3.9 弧长及扇形的面积-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

口数学 九年级下册（北师大版） 弧长及扇形的面积 自主导学Q典例精析 例题1如图，⊙0的半径为2，AB,CD是互相垂直的两条直径， 点P是⊙O上任意一点（点P与点A,B,C,D不重合），经过点P作 PM⊥AB于点M,PW⊥CD于点N,Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过 45时，求点Q走过的路径长 【分析】OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可知Q是 B 例题1图 矩形OMPN的对角线MN和P0的交点，OQ=1,所以点P旋转的角度就是点Q旋转的角度， 再根据弧长公式即可求出路径长， 【解答】.PM⊥AB,PN⊥CD,∠AOD=90°，∴.四边形ONPM是矩形.又.·点Q为MN的 中点，点Q为0P的中点.0Q=)0P=1.点Q走过的路径长为45x1-T 180-4 【点拨】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是得出点Q走过的路径 (弧)的半径，以及弧所对的圆心角 例题2如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，A AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画 弧，求两弧之间的阴影部分的面积.（结果保留π） 【分析】根据扇形面积公式求出扇形BAD的面积和半圆AB的面积， 那么这两个面积之差即为所求 例题2图 【解答】S期联904-4m,Sm=号x2-2m,S分=S85w5幸=4n-2m=-2m. 360 【点拨】此题考查灵活运用扇形的面积公式求不规则图形的面积问题.扇形的面积公式有 两个：①S代0，其中n为扇形圆心角的度数，R为圆的半径：②S=优，其中1为扇形的 弧长，R为半径.计算阴影部分面积的基本策略是将不规则图形通过分割或补充，转化为求 规则图形面积的和或差 基础巩固飞达标闯关 -下多多s 1.如图，在⊙O中，∠AOB=60°，AB=3cm,则劣弧AB的 长为 cm. 2.如图，两个同心圆的半径分别为2,1，且∠A0B=120°， 则阴影部分的面积为 第1题图 第2题图 3.在半径为R的圆中，圆心角每增加1°，弧长增加 96 圆第三章 4.“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在 春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真 M 模型.图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M,⊙N的 半径分别是1cm和10cm,当⊙M顺时针转动3周时， 图1 图2 ⊙N上的点P随之旋转n°，则n= 第4题图 5.在半径为6cm的圆中，长为2πcm的弧对的圆心角的度数是() A.30° B.45° C.60° D.90 6.若一个扇形的圆心角是45°，面积为2π，则这个扇形的半径是() A.2T B.2V2 C.4m D.4 7.如果扇形的圆心角为150°，扇形的面积为240m,那么扇形的弧长为() A.5T B.10m C.20m D.40m 8.某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA,PB分别与AMB所 在圆相切于点A,B.若该圆半径是9cm,∠P40°，则AMB的长是( A.11πcm B. 2 cm 正面 C.7 cm D.子rcm 图1 图2 第8题图 9.如图是一把丝绸巨扇（两面粘贴丝绸），它由两个有相同圆心的扇形构成，已知小扇 形半径为12m,弧长为9πm的大扇形半径为20m,那么制作这把巨扇至少需要丝绸多少 平方米？（不包括浪费的，结果保留π） 0 第9题图 10.如图，已知菱形ABCD的边长为1.5cm,B,C两点在扇形AEF的EF上，求BC的长 及扇形ABC的面积. 第10题图 ⑦ 口数学 九年级下册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 11.如图，AB为半圆O的直径，C,D是AB上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线 段AB上任意一点，求图中阴影部分的面积. 0 第11题图 12.如图为一个扇形零件平面图，已知OB⊥DE于点C,∠DOE=120°，AB=20,AC=9, 求图中内、外两段弧的长度 第12题图 13.如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D,以C为圆心， CD为半径作DE交AB于点E,若AB=8cm,求图中阴影部分的面积. 第13题图 98 圆第三章 14.如图，AB=AC,点O在AB上，⊙O过点B,分别与BC,AB交于D,E两点，过点 D作DF⊥AC于点F. (1)求证：DF是⊙O的切线 (2)若AC与⊙O相切于点G,AC=8,CF=1,求阴影部分的面积. 第14题图 15.如图是某学校田径体育场的一部分示意图，第一条跑道每圈400m,跑道分直道和 弯道，直道为长度相等的平行线段，弯道为同心的半圆形，弯道与直道相连接.已知直道BC的 长为86.96m,跑道的宽为1m.(r取3.14，结果精确到0.01m) (1)求第一条跑道的弯道部分AB的半径 (2)求第二条跑道比第一条跑道长多少米. (3)若进行200m比赛，求第六道的起点F与圆心O的连线FO与OA的夹角∠F0A的 度数. 第15题图 的 口数学 九年级下册（北师大版） 16.如图，在一家服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料.现找出其中的一 种，测得∠C=90°，AC=BC=4,今要从这种三角形的布料中剪出一种扇形，做成不同形状的 玩具，使扇形边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切.请你设 计出所有可能符合题意的方案图，并求出扇形的半径.（只要求画出图形，并直接写出半径） 第16题图 17.如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB=90°，以点A为圆心，以AB 的长为半径作⊙A,交BC边于点E,交AC边于点F,连接DE. (1)求证：DE与⊙A相切. (2)若∠ABC=60°，AB=4,求阴影部分的面积. 第17题图 @ 圆 第三章 18.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部 分为圆弧. (1)图中已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH (2)设△ABC的边长为a,第1段弧和第5段弧的长各是多少？那么，前5段弧长的和 (即曲线CDEFGH的长)又是多少？ (3)类似的还有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”…那么边长为a的正方形的 渐开线的前5段弧长的和是多少？ (4)猜想：边长为a的正n边形的渐开线的前5段弧长的和是 边长为a 的正n边形的渐开线的前m段弧长的和是 第18题图 中考链接©真题演练 19.(2025·成都)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙0上的三个点.若四边形OABC 为平行四边形，连接AC,则图中阴影部分的面积为 20.(2025·青岛)如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=2V3,点C在OB上，且 OC=AC.延长CB到点D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部 分的面积为 (结果保留π)· B D 第19题图 第20题图 第21题图 21.(2025·河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆 术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形， 边CD与⊙O相切于点E,连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴 影部分的面积为 101 口数学 九年级下册（北师大版） 22.(2025·苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太 空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128（即最高点离水面平台MN的距离）， 圆心0到MN的距离为68m,摩天轮匀速旋转一圈用时30min.某轿厢从点A出发，10min 后到达点B,此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB)长度为 m(结果保留π). 第22题图 第23题图 23.(2024·重庆)如图，在矩形ABCD中，分别以点A和点C为圆心，AD长为半径画 弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为() A.32-8π B.16V3-4π C.32-4m D.16V3-8m 24.(2025·辽宁)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作⊙O,与AC相交于点D. 连接OC,与⊙0相交于点E. (1)如图1，连接DE,求∠ADE的度数， (2)如图2，若点D为AC的中点，且AC=6,求DE的长. 图1 图2 第24题图 25.(2025·武汉)如图，点A,B,C,D在⊙0上，BD是⊙0的直径，∠BAC=45°，过 点C作CE∥BD交AB的延长线于点E. (1)求证：CE是⊙O的切线. (2)若BD=4,tan∠ABD=2,求图中阴影部分的面积. 第25题图 @参考答案与提示 同理可得，∠AFC=∠ECF=∠CEB=∠DBE=∠ADB,故 图2中六边形各内角相等.(3)由(1)(2)可知， D 当n(n≥3，n为整数)是奇数时，各内角都相等的圆 内接多边形是正多边形；当n(n≥3，n为整数)是偶 数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形 12.1013.108°或36°14.B15.D16.D 17.B 第11题答图 18.A提示：连接PP,PP。,点P~Ps是⊙O 的八等分点，∴PP4=PP=PP6=PP，PP=PP3=PP 12.解：(1)DA,DC是⊙0的切线，DA=DC b-a=PP6+PP+PP+PP-(PP+PP3+PP)=PP+PP- 同理EB=EC·点P是⊙O外的一点，PA,PB分别与 PP在△PPP6中，PP4+PPo>PPo,∴PP4+PP6>PP. ⊙O相切于点A,B,PA=PB.△PDE的周长是8， .∴b-a>0. ..PD+PE +DE=8...PD +DC+PE +CE =PA +PB =2PA =8. 9弧长及扇形的面积 PA=4.(2)如图，连接AB.BF是⊙0的直径， ∠BAF=90°.PA=PB,.∠PAB=∠PBA.∠P=40°， 1x2.2m3 4.1085.c6.D7.C ∠PAB=∠PBA=×(180°-40°)=70°.PB切⊙0于点 8.A 2 9.解：设扇形所对圆心角的度数为n°，则 B,∴.∠PBF=90°.∴∠ABF=∠PBF-∠PBA=90°-70°=20°. ∴.∠AFB=180°-∠BAF-∠ABF=180°-90°-20°=70. 292=9,-81,5am-5em-22× 180 81π=57.6m(m2).57.6m×2=115.2(m2),.制作这把 巨扇至少需要丝绸115.2πm2. 10.解：如图，连接AC.,四边形ABCD是菱形且 边长为1.5cm,AB=BC=1.5cm.又B,C两点在扇 形AEF的EF上，AB=BC=AC=1.5cm..△ABC是等 边三角形∠BAC=60,BC的长-607测5-受(cm, 180 E =2R=7×受x15=智(em) S形A 第12题答图 8 8圆内接正多边形 1.452.63.90°4.Y及5.B6.D7.B 18 8.A 9.(1)画图略.(2)圆内接正三角形中心角为 120°，边心距为】R.正方形的中心角是90°，边心距 第10题答图 为Y2R 11.解：如图，连接 2 OC,OD,CD.C,D是AB A 1O.解：DF=GF理由：五边形ABCDE是正五边 上的三等分点，∴.∠AOC= 形，∴.∠CDE=∠C=108°.DC=BC,∴.∠1=∠CBD= ∠C0D=60°.又0C=0D, 2(I80P-∠C)=36.∠2=∠cDE-∠I=72e.AF/CD, .△OCD为等边三角形. D ∠0CD=60°.∴.∠A0C= 第11题答图 ∴.∠F=∠1=36°.∴.∠G=180°-∠2-∠F=180°-72°-36°= ∠OCD.∴AB∥CD.S阴影=S△e+S马形m=S△0am+S马形D, 72°...∠G=∠2..DF=GF. 11.解：(1)理由：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E, S月腿=S角形m=60xmXI2-π」 3606 ∠A所对的弧为BDE,∠B所对的弧为CDA,.BDE= 12.解：OB⊥DE,∠D0E=120°，.DC=CE, CDA..·BDE-CDE=CDA-CDE,即BC=AE...BC=AE. ∠c0D=∠c0E-60.0C=30D=0A.4c=301. 同理可得，AB=DE,AE=CD,AB=CD,AB=BC=CD= AB=20,AC=9,∴A0=18,0B=38..弧FG的长= DE=AE.·.五边形ABCDE是正五边形.(2)：∠AFC 所对的弧为ABC,∠DAF所对的弧为DBF,AD=CF, 120x38=76m,弧DE的长=120x18=12m 180 180 ∴.DBF=DBC+CF=DBC+AD=ABC.∠DAF=∠AFC. 13.解：如图，连接OD.0是AB的中点，C为 数学 九年级下册（北师大版） A0的中点，AB=8cm,.AO=4cm,AC=2cm,BC= 17.(1)证明：如图，连 6cm.在Rt△D0C中，由勾股定理和三角函数可得 接AE,:四边形ABCD是平 DC=2V3,∠AOD=60°..S网影=S京形0-(Sm形-S△c) 行四边形，AD=BC,AD∥ =1206.02+32V32=75+2V3 BC.∠DAE=∠AEB..AE=AB 360 360 .∠AEB=∠ABC..∠DAE= (cm2). ∠ABC.·.△AED≌△BAC (SAS)..∠DEA=∠CAB. ∠CAB=90°，.∠DEA=90° .DE⊥AE..AE是⊙A的半 第17题答图 径，.DE与⊙A相切.(2) 解：∠ABC=60°，AB=AE=4, .△ABE是等边三角形.AE=BE,∠EAB=60°.： 第13题答图 第14题答图 ∠CAB=90°，.∠CAE=90°-∠EAB=90°-60°=30°， ∠ACB=90°-∠B=90°-60=30°..∠CAE=∠ACB.AE= 14.(1)证明：如图，连接0D,则OD=OB. CE.AE=CE=BE.在Rt△ABC中，LABC=60°，AB= ∠ODB=∠B.AB=AC,∴∠C=∠B..∠ODB=∠C. .0D∥AC.DF⊥AC,.∠AFD=90°.∴.∠ODF=180°- 4.ACABt P-4V.C ∠AFD=90°.OD是⊙0的半径，且DF⊥OD,DF是 ⊙0的切线.(2)解：如图，连接0G,AC与⊙0 4V3=8V3.Saw75e7X8V3-4V3. 相切于点G,AC⊥OG.∴.∠OGF=∠ODF=∠GFD=90°， ∠CAE=30°，AE=4,S期形Ar=30AE=30mx4 .四边形ODFG是矩形.，OG=OD,.四边形ODFG是 360 360 正方形..FG=OG=OD=OB,∠DOG=90°.设FG=OG= 4红.S期=SASa形Am4V3-4打 3 3 0B=r,∠OGA=90°，AB=AC=8,CF=1,AG=8-1-= 7-T,0A=8-x.AG+0G=0A2,.(7-r)2+2=(8-r)只解得 18.(1)画图略. (2)24,10m0,10ma 3 3 T1=3,2=-5(不符合题意，舍去).S阳影=S正方形w-S原 。一0”7阴彩部分面积为9-空 (3)15m0.(4)30m0 m(m+1)wa 2 n n 360 4 15.解：(1)第一条跑道的弯道的半圆的周长为 19石203V3-m21.誓-2V3240m 6 200-86.96=113.04(m),113.04=TR.解得R≈36. 23.D 弯道部分4B的半径为36m.(2)·第二条跑道与 24.解：（1)如图1，连接BE,AC=BC,OA= 第一条跑道的直线跑道相等，弯道与第一条跑道弯道 OB,.0C⊥AB,即∠B0C=90°.OB=0E,.∠OBE= 的半径之差为1m,则2m(R+1)-2mR=2m≈6.28(m), ∠OEB=45°..四边形ABED是⊙0的内接四边形， ∴.第二条跑道比第一条跑道长6.28m.(3)半圆的半 ∠OBE+∠ADE=180°..∠ADE=135. 径增加1m时，半圆弧长增加3.14m,第六条跑道半 圆弧长比第一条跑道半圆弧长增加5×3.14=15.7(m). 15.7x180≈21.95°. .它所对的圆心角∠01=3.14x36+5) 16.如图 B 图1 图2 第24题答图 R2 (2)如图2，连接0D,D为AC的中点，AC=6, R,=4 :0D=AD=1AC=3.:0A=0D=AD=3.△AD0为等边 R=2V 2 三角形..∠AOD=60°.. ∠A0C=90°，..∠D0E=90° 60°=30°.DE=30mx3_1 1802m. 25.(1)证明：如图， 连接0C,∠BAC=45°， R3=2 C R,=4V2-4 ∠B0C=2∠BAC=90°..CE∥ 第16题答图 第25题答图 222 参考答案与提示 BD,.∠OCE=180°-∠B0C=90°，即CE⊥OC.0C是 2 ⊙O的半径，CE是⊙O的切线， -2V2 2 (2)解：如图，过点B作BF⊥CE于点F,则 5.解：原式=1.x+2)=x+2,x≠0,1≠ ∠BFE=∠BFC=90°.∠OCF=∠BOC=90°，.四边形 x-1 BOCF是矩形.又OB=OC,.四边形BOCF是正方形 0,x+2≠0，代人除-2,0,1以外的实数均可，求值 BD是O0的直径，BD=4,BF=0C=0B=号BD2 答案略。 6.解：原式=a-3b:5:-(a-2b)(a+2b21 :EC∥BD,.∠E=LABD.tan∠ABD=2,tanE=B a(a-26)'l a-2b a-2b EF 1=(a-362.9b2-a21-(a-3b)2 a-2b a a(a-2b)'a-2b a a(a-2b)(3b-a)(3b+a) 2,:EF=>BF=1..S腿=S△+SE带SEe 22x.0=2 1=-(a-3b)-1=-(a-3b)-3b+a」 -2a =5-π.∴.阴影部分的面积为5-π. a a(3b+a)a a(3b+a)a(3b+a)a(a+36) 360 2 专题1实数运算 -含g当时，原式 b=1 1.解：原式=-4+3V3+3+1=3V3. 2 3+3x1=-3 2.解：原式=4-6x】+1+2V2-2-2V2 2 7.解：由题意，得a-2b-10.原式=-4b+4b2. a 3解：原式=}+3V7-Y2+3-2V7=2+ 2 4=(a-2b2=10=25. 4 4 4 V2 .x+3 2 8.解：原式=（+32 3-3)3+3= x-3 4.解：原式=5+1-3-2V3=3-2V3. x(x-3）-x+3=x-x+3=3,x(c+3)(x-3)≠0，不论x 5.解：原式=1-3+1-2+9=6. x+3 6.解：原式=3+1-4-2×1=-2. 为任何有意义的值，原代数式的值都为3.·.原代数式 7.解：原式-2x5-8)+47)2 的值不变」 专题3方程与不等式的应用 8.解：原式=-4-(V3-1)-1+2x3+V2= 1.解：(1)设1号线、2号线每千米的平均造价 -4+V2. 24+2,265解得6。 分别是x亿元、y亿元，则05， =5.5. 专题2分式化简及求值 答：1号线、2号线每千米的平均造价分别是6亿元和 1属：原式-品4(a+1a- 5.5亿元.(2)根据题意得91.8×6×1.2=660.96（亿 元).答：还需投资660.96亿元. -2(a+1)(a-1)_(a+1)(a-1) 2.解：设九年级(1)班人均捐款为x元，则九年 a-1 a+1 级(2)班人均捐款为1.2x元，根据题意列方程得 =2(a+1)-(a-1)=a+3. 当a=(号)+an45°=2+1=3时，原式3+3=6. 1200_1200=8.解得=25.经检验x=25是原方程的 x1.2x 根，则1.2x=30.答：九年级(1)班人均捐款25元， 2.解：原式=m+l)(m-+m (m-1)2 +nn贤+品 九年级(2)班人均捐款30元. 3.解：(1)设苹果进价为每千克x元，由题意， -货导高当m3 得400(2x-)+109%x300-400-2100.解得x=5.经 时，原武品子 检验x=5是原方程的根.答：苹果进价为每千克5元 3解：原式得得十2 (2)由(1)知每个超市所进的苹果总量为3000 5 -1 =-2-1.-2-30.-2=3.原式3-12 600(kg),甲超市大、小苹果的售价分别为10元和 5.5元，所以乙超市获利为600x1055-5=1650 4.解：原式=-÷2b-b￠)=-足： 2 0 aa a (元).因为甲超市获利2100>1650，所以甲超市销售 2地g-aba·-0b-.当a1+ 方式更合算. a 4.解：(1)设甲队单独完成这项工程需要x天， V2,b=1-V2时，原式=1+V2)+1-V2) 则乙队单独完成这项工程需要2x天.根据题意，得6 (1-1V2)-(1+V2)