1 22.1.1 成比例线段（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“成比例线段”，核心知识点包括成比例线段概念、比例基本性质及黄金分割。课堂导入从生活中相似图形（如照片放大）切入，联系图形相似旧知，通过格点图计算线段比引出新知，搭建新旧知识学习支架。 特色在于自主预习与合作探究结合，典例精析（如判断成比例线段）和针对训练（含比例尺应用）强化理解，注重比例性质推导（如逆命题证明）和黄金分割实际应用（如树叶、乐器弦），培养学生抽象能力、推理意识与应用意识，提升数学思维与表达能力。

22.1 成比例线段 1 成比例线段 学习目标： 1. 学习并掌握比例线段的相关概念及其性质.（重点） 2. 掌握比例的基本性质的推导与应用.（难点） 3.认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念. 自主学习 一、新知预习 1.日常生活中，我们会碰到很多形状相同、大小不一定相同的图形，例如下面两张照片，右边的照片是由左边的照片放大得来的，尽管它们大小不同，但形状相同． 你还能举出类似的例子吗？_________________. 我们把这种具有相同形状的图形称为________． 2.如图，下列格点图中的格点小正方形的边长都是1，试计算=_______,= .这样和有什么关系？ 【归纳总结】对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如_____=_____(或a∶b＝c∶d),我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此时也称这四条线段成比例. 3.阅读课本P57例3，回答下列问题： （1）什么是比例中项？ （2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？ 合作探究 一、探究过程 探究点1：成比例线段 【典例精析】 例1下列四组线段中，是成比例线段的是（　　） A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5cm C.5cm，15cm，2cm，6cm D.8cm，4cm，1cm，3cm 【归纳总结】判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比（或计算前后两个数的积与中间两个数的积）看是否相等作出判断. 【针对训练】 1.已知四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm. （1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度； （2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度. 2. 在比例尺为1∶50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是　　　　m. 【思路分析】根据比例尺=图上距离∶实际距离，列方程求解（注意它们的单位）. 探究点2：比例的基本性质 【问题1】 如果a,b,c,d四条线段满足=,那么ad和bc相等吗？并说明理由 解：________. 理由如下： ∵b≠0，d≠0，∴bd_______0. ∴在等式两边同时乘bd，得____________. 即若a,b,c,d四条线段满足=，则ad=bc. 【问题2】 试说出问题1中结论的逆命题，它是真命题吗？如何证明？ 逆命题是：如果四条线段a,b,c,d满足ad=bc,那么_______. 请仿照问题1证明. 【归纳】比例的基本性质：对于成比例线段，我们有下面的结论： 如果，那么________；如果ad=bc，那么________(b,d≠0). 例2已知＝，求的值. 解：解法1：由比例的基本性质， 得____________. ∴a＝____b，∴＝____. 解法2：由＝，得________＝7， ∴____________，∴＝_______. 【归纳总结】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法. 【针对训练】 1.已知a∶b∶c＝3∶4∶5，求的值. 2.已知＝＝＝2，且b＋d＋f≠0，求的值. 探究点3：黄金分割 【问题1】如图，已知线段AB的长度为1，点P是AB上的一点，且使AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值. 【问题2】如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上的一点，且使AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值. 例3（1）已知a=4.5，b=2，c是a,b的比例中项，求c. （2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=4，求AC的长． 【针对训练】 1.点P在线段AB上，AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为　　　　.  2.如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离． 二、课堂小结 比例线段 内容 运用策略 成比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即_____=_____,我们就把这个四条线段叫做成比例线段， 判断四条线段是否成比例，首先要将线段的单位同一，然后按照从小到大的顺序排列，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 比例的基本性质 1 如果=，那么________; ②如果ad=bc，那么________. 把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法. 黄金分割 ①比例中项：AP2=AB·PB，则AP为AB和PB的比例中项； ②黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点； ③黄金比：较长线段∶原线段=较短线段∶较长线段=∶1≈0.618. 运用黄金分割的性质解题时，首先可利用比例中项的等积关系建立方程，通过代数方法求解未知线段的长度. 当堂检测 1.下列各组数中一定成比例的是( ) A.2，3，4，5 B.-1，2，-2，4 C.-2, 1,2，0 D.a，2b，c，2d 2.自然界很多植物的生长都体现出黄金分割，如图是某树叶的实物图，其中叶柄的长度AC与树叶中脉的长度BC的比就是黄金分割比．若AB=16厘米，则AC的长度是 厘米． 3.已知三条线段的长度分别为1cm，cm，2cm，请你再给出一条线段，使得这四条线段能够组成一个比例式． 4.已知＝＝≠0. (1)若a＋b＋c＝24，求a，b，c的值；[来 源:(2)求的值． 参考答案 自主学习 一、新知预习 1.国旗上的大五角星和小五角星（答案不唯一） 相似图形 2.2 2 相等 【归纳总结】 成比例 3.（1）如果三个数a, b, c满足比例式a∶b=b∶c，那么b就叫做a和c的比例中项. （2）将一条线段分割为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比.这个比值称为黄金比例，为∶1≈0.618.一条线段有两个黄金分割点. 合作探究 一、探究过程 例1 C 【针对训练】 1. 解（1）由题意，得=，=，解得d=16 cm. （2）由题意，得=，=，解得d=cm. 2.1500 【问题1】 相等 ≠ ad=bc 【问题2】 = 证明：∵b≠0，d≠0，∴bd≠0. ∴在等式两边同时除以bd，得=. 即若a,b,c,d四条线段满足ad=bc，则=. 【归纳】ad=bc = 例2 2（a+3b）=2b·7 4 4 a=4b 4 【针对训练】 1. 解：由a∶b∶c＝3∶4∶5，得b=a，c=a. ∴ =. 2.解：∵＝＝＝2，∴a=2b，c=2d，e=2f， ∴=2. 【问题1】 解：∵点P在线段AB上，=，∴点P是线段AB的黄金分割点，∴==. ∵线段AB的长度为1，∴AP=. 【问题2】 解：∵点P在线段AB上，=，∴点P是线段AB的黄金分割点，∴==. ∵线段AB的长度为a，∴AP=a. 例3解：（1）∵c是 a，b的比例中项，∴c2=ab=4.5×2=9，∴c1=3，c2=-3. ∴c为3或-3. （2）∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=4， ∴AC=AB=×4=2-2． 【针对训练】 1.2+2 2.解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴AC=BD=80×=（40-40）cm, ∴CD=BD-（AB-BD）=2BD-AB=（80-160）cm. 二、课堂小结 ad=bc = 当堂检测 1. B 2.（20-8） 3.解：设所给的线段长为x cm，则有 ①＝，解得x＝；②＝，解得x＝；③＝，解得x＝2. 故再给出的一条线段长应为 cm或 cm或2 cm. 4.解：(1)设＝＝＝k(k≠0)， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k， 所以a＋b＋c＝3k＋4k＋5k＝12k＝24， 解得k＝2. 所以a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10. (2)由(1)得a＝3k，b＝4k，c＝5k， 所以＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $