3.1 圆-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

圆 第三章 第白章 圆 知识网络 圆的相关概念 圆是中心对称图形，对称中心为圆心 圆的对称性 圆心角、弧、弦之间关系定理 圆的定义 垂径定理 及性质 圆周角与它所对弧、所对圆心角的关系 圆周角定理 直径所对的圆周角是直角 情 圆周角与圆心角 90的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形的对角互补 (四边形的外接圆) 确定圆的条件（三角形的外接圆与三角形的外心） 圆内接正多边形（中心角、边心距） 圆的有关计算 弧长、扇形的面积 点在圆外 圆 点与圆的位置关系 点在圆上 点在圆内 直线与圆相交 切线的性质 切线的判定 直线与圆的位置关系 直线与圆相切 三角形的内切圆与三角形的内心 切线长定理 直线与圆相离 过不在同一直线上的三点作圆 利用尺规作图 作三角形的外接圆和内切圆 作圆的内接正方形和正六边形 53 口数学 九年级下册（北师大版） 圆 自主导学Q典例精析 -卡●多多 例题有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆.上述四个说法哪些是真命题？哪些是假命题？请说明理由. 【分析】根据确定圆的条件以及弦、弧的定义即可判断。 【解答】②④是真命题，①③是假命题.理由如下： 确定圆的条件有两个，即圆心与半径，所以①是假命题；因为直径是圆内最长的弦，所 以②是真命题；根据弦的定义，连接圆上任意两点的线段即是弦，只有过圆心的弦才是直 径，所以③是假命题；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆， 所以半圆是弧，比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，所以 ④是真命题.综上所述，②④是真命题，①③是假命题， 【点拨】本题考查确定圆的条件，弦、直径、弧与半圆的概念，解题的关键是掌握确定圆 的两个条件，即圆心和半径，理解弦、直径、弧和半圆的概念，知道直径是最长的弦，半圆 是特殊的弧。 例题2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,AB=10, CD是斜边上的中线，以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P, 请判断点P与⊙O的位置关系，并说明理由. 【分析】可先求出点P与圆心的距离d,再与⊙O的半径r进行比 D 例题2图 较，根据d与r的数量关系进行判断. 【解答】点P在⊙O内.理由：'∠ACB=90°，AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线， AD=5.:点0是AC的中点，点P是CD的中点，0P是△CAD的中位线，0C=01=2AC= 3.0P号AD=25.0P0A,点P在⊙0内. 【点拨】本题考查了点和圆的位置关系.解题的关键是抓住半径r与点到圆心的距离d之 间的数量关系，即当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dkr时，点在圆内. 基础巩固()达标闯关 一。多多多 1.在平面上，以点O为圆心，可以画个圆；以线段AB的长为半径，可以画 个圆. 2.⊙0的半径为5cm,点O到点P的距离为V29cm,则点P与⊙0的位置关系是 3.已知⊙0的直径为6，若点P在⊙O的内部，那么线段OP的取值范围是」 54 圆第三章 4.在如图所示的12x12的网格图形内部任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格 点中的 个格点。 第4题图 第5题图 5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另 外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连 接PA,PB.若PB=4,则PA的长为 7.下列说法错误的是() A.圆有无数条直径 B.连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 C.过圆心的线段是直径 D.能够重合的圆叫做等圆 8.已知点C在线段AB上（点C与点A,B不重合），过点A,B的圆记为圆O,过点 B,C的圆记为圆O2,过点C,A的圆记为圆O3,则下列说法中正确的是() A.圆O1可以经过点C B.点C可以在圆O1的内部 C.点A可以在圆O2的内部 D.点B可以在圆O3的内部 9.如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格 点)，如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r 的取值范围为() A.2V2<r<V17 B.V17<r≤3V2 C.V17<r<5 D.5<r<V29 ●M A 0 B x 第9题图 第10题图 10.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，点P是⊙M上的任意一点， PA LPB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的 最小值为() A.3 B.4 C.6 D.8 55 口数学 九年级下册（北师大版） 11.如图，BE,CF是△ABC的高，M为BC的中点.试说明点B,C,E,F在以点M为 圆心的同一个圆上 M 第11题图 能力提升坤综合拓展 - 12.如图，已知Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB,垂足为D,∠A=30°，E是AC的 中点，以点D为圆心，DE为半径作圆 (1)判断A,B,C三点与⊙D的位置关系，并说明理由. (2)若BC=1,能否求出点A距⊙D的最短距离？ 第12题图 13.作图说明满足下列要求的图形. (1)与定点P的距离大于0.6cm,且小于1.2cm的点组成的图形 (2)已知AB=3cm,与点A的距离小于或等于2cm,且与点B的距离小于或等于 1.6cm的所有点组成的图形. 56 圆第三章 14.如图，已知AB交⊙O于点C,D,且AC=BD.你认为OA与OB相等吗？为什么？ D B 第14题图 *15.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB,CD的延长线交于点E.已知AB= 2DE,∠E=18°，求∠AOC的度数. 第15题图 16.如图1，⊙0的半径为r(r>0),若点P在射线OP上，满足OP.0P=r2,则称点P 是点P关于⊙0的“反演点”.如图2，⊙0的半径为4，点B在⊙0上，∠BOA=60°，OA=8, 若点A',B分别是点A,B关于⊙O的反演点，求AB的长 图1 图2 第16题图 可参考答案与提示 1=0.解得b=-1+V2,b2=-1-V2(不符合题意，舍 12.解：(1)点A在圆外，点C在圆上，点B在 去).点D的坐标为(V2,-1). 圆内.理由：∠A=30°，CD1AB,DE=2AC=DC, AD=V3 DC>DE,DB=V3-DC<DE. (2).BC=1, 3 ∠0B=∠A=30,DC-.dD=号点A距 O B D A/O OD的最短距离=AD-DC=3-Y3 2 13.解：(1)以点P为圆心，分别以0.6cm和 图1 图2 1.2cm为半径画圆，两圆之间的圆环部分即为所求作 第13题答图 的图形（不包含边界）.(2)画线段AB=3cm,以点 ②.c=b-a,a<0,b>0,c>0,m>1.如图2，在x A为圆心，以2cm为半径画圆，再以点B为圆心， 轴上点A的左侧取点G,使GA=AC,连接GC.∴.∠ACG= 以1.6cm为半径画圆，则⊙A,⊙B的公共部分（相 ∠CGA..∠CAB=2∠CGA.∠CAB=2∠ABC, 交部分)即为所求作图形.画图略. 14.解：相等.如图，连接0C,0D.OC=0D, ∠ABC=∠CGA..CG=CB,则GO=OB.在Rt△AOC中， ∠OCD=∠ODC..∴.∠OCA=∠ODB.又.AC=BD,OC 根据勾股定理，得AC2=A02+OC,∴AC=V1+c2.AG= OD,∴.△OAC≌△ODB..OA=0B. V1+e2..G0=GA+A0=V1+c2+1.又：点B(m,0), .0B=m..V1+e2=m-1,即c2=m2-2m.点A和点B 关于对称轴l对称，点F在对称轴1上，AF=BF.又： 在☐ACEF中，AF=CE,∴.CE=BF.∴.CE+CF=BF+CF≥ BC.∴.当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值 2V6,即BC=2V6.在Rt△0BC中，OB+0C=BC, :m2+c2=24.将c2=m2-2m代人，得m2+(m2-2m)=24.解 第14题答图 第15题答图 得m=4,m2=-3(舍去).：c=2V2.点B(4,0), 15.解：如图，连接OD.AB是⊙0的直径， C0.2W2)…直线Bc的表达式为)-Y+2V2. :0D=7ABAB=-2DE,DE=0D.∠D0E=∠E=I8 3 设点F的横坐标为，则4-(-1).解得2 .∠OCD=∠ODC=36°.∴.∠AOC=∠OCD+∠E=54° 点F的坐标为子，5Y:线段CE可以看作是由 16.解：如图，设OA 4 交⊙0于点C,连接BC, B (B') 线段AF经过平移得到的，∴点E可以看作是点F先 点A',B分别是点A,B的 反演点，.OA'.OA=OB.OB= 向右平移1个单位长度，再向上平移2V2个单位长 户而r=4,0A=8,.0A'=2. 度得到的.六点E的坐标为5,13Y2） ·.OB=可=4，.OB'=4,即点B 2 4 和B重合.：∠BOA=60°， 第16题答图 第三章圆 OB=0C,.△OBC为等边三 1圆 角形.而点A'为OC的中点，BA'⊥OC.在Rt△OA'B 1.无数无数2.点P在⊙0外3.0<0P<34. 125.3<<56.3或V737.C8.B9.B10.C 巾，snL4'0B-=4B,A'B=4sin60r-=2V3 11.解：如图，连接 2 圆的对称性 EM,FM.BE,CF是△ABC 1.1202.3Y33.A4B5.C6.B 的高，∴.△BCE和△BCF是 2 直角三角形.EM=2CB, 7.解：BC=CD=DE,∠C0D=35°，.∠E0D= ∠BOC=∠COD=35°..∠E0B=105°..∠AOE=180°- FM=号CR又：M是BC的中 ∠EOB=75° 8.解：相等.理由：如图，连接OA,OB,OC, 点，.CM=BM=LCB.EM= M 2 OD,OM,ONM,N分别是AB,AC的中点，OA= FM=CM=BM.∴B,C,E,F 第11题答图 OB=OC=OD,∴.0OM⊥AB,ON⊥CD.∴.∠AM0=∠CNO= 90°.又AB=CD,∴.OM=ON.∠OMN=∠ONM. 四点在以点M为圆心、以于AB为半径的同一个圆上： 2 ∠AMO-∠OMN=∠CNO-∠ONM,即∠AMN=∠CNM.