1 22.1.1 成比例线段（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

22.1 成比例线段

1  成比例线段

学习目标：

1. 学习并掌握比例线段的相关概念及其性质.（重点）
2. 掌握比例的基本性质的推导与应用.（难点）
   3.认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念.

自主学习

一、新知预习

1.日常生活中，我们会碰到很多形状相同、大小不一定相同的图形，例如下面两张照片，右边的照片是由左边的照片放大得来的，尽管它们大小不同，但形状相同．

你还能举出类似的例子吗？_________________.

我们把这种具有相同形状的图形称为________．    

2.如图，下列格点图中的格点小正方形的边长都是1，试计算=_______,=      .这样和有什么关系？

【归纳总结】对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如_____=_____(或a∶b＝c∶d),我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此时也称这四条线段成比例.

3.阅读课本P57例3，回答下列问题：
（1）什么是比例中项？
 

 

（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？

 

合作探究

一、探究过程

探究点1：成比例线段

【典例精析】

例1下列四组线段中，是成比例线段的是（　　）

A.3cm，4cm，5cm，6cm      B.4cm，8cm，3cm，5cm

C.5cm，15cm，2cm，6cm     D.8cm，4cm，1cm，3cm

【归纳总结】判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比（或计算前后两个数的积与中间两个数的积）看是否相等作出判断.

【针对训练】

1.已知四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm.

（1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；

（2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.

 

 

 

 

 

 

2. 在比例尺为1∶50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是　　　　m.

【思路分析】根据比例尺=图上距离∶实际距离，列方程求解（注意它们的单位）.

探究点2：比例的基本性质

【问题1】

如果a,b,c,d四条线段满足=,那么ad和bc相等吗？并说明理由

   解：________. 理由如下：

     ∵b≠0，d≠0，∴bd_______0.

     ∴在等式两边同时乘bd，得____________.

     即若a,b,c,d四条线段满足=，则ad=bc.

 

【问题2】

试说出问题1中结论的逆命题，它是真命题吗？如何证明？

逆命题是：如果四条线段a,b,c,d满足ad=bc,那么_______.

 请仿照问题1证明.

 【归纳】比例的基本性质：对于成比例线段，我们有下面的结论：

如果，那么________；如果ad=bc，那么________(b,d≠0).

例2已知＝，求的值.

解：解法1：由比例的基本性质，

得____________.

∴a＝____b，∴＝____.

解法2：由＝，得________＝7，

∴____________，∴＝_______.

【归纳总结】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.

【针对训练】

1.已知a∶b∶c＝3∶4∶5，求的值.

 

 

 

 

 

2.已知＝＝＝2，且b＋d＋f≠0，求的值.

 

 

 

 

 

探究点3：黄金分割

【问题1】如图，已知线段AB的长度为1，点P是AB上的一点，且使AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值.

 

【问题2】如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上的一点，且使AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值.