5.4平方根（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

5.4平方根 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 概念理解辨析题 题型二 求一个数的平方根 题型三 根据平方根的定义或性质求字母的值 题型四 利用平方根的定义解方程 题型一 概念理解辨析题 1．下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 2．下列说法正确的是（   ） A．一定没有平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是3 D．3是9的一个平方根 3．下列说法错误的是（   ） A．是9的平方根 B．负数没有平方根 C．25的平方根为 D．的平方根为 4．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 求一个数的平方根 1．4的平方根为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 2．的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和  3．若与的和是单项式，则的平方根是（   ） A．81 B． C． D．3 4．已知，则的平方根是 ． 5．在0，，，，中，有平方根的数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 根据平方根的定义或性质求字母的值 1．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ） A． B． C．5或 D．4或 3．若的平方根是它本身，则的值是 ． 4．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 题型四 利用平方根的定义解方程 1．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 3．求下列各式的值． (1)； (2)． 4．勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      1．的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 2．如图，已知E、F分别是正方形的边、上的点，且，矩形的面积是48，分别以、为边作正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 3．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 4．在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 1．已知字母a、b满足，则的值为 ． 2．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系_________； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4平方根 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 概念理解辨析题 题型二 求一个数的平方根 题型三 根据平方根的定义或性质求字母的值 题型四 利用平方根的定义解方程 题型一 概念理解辨析题 1．下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 【答案】B 【详解】本题考查平方根、算术平方根的概念，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．6是36的算术平方根，即，因此选项A不符合题意； B．6是的算术平方根，即，因此选项B符合题意； C．是49的平方根，即，因此选项C不符合题意； D．是4的平方根，即，因此选项D不符合题意． 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．一定没有平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是3 D．3是9的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据平方根的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：A，当，则，0的平方根为0，故本选项错误，不合题意； B，没有平方根，故本选项错误，不合题意； C，9的平方根是，故本选项错误，不合题意； D，3是9的一个平方根，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 3．下列说法错误的是（   ） A．是9的平方根 B．负数没有平方根 C．25的平方根为 D．的平方根为 【答案】D 【分析】此题考查了算术平方根，平方根的概念，解题的关键是熟练掌握算术平方根，平方根的概念． 根据算术平方根，平方根的概念求解即可． 【详解】解：A．是9的平方根，正确，不符合题意； B．负数没有平方根，正确，不符合题意； C．25的平方根为，正确，不符合题意； D．的平方根为，故选项错误，符合题意． 故选：D． 4．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的算术平方根．根据平方根的算术平方根的性质进行解题即可． 【详解】解：A、，故该项不符合题意； B、，故该项不符合题意； C、，故该项不符合题意； D、，故该项符合题意； 故选：D． 题型二 求一个数的平方根 1．4的平方根为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的知识．由平方根的定义计算即可． 【详解】解：4的平方根为：或． 故选：C． 2．的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根和平方根，正确理解题意是解题的关键． 先求出，再求9的平方根即可． 【详解】解：， 则9的平方根为， 故选：D．  3．若与的和是单项式，则的平方根是（   ） A．81 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，平方根．同类项的概念：字母相同，相同字母的指数也相同的单项式；由题意知，与是同类项，由同类项概念可求得a与b的值，从而求得的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故选：C． 4．已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根的意义，先根据算术平方根的非负性求出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 5．在0，，，，中，有平方根的数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，乘方，平方根的意义．熟练掌握平方根的意义是解题的关键．根据非负数有平方根，判定非负数的个数即可． 【详解】解：，，， 非负数有平方根，而0，，，，中，非负数有0，，共3个， 故选C． 题型三 根据平方根的定义或性质求字母的值 1．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的应用，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出，计算即可得解． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得：， 故选：B． 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ） A． B． C．5或 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和倒数的性质，以及求一个数的平方根，互为相反数的两数和为零，互为倒数的两数积为，9的平方根是，据此即可求解. 【详解】解：由题意得； 当时，； 当时，； 故选：C 3．若的平方根是它本身，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 4．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．首先根据的平方根是，可得：，据此求出的值是多少；然后根据的算术平方根是4，可得：，据此求出的值是多少，进而求出的平方根是多少即可． 【详解】解：的平方根是， 解得； 的算术平方根是4， 解得， 的平方根是：． 故答案为：． 题型四 利用平方根的定义解方程 1．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 【答案】B 【分析】将所给数据代入求解即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴， ∴（负值不符合实际情况，舍去） ∴电流的值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，平方根的应用，掌握实数的运算法则是解题的关键 2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 3．求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据，利用平方根的性质解方程即可得； （2）根据，利用平方根的性质解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， 或， 或． 4．勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【答案】 【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故的长度为． 【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义． 1．的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了平方根的意义．正数的平方根有两个，一个正的平方根和一个负的平方根，且互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：∵，的平方根分别是，， ∴，互为相反数且都不为0， ∴， ∴， 故选：B 2．如图，已知E、F分别是正方形的边、上的点，且，矩形的面积是48，分别以、为边作正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意可设，则有，然后根据矩形的面积是48可进行求解． 【详解】解：设，由正方形可知：， ∵， ∴，解得：， ∵矩形的面积是48， ∴，即， ∴， ∴（负根舍去）， ∴； 故答案为28． 3．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 4．在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确过程见解析 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键．错误的在第②部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． 【详解】解：不正确． 一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ， 这个数为16； ②当时，解得， 当时，，舍去； 综上所述，这个数为16． 1．已知字母a、b满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性求参数及裂项相消法求值，熟练掌握算术平方根的非负性及裂项相消法求值是解决问题的关键．根据算术平方根的非负性求出、，将、代入式子后，再利用裂项法对代数式进行化简，即可得解． 【详解】解： ，，， ，， 解得，， 故答案为：． 2．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系_________； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①2；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，也涉及平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，． （1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论； （2）①根据可得，再根据（1）中的结论计算即可；②设，则，，根据，得出，求出，再根据平方根定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵图②是边长为的正方形， ∴， ∵图②可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：①∵， ∴， 即， 又∵， ∴； ②设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $