3.3.2垂径定理 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学垂径定理同步练，通过基础辨析、中档计算到综合应用的三层设计，构建从概念理解到实际问题解决的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|垂径定理概念与性质|单选题1-2考查定理辨析，夯实抽象能力| |中档|定理简单计算与辨析|填空题7-10结合弦长、半径计算，提升运算能力| |提高|综合应用与证明|解答题15-18融入"圆材埋壁"等实际情境，发展应用意识与推理能力|

3.3.2垂径定理 一、单选题 1,如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为E,下列结论不一定成立的是() A.AE=BE B.AD=BD C.AC=BC D OE=CE 2.下列说法正确的是() A.垂直于弦的直线必须过圆心 B.平分弦的直径垂直于弦 C.平分弧的直径平分弧所对的弦 D.三点确定一个圆 3.如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E.若AB=8,OE=3,则OO的半径长为() B D A.2 B.3 C.4 D.5 4.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上 任取两点4 B,连接B,作B的垂直平分线CD交B于点D,交B于点C,测出4B=16cm,CD=4em, 则圆形工件的半径为() C A.14cm B.12cm C.10cm D.8cm 5.如图，在OO中弦AB‖CD,直径MN⊥AB且分别交AB、CD于点E、F.下列四个结论：①AE=EB:② CF=FD:③AC=BD:④MF=NE,其中正确的有() 第1页 M O B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF L AC,垂足分别为D,E,F,连接 DE,EF,FD DE+DF=6.5,△ABC 若 的周长为21，则EF的长为() A.8 B.4 C.3.5 D.3 二、填空题 7.已知⊙O中，弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为 cm 8.如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD1AB于点H,若AH=CD=4,则⊙O的半径长为 9.如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD,OE垂直AB,OF垂直CD,则：①AB=CD;②弧AB等 于弧CD;③PO=PE;④弧BG等于弧DG;⑤PB=PD:其中结论正确的是一（填序号） G D 10.如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm,其中水面宽度AB=24cm,则水的最大深度是 cm. 第2页 Q A 24 11.一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm)如图，这枚古钱币的半径为 mm 10 12.已知⊙0的半径为l7cm,弦AB与弦CD平行，AB=30cm,CD=16cm,则AB和CD之间的距离为 三、解答题 13.如图，AB是⊙O的弦，点C、D在直线AB上，且AC=BD,连接OC、OD.求证：OC=OD 0 14.如图所示，⊙O的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点P,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F, AC=BD 求证：四边形OEPF是正方形. 15.《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题： 第3页 “今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图， AB⊙O CD⊥AB, 是 的直径，弦 1于点g,B=1寸，CD=10寸， =10寸，求直径48的长 九章算术 16.如图，⊙O的弦AB与半径OE,OF相交于点C,D,AC=BD,求证：AE=BF. D 17.如图，以O为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点A、B、C、 D ·O B (1)求证：AB=CD: (2)连接OA、OB,如果∠OAD=30°，∠OBC=45°，AB=2,求小圆半径r的值. 18.某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O,隧道口的水平宽AB为l2m,AB离地面的高度AE为5m,连接 OA,拱顶最高处C离地面的高度CD为m.在拱顶的M,N处安装照明灯. 第4页 M C N E 地面 D (1)求⊙0的半径OA的长： (2)若安装的两组照明灯M,N离地面的高度均为8.5m,求M,N之间的水平距离. 第5页 参考答案 1.D 【详解】解：A、:直径CD⊥AB,∴.AE=BE,故不符合题意； B、直径D1B,:D=BD,放不符合腿意： C、直径DLB,:4C=BC,:4C=BC,枚不符合题意： D、:直径CD⊥AB,.OE与CE不一定相等，符合题意；故选：D. 2.C 【详解】A、垂直于弦的直线不一定过圆心，故原命题错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意： C、平分弧的直径平分弧所对的弦，正确，符合题意： D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意， 故选C 3.D 【详解】解：连接OA. C 是 的直径， B D .CD⊙O CD⊥AB 六AE=AB 2 :AB=8 .∴.AE=4 OE=3,CD⊥AB, .0A=√AE2+0E2=V42+32=5 4.C 【详解】解：，CD是线段AB的垂直平分线， ∴.直线CD经过圆心，设圆心为O,连接OB. 答案第1页（共2页） 中， BD=1AB=8cm Rt△OBD 2 根据勾股定理得： OD2+BD2=OB2 即： (0B-4)2+82=0B2 解得：OB=10: 故圆形工件的半径为l0cm, 5.C 【详解】解：MN⊥AB,AB‖CD MN⊥CD, MN过圆心O, ..AE=BE CF=DF AN=BN CN=DN .AC=BD ∴AC=BD 根据已知条件不能推出MF=NE, 即正确的有①②③，共3个， 故选：C 6.B 【详解】解：：OO是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC, 点D、E、F分别是AB、BCAC的中点， 0F=号ac.DE-4CEF-4B， DE+DF=6.5,△ABC的周长为21， ∴.CB+CA+AB=21即2DF+2DE+2EF=21, 答案第2页（共2页) ∴.EF=4, 故选：B. 7.5 【详解】解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C,连接OA, A B :OC⊥AB,AB是⊙O的弦， AC=14B 2 .AB=8cm, 4C=1x8=4cm 在RIAOAC中，OC=3cm,AC=4cm, :01=V0C+4C=V53+平=V2=5cm,即此圆的半径为5cm。 51 8.25222 【详解】解：如图，连接OC, A B 设圆的半径为r, .CD⊥AB, CH-CD-1x4-2 2 2 在Rt△OCH中，OC=r,OH=AH-A0=4-P, 答案第3页（共2页） .OC2=0H2+CH2 2=(4-r）}+22 解得r=2.5, .⊙0半径为2.5. 9.①②④⑤ 【详解】解：PO平分∠BPD,OE垂直AB,OF垂直CD,则OE=OF, 即弦AB,CD的弦心距相等，因而AB=CD,弧AB等于弧CD,故①、②正确： 在直角三角形中，PO>PE,故③错误； 如图，连接OB,OD B 4 9 .OE=OF,PO=PO ∴.RtAPEO≌RtAPFO(HL) .PE PF, :AB=CD,OE垂直AB,OF垂直CD, ÷BE=AB=CD=DF, 2 2 ∴.PB=PD,故⑤正确： PO=PO,BO=DO .△POB≌aPOD(SSS) ∠POB=∠POD, .∠BOG=∠D0G, ∴弧BG等于弧DG,故④正确； 其中结论正确的是①②④⑤. 10.8 【详解】解：连结OA,过点O作半径OD⊥AB于点C, 答案第4页（共2页） 六4C=4B=12cm .0C2+AC2=042 .0C2=0A2-AC2=132-122=25 0C>0, ∴.0C=5cm, .CD=OD-OC=13-5=8cm, 故答案为：8， D 11.13 【详解】解：如图所示：AB是⊙O的直径，过O作OC⊥TE,连接OD, -10- 依题意，TE=10mm,ED=7mm, .OC⊥TE :.CE=,TE=5mm,CD=5+7=12(mm), 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， c0-2x10=50m. 在Rta0CD中，OD=V0C2+CD=25+144=13(mm) 即这枚古钱币的半径为l3mm, 故答案为：13 答案第5页（共2页） 12.7cm或23cm 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧，作OE⊥AB于点E,交CD于点F,如图， 连接OA、OC, :AB∥CD, .OF⊥CD, :CF=DF=)cD=)x16=8. 2 2 OE⊥AB. 六16-E-8-×0=5 2 在RtAOAE中，OA=17, OE=VOA-AE2=8 在RtAOCF中，OC=17. :0F=V0c2-CF2=15 .EF=OF-OE=15-8=7cm, D D B h B E ②当弦AB和CD在圆心异侧， EF =OF+OE=15+8=23cm. 即AB与CD之间的距离为7cm或23cm, 故答案为：7cm或23cm, 13.证明：如图所示，过点O作OE1AB于E, 由垂径定理可知AE=BE, AC=BD. ∴AC+AE=BE+BD,即CE=DE, .OE是CD的垂直平分线， ..OC=OD 答案第6页（共2页） 0 E B 14.证明：连接OA、OD,如图 :AB⊥CD,OE⊥AB.OF⊥CD ∴四边形OEPF是矩形， AC=BD ++C-CD ..AB=CD :OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F, :.AE=14B DF=ICD 2 29 .AE=DF, :OA=OD OE2=OA2-AE2 OF2=OD2-DF2 ∴.OE=OF, ∴.四边形OEPF是正方形. 15.26寸 【详解】解：连接OC,设OB=OC=r寸. E 是直径， D :AB⊥CDAB 答案第7页（共2页） ec=EDD5寸 在RaCE0中，则有=(-+5 解得r=13, AB=2r=26寸. 16.证明：过点O作OM⊥AB,交AB于点M,交⊙0于点N,如图， AM=BM AN=BN AC=BD」 ∴.CM=DM 又OM⊥CD. ∴.OC=OD. .∠EON=∠FON. ..EN =FN .AN-EN BN-FN AE=BF 17.(I)证明：如图，过点O作OH⊥AD于点H, :0 B .OH⊥AD :'AH=DH,BH=CH, .AH-BH DH-CH, 答案第8页（共2页） 即AB=CD: (2)解：如图，连接OA、OB, 0 OH⊥AD .∠OHA=∠OHB=90°， :∠0AD=30°，∠0BC=45°， .OA=2OH,∠BOH=∠OBH=45°， .BH=OH. 设BH=OH=x,则OA=2x,AH=AB+BH=2+x, 在RtAAH0中，，AH2+OH=OA, :(2++2=(2x} 解得V3+1 BH=OH=3+1 :0B=2BH=25+1=6+V2 即小圆半径的值为 6+V2 18.(1)6.5m(2)5m 【详解】(I)解：如图，设AB、CD交于点G,MN、CD交于点H, M N F地面 0 设⊙O的半径OA的长为m, OC⊥AB,AB=12m, 答案第9页（共2页） ∴.AG=二AB=6m .AE 5m, .'DG=AE =5m, .CD=9m, .CG=CD-DG=9-5=4(m) ∴.0G=0C-CG=(r-4)m 在Rt△AOG中利用勾股定理，得：AG2+OG=OA, 62+(0-4)2=r2 即 解得r=6.5, .⊙0的半径0A的长是6.5m. (2)解：连接OM, HD=8.5m, .GH=HD-DG=8.5-5=3.5(m) 0G=r-4=6.5-4=2.5(m) .0H=0G+GH=2.5+3.5=6(m) 在RtOHM中利用勾股定理，得： MH=VOM2-0H=V6.52-62=2.5(m) ∴.MN=2MH=2×2.5=5(m) ∴M,N之间的水平距离是5m. 答案第10页（共2页)