级共有500名学生，学校计划用随机数法抽取30名学生参加一项问卷调查.将500名学生按的顺序进行编号，用下列随机数表进行抽取，从第2行第4个数字开始，按从左到右、从上到下的顺序读取，依次选取符合条件的编号，第2个被选中学生的编号为____________. 12．（25-26高二下·上海·期末）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______．    二、单选题 13．采用简单随机抽样的方法，从含有3个个体的总体中抽取1个，某个个体被抽到的概率是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·上海·课后作业）在以下调查中，适合用普查的是（    ） A．调查一个县各村的粮食播种面积 B．调查一批玉米种子的发芽率 C．调查一批炮弹的杀伤半径 D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 15． 2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批个）口罩的质量，决定抽查其中的．在这个问题中下列说法正确的个数是（    ） ①总体是指这1000个口罩；           ②个体是每个口罩； ③样本是按的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20 A．1 B．2 C．3 D．4 16．某单位有职工750人，其中青年职工250人，中年职工350人，老年职工150人，为了了解该单位职工的心理健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为7人，则样本容量为（   ） A．15 B．25 C．35 D．75 三、解答题 17．（24-25高二·上海·课堂例题）某医院从开始设计到建成完工后，记者要对部分参与人员采访．决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人． (1)求这些人中每个人被抽到采访的概率？ (2)求从工人中抽取的人数． 18．（25-26高二上·上海长宁·期末）某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． (1)应抽取品种苹果树多少棵？ (2)若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：kg）分别为25、25、28、32、20、26、30、26、31、30，在图中画出10棵果树产量分布的茎叶图，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 19．（25-26高二下·上海·期中）某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． (1)应抽取B品种苹果树多少棵？ (2)若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 20．（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 21．某城市户居民的月平均用电量单位：度，以，，，分组的频率分布直方图如图． (1)求直方图中的值； (2)在这户居民中，月平均用电量不低于度的有多少户？ (3)在月平均用电量为，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $