24.2.2直线与圆的位置关系（4）（题型专练）数学人教版九年级上册

24.2.2直线与圆的位置关系（4） 题型一。三角形内切圆的认识 1．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．圆的内接平行四边形一定是正方形 B．平分弦的直径垂直弦 C．圆的切线一定垂直于半径 D．任何一个三角形的内心一定在三角形内 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的推论，切线的性质，三角形内心的定义，圆内接四边形的性质，掌握相关的知识是解题的关键． 利用圆的内接四边形的性质判定A，利用垂径定理判定B，利用切线的性质判定C，利用三角形内心的定义判定D． 【详解】解：A． 圆的内接平行四边形一定是矩形，该选项不符合题意； B． 平分弦（不是直径）的直径垂直弦，该选项不符合题意； C． 圆的切线一定垂直于过切点的半径，该选项不符合题意； D． 任何一个三角形的内心一定在三角形内，选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．根据题意得到圆形薄板的圆心应是三角形的内心，根据内心的性质解答即可． 【详解】解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆， 则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点， 故选：B． 题型二、三角形内心的有关计算 3．（21-22九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠A＝ °． 【答案】 【分析】根据点O是的内心，即角平分线的交点，在 中，可求出的度数．根据角平分线可求出的度数，则可求的度数． 【详解】在中, ， ， ∵点O是的内心， ， 在中， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及角平分线的定义，知道内心是角平分线的交点是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的外心与内心、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据三角形内心的定义可得，则，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∵点I是的内心，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，其周长为24，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解直角三角形．利用切线长定理求得，，再求得；设的外接圆为，作直径，连接，解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，设与三边的切点为D，E，F， 连接， 则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵周长为24， ∴， ∴； 如图，设的外接圆为，作直径，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的外接圆的半径为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内心的应用，勾股定理等知识， 延长交于点，连接，证明求出的长，再通过角的关系可以，进而求证直角三角形为等腰直角三角形，求得的长，的长，利用勾股定理求出的长，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 中，为三个角平分线的交点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 据勾股定理可得，， ∴， 故答案为：． 7．（2025·广东江门·三模）如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为： ． 【答案】3 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点H，因为是的高，所以于点D，由点O是的内心，证明平分，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点H， ∵是的高， ∴于点D， ∵点O是的内心， ∴平分， ∵点O在的平分线上，且于点H，于点D， ∴， ∴点O到边的距离为3， 故答案为：3． 8．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，，的内心、外心分别为点I、点O，且有，则的长度为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，延长交外接圆于点D，连接，作于点G，根据三角形的内切圆和圆周角定理求出，利用证明，可得，根据点I是的内心，，进而可得的长度． 【详解】解：如图，延长交外接圆于点D，连接，作于点G， ∵， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 题型三、直角三角形与内切圆的计算 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】因为一个数的平方、算术平方根、绝对值是非负数，所以可求、、的值，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，用面积法可求内切圆半径． 【详解】解：， ，，． ， ， 是直角三角形． 设内切圆的半径为． 根据题意，得，即， 解得 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形的面积公式求内切圆半径是解答本题的关键． 10．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 11．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，三角形的内切圆，熟练掌握一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的内切圆的性质是解题的关键． 先求出方程的解，根据勾股定理求出斜边边长，再结合切线长的性质，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∴直角三角形的两条直角边长分别为3，4， ∴斜边长为， 如图，在中，，设为的内切圆，与三边的切点分别为D，E，F，连接，设的半径为r， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即此直角三角形的内切圆的半径为1． 故答案为：1 13．（2023九年级上·浙江台州·竞赛）一个正方体的表面积是，里边有个内切球，这个内切球中还内接一个小正方体，小正方体表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体与球的位置关系、正方体的表面积等知识点，求出小正方体的棱长是解题的关键. 先求出内切球的直径，利用勾股定理可求小正方体的棱长，即可求解. 【详解】解：设小正方体的棱长为 ， ∵大正方体的表面积是， ∴大正方体的棱长是， ∵大正方体里面有一个内切球， ∴内切球的直径为， ∵内切球中还内接一个小正方体， ∴， ∴， ∴小正方体表面积 ． 故答案为：. 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的应用，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 15．（21-22九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心，解答的关键是充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和． （1）根据等面积法即可得出结论； （2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系． 【详解】（1）解：连接、、， ∵ ∴ 在中， ∵，， ∴ 又∵， 代入①得：； （2）∵， 代入①得， ∴，，之间数量关系为 题型四、一般三角形与内切圆的计算 16．（24-25九年级上·天津河东·阶段练习）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用30度直角三角形和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图：等边的内切圆O切于D，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：C． 17．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内切圆，根据三角形的面积与三角形的周长和内切圆半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接， 则：点是三条角平分线的交点， ， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴，即的半径为； 故选C． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及解直角三角形；通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．连接，过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得半径，过点作交的延长线于点，解，进而得出是等边三角形，进而及诶，得出的长，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 依题意，是的内切圆，切点分别为、、， ∴， 设，则， 在中， 即 解得： ∴ 设的半径为， ∴ ∴ 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵是的内切圆，切点分别为、、， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴ 在中， 故答案为：；． 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 【答案】50 【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的面积为； 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键． 20．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形材料中，，，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是 ． 【答案】 【分析】延长交延长线于，当这个圆是的内切圆时，此圆的面积最大，构造三角形，通过等面积法求解即可． 【详解】解：延长交延长线于 因为，， ， ，即， 解得， ， 在中，， ， 设这个圆的圆心为，与分别相切于， 所以， ， ， ， ， 即， 解得 【点睛】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形的关系，构造三角形用等面积法是解题的关键． 21．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 22．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 题型五、圆外切四边形 23．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 24．（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 25．（19-20九年级上·山东·课后作业）如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m. 【分析】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC， (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【详解】(1)AB+CD=AD+BC 证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH， 所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC， 即AB+CD=AD+BC (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得， AD+BC=2m， 梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【点睛】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 . 题型一、三角形内切与外接圆问题 26．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，解题的关键是求出内切圆和外接圆的半径． 本题需计算等腰三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值，通过勾股定理求高，进而计算面积，分别求出两个半径，最后求比值． 【详解】解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心， ∴， 由三线合一和勾股定理得，， ， 由勾股定理得， 解得， 如图，点为的内心， ， ∴， ∴ 故选：B． 27．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 28．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长到使，连接构造△的中位线，并应用相关定理，结合题目条件即可求得长的最小值． 连接并延长交于E，连接，则，，得到延长到E，使，作于H，连接，，，根据三角形的中位线定理得到，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接并延长交于E，连接， 则，， ， ， 即的半径为6， 当时，的长度的最小， D是的中点， 延长到，使，作于H，连接，，， D是的中点， 是△的中位线， ， 当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度的最小值是， 故答案为：6，． 29．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3），证明如下： 连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据点是的内心，可得，可判断①正确；连接，，可得，从而得到，进而得到，可判断②正确； ，得出，再由点为的中点，则成立，可判定③正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，得出，可判断④正确． 【详解】解：∵点是的内心， ∴， ∴对应的圆心角相等， ∴， ∴，故①说法正确； 如图，连接，， ∵点是的内心， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，故②说法正确； ∵， ∵点为的中点， ∴线段经过圆心O， ∴， ∴成立，故③说法正确； ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④说法正确； 综上分析可知，①②③④正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键． 31．（24-25九年级上·北京丰台·期末）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内切圆半径求法，根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解． 【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为， 图2所示的矩形面积为：，而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍 ∴， ∴ 故选：A． 32．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，在中，，，．的内切圆与，分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法错误的是（   ） A．平分 B．点在射线上 C． D．的半径为1 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的内切圆，尺规作图作角平分线，连接，根据作图可知平分，为三角形的内切圆，根据内心是三角形三条角平分线的交点，证明四边形为正方形，圆周角定理求出的度数，切线长定理求出的半径，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：平分，故选项A正确； ∵是的内切圆， ∴点为三角形三条角平分线的交点， ∴点在射线上，故选项B正确； 连接，则：， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴，故选项C正确； ∵，，， ∴， 设的半径为，则：， ∴， ∴， ∴，故选项D错误； 故选D． 33．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，连接，交于点E，交于G，的延长线交于点F，以下结论：①；②点E为的内心；③；④；⑤．其中正确的有 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． ①根据切线长定理，证，可得．故．根据圆周角定理即可得出，由此可证得； ②连接；根据圆周角定理，易求得分别平分和；根据三角形内心的定义，即可得出结论②正确； ③若，则，在中，，易得（因为），即；因此弧弧，而这个条件并不一定成立．故③不正确； ④根据圆周角定理得到，．又由②知，是的平分线，根据等腰三角形的“三合一”性质得到．故④正确． ⑤证明，即可判断⑤ 【详解】解：①连接． ∵与是的切线， ∴，， ∴。 又， ∴， ∴∠DCO=∠BCO， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②延长交于点，连接，则， ∵， ∴， 而， ∴， ∵为直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴，即是的角平分线， 同理可证得是的平分线， 因此E为的内心，故②正确； ③若，则应有，应有， ∴弧弧，而弧与弧不一定相等，故③不正确； ④如图，∵是直径， ∴，即． 又由②知，是的平分线， ∴是等腰的边上的中垂线，则．故④正确． ⑤∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 34．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)60 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2.2直线与圆的位置关系（4） 题型一。三角形内切圆的认识 1．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．圆的内接平行四边形一定是正方形 B．平分弦的直径垂直弦 C．圆的切线一定垂直于半径 D．任何一个三角形的内心一定在三角形内 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 题型二、三角形内心的有关计算 3．（21-22九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠A＝ °． 4．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，其周长为24，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为 ． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ． 7．（2025·广东江门·三模）如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为： ． 8．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，，的内心、外心分别为点I、点O，且有，则的长度为 ． 题型三、直角三角形与内切圆的计算 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 11．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ． 13．（2023九年级上·浙江台州·竞赛）一个正方体的表面积是，里边有个内切球，这个内切球中还内接一个小正方体，小正方体表面积为 ． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 15．（21-22九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 题型四、一般三角形与内切圆的计算 16．（24-25九年级上·天津河东·阶段练习）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 17．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 18．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ． 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 20．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形材料中，，，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是 ． 21．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 22．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 题型五、圆外切四边形 23．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 24．（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 25．（19-20九年级上·山东·课后作业）如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 题型一、三角形内切与外接圆问题 26．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 28．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 29．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 30．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 31．（24-25九年级上·北京丰台·期末）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，在中，，，．的内切圆与，分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法错误的是（   ） A．平分 B．点在射线上 C． D．的半径为1 33．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，连接，交于点E，交于G，的延长线交于点F，以下结论：①；②点E为的内心；③；④；⑤．其中正确的有 ． 34．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $