3.7扇形（分层作业，14大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 初中数学扇形同步练，以A/B/C三级分层设计，覆盖从弧长与扇形面积基础计算到圆锥综合应用及动态问题解决，通过梯度化题型培养数学抽象能力、几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|弧长、扇形面积基础计算|直接套用公式，对应理解层级，巩固核心公式应用| |B组|扇形半径/圆心角、弓形/不规则图形面积、圆锥相关计算|结合图形变换与实际情境，如圆锥侧面积、弓形面积，发展推理能力| |C组|弧形运动路径、图形旋转扫过面积、圆锥侧面最短路径|融入动态与空间想象，如旋转面积、最短路径问题，提升创新意识与应用能力|

分层作业 3.7 扇形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求弧长 题型02 求扇形面积 B组 能力进阶 题型01 求扇形半径 题型02 求圆心角 题型03 求弓形面积 题型04 其他不规则图形面积 题型05 求圆锥侧面积 题型06 求圆锥底面半径 题型07 求圆锥的高、母线 题型08 圆锥展开图圆心角 题型09 圆锥实际应用 C组 思维拔高 题型01 弧形运动路径长度 题型02 图形旋转后扫过的面积 题型03 圆锥侧面最短路径 求弧长题型01 1．已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键． 根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出弧长． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：D． 2．圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是__________cm 【答案】4π 【分析】根据弧长公式即可求得． 【详解】解：由题意得，n=120°，R=6cm， 故可得：． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握和运用弧长公式是解决本题的关键． 3．已知扇形的圆心角是，半径是3厘米，那么扇形的周长是_____厘米． 【答案】 【分析】本题考查扇形的周长计算，扇形周长包括弧长和两个半径的长； 根据弧长公式求出弧长，再加上两个半径的长即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 4．在半径为的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于_____． 【答案】 【分析】弧长公式为l＝，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长． 【详解】， 故答案为． 【点睛】考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式． 5．（24-25九年级上·陕西安康·月考）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算出的长即可．解题的关键是掌握：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意，得：， 解得：， 即， ∴， ∴此圆锥高的长度为． 求扇形面积题型02 1．计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 2．已知扇形的面积为6π，半径为4，则该扇形的弧长为_______ ． 【答案】3π 【分析】根据扇形的面积公式即可求得扇形的弧长． 【详解】 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积与弧长的关系，熟记扇形的面积是解题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）半径为，圆心角为的扇形面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用．根据扇形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：扇形的面积， 故答案为：． 4．底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为___________ 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是展开图扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．根据圆锥的底面半径求出底面周长，根据勾股定理求出母线长，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为， 由勾股定理得：圆锥的母线长为：， ∴圆锥的侧面展开图的面积为：， 故答案为：． 5．如果一个扇形的半径是6，圆心角的度数为，求扇形的面积． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式进行计算即可得解． 【详解】解：∵一个扇形的半径是，圆心角的度数为 ∴． 【点睛】本题考查了求扇形的面积，一般求扇形的面积常用的有两个公式：若已知条件知道半径和圆心角则选择公式；若已知条件知道半径和弧长则选择公式，能根据已知条件选择合适的公式进行求解是解题的关键． 求扇形半径题型01 1．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（  ） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】C 【详解】试题分析：直接根据弧长的公式列式求解： 设该扇形的半径是r， ∵n=120°，l=12π，∴ ．故选C． 考点：弧长的计算． 2．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为____． 【答案】30 【分析】本题主要考查了弧长公式，设这个扇形的半径为r，根据弧长公式列出方程求解即可：弧长公式为，其中n为扇形圆心角度数，r为扇形编辑． 【详解】解：设这个扇形的半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个扇形的半径为30， 故答案为：30． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为 根据题意得， ∴ 故答案为：． 4．某扇形的圆心角为、面积是，此扇形的半径是________． 【答案】6 【分析】设扇形的半径是，先计算出圆的面积，根据扇形的圆心角计算出所占百分求出面积即可求解． 【详解】解：设扇形的半径是， ∴圆的面积为， ∵扇形的圆心角为、面积是， ∴，解得，，（舍去）， ∴圆的半径是，即扇形的半径是， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查圆与扇形的知识，掌握计算扇形占圆面积的百分比，圆的面积公式是解题的关键． 5．一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14） 【答案】4cm 【分析】根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：设该弧所在圆的半径为rcm，由弧长公式，得 解得：； ∴该弧所在圆的半径为4cm． 【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 求圆心角题型02 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 2．已知扇形的半径为20，弧长为，那么这个扇形的圆心角为______度． 【答案】90 【分析】本题考查扇形的弧长公式的运用，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键． 设扇形的圆心角为n，运用扇形的弧长公式，计算即可得到所求值． 【详解】解：扇形的半径为20，弧长为， 设扇形的圆心角为n， 可得， 解得． 故答案为：90． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 【答案】22.5 【分析】本题考查扇形面积公式，直接代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】假设扇形的圆心角为， 扇形的面积公式为 ，其中 ，， 代入得， 解得， 故答案为：22.5． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______度． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，设扇形的圆心角为，根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 5．半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？ 【答案】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：，， ∴． ∴这个圆心角为． 【点睛】本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键． 求弓形面积题型03 1．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 2．如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键． 3．如图，边长为2的正是的内接三角形，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，连接并延长交于点，通过解求出圆的半径，以及圆与内接正多边形的性质求出圆心角的度数，再由阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：连接、，连接并延长交于点，如下图，   等边是的内接三角形， ，， ∴， ∴， ， 图中阴影部分的面积． 4．如图，在半径为6的中，点是的中点，与相交于点，，图中阴影部分面积是_________． 【答案】 【分析】连接OA，OB，根据求解即可． 【详解】解：如图，连接OA，OB ∵点C为的中点 ∴ ∵CD=3 ∴OD=6-3=3 在中，sin= ∴ ∵为等腰三角形 ∴ 由勾股定理可得= ∴AB= ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求弓形面积，掌握的思路是解题的关键． 5．已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积． 【答案】2.28 【分析】先求出弓形的面积，然后即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：根据题意，则 ． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，以及求弓形的面积，解题的关键是熟练掌握间接法求阴影部分图形的面积． 其他不规则图形面积题型04 1．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=，则S阴影=（ ） A．2π B．π C．π D．π 【答案】C 【详解】解：如图，假设线段CD．AB交于点E， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=ED=， 又∵∠BCD=30°， ∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE•tan30°=×=2，OD=2OE=4， ∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC =﹣OE×DE+BE•CE = =． 故选C． 考点：圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算． 【点睛】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．如图小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积_______． 【答案】1 【分析】根据图像得出阴影部分的面积等于正方形的面积，计算即可． 【详解】解：根据图像可得，绿色扇形的面积等于白色扇形的面积， ∴S阴=S正方形=1×1=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，得出阴影部分的面积等于正方形的面积是解题关键． 3．如图，等边三角形内接于，半径，则图中阴影部分的面积是 _______，（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解． 【详解】解：为等边三角形， ，， 的半径为3， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，边长为1的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为_____________．（结果保留） 【答案】## 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，正六边形的性质等知识点，将阴影部分合并即可得到扇形的面积，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形的面积公式是解决此题的关键． 【详解】∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．下图中三个圆的半径都是2厘米，求阴影部分的面积共是多少平方厘米？（取） 【答案】平方厘米． 【分析】本题考查了圆的面积公式，扇形面积公式． 三个圆中空白扇形的三个圆心角正好是三角形的三个内角，由于三角形的内角和等于，这三个空白扇形的圆心角之和是，圆心角是的扇形就是半圆．根据圆的面积计算公式“”即可解答． 【详解】解： （平方厘米） 答：阴影部分的面积共是平方厘米． 求圆锥侧面积题型05 1．已知圆锥的底面半径为6㎝，高为8㎝，圆锥的侧面积为（    ） A．48π B．96π C．30π D．60π 【答案】D 【详解】圆锥母线长为（cm），即扇形半径为10cm，扇形的弧长纪委圆锥底面周长，即（cm），所以圆锥侧面积即扇形侧面积（） 【点睛】本题考查扇形面积计算，圆锥的立体几何的重要部分，根据圆锥的各个公式，有如下结论，， 2．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 【答案】15 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π． 故答案为15π． 3．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 【答案】 【分析】圆锥的侧面积(底面半径，母线长)，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 4．若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留） 【答案】 【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】根据圆锥的侧面积公式：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 5．如图，一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为度的扇形，求该圆锥的表面积（结果保留）． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的侧面积，根据弧长公式求出圆锥的底面半径，进而求出圆锥的底面积，侧面积和底面积相加即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为， 圆锥的底面圆的半径为， 则圆锥的底面圆的面积为， 该圆锥的表面积为． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式、弧长公式是解题关键． 求圆锥底面半径题型06 1．（24-25九年级上·山东淄博·月考）用一个半径为的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的底面圆半径，先求出半圆的弧长，再圆锥底面周长等于半圆弧长求出半径即可，理解圆锥底面周长等于半圆弧长是解题的关键． 【详解】解：半圆的弧长为， ∵圆锥底面周长等于半圆弧长， ∴圆锥的底面半径， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）将半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了圆锥的计算．易得圆锥的母线长为6，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为：3 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为______ 【答案】4 【分析】本题考查圆锥侧面积公式的应用，解题关键是利用圆锥侧面积公式建立方程求解． 【详解】， 代入公式得： 解得： 故答案为：． 4．已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级·期末）如图，圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为多少．（结果用表示） 【答案】该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系． 根据圆锥的展开图为扇形，结合弧长公式的求解即可． 【详解】解：设底面圆的半径为， 由勾股定理得：， ∴． 故该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为． 求圆锥的高、母线题型07 1．把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用半圆弧长等于圆锥底面周长的关系，先求出圆锥底面半径，再结合勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：∵半圆的半径， ∴半圆的弧长为， ∴圆锥的底面周长为 设圆锥底面半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 2．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则这个圆锥的高是_______． 【答案】15 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求得圆锥的底面半径，从而利用勾股定理求得圆锥的高． 【详解】解：设底面半径为 则， 解得， 圆锥的高为． 故答案为：15． 3．圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 _____． 【答案】4 【分析】要求圆锥的高，关键是求出圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图中的扇形的半径．已知圆锥的底面半径就可求得底面圆的周长，即扇形的弧长，已知扇形的面积和弧长就可求出扇形的半径，即圆锥的高． 【详解】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3＝6， 设母线长为L，则有×6L＝15， 解得：L＝5， ∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形， ∴在直角△AOC中高AO＝＝4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了圆锥体的侧面展开图的计算，揭示了平面图形与立体图形之间的关系，难度一般． 4．若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______cm． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得：． 即圆锥的母线长为， ∴圆锥的高cm， 故答案是：． 5．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度. 【答案】 【分析】设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出结果. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， ∵， ∴的长， ∴，即：， 在中，， 根据勾股定理得，. 【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，正确理解圆锥的侧面展开图的弧长与其底面圆的半径的关系是解题的关键. 圆锥展开图圆心角题型08 1．（2026·广东·模拟）已知圆锥的母线长为，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆锥底面周长等于其侧面展开图扇形的弧长，列方程求解圆心角即可． 【详解】解：设这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，已知圆锥底面半径，母线长， ∴圆锥底面周长为， 根据扇形弧长公式可得方程：， 解得：， ∴这个圆锥侧面展开图的圆心角是． 2．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为______．    【答案】##216度 【分析】由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥，根据三视图知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4，得出母线长为5，再根据扇形的弧长公式可得答案． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥； 由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4， 则母线长为， 所以该几何体的侧面展开图圆心角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长公式． 3．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______°． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为， ∴底面周长为： 解得：， 故答案为： 4．圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 _____度． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角；根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵圆锥母线长，底面圆半径，， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图的扇形弧长，据此根据弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 圆锥实际应用题型09 1．一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体棱长为，分别计算正方体体积和最大圆锥的体积，再求圆锥体积与正方体体积的比值即可得到结果。 【详解】解：设正方体的棱长为， ∴， ∵正方体削出的最大圆锥，底面直径等于正方体棱长，圆锥的高等于正方体棱长， ∴圆锥底面半径，圆锥高， ∴， ∴， 即圆锥的体积占正方体体积的． 2．若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长，依此列出方程即可． 【详解】解：设母线长为， 根据题意得，， 解得， 该圆锥的母线长为12． 故选：B． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 【答案】 【分析】本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】解：设扇形半径为，圆锥底面半径为， 则底面周长为， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 4．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的周长为_____． 【答案】 【分析】由圆锥底面的周长=扇形的弧长，利用弧长公式解题． 【详解】解：圆锥底面的周长=扇形的弧长 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的弧长等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 5．茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 【答案】 【分析】根据“剩余部分的体积原圆锥体积已燃圆锥体积”列式求解即可． 【详解】解： ， 答：剩余部分的体积为 弧形运动路径长度题型01 1．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据弧长公式计算可得． 【详解】解：，所以 的长 ． 因此，管道的展直长度约为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了弧长的计算公式，比较基础． 2．（24-25下·上海·期中）时钟的时针长，从上午到中午，这个时针的针尖经过的路程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算公式．先根据题意得到时针转过的角度为，再根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：时钟从上午到中午，转过的角度为， 因为时钟的时针长， 所以时针的针尖经过的路程为． 故答案为： 3．已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过40分钟滑过的弧线长为______厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），知道分针1分钟转是解题的关键． 首先求出分针针尖经过40分钟时转过的圆心角为，代入弧长公式计算即可求解． 【详解】解：∵分针1分钟转， ∴分针针尖经过40分钟时转过的圆心角为， 分针针尖经过40分钟滑过的弧线长为：（厘米）． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若，则点A经过的路径长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式、旋转性质，根据弧长公式（r为扇形半径，n为扇形圆心角的度数）求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴点A经过的路径长度为， 故答案为：． 5．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出绕点A按逆时针方向旋转90°后的； （2）在（1）的条件下，求点C旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 【答案】 （1）如图所示，即为所求： （2） 【分析】（1）根据图形旋转的性质画出图形即可得到答案； （2）先根据勾股定理求出AC的长，再由弧长公式：，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵ ∴点C旋转到所经过的路线长： 【点睛】本题考查的是旋转的作图，勾股定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识是解题的关键． 图形旋转后扫过的面积题型02 1．（25-26下·黑龙江哈尔滨·学情自测）一根长的木棒，如果绕着它的一端旋转，木棒扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，绕木棒一端旋转，木棒扫过的图形是半径为的半圆，利用圆的面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵木棒长为，绕一端旋转， ∴扫过的图形是半径的半圆 ∵圆的面积公式为 ∴木棒扫过的面积为. 2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知台钟的时针长，从上午点到上午点，时针扫过的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算及时钟角度问题的综合应用，根据时针转动的时间求出扇形的圆心角是解题的关键． 时针扫过的面积为扇形面积，台钟的时针长，即扇形半径为，时针从上午点到上午点移动小时，时针小时转，即时针扫过的圆心角为，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：时针扫过的面积即为扇形面积，台钟的时针长，即扇形半径为， 从上午点到点，时针共走了小时， 时钟一圈为小时，对应，因此时针转过的圆心角为： ， ∴时针扫过的面积为． 故答案为：． 3．（24-25下·上海·月考）小华家的闹钟的时针长6cm，那么经过4小时的时间时针扫过的面积为______取3.14）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角度数的求法，扇形面积公式的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式和圆心角度数的求法． 利用时针走一小时圆心角为，求得4小时圆心角的度数，再利用扇形面积公式即可求得答案． 【详解】解：根据题意，得： 时针4小时形成的圆心角度数为， 则时针扫过的面积为： 故答案为：． 4．如图，等腰直角的腰长为2．将绕C点逆时针旋转，则线段扫过的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积，根据题意可得，，然后计算即可获得答案． 【详解】解：如图， ． 故答案为：． 5．钟面上分针的长为，经过，分针在钟面上扫过的面积是多少平方厘米？（精确到） 【答案】 约平方厘米 【分析】先根据钟面分针的转动规律，求出分钟分针转过的圆心角度数，再将圆心角和半径代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：钟面上分针转完整一周，一周的角度为， 经过，分针在钟面上转过的角度为， 分针在钟面上扫过的面积是． 答：分针在钟面上扫过的面积约为平方厘米． 圆锥侧面最短路径题型03 1．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 2．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 3．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为_____cm． 【答案】3． 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：n＝180， 即展开后∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝3，AB＝6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得：BP＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 4．如图，圆锥的母线长是，底面圆的半径是，是底面圆周上的一点，从点出发绕侧面一周再回到点的最短路线的长是______． 【答案】 【分析】把圆锥的侧面展开，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可计算出，即，在中，计算出，于是得到，然后利用两点之间线段最短得到从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长． 【详解】解：把圆锥的侧面展开，如图，连接，作，设， 根据题意得， 解得 ， 即， ∵，， ∴，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长为． 5．如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6. （1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数； （2）如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根绳子的最短长度. 【答案】（1）∠ABC=120°；（2）这根绳子的最短长度是. 【分析】（1）根据勾股定理直接求出圆锥的高，再利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系，求出侧面展开图中∠ABC的度数即可； （2）首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可． 【详解】 (1)圆锥的高= 底面圆的周长等于：2π×2=， 解得：n=120°； (2)连结AC,过B作BD⊥AC于D,则∠ABD=60°. 由AB=6，可求得BD=3， ∴AD═， AC=2AD=， 即这根绳子的最短长度是. 【点睛】此题主要考查了圆锥的计算、勾股定理、平面展开-最短路径问题．得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.7 扇形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求弧长 题型02 求扇形面积 B组 能力进阶 题型01 求扇形半径 题型02 求圆心角 题型03 求弓形面积 题型04 其他不规则图形面积 题型05 求圆锥侧面积 题型06 求圆锥底面半径 题型07 求圆锥的高、母线 题型08 圆锥展开图圆心角 题型09 圆锥实际应用 C组 思维拔高 题型01 弧形运动路径长度 题型02 图形旋转后扫过的面积 题型03 圆锥侧面最短路径 求弧长题型01 1．已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 2．圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是__________cm 3．已知扇形的圆心角是，半径是3厘米，那么扇形的周长是_____厘米． 4．在半径为的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于_____． 5．（24-25九年级上·陕西安康·月考）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度． 求扇形面积题型02 1．计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知扇形的面积为6π，半径为4，则该扇形的弧长为_______ ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）半径为，圆心角为的扇形面积是________． 4．底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为___________ 5．如果一个扇形的半径是6，圆心角的度数为，求扇形的面积． 求扇形半径题型01 1．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（  ） A．6 B．9 C．18 D．36 2．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为____． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是________． 4．某扇形的圆心角为、面积是，此扇形的半径是________． 5．一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14） 求圆心角题型02 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 2．已知扇形的半径为20，弧长为，那么这个扇形的圆心角为______度． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______度． 5．半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？ 求弓形面积题型03 1．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是________． 3．如图，边长为2的正是的内接三角形，则阴影部分的面积为_________． 4．如图，在半径为6的中，点是的中点，与相交于点，，图中阴影部分面积是_________． 5．已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积． 其他不规则图形面积题型04 1．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=，则S阴影=（ ） A．2π B．π C．π D．π 2．如图小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积_______． 3．如图，等边三角形内接于，半径，则图中阴影部分的面积是 _______，（结果保留） 4．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，边长为1的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为_____________．（结果保留） 5．下图中三个圆的半径都是2厘米，求阴影部分的面积共是多少平方厘米？（取） 求圆锥侧面积题型05 1．已知圆锥的底面半径为6㎝，高为8㎝，圆锥的侧面积为（    ） A．48π B．96π C．30π D．60π 2．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 3．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 4．若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留） 5．如图，一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为度的扇形，求该圆锥的表面积（结果保留）． 求圆锥底面半径题型06 1．（24-25九年级上·山东淄博·月考）用一个半径为的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）将半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_________． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为______ 4．已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 5．（25-26九年级·期末）如图，圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为多少．（结果用表示） 求圆锥的高、母线题型07 1．把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则这个圆锥的高是_______． 3．圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 _____． 4．若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______cm． 5．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度. 圆锥展开图圆心角题型08 1．（2026·广东·模拟）已知圆锥的母线长为，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（） A． B． C． D． 2．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为______．    3．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______°． 4．圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 _____度． 5．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 圆锥实际应用题型09 1．一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 2．若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．18 3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 4．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的周长为_____． 5．茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 弧形运动路径长度题型01 1．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25下·上海·期中）时钟的时针长，从上午到中午，这个时针的针尖经过的路程为_____． 3．已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过40分钟滑过的弧线长为______厘米（结果保留）． 4．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若，则点A经过的路径长度为___________． 5．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出绕点A按逆时针方向旋转90°后的； （2）在（1）的条件下，求点C旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 图形旋转后扫过的面积题型02 1．（25-26下·黑龙江哈尔滨·学情自测）一根长的木棒，如果绕着它的一端旋转，木棒扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知台钟的时针长，从上午点到上午点，时针扫过的面积为________． 3．（24-25下·上海·月考）小华家的闹钟的时针长6cm，那么经过4小时的时间时针扫过的面积为______取3.14）． 4．如图，等腰直角的腰长为2．将绕C点逆时针旋转，则线段扫过的面积是______． 5．钟面上分针的长为，经过，分针在钟面上扫过的面积是多少平方厘米？（精确到） 圆锥侧面最短路径题型03 1．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 2．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 3．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为_____cm． 4．如图，圆锥的母线长是，底面圆的半径是，是底面圆周上的一点，从点出发绕侧面一周再回到点的最短路线的长是______． 5．如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6. （1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数； （2）如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根绳子的最短长度. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $