3.8圆内接正多边形（题型专练）数学北师大版九年级下册

3.8圆内接正多边形 题型一 求正多边形的边长 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C．3 D． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）若正六边形的外接圆半径长为4，则它的边长等于（ ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知正六边形的外接圆半径为3，则它的边长为 ． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长之比为 ． 6．（2024·广东·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ． 题型二 求正多边形的内角 1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是正五边形的外接圆，则 ． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，正五边形的内切圆，分别与边，，相切于点，则的度数是 ． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正八边形的两条对角线、相交于点，的度数为 ． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ． 题型三 求正多边形的中心角 1．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）正边形的边数变为原来的倍时，它的每个内角增加 ，每个中心角减少 ． 3．（2024·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 4．（21-22九年级上·辽宁大连·期末）半径为4的正六边形的中心角是 °． 5．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 题型四 由正多边形求圆的半径 1．（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为 ． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为 ． 3．（2022·广西·二模）已知正六边形的边长为9，那么它的外接圆的半径为 ． 4．（9-10九年级上·湖北·期末）若圆内接正三角形的边长为2，则圆的半径为 ； 5．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ． 题型一 已知正多边形的中心角求边数 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级上·北京·月考）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 3．（24-25九年级上·全国·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在正边形中，，则的值是 ． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，为一个正多边形的相邻四个顶点，是正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形中，，则的值是 ． 题型二 求正多边形的面积 1．（25-26九年级上·北京·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）若正六边形的半径是4，则正六边形的面积为（    ） A． B． C．24 D． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为 ． 5．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）在半径为的圆内接正方形和内接正六边形，则正方形面积与正六边形的面积的比值为 ． 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为 ． 7．（2024·广东·模拟预测）有一个边长为的正六边形． (1)该图形的内角和为 ，一共有 条对角线． (2)该图形中心到一条边的距离为 ，该图形面积为 ． 题型三 尺规作图：正多边形 1．（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 2．（2018·陕西·一模）如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 3．（2022·陕西·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 4．（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 6．（2025·陕西·模拟预测）补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 题型一 正多边形与圆的综合 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 2．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，在正六边形中，点，，分别在边，，上，且是的中点，．若，，则的长为 ． 4．（2023·江苏无锡·模拟预测）我国伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为的中点，连结交于点P，若，则的长为 ． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.8圆内接正多边形 题型一 求正多边形的边长 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查正六边形定义，熟记正六边形边长与外接圆半径长度相同是解决问题的关键． 正六边形的外接圆半径与其边长相等，因此直接可得答案． 【详解】解：∵正六边形的外接圆半径等于其边长， ∴ 当外接圆半径为时，该正六边形的边长为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）若正六边形的外接圆半径长为4，则它的边长等于（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的关系是解题的关键；正六边形的外接圆半径与边长相等，因为正六边形由六个等边三角形组成，每个等边三角形的边长等于外接圆半径． 【详解】解：∵正六边形的中心角为，且外接圆半径与边长构成等边三角形， ∴正六边形的边长=外接圆半径； 故选A． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，由正六边形内接于，则，从而证明是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知正六边形的外接圆半径为3，则它的边长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，由题意得正六边形的外接圆半径与边长构成等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵正六边形的中心角为，即； ∵， ∴外接圆半径与边长构成等边三角形， ∴正六边形的边长为3． 故答案为：3 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形、圆的性质以及三角函数，分别计算内接正三角形和正六边形的边长，再化简比值． 【详解】解：设圆的半径是，正三角形的边长为，正六边形的边长为， 则多边形的半径是， 如图1，则内接正三角形的边长， 如图2，正六边形的边长是， 因而半径相等的圆的内接正三角形、正六边形的边长之比． 故答案为：． 6．（2024·广东·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确正六边形的特点． 连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：2． 题型二 求正多边形的内角 1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心， 所以， 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是正五边形的外接圆，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆周角定理和正五边形的性质．由正五边形的性质得出，然后根据圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是正五边形， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，正五边形的内切圆，分别与边，，相切于点，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正八边形的两条对角线、相交于点，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，三角形的内角和定理，等边对等角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据正多边形的一个内角的度数的计算方法，求出的度数，等边对等角，求出的度数，根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵正八边形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ． 【答案】/126度 【分析】此题考查了圆周角定理，正多边形和圆的性质，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，，，，，首先根据多边形和圆的性质得到，然后根据圆周角定理得到，，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，，，， ∵正五边形内接， ∴ ∵点F是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 题型三 求正多边形的中心角 1．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）正边形的边数变为原来的倍时，它的每个内角增加 ，每个中心角减少 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形外角、内角及中心角的计算方法，关键是知识的熟练应用． 分别计算出两个正多边形每个内角及中心角的度数，然后作差即可求得. 【详解】∵正边形的每个外角为， ∴每个内角为， ∵正边形的每个外角为， ∴正边形的每个内角为， ∴ ∵正边形的每个中心角为， 正边形的每个中心角为， ∴ 故答案是：，． 3．（2024·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正六边形的中心角等于； 故答案为：． 4．（21-22九年级上·辽宁大连·期末）半径为4的正六边形的中心角是 °． 【答案】 【分析】本题考查了求正多边形的中心角，根据正六边形的性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：正六边形的中心角是， 故答案为： 5．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度． 【答案】72 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题的关键． 根据正多边形的内角和求出其边数，即可求出这个正多边形的中心角的度数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 则，解得， 所以正五边形的中心角是． 故答案为：72． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的含义． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可. （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正边形的每个中心角都等于,进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7. （2）解：由（1）可得该多边形是正七边形， 中心角的度数． 题型四 由正多边形求圆的半径 1．（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的周长比为，则正方形的周长为8，得到正方形的边长为2，用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的周长比为， ∵正方形周长为4， ∴正方形的周长为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，正六边形的外接圆半径等于其边长． 【详解】解：正六边形的中心与各顶点相连，将正六边形分成六个全等的等边三角形，每个等边三角形的边长均为6，因此外接圆的半径为6． 故答案为：6． 3．（2022·广西·二模）已知正六边形的边长为9，那么它的外接圆的半径为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质，掌握正六边形的外接圆的半径等于其边长是解题的关键． 利用正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质进而计算． 【详解】解：边长为9的正六边形可以分成六个以正六边形的中心为公共顶点，边长为9的正三角形， ∴外接圆半径是9， 故答案为：9． 4．（9-10九年级上·湖北·期末）若圆内接正三角形的边长为2，则圆的半径为 ； 【答案】 【分析】此题考查了正多边形和圆综合，正三角形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图，是的内接正三角形，且边长为2，连接，，首先求出，求出，得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，是的内接正三角形，且边长为2，连接，， ∵是正三角形， ∴垂直平分，设垂足为D． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接正多边形的相关性质；先求出中心角，再根据等腰三角形的性质求出，再根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，为的内接正三角形， 过O作，连接，则， 为圆内接正三角形， ， ， ， ，即， 边心距与半径的比是， 故答案为：． 题型一 已知正多边形的中心角求边数 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆；正多边形的中心角等于360°除以边数，因此已知中心角可求边数． 【详解】解：中心角，且中心角， ， ． 因此，边数为，对应选项D． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京·月考）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查圆与正多边形，根据正n边形的中心角为计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴这个多边形是正五边形． 故答案为：C． 3．（24-25九年级上·全国·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【详解】解：∵内接正多边形的中心角为，且， ∴该正多边形的边数是20． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在正边形中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆，圆周角定理，中心角，掌握正多边形与圆的关系是解题的关键； 先标字母，为正边形的外接圆，再根据圆周角定理求出，可求出中心角的度数，进而得出正多边形的边数． 【详解】解：如图所示，标记点，点，点，正边形的中心，为中心角，为正边形的外接圆， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，为一个正多边形的相邻四个顶点，是正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，设正多边形的外接圆为，连接，，所以，则这个正多边形为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ∵， ∴， ∴这个正多边形为， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形中，，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 【详解】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 题型二 求正多边形的面积 1．（25-26九年级上·北京·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形的边长等于半径的特点，正六边形可以分解为六个全等的三角形，易得每个三角形的面积，进而可得六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点， ∴中心角， ∵正六边形的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正六边形的面积是． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握：正六边形的边长等于半径． 2．（25-26九年级上·北京·期中）若正六边形的半径是4，则正六边形的面积为（    ） A． B． C．24 D． 【答案】A 【分析】正六边形的外接圆半径等于边长，可将正六边形分割为六个全等的等边三角形，利用等边三角形面积公式计算单个三角形面积，再乘以6得到总面积． 本题考查了正六边形的计算，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 正六边形的半径（外接圆半径）， ∴ 边长 每个等边三角形的面积：， ∴ 正六边形的面积：， 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】点O 为正六边形的 中心， ， ， 为等边三角形， ， 过点作， ， ， ， ． 故选． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、三角形的面积的计算、解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 连接、，过点作于，得到圆的内接正八边形的圆心角，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ∵圆的内接正八边形的圆心角为， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正八边形的面积为 故答案为： ． 5．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）在半径为的圆内接正方形和内接正六边形，则正方形面积与正六边形的面积的比值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了圆内接正四边形和圆内接正六边形的半径和边心距之间的关系．根据圆内接正方形和内接正六边形的性质，将问题转化为关于三角形的问题，可求出正方形和正六边形的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图1， 在圆内接正方形中，，， 则内接正方形的边长为， 其面积为； 如图2，在圆内接正六边形中，作于点， ∴， ∴为正三角形， 则内接正六边形的边长为R， ∴， ∴内接正六边形的面积为， ∴正方形面积与正六边形面积的比值为： ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的判定与性质等知识，连接、、、、，先判断六边形是的内接正六边形，则，根据中心角定义求出，则可求出，故A、O、E三点共线，即是的直径，同理可得是的直径，根据直径所对的圆周角是直角以及矩形的判定可得出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：连接、、、、，如图所示： 由题意知：A、B、C、E、F、G把分成六等分， ∴六边形是的内接正六边形， ∴，， ∴， ∴A、O、E三点共线，即是的直径， ∴， 同理是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为， 故答案为：． 7．（2024·广东·模拟预测）有一个边长为的正六边形． (1)该图形的内角和为 ，一共有 条对角线． (2)该图形中心到一条边的距离为 ，该图形面积为 ． 【答案】(1)；9 (2)； 【分析】本题考查了多边形的内角和、多边形对角线条数问题、正多边形与圆、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据多边形的内角和公式和对角线数量公式即可求解； （2）设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点，利用正六边形的性质得到，，推出是等边三角形，通过解求出的长，得出正六边形中心到一条边的距离；再利用三角形的面积公式求出的面积，进而得出正六边形的面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：正六边形的内角和为； 正六边形对角线的数量为； ∴该图形的内角和为，一共有9条对角线． 故答案为：；9； （2）解：设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点，如图所示： ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 即正六边形中心到一条边的距离为； ∵， ∴， 即正六边形面积为； 故答案为：；． 题型三 尺规作图：正多边形 1．（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题． 通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到． 【详解】解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ∴ ①②可行，③不可行， 故选：B． 2．（2018·陕西·一模）如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 3．（2022·陕西·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 4．（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】见解析 【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 【详解】如图，四边形ABCD即为所求作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 6．（2025·陕西·模拟预测）补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 【答案】45；8，图见解析 【分析】本题主要考查了中心角，圆和正多边形，尺规作图， 先求出中心角，并作出8个点，再隔一个点依次连接，可得答案. 【详解】解：步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画的角，与圆相交于8个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 画出图形如图所示． 答案为：45；8． 题型一 正多边形与圆的综合 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 【答案】1/ 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 2．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是 【答案】 【分析】由正六边形可知，，，，由，，可知在以为直径的圆上运动，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则，过作于，则，，则，，，勾股定理得，，根据的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：由正六边形可知，，，， ∵，， ∴在以为直径的圆上运动， 如图，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则， 过作于，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边对等角，正弦，勾股定理，的圆周角所对的弦为直径．解题的关键在于确定点的运动轨迹． 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，在正六边形中，点，，分别在边，，上，且是的中点，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质．根据正六边形的性质，矩形的判定和性质求出，，再根据相似三角形的判定和性质求出，由直角三角形的边角关系即可求出． 【详解】解：如图，连接，过点P、N分别作直线的垂线，垂足分别为G、H，过点N作于点K， ∵六边形是正六边形， ∴，， 在 中，，， ∴， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 4．（2023·江苏无锡·模拟预测）我国伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为的中点，连结交于点P，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、，则，所以圆心O在上，由点G为的中点，得，可求得，由是等边三角形，得，则，所以，则，作交于点I，则，所以，则，，于是得，再利用，得，则，即可求得答案． 【详解】解：设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、． ∵， ∴，， ∴圆心O在上， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， 作交于点I，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $