2.2立方根（分层作业，11大题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 本同步练习以立方根为核心，通过A、B、C三层设计实现从概念理解到思维创新的递进，适配新授课知识巩固与能力分层需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|立方根定义、基础运算|直接考查概念辨析与简单计算，培养抽象能力| |B组|综合应用（方程、实际问题、小数点规律等）|结合跨知识点综合题与材料探究，发展推理意识与模型意识| |C组|新定义问题|通过拓展题型实现知识迁移，提升创新思维|

分层作业 2.2 立方根 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求一个数的立方根 题型02 立方根的理解 B组 能力进阶 题型01 开立方的化简 题型02 已知立方根求这个数 题型03 解方程 题型04 立方根与算术平方根、平方根的综合 题型05 立方根与实际问题 题型06 立方根的性质的综合应用 题型07 立方根的小数点移动规律 题型08 立方根的材料探究问题 C组 思维拔高 题型 立方根的新定义问题 求一个数的立方根题型01 1．下列等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．在一个正整数数列中，第二项之后的每一项都是前面两项的乘积．数列中的第六项是4000．问第一项是多少？ A．1 B．2 C．4 D．5 E．10 3．已知，，则___________． 4．（24-25八年级上·期中）解下列方程 (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·上海·月考）设，且，且，求的值． 立方根的理解题型02 1．-27的立方根是    (　　) A．3 B．-3 C．±3 D．-9 2．实数8的立方根是_____． 3．已知，则的立方的平方根是 ___________． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）设，，且，则______ 5．计算：． 开立方的化简题型01 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）下列各式中，正确的是（      ） A． B． C． D． 2．的立方根是______． 3．27的立方根为_____． 4．（25-26七年级上·上海·月考）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 5．计算： 已知立方根求这个数题型02 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 2．一个数的立方根是，则这个数是______． 3．平方等于本身的数是__________,立方等于本身的数是__________. 4．（25-26七年级·期末）若与互为相反数，则的值为______． 5．求x的值：． 解方程题型03 1．下列说法正确的有（   ） ①若与的和为，且，则； ②若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③若方程组的解为，则方程组的解为； ④已知关于，的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 2．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有． 3．（25-26七年级·河南信阳·期中）计算及解方程 (1)计算： (2)解方程：． 4．解下列方程和方程组： (1) (2) 5．解方程 (1)； (2)． 立方根与算术平方根、平方根的综合题型04 1．（24-25七年级下·山东济宁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0 C．的平方根是±3 D．是的一个平方根 2．下列说法中，不正确的是（    ） A．10的立方根是 B．是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0.01的算术平方根是0.1 3．的平方根是__________，-64立方根是__________. 4．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 5．已知是a＋3b的算术平方根，是1－a2的立方根，求A＋B的立方根． 立方根与实际问题题型05 1．体积为9的立方体的棱长为（ ） A． B． C． D．3 2．下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为的正方形的边长 B．的算术平方根 C．体积为的正方体的棱长 D．方程中未知数的值 3．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是______．（注：球的体积计算公式为） 4．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____． 5．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）有块长a米，宽b米的长方形空地，（其中，的立方根是3，的算术平方根是），沿着平行于长方形空地各边的方向分割出三个完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求小长方形花圃的长和宽． 立方根的性质的综合应用题型06 1．立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 2．下列语句正确的是（　　） A．一个数的立方根不是正数就是负数 B．负数没有立方根 C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零 D．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零 3．立方根等于它本身的数是________ 立方根的小数点移动规律题型07 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 2．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）已知，且，则______． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得：______． 4．如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 立方根的材料探究问题题型08 1．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 3．我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙． 解：∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是， ∴的末位数字是9； 又∵划去的后面三位319得到59，而， ∴的十位数字是； ∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为______． 4．观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 5．根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 立方根的新定义问题题型 1．（24-25九年级上·期末）设，都是有理数，规定 ，则=__________． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）一般地，如果n为正整数，且），那么x叫作a的n次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则S的三次方根是；④当时，整数a的二次方根有个．其中正确的是___________ （填序号）． 3．在平面直角坐标系中，已知任意两点，，规定，若，且，求点Q的坐标． 4．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 5．【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 立方根 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求一个数的立方根 题型02 立方根的理解 B组 能力进阶 题型01 开立方的化简 题型02 已知立方根求这个数 题型03 解方程 题型04 立方根与算术平方根、平方根的综合 题型05 立方根与实际问题 题型06 立方根的性质的综合应用 题型07 立方根的小数点移动规律 题型08 立方根的材料探究问题 C组 思维拔高 题型 立方根的新定义问题 求一个数的立方根题型01 1．下列等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根以及立方根的定义，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．依据平方根、算术平方根以及立方根的定义，即可得出结论． 【详解】解：A．，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； B. ，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； C. ，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； D. ，故本选项计算错误，符合题意； 故选：D． 2．在一个正整数数列中，第二项之后的每一项都是前面两项的乘积．数列中的第六项是4000．问第一项是多少？ A．1 B．2 C．4 D．5 E．10 【答案】D 【分析】此题考查平方根、立方根及单项式乘以单项式，熟练掌握平方根、立方根及单项式乘以单项式是解题的关键．设出第一项为a，第二项为b，根据题意表示出第六项，进一步探讨a、b的数值，求得答案即可． 【详解】解：设第一项为a，第二项为b，则第三项为，第四项为，第五项为，第六项是， ∵， ∴， ∵a、b都为正整数， ∴， ∴， ∴； 故选D 3．已知，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点就向右移动1位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·期中）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了利用平方根以及立方根的性质解方程． （1）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解； （2）直接利用立方根定义计算即可求出解． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·上海·月考）设，且，且，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了立方根条件求值问题，设，则可得，由，则，，，原等式变形为，再整理成即可求解，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题的关键． 【详解】解：设，则可得， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 立方根的理解题型02 1．-27的立方根是    (　　) A．3 B．-3 C．±3 D．-9 【答案】B 【分析】根据立方根的概念求解即可． 【详解】∵-3的立方等于-27 ∴-27的立方根是为-3. 故选：B. 【点睛】本题考查求立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键.还需注意一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． 2．实数8的立方根是_____． 【答案】2 【分析】根据立方根的概念解答． 【详解】∵， ∴8的立方根是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键． 3．已知，则的立方的平方根是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查立方根、平方根、非负数的性质，根据当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0，求得，，再求的立方的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴的立方， ∴的立方的平方根是． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）设，，且，则______ 【答案】1 【分析】此题主要考查了分式的加减，充分利用这个关系，对中的a、b都用c进行替换即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则，，均为正数， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 5．计算：． 【答案】4． 【分析】由，，计算出结果． 【详解】解：原式 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，关键是开三次方与绝对值的计算． 开立方的化简题型01 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）下列各式中，正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根等知识，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 2．的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题的关键，注意：a（）的算术平方根是，a的立方根是. 先求出，再求出2的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故答案为． 3．27的立方根为_____． 【答案】3 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 4．（25-26七年级上·上海·月考）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 5．计算： 【答案】 【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义分析得出答案． 【详解】解：原式＝2+0+ ＝． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知立方根以及算术平方根的定义． 已知立方根求这个数题型02 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：立方根是的数是， 故选：B． 2．一个数的立方根是，则这个数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根定义求出这个数即可． 【详解】解：∵一个数的立方根是， ∴这个数为：． 故答案为：． 3．平方等于本身的数是__________,立方等于本身的数是__________. 【答案】 0和1 0和±1 【详解】平方根等于它本身的数是0和1；立方根等于它本身的数是0和±1 . 故答案为0和1；0和±1. 4．（25-26七年级·期末）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 5．求x的值：． 【答案】 【分析】本题考查了根据立方根的定义解方程． 先两边同时乘以2，将分母去掉，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 解方程题型03 1．下列说法正确的有（   ） ①若与的和为，且，则； ②若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③若方程组的解为，则方程组的解为； ④已知关于，的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查立方根的性质，二元一次方程组的解，参数求解与换元法解方程组，逐一判断每个说法即可得到结果. 【详解】解：逐一判断各说法： ① ∴， 整理得， 联立， 解得，即. 故①错误； ② 解方程组， 两式相加得， ∴， 代入得：， ∵是整数，均为整数， ∴是和的公约数，即， 解得， 所有满足条件的的值的和为， 故②正确； ③ 令， 由已知原方程组的解为， 可得， 解得，与题目给出的解不符， 故③错误； ④ 解方程组， 解得， 若互为相反数，则，即，等式不成立. 故无论取何值，和都不可能互为相反数， 故④正确； 综上，正确的说法有个， 故选：B. 2．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有． 【答案】①② 【分析】根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④． 【详解】①，则， 即， ∴，在实数范围内有解，故选项①正确； ②，则， ∴在实数范围内的解有两个，故选项②正确； ③，整理得：， 配方得：， 开方得：或(舍去)， ∴， ∴原方程在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误； ④当时，； 当时，； 当时，；故选项④错误； 综上，①②正确， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了完全平方公式，开平方解方程，是信息给予题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．（25-26七年级·河南信阳·期中）计算及解方程 (1)计算： (2)解方程：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可求解； （2）利用立方根即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：开立方得，， ∴． 4．解下列方程和方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用立方根的定义进行计算即可； （2）按照解二元一次方程组的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：， 两边同除以64得：， ， ， 解得：； （2）解：， 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， 故方程组的解为． 【点睛】本题考查立方根的应用和解二元一次方程组，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 5．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】此题考查了利用平方根的意义和立方根的意义解方程． （1）方程整理后根据平方根的意义得到，即可得到答案； （2）方程整理后根据立方根的意义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴ ∴， 解得或； （2） ， 解得 立方根与算术平方根、平方根的综合题型04 1．（24-25七年级下·山东济宁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0 C．的平方根是±3 D．是的一个平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：是5的算术平方根， 算术平方根是非负数，且满足，故A正确； 选项B：0的平方根和立方根都是0， 平方根和立方根的定义中，0的平方根和立方根均为0，故B正确； 选项C：的平方根是， ，而3的平方根应为，而非，的平方是9，属于的平方根混淆错误，故C错误； 选项D：是的一个平方根， ，9的平方根为，因此是9的一个平方根，故D正确； 故选C． 2．下列说法中，不正确的是（    ） A．10的立方根是 B．是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0.01的算术平方根是0.1 【答案】C 【分析】根据立方根，平方根和算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：A. 10的立方根是，正确； B. -2是4的一个平方根，正确； C. 的平方根是±，故错误； D. 0.01的算术平方根是0.1，正确. 故选C． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，立方根，解决本题的关键是熟记立方根，平方根和算术平方根的定义． 3．的平方根是__________，-64立方根是__________. 【答案】 【分析】根据平方根、立方根的定义计算即可. 【详解】解：3的平方根为，所以的平方根是；因为，所以-64立方根是. 故答案为， 【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握开方运算是解题的关键. 4．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求出的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义求得的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：，， 解得：，， ∴， ∴，， ∴， ∴的立方根等于1． 5．已知是a＋3b的算术平方根，是1－a2的立方根，求A＋B的立方根． 【答案】A＋B的立方根是1 【分析】根据算术平方根和立方根的意义，可列方程组，然后求解即可得到a、b的值，然后代入求解即可. 【详解】解：由题意得:， 解得：， ∴， ， ∴． 立方根与实际问题题型05 1．体积为9的立方体的棱长为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，正确掌握立方体的体积公式是解答本题的关键． 【详解】解：设立方体的棱长为，则有： ，解得， 所以，立方体的棱长为， 故选：A． 2．下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为的正方形的边长 B．的算术平方根 C．体积为的正方体的棱长 D．方程中未知数的值 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根，根据算术平方根的定义解答即可，熟记算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：A、面积为的正方形的边长为，故选项不符合题意； B、的算术平方根是，故选项不符合题意； C、体积为的正方体的棱长是，故选项符合题意； D、方程中未知数的值为，故选项不符合题意； 故选：C． 3．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是______．（注：球的体积计算公式为） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，解答本题的关键在于熟练掌握立方根的概念及运算．根据球的体积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：设容器的半径是，则 ， 解得， 故答案为：． 4．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____． 【答案】0或﹣1或﹣ 【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案. 【详解】∵﹣2x﹣1＝0， ∴＝2x+1， ∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣． 故答案为：0或﹣1或﹣． 【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键. 5．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）有块长a米，宽b米的长方形空地，（其中，的立方根是3，的算术平方根是），沿着平行于长方形空地各边的方向分割出三个完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求小长方形花圃的长和宽． 【答案】小长方形花圃的长和宽分别为4米，2米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据立方根和算术平方根求原数，先根据算术平方根和立方根的定义得到，据此可得，设小长方形花圃的长和宽分别为x米，y米，根据图形之间的关系建立方程组求解即可． 【详解】解；∵的立方根是3，的算术平方根是， ∴， ∴， 设小长方形花圃的长和宽分别为x米，y米， 由题意得，， 解得， 答：小长方形花圃的长和宽分别为4米，2米． 立方根的性质的综合应用题型06 1．立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，注意正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．根据开立方的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的有，0，1． 故选：A． 2．下列语句正确的是（　　） A．一个数的立方根不是正数就是负数 B．负数没有立方根 C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零 D．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零 【答案】D 【分析】此题考查立方根定义及性质，熟练掌握立方根定义是解题的关键． 【详解】解：0的立方根为0，既不是正数也不是负数，所以A错误； 任何有理数都有立方根，所以B错误． 1的立方根是1，的立方根是，所以C错误． 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，所以D正确， 所以选D． 3．立方根等于它本身的数是________ 【答案】0，1， 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的意义是解题关键．根据立方根的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的数是0，1，， 故答案为：0，1，． 立方根的小数点移动规律题型07 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 2．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）已知，且，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得：______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【答案】10.95厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解． 根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得 【详解】 （厘米） 答：底面半径约是10.95厘米． 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 立方根的材料探究问题题型08 1．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【详解】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 3．我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙． 解：∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是， ∴的末位数字是9； 又∵划去的后面三位319得到59，而， ∴的十位数字是； ∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可． 【详解】解∵， ∴， ∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是3，而整数0至的立方中，只有的末位数字是3， ∴的末位数字是7； 又∵划去的后面三位得到19， 而， ∴的十位数字是2； ∴； ∴， 解得， 故答案为： 4．观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 【答案】 【分析】观察已知等式中各部分的数字特征，归纳出一般性规律，即可得到第8个等式． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：， ∴第8个等式为：． 5．根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 立方根的新定义问题题型 1．（24-25九年级上·期末）设，都是有理数，规定 ，则=__________． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）一般地，如果n为正整数，且），那么x叫作a的n次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则S的三次方根是；④当时，整数a的二次方根有个．其中正确的是___________ （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了对a的n次方根的定义的阅读理解能力，绝对值，平方差公式，掌握相关知识点是解题的关键． 根据n次方根的定义和性质，结合平方差公式和绝对值，判断各结论的正确性，即可求解． 【详解】解：， 是的四次方根，故结论①正确； 任何实数都有唯一的奇次方根，结论②正确； ， ， 的三次方根是，故结论③正确； ， ， 解得或， 无实数平方根，有两个平方根， 的二次方根有两个，故结论④错误； 综上所述，正确的结论为①②③． 故答案为：①②③． 3．在平面直角坐标系中，已知任意两点，，规定，若，且，求点Q的坐标． 【答案】点Q的坐标为 【分析】题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用题中的新定义计算求出与的值，即可确定出点坐标． 【详解】设点Q的坐标为，依题意得： ， 可得：，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 4．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 5．【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 【答案】（1），；（2）3，；（3） 【分析】本题考查饿了立方根、负整数指数幂，理解题意，正确计算是解此题的关键． （1）根据阅读材料中次方的定义计算即可得解； （2）根据阅读材料中对数定义计算即可得出答案； （3）根据如果，，，，那么，结合（2）中对数定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， 81的四次方根等于， ， 的五次方根等于； （2）， ， ， ； （3）， ． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $