3.5点与圆、直线与圆的位置关系 -同步练-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以“基础提质-能力提升-素养提优”分层设计，覆盖点与圆、直线与圆位置关系等核心知识点，通过梯度化题型实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提质|单一知识点直接应用|如点与圆位置关系判断、切线性质基础计算，夯实概念理解| |能力提升|跨知识点综合应用|结合方程、勾股定理解决动态位置关系问题，提升推理能力| |素养提优|实际情境与探究证明|如“桃园山庄”选址、内切圆最大半径探究，发展应用意识与创新思维|

3.5点与圆、直线与圆的位置关系 第1课时 点与圆的位置关系 基础提质 知识点 点与圆的位置关系 1.已知⊙O 的半径为5，点 P 到圆心O的距离为d，如果点 P 在圆内，则d的取值范围为( ) A. d<5 B. d=5 C. d>5 D.0≤d<5 2.若点 M 是等腰△ABC 的底边BC的中点，则点 M 与以AB 为直径的圆的位置关系是( ) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不能确定 3.如图，在矩形ABCD中,AD=5,AB=12,以顶点 D 为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 . 4.如图，点A 表示一座风景秀美的小山，市政府计划以点A为中心，修建一个半径为12 km的“桃园山庄”.因此，在此范围内的其他建筑物将被拆除.从点A 出发向东走8km，再向南走6km有一砖厂 B，砖厂 B的正东方向 3 km处有一古塔C，问砖厂和古塔是否需要拆除? 能力提升 5.已知⊙O的半径为3，点 P 到圆心O的距离恰好是一元二次方程 的根，则点 P 与⊙O 的位置关系是( ) A.点 P在⊙O的内部 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O的外部 D.点 P 在⊙O 的内部或点 P 在⊙O 的外部 6.如图,已知P是⊙O外一点,Q是⊙O上的动点,线段 PQ的中点为M,连接OP,OM,若⊙O的半径为4，OP=8，则线段OM 的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知点 P 到圆上的最远距离是5cm ，最近距离是1 cm，则此圆的半径是 . 8.设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程 有两个不相等的实数根，试确定点 P 与⊙O 的位置关系. 第2课时 直线与圆的位置关系 基础提质 知识点直线与圆的位置关系 1.如图所示的是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，则它们的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.平行 2.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD 是AB边上的高,AB=4,如果圆 D 是以点 D 为圆心，1.4为半径的圆，那么圆D与直线AC 的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 3.若点M在⊙O内，则过点M的直线，与⊙O 的公共点个数为 . 4.如图，在平面直角坐标系中,A(2,5),B(4,5),C(6,3).⊙M经过A,B,C三点. (1)点M的坐标是 . (2)判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由. 能力提升 5.若⊙O 的半径为5，点P到圆心O的距离也为5，则经过点P的直线与⊙O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相切或相交 D.相切或相离 6.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为2.5,直线l的解析式为y= 那么直线l与⊙O的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 7.如图，已知∠APB=30°,OP=3cm,⊙O 的半径为1 cm,若圆心O沿着 BP 的方向在直线 BP 上移动. (1)当圆心O移动的距离为1 cm时，说明⊙O与直线 PA 的位置关系. (2)若圆心O移动的距离是d，当⊙O 与直线PA相交时，求d的取值范围. 第3课时 切线的判定与性质 基础提质 知识点1 切线的判定 1.如图，已知⊙O的半径为5，直线AB经过⊙O 上一点 P，下列条件不能判定直线AB与⊙O 相切的是( ) A. OP=5 B.∠APO=∠BPO C.点O到直线AB 的距离是5 D. OP⊥AB 2.如图，AB是⊙O 的直径，要使得直线AT是⊙O 的切线，需要添加的一个条件是 .(写一个条件即可) 3.如图，在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O 交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E.求证:直线DE与⊙O相切. 知识点 2 切线的性质 4.如图,PA,PB是⊙O 的切线,A,B为切点,点 C 在⊙O上,且∠ACB=50°,则∠APB=( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 5.如图,PA 与⊙O 相切于点 A,PO的延长线交⊙O 于点 C.过点 A 作 AB∥PC 交⊙O 于点 B.若∠P=30°,则∠BCP 的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 6.如图,AB,AC是⊙O 的弦,过点A 的切线交CB 的延长线于点D,若∠BAD=35°,则∠C= °. 7.如图,点O是Rt△ABC斜边AC上的一点，以OA长为半径的⊙O 与边 BC 相切于点 D.求证:AD平分∠BAC. 能力提升 8.如图,四边形ABCD 是⊙O的内接四边形,∠ADC=90°,DC=BC,直线EA 与 ⊙O 相切于点 A.若∠BCD = 128°,则∠DAE 的度数为( ) A.52° B.54° C.64° D.74° 9.如图,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上一点,且AD=12,DC与⊙O 相切于点 C,连接AC,且AC=DC,则BD 的长为 . 10.如图,⊙P 与y轴相切于点 C(0，3)，与x轴的交点A，B的横坐标分别为 1,9.直线y= kx-3恰好平分⊙P 的面积，那么k的值是 . 11.如图，在直角坐标系中,A点的坐标为(-4,5),⊙A 的半径为3,P为x轴上一动点，PB切⊙A于点 B，则 PB的最小值是 . 素养提优 12.如图，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD 与 BC 均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD,且始终满足CD=AD+BC. (1)求证：CD与该半圆相切. (2)当半径 时,令AD=a,BC=b, 比较m与n的大小，并说明理由. 第4课时 切线长 基础提质 知识点 切线长及切线长定理 1.如图,PA,PB是⊙O 的两条切线,点 A,B 是切点,OP 交⊙O 于点 C,交弦AB 于点 D.下列结论中错误的是( ) A. PA=PB B. AD=BD C. OP⊥AB D.∠PAB=∠APB 2.如图，PA，PB是圆O的切线,A,B 为切点,AC 是直径,∠BAC=35°,则∠P= . 3.如图,PA,PB分别与⊙O 相切于点A，B，并与⊙O的另一条切线分别相交于D，C两点,已知PA=6,则△PCD的周长= . 能力提升 4.如图,EA,ED是⊙O 的切线,切点为A,D,点B,C 在⊙O 上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=( ) A.56° B.60° C.68° D.70° 5.将圆形玉佩，直角三角尺和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与刻度尺、直角三角尺都相切，切点分别为B，C.测得AB=2cm，则圆形玉佩的半径为 cm. 6.如图,在▱ABCD中,过点C 的⊙O与AB,AD 分别相切于点 E,F,交BC,CD于点G,H.连接FH,FG,FH=FD. (1)求证：四边形ABGF 是平行四边形. (2)若AE=4,BE=6,求⊙O的半径. 学科网（北京）股份有限公司 第5 课时 三角形的内切圆 基础提质 知识点 三角形的内切圆与内心 1.三角形的内心是( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 2.如图,⊙O 是△ABC 的内切圆,∠A=54°,则∠BOC= °. 3.如图所示的网格是由边长为1个单位长度的小正方形组成的，点A，B，C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC 内心的坐标为 . 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?”其意思：“如图，现有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少?”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是 步. 5.如图,△ABC 的周长是18 cm,点O 是△ABC 的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,已知 AB = 6 cm,则△CEF 的周长为 cm. 6.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=70°,△ABC 的内切圆⊙O 与边AB,BC,CA分别相切于点 D,E,F,连接DE,EF,则∠DEF的度数为 °. 7.已知:如图,△ABC.第3章 (1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC 内切圆的圆心 O.(只保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)若△ABC的周长为14 cm,内切圆的半径为1.3cm,求△ABC 的面积. 能力提升 8.如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,点O 为△ABC 的内心.若△ACO的面积为25，则△ABO的面积为( ) A.5 B.10 C.15 D.20 9.如图,E,F,G,H四点分别在正方形ABCD的四条边上,AF=BG=CH=DE.若AB=17,EF=13,则△GCH的内切圆的半径为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),点B(0,3),△ABC的内心在x轴上,则直线AC的函数表达式为 . 11.如图,在△ABC 中,∠ABC =60°,BC=8,E 是BC边上一点,且BE=2,点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点 D，P是 BD上一动点,连接PE,PC,则PE+PC的最小值为 . 素养提优 12.核心素养能力【问题提出】 (1)如图①,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为 D.若AB=15,AC=8,则AD的长为 . 【问题解决】 (2)如图②所示，某工厂剩余一块 板材(△ABC),其中AB=100 cm,BC=160 cm,AC=140cm.为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件.你认为可以吗?若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出⊙O 的半径；若不可以，请说明理由. 3.5点与圆、直线与圆的位置关系 第1课时 点与圆的位置关系 基础提质 1. D ∵点P在圆内,且⊙O的半径为5,∴0≤d<5.故选D. 2. B 如图,取AB 的中点 O,连接OM,AM,∵AB=AC,点 M 是 BC的中点,∴AM⊥BC,∵O 为AB的中点，∴ ∴点M在⊙O上.故选 B. 3.答案 5<r<13 解析 如图，连接BD， ∵四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠A=90°,CD=AB=12,∵AD=5,∴ ∵顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外,∴r的取值范围为5<r<13. 4.解析 以点 A 为圆心，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，连接AB，AC，过点B,C 分别作 x 轴、y 轴的垂线(图略),则 AB = ∵10<12,∴砖厂需要拆除, ∴古塔不需要拆除. 能力提升 5. C 解方程 得 ∵点 P 到圆心O 的距离大于(0,∴ ∵2+ 即点 P 到圆心O 的距离大于半径，∴点 P 在⊙O 的外部.故选 C. 易错警示 虽然本题的方程有两个根，但是距离必须大于0，因此需要根据题意对方程根进行取舍，避免因忽略实际条件而选错答案. 6. A 设OP与⊙O交于点N,连接MN,OQ,如图. ∵OP=8,ON=4,∴N是 OP 的中点.又∵M 是PQ 的中点,∴MN为△POQ 的中位线,∴ 4=2，∴点M 在以N为圆心，2为半径的圆上.易知当点M在 ON上时,OM 的值最小,最小值为4-2=2,∴线段OM 的最小值为2.故选 A. 7.答案 3c m或2cm 解析 当点 P在圆内时，∵点P 到圆上的最远距离是5cm,最近距离是1cm,∴圆的直径为5+1=6(cm),∴圆的半径为3c m；当点 P 在圆外时，∵点 P 到圆上的最远距离是5cm，最近距离是1 cm，∴圆的直径为5-1=4(cm),∴圆的半径为2cm.综上,圆的半径为3cm或2cm. 8.解析 由题意可知( 解得m<2,又∵⊙O 的半径为2,∴点 P在⊙O内. 第2课时 直线与圆的位置关系 基础提质 1. C根据直线与圆的位置关系可得，它们的位置关系为相交.故选 C. 2. B ∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,∴BC=2,∠B=90°-30°=60°,∴ ∵CD是AB上的高,∴∠BCD=90°-∠B=30°,∴ ∴CD= ∴AD=AB-BD=3,,如图,过点D作DH⊥AC于点H,∴ ∴圆D与直线AC的位置关系是相离.故选 B. 3.答案 2 解析 ∵ 点M在⊙O 内,∴过点 M 的直线与⊙O 相交，∴过点M 的直线，与⊙O的公共点个数为2. 4.解析 (1)(3,2).详解:如图,连接AB,BC,分别作AB，BC的垂直平分线交于点 M，则以点 M 为圆心，AM长为半径的圆即为所求，根据网格的特点可知点M 的坐标为(3,2),故答案为(3,2). (2)⊙M与y轴相交.理由如下： 由勾股定理得 即⊙M 的半径 ∵⊙M 的圆心M的坐标为(3,2), ∴点M到y轴的距离d=3, ∴⊙M与y轴相交. 能力提升 5. C设圆的半径是r，圆心O 到过点 P 的直线的距离为d，有两种情况：如图1，当d=r时，直线与圆相切；如图2，当d<r时，直线与圆相交.综上，经过点 P 的直线与⊙O 的位置关系是相切或相交.故选 C. 易错警示 本题易因将圆心到点的距离当成圆心到直线的距离而出错. 6. C 如图,直线 分别与x轴、y轴交于点 B，A,过点O作 OH⊥AB于点 H. 当x=0时,y=3,∴OA=3,当y=0时, ∴x=-4,∴OB=4,∴ ∵△AOB的面积 ∴ 5×OH=3×4,∴OH=2.4,∴点O到直线l的距离d=2.4,∵⊙O的半径r=2.5,∴d<r,∴直线l与⊙O 的位置关系是相交.故选 C. 7.解析 (1)如图,当圆心O 向左移动1 cm时,PO'=PO-O'O=3-1=2(cm), 如图,过点 O'作 O'C⊥ PA 于点 C,∵ ∠P=30°, ∵⊙O 的半径为1cm,∴⊙O与直线 PA 的位置关系是相切. (2)如图，当圆心O 由 O'向左继续移动时，PA 与圆相交， 设当移动到点 O"时,⊙O"与直线 PA 相切,此时O"P=PO'=2cm,∵OP=3cm,∴OO"=OP+O"P=3+2=5(cm),又 ∴当⊙O与直线PA 相交时,d的取值范围为1 cm<d<5cm . 第3课时 切线的判定与性质 基础提质 1. A A. OP =5,不能判定直线 AB 与⊙O 相切; B.∵∠APO= ∠BPO, ∠APO + ∠BPO = 180°, ∴∠APO=90°,∴OP⊥AB.又∵点P 在⊙O 上,∴能判定直线AB 与⊙O 相切;C.∵点O 到直线AB 的距离是5,等于半径,∴能判定直线AB 与⊙O相切;D.∵ OP⊥AB,点 P在⊙O上,∴能判定直线AB 与⊙O 相切.故选 A. 2.答案 ∠TAC=∠B(答案不唯一) 解析 ∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACB=90°,∴ ∠B+∠BAC=90°,当∠TAC=∠B 时,∠TAC+∠BAC=90°,即∠BAT=90°,∴OA⊥AT,∴直线AT是⊙O 的切线. 3.证明 【证法一】如图，连接OD， ∵OB=OD,∴∠B=∠ODB. ∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC, ∵DE⊥AC,∴OD⊥DE, ∴直线DE与⊙O相切. 【证法二】如图,连接AD,OD, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC, 又∵AB=AC, ∴点D是BC的中点,∴BD=CD, ∵AO=BO, ∴OD 是△ABC的中位线,∴OD∥AC, ∵DE⊥AC,∴OD⊥DE, ∴ 直线DE与⊙O 相切. 技巧归纳 证明切线时，若已知切点，常连半径证垂直，利用判定定理证明；若未知切点，则作垂线证与半径相等，利用d=r证明. 4. D 如图,连接OA,OB,∵ PA,PB 是⊙O 的切线,∴OA⊥PA,OB ⊥ PB, ∴ ∠OAP = ∠OBP = 90°,∵∠AOB=2∠ACB=100°,∴ ∠P=360°-90°-90°-100°=80°.故选 D. 5. C 如图,连接OA,OB,∵ PA 与⊙O 相切于点 A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°,∴∠AOP=90°-∠P=90°-30°= 60°,∵ AB∥PC,∴ ∠OAB =∠AOP = 60°,又∵OA=OB,∴△AOB 为等边三角形,∴ ∠AOB=60°,∴∠BOC =180°-∠AOP-∠AOB =60°,∵ OB=OC,∴△BOC为等边三角形,∴∠BCP=60°,故选 C. 6.答案35 解析 如图，连接AO并延长交⊙O 于点 E,连接BE,∵ AD 与 D<⊙O 相切于点 A,∴ ∠OAD=90°,∵ ∠BAD = 35°, ∴ ∠BAE =∠OAD-∠BAD=55°,∵ AE 是⊙O 的直径,∴ ∠ABE=90°,∴∠E=90°-∠BAE=35°,∴∠C=∠E=35°. 7.证明 连接OD,如图,∵以 OA 长为半径的⊙O 与边BC 相切于点 D, ∴OD⊥BC,∴∠ODC=90°, ∵∠B=90°, ∴OD∥AB,∴∠ODA=∠BAD, ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD, ∴ ∠BAD=∠OAD,∴ AD平分∠BAC. 能力提升 8. C 如图,连接AC, ∵∠ADC=90°,∴AC是圆的直径, ∵直线EA与⊙O 相切于点A, ∴ EA⊥AC,∴∠CAE=90°, ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD=180°, ∵∠BCD=128°,∴∠BAD=180°-128°=52°, ∵DC=BC,. ∴ ∠DAE=90°-∠CAD=64°.故选 C. 9.答案4 解析 如图，连接OC， ∵DC与⊙O相切于点 C, ∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°, ∵AC=DC,∴∠A=∠D, ∵∠BOC=2∠A,∴∠BOC=2∠D, ∵∠BOC+∠D=90°, ∴2∠D+∠D=90°,∴∠D=30°,∴OD=2OC, ∵OA=OC, ∴AD=OA+OD=OC+2OC=3OC=12, ∴OC=4,∴AB=2OC=8, ∴BD=AD-AB=12-8=4. 10.答案 解析 如图,过P 点作PD⊥AB 于点D,连接PC,PA, ∵⊙P与y轴相切于点 C,∴PC⊥y轴,∴ ∠PCO=90°,∵ PD⊥AB,∴ ∠PDO=∠PCO=∠COD=90°,∴四边形 PCOD 为矩形,∴ PD=OC=3,PC=OD,∵点A,B 的横坐标分别为1,9.∴ OA=1,OB=9,∴AB=8,∵PD⊥AB,∴AD=BD=4,∴PC=OD=OA+AD=5,∴P点的坐标为(5,3),∵直线y= kx-3恰好平分⊙P 的面积,∴ 直线y=kx-3 经过圆心,把P(5,3)代入y= kx-3,得3=5k-3,解得k= 11.答案 4 解析 如图,连接AB,AP, 根据切线的性质，得AB⊥PB， ∵AB=3,∴要使 PB 最短,只需AP最短,当AP⊥x轴时,AP 最短,此时P点的坐标是(-4,0),∵A点的坐标为(-4,5),∴AP=5,在 Rt△ABP 中,AP=5,AB= ∴PB的最小值是4. 素养提优 12.解析 (1)证明:如图,连接CO 并延长,交 DA 的延长线于点 M,过点O 作OE⊥CD于点 E. ∵AD与BC均为半圆的切线,∴AD⊥AB,BC⊥AB.∴AD∥BC.∴ ∠M=∠1. ∵OA,OB均为半圆的半径,∴OA=OB. 在△OAM与△OBC中, ∴△OAM≌△OBC(AAS),∴AM=BC. ∵CD=AD+BC,∴CD=AD+AM=DM, ∴ ∠M=∠2.∴∠1=∠2,即 CO平分∠BCD. 又∵OE⊥CD,OB⊥CB,∴OE=OB. ∴CD与该半圆相切. (2)m=n.理由如下: 如图,过点 C作 CN⊥AD于点 N,连接OD, ∵CN⊥AD,∴∠CNA=∠DAB=∠ABC=90°, ∴四边形ANCB为矩形， ∴AN=BC=b,CN=AB=2r, 在 Rt△CDN中，由勾股定理得 ∵CD=DM=AD+BC=a+b,DN=|a-b|,CN=2r, ∴(a+b)²=(a-b)²+(2r)²,∴r²= ab=2, 第4课时 切线长 基础提质 1. D 如图,连接OA,OB, ∵PA,PB是⊙O 的两条切线, ∴PA=PB,故选项 A正确; ∵OA=OB,PA=PB,∴OP 垂直平分AB, ∴OP⊥AB,AD=BD,故选项B,C正确; 根据题意无法得出∠PAB 和∠APB 的大小关系，故选项 D错误.故选 D. 2.答案 70° 解析 ∵PA,PB 是圆O 的切线,∴ PA=PB,∵AC 是⊙O 的直径,∴ PA⊥AC,∴ ∠PAC=90°,∴ ∠PBA=∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°,∴ ∠P=180°-∠PBA-∠PAB=180°-55°-55°=70°. 3.答案 12 解析 如图，设CD与⊙O 相切于点 E， ∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∴PB=PA=6, ∵DA与DE为⊙O的切线,∴DA=DE,同理可得CE=CB,∴ △PDC 的周长=PD+DC+PC=PD+DE+CE+PC=PD+DA+CB+PC=PA+PB=6+6=12. 能力提升 4. C 如图,连接AD, ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD=180°, ∵∠BAE+∠BCD=236°, ∴∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°, ∴∠EAD=56°, ∵EA,ED是⊙O 的切线,∴EA=ED, ∴∠EDA=∠EAD=56°, ∴∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180°-56°-56°=68°,故选C. 5.答案2 解析 如图,连接OA,OB,OC, 由题意得,∠BAC=180°-60°=120°, ∵圆形玉佩与刻度尺、直角三角尺都相切，切点分别为B,C, ∴AC=AB,∠ABO=∠ACO=90°, ∵OC=OB,∴△ABO≌△ACO, ∴∠AOB=90°-60°=30°,∴OA=2AB=4 cm, (cm), 即圆形玉佩的半径为2cm. 6.解析 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,∠B=∠D, ∵FH=FD,∴∠FHD=∠D=∠B, ∵四边形 FGCH是⊙O 的内接四边形， ∴∠FGC+∠FHC=180°, ∵∠FHD+∠FHC=180°, ∴∠FGC=∠FHD=∠B,∴AB∥FG, ∵AF∥BG,∴四边形ABGF是平行四边形. (2)∵AE=4,BE=6,∴AB=AE+BE=10, ∵⊙O与AB,AD 分别相切于点 E,F,∴AF=AE=4, ∵四边形ABGF 是平行四边形， ∴BG=AF=AE=4,FG=AB=10, 如图,连接OE交 FG于点M,连接OF,过点A作AN⊥FG于点N, ∴OE⊥AB,∴∠AEM=90°, ∴∠EMN=180°-∠AEM=90°, ∴ ∠FMO = 180°-∠EMN = 90°, ∴OM⊥FG, ∵AN⊥FG,∴四边形AEMN是矩形, ∴ MN=AE=4,EM=AN, ∵OM⊥FG,∴ ∴ FN=FM-MN=1,∴ 设⊙O 的半径为r，则 在 Rt△OMF 中,由勾股定理得 即 解得 ∴⊙O 的半径为 第5课时 三角形的内切圆 基础提质 1. B∵三角形的内心到三角形三边的距离相等，∴三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.故选 B. 2.答案 117 解析 ∵⊙O是△ABC的内切圆,∴ ∵ ∠A =54°,∴ ∠ABC+∠ACB =180°-∠A = 126°,∴ ∠BOC = 180° - ( ∠OBC +126°=117°. 3.答案 (2,3) 解析 如图，点I即为△ABC的内心. 所以△ABC内心Ⅰ的坐标为(2,3). 4.答案 6 解析 如图，设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA，OB，OC，设内切圆的半径为r， 在Rt△ABC中,AC=8,BC=15, 20r, ∴20r=60,解得r=3,∴ 内切圆的直径为6步.故该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是6步. 5.答案 12 解析 如图,连接OA,OB.∵点O是△ABC的内心,∴AO,BO 分别是∠CAB 和∠CBA 的平分线, ∴ ∠EAO=∠BAO,∠FBO=∠ABO. ∵EF∥BA,∴∠EOA=∠OAB,∠FOB=∠OBA. ∴∠EAO=∠EOA,∠FOB=∠FBO. ∴EO=EA,OF=FB. ∴EF=AE+BF,∴△CEF 的周长=CE+CF+EF=CE+CF+EA+FB=CA+CB=18-6=12(cm). 6.答案 80 解析 如图,连接DO,FO,∵∠C=90°,∠B=70°,∴∠A=20°.∵内切圆O 与边AB,BC,CA 分别相切于点D,E,F,∴∠ODA=∠OFA=90°,∴∠DOF=360°-90°-90°-20°=160°,. 7.解析 (1)如图所示，点O 即为所求. (2)如图所示,连接OA,OB,OC,作 OD⊥AB 于点 D,OE⊥BC 于点 E,OF⊥AC于点 F. ∵内切圆的半径为1.3cm,∴OD=OF=OE=1.3cm. ∵三角形ABC的周长为14 cm, ∴AB+BC+AC=14 cm, 则S△ABC=S△AOB+S△COB+S△AOC =AB·OD+BC·OE+AC·OF 故三角形ABC 的面积为9.1 cm². 能力提升 8. C 如图,过点O作OE⊥AB于点 E,OF⊥AC 于点 F, ∵点O 为△ABC 的内心,∴AO 平分∠BAC,∴ OE=OF=5, 故选 C. 9. B ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD=17, ∵AF=BG=CH=DE,∴BF=CG=DH=AE, ∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE(SAS), ∴EF=FG=GH=HE=13,设CH=x, 则CG=DH=17-x,在 Rt△CGH中,(CH²+CG²=GH², 解得 (不符合题意，舍去)， ∴CH=5,CG=12, 如图,令△GCH的内切圆圆心为O,CG,CH,GH与⊙O的切点分别为M,N,P,连接OC,OH,OG,OM,ON,OP,设⊙O的半径为r， ∵⊙O 内切于△GCH,∴OM=ON=OP=r, ∵S△CHG=S△COC+S△CON+S△HOG, 解得r=2，即△GCH的内切圆的半径为2，故选 B. 知识拓展 利用切线长定理可得直角三角形内切圆的半径 在解决填空题或选择题时直接使用可使题目更为简便. 10.答案 y=x-3 解析 设AC交y轴于点D(图略),∵点A(3,0),点B(0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°.∵ △ABC 的内心在x轴上,∴AO平分∠BAC,∴ ∠DAO = ∠BAO = 45°,∴ ∠ADO =∠OAC=45°,∴ OD=OA=3,∴ 点 D 的坐标为(0,-3).设直线AC 的函数表达式为y= kx+b(k≠0),把点A(3,0)和点 D(0,-3)分别代入,得 解得 .直线AC 的函数表达式为y=x-3. 11.答案 解析 如图,在AB上取点 F,使BF=BE=2,连接PF,CF,过点 F作FH⊥BC 于点 H, ∵点I是△ABC的内心,∴BI平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,又BP=BP,∴△BFP≌△BEP(SAS), ∴PF=PE,∴PE+PC=PF+PC≥CF,∴当C,P,F三点共线时，PE+PC 的值最小，最小值为CF的长， ∵FH⊥BC,∠ABC=60°,∴ ∠BFH=30°,∴ BH= CH=BC-BH=7, ∴PE+PC 的最小值为2 素养提优 12.解析 (1)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=8,由勾股定理得 由三角形的面积得 ∴AB·AC=BC·AD,∴AD=AB₁,AC==故答案为 (2)可以. ∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴所求圆的圆心是△ABC的内心， 作∠ABC 和∠ACB的平分线BE,CF,交于点O,则点O 就是裁出的最大圆形部件的圆心. 设内切圆与边AB,BC,AC分别相切于点 Q,H,P.连接OA,OB,OC,OH,OQ,OP,过点A作AM⊥BC于M,如图所示. 设BM= xcm,⊙O 的半径为 rcm, ∵AB=100cm,BC=160cm,AC=140cm, ∴CM=(160-x) cm, 在 Rt△ABM 中,由勾股定理得 在Rt△ACM 中，由勾股定理得 解得x=50, ∴AM=²-x²=50(cm), ∵点O为△ABC的内心, ∴OH=OP=OQ=r cm, ∵S△OBC+S△OCA+S△OAB=S△ABC, 即(160+140+100)r=8000，解得 故⊙O的半径为20cm. 学科网（北京）股份有限公司 $