2026-2027学年北师大版数学九年级上册第一次月考测试卷

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形与一元二次方程，基础巩固与综合应用结合，生活情境（如药店利润、花圃面积）与几何探究（如菱形动点、中点四边形）并重，适配九年级月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|菱形性质、矩形判定、方程解法|基础概念辨析，如菱形对角线垂直与平行四边形区分| |填空题|6/24|方程一般形式、正方形与等边三角形综合、根与系数关系|结合图形变换，如第12题正方形中含等边三角形求角度| |解答题|9/86|平行四边形证明、方程应用、矩形动点、菱形分类讨论|综合性强，如24题矩形动点结合面积与勾股定理，25题菱形中以CD为腰的等腰三角形分类讨论，体现推理与模型意识|

学校：____________　班级：__________　姓名：__________　考号：__________ 密封线内不要答题 北师大版九年级上册数学 第一次月考测试卷 考查范围：第一章 特殊平行四边形　第二章 一元二次方程 满分：150分　　时间：120分钟 温馨提示：1. 本试卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟。2. 请将答案填写在答题卡（纸）相应位置上。3. 解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 菱形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边平行且相等　　B. 对角相等　　C. 对角线互相垂直　　D. 对角线互相平分 2. 若关于 x 的一元二次方程 x² + 3x + m = 0 的一个根是 1，则 m 的值是（　　） A. −4　　B. −2　　C. 2　　D. 4 3. 下列条件中，能判定一个平行四边形是矩形的是（　　） A. 一组邻边相等　　B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等　　　D. 一条对角线平分一组对角 4. 用配方法解一元二次方程 x² − 4x − 5 = 0，配方后所得的方程是（　　） A. (x − 2)² = 9　　B. (x − 2)² = 1　　C. (x + 2)² = 9　　D. (x − 4)² = 21 5. 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则图中等腰直角三角形共有（　　） A. 4 个　　B. 6 个　　C. 8 个　　D. 10 个 6. 关于 x 的一元二次方程 x² − 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A. k < 1　　B. k > 1　　C. k ≤ 1　　D. k ≥ 1 7. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = 8，BD = 6，则菱形 ABCD 的面积是（　　） A. 12　　B. 24　　C. 48　　D. 不能确定 8. 已知 x₁，x₂ 是一元二次方程 x² − 5x + 3 = 0 的两个实数根，则 x₁ + x₂ − x₁x₂ 的值是（　　） A. 2　　B. −2　　C. 8　　D. −8 9. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 ∠AOB = 60°，AB = 4，则矩形 ABCD 的对角线长是（　　） A. 4　　B. 6　　C. 8　　D. 4√3 10. 某超市今年 1 月份的营业额为 100 万元，3 月份的营业额为 121 万元。若 2、3 月份营业额的月平均增长率相同，设月平均增长率为 x，则可列方程（　　） A. 100(1 + x) = 121　　　　B. 100(1 + 2x) = 121 C. 100(1 + x)² = 121　　　D. 100 + 100(1 + x) + 100(1 + x)² = 121 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 把一元二次方程 3x(x − 1) = 5(x + 2) 化成一般形式后为 3x² + bx + c = 0，则 b = ______，c = ______。 12. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△CDE 是等边三角形，则 ∠AED 的度数是 ______°。 13. 方程 x² − 3x = 0 的解是 ______。 14. 如图，在菱形 ABCD 中，AB = 6，∠B = 60°，点 P 是 BC 边上一动点，连接 AP。则 AP 长的最小值是 ______。 15. 设 x₁，x₂ 是方程 x² + 2x − 7 = 0 的两个实数根，则 x₁² + x₂² 的值是 ______。 16. 某校要在长 20 m 的墙边围一块矩形花圃，其余三边用篱笆围成，篱笆总长为 24 m。若花圃的面积为 40 m²，设垂直于墙的一边长为 x m，则可列方程 ______。 三、解答题（本题共9小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分8分） 如图，在△ABC 中，AD 平分 ∠BAC，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F。 （1）求证：四边形 AEDF 是平行四边形； （2）若 AD ⊥ EF，求证：四边形 AEDF 是菱形。 18.（本小题满分8分） 用适当的方法解下列方程： （1）x² − 6x + 5 = 0； （2）2x² − 5x + 1 = 0。 19.（本小题满分8分） 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AD 延长线上一点，连接 BE、CE。 （1）求证：AE ⊥ BC （2）若四边形 ABEC 是矩形，求证：AD = DE。 20.（本小题满分8分） 某药店销售一种消毒液，每瓶进价为 30 元。当售价为 50 元时，每天可售出 200 瓶。为了减少库存，药店决定降价销售。经调查发现，售价每降低 1 元，每天可多售出 20 瓶。若药店想要每天获得 4200 元的利润，那么每瓶消毒液应降价多少元？ 21.（本小题满分8分） 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，点 F 在边 BC 的延长线上，且 CE = CF，连接 BE、DF、EF。 （1）求证：BE = DF； （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，CE = 1，求 EF 的长。 22.（本小题满分10分） 已知关于 x 的一元二次方程 x² − (2k + 1)x + k² + k = 0。 （1）求证：无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根 x₁，x₂ 满足 x₁² + x₂² = 25，求 k 的值。 23.（本小题满分10分） 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，依次连接 E、F、G、H 得到四边形 EFGH。 （1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形； （2）若 AC = 8，BD = 6 且 AC ⊥ BD，求四边形 EFGH 的面积。 24.（本小题满分12分） 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm。点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以 1 cm/s 的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 B 出发，沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 运动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为 t s。 （1）用含 t 的代数式分别表示 BP 和 BQ 的长； （2）当 t 为何值时，△PBQ 的面积等于 8 cm²？ （3）当 t 为何值时，PQ 的长等于 2cm？ 25.（本小题满分14分） 如图，在菱形 ABCD 中，∠B = 60°，AB = 4。点 P 从点 A 出发，沿射线 AD 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设运动时间为 t 秒（t > 0）。 （1）求菱形 ABCD 的对角线 AC 的长； （2）当点 P 在线段 AD 上，且 t = 2 时，求△PBC 的面积； （3）连接 PC。当 t 为何值时，△PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？ 参 考 答 案 与 解 析 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. C 【解析】平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，A、B、D 都是一般平行四边形也具有的性质。菱形的四条边相等、对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角，其中"对角线互相垂直"是菱形特有的。故选 C。 2. A 【解析】因为 1 是方程 x² + 3x + m = 0 的一个根，把 x = 1 代入得 1² + 3×1 + m = 0，即 1 + 3 + m = 0，解得 m = −4。故选 A。 3. C 【解析】对角线相等的平行四边形是矩形，故 C 正确。A 是一组邻边相等，得到的是菱形；B 是对角线互相垂直，得到的是菱形；D 是菱形对角线的性质。故选 C。 4. A 【解析】x² − 4x − 5 = 0，移项得 x² − 4x = 5。两边加上一次项系数一半的平方 2²，得 x² − 4x + 4 = 5 + 4，即 (x − 2)² = 9。故选 A。 5. C 【解析】在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，四个小三角形 △AOB、△BOC、△COD、△DOA 都是等腰直角三角形，共 4 个；由两个相邻小三角形拼成的大三角形 △ABC、△BCD、△CDA、△DAB 也都是等腰直角三角形，共 4 个。合计 4 + 4 = 8 个。故选 C。 6. A 【解析】方程 x² − 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则判别式 Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4×1×k = 4 − 4k > 0，解得 k < 1。故选 A。 7. B 【解析】菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即 S = × AC × BD = × 8 × 6 = 24。故选 B。 8. A 【解析】由根与系数的关系，x₁ + x₂ = 5，x₁x₂ = 3，所以 x₁ + x₂ − x₁x₂ = 5 − 3 = 2。故选 A。 9. C 【解析】因为四边形 ABCD 是矩形，所以 OA = OB =AC。又 ∠AOB = 60°，所以 △AOB 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形），故 OA = AB = 4，所以对角线 AC = 2OA = 8。故选 C。 10. C 【解析】1 月份营业额为 100 万元，月平均增长率为 x，则 2 月份为 100(1 + x) 万元，3 月份为 100(1 + x)(1 + x) = 100(1 + x)² 万元。由 3 月份营业额为 121 万元，得 100(1 + x)² = 121。故选 C。 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. b = −8，c = −10 【解析】去括号得 3x² − 3x = 5x + 10，移项、合并同类项得 3x² − 8x − 10 = 0。对照一般形式 3x² + bx + c = 0，得 b = −8，c = −10。 12. 15 【解析】因为四边形 ABCD 是正方形，所以 CD = AD，∠ADC = 90°。 又因为 △CDE 是等边三角形，所以 CD = DE，∠CDE = 60°。 所以 AD = DE，即 △ADE 是等腰三角形。 由题图可知，等边三角形 CDE 在正方形 ABCD 的外部（在边 CD 的下方）， 所以 ∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90° + 60° = 150°。 在等腰三角形 ADE 中， ∠AED = (180° − ∠ADE) ÷ 2 = (180° − 150°) ÷ 2 = 15°。 【易错点】本题的关键是判断等边三角形在正方形的内侧还是外侧。由题图可见 △CDE 在正方形外部，故 ∠ADE 是两个角的和（90° + 60°）；若误判为内部，则会算得 75°。 13. x₁ = 0，x₂ = 3 【解析】x² − 3x = 0，提公因式得 x(x − 3) = 0，所以 x = 0 或 x − 3 = 0，故 x₁ = 0，x₂ = 3。 14. 3 【解析】在菱形 ABCD 中，AB = 6，∠B = 60°。当 AP ⊥ BC 时，AP 最短。过点 A 作 AP ⊥ BC 于点 P，在 Rt△ABP 中，AP = AB·sin B = 6 × sin 60° = 6 × = 3。故 AP 的最小值是 3。 15. 18 【解析】由根与系数的关系，x₁ + x₂ = −2，x₁x₂ = −7。所以 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = (−2)² − 2 × (−7) = 4 + 14 = 18。 16. x(24 − 2x) = 40 【解析】设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (24 − 2x) m（墙长 20 m 不需要篱笆）。由面积为 40 m²，得 x(24 − 2x) = 40。 （若无需求解，只列方程即可。整理得 2x² − 24x + 40 = 0，即 x² − 12x + 20 = 0，解得 x₁ = 2，x₂ = 10。检验：当 x = 2 时，24 − 2x = 20 ≤ 20，符合题意；当 x = 10 时，24 − 2x = 4 ≤ 20，也符合题意。） 三、解答题（共86分） 17.（满分8分） 证明：（1）∵DE∥AC，DF∥AB， ∴ DE∥AF，DF∥AE， ∴四边形 AEDF 是平行四边形。 （2）由（1）知四边形 AEDF 是平行四边形。 ∵ AD 平分 ∠BAC，∴ ∠BAD = ∠CAD。 又∵ DF∥AB，∴ ∠ADF = ∠BAD， ∴ ∠ADF = ∠CAD，∴ AF = DF。 ∴平行四边形 AEDF 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 【解析】本题综合考查平行四边形的判定和菱形的判定。（1）用"两组对边分别平行的四边形是平行四边形"。（2）关键是借助角平分线和平行线推出等腰，得到一组邻边相等。 【易错点】第（2）问不能用"对角线互相垂直"来判定，因为题目只给出 AD ⊥ EF 的条件在（2）中虽成立，但更直接的思路是由角平分线 + 平行线得等腰。若用"对角线互相垂直的平行四边形是菱形"，需先说明四边形 AEDF 是平行四边形，再证 AD ⊥ EF，逻辑同样成立。 18.（满分8分） 解：（1）x² − 6x + 5 = 0， 因式分解得 (x − 1)(x − 5) = 0， 所以 x − 1 = 0 或 x − 5 = 0， 即 x₁ = 1，x₂ = 5。 （2）2x² − 5x + 1 = 0， 这里 a = 2，b = −5，c = 1， Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4×2×1 = 25 − 8 = 17 > 0， 所以 x = = ， 即 x₁ =，x₂ =。 【解析】（1）二次项系数为 1，常数项 5 可分解为 (−1)×(−5)，且 (−1) + (−5) = −6，正好等于一次项系数，故用因式分解法最简便。（2）各项系数不适合因式分解，判别式 17 不是完全平方数，用公式法求解。 19.（满分8分） 证明：（1）∵ AB = AC，点 D 是 BC 的中点， ∴ AD ⊥ BC，即 ∠ADB = ∠ADC = 90°， ∴ AE ⊥ BC。 （2）∵四边形 ABEC 是矩形， 矩形对角线互相平分，对角线AE、BC交于点D， ∴ D是对角线AE中点， ∴ AD = DE。 【解析】核心是利用矩形的对角线互相平分。矩形 ABEC 的两条对角线是 AE 和 BC，它们互相平分，交点恰好是 BC 的中点 D，所以 AD = DE。 20.（满分8分） 解：设每瓶消毒液应降价 x 元。 则每瓶的利润为 (50 − x − 30) = (20 − x) 元， 每天的销售量为 (200 + 20x) 瓶。 根据题意，得 (20 − x)(200 + 20x) = 4200。 整理，得 4000 + 400x − 200x − 20x² = 4200， 即 −20x² + 200x − 200 = 0， 两边同除以 −20，得 x² − 10x + 10 = 0。 这里 a = 1，b = −10，c = 10， Δ = (−10)² − 4×1×10 = 100 − 40 = 60， x = == 5 ± 。 所以 x₁ = 5 + ≈ 8.16，x₂ = 5 − ≈ 1.13。 因为药店要"减少库存"，应尽量多销售，所以取降价较多的值， 即每瓶应降价 (5 + ) 元，约 8.16 元。 【解析】本题是典型的"降价促销"利润问题。关键等量关系：单件利润 × 销售数量 = 总利润。降价 x 元后，单件利润由 20 元降为 (20 − x) 元，销量由 200 瓶增加为 (200 + 20x) 瓶。 【易错点】①列方程时容易把"售价每降低 1 元多售出 20 瓶"写成 (200 + x) 瓶，漏乘 20；②两个根都满足方程，需根据"减少库存"的实际意义取舍，取降价较多的 x = 5 +。 21.（满分8分） （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， 所以 BC = DC，∠BCE = ∠DCF = 90°。 又∵ CE = CF， ∴ △BCE ≌ △DCF（SAS）， ∴ BE = DF。 （2）解：∵四边形 ABCD 是正方形，边长为 4， ∴ CD = 4，∠DCF = 90°。 ∵点 E 在 CD 上，CE = 1， ∴ CF = CE = 1。 在 Rt△ECF 中，CE = CF = 1， ∴ EF == = 。 【解析】（1）利用正方形的四条边相等、四个角都是直角，结合 CE = CF，用边角边证明 △BCE ≌ △DCF，从而 BE = DF。（2）△ECF 是等腰直角三角形，直接用勾股定理求斜边 EF。 【拓展】由 △BCE ≌ △DCF 还可进一步得出 BE ⊥ DF（旋转 90° 的关系），这是正方形中常见的结论。 22.（满分10分） （1）证明：这里 a = 1，b = −(2k + 1)，c = k² + k。 Δ = b² − 4ac = [−(2k + 1)]² − 4×1×(k² + k) = (2k + 1)² − 4(k² + k) = 4k² + 4k + 1 − 4k² − 4k = 1 > 0。 所以无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根。 （2）解：由根与系数的关系， x₁ + x₂ = 2k + 1，x₁x₂ = k² + k。 ∵ x₁² + x₂² = 25， ∴ (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 25， 即 (2k + 1)² − 2(k² + k) = 25。 整理，得 4k² + 4k + 1 − 2k² − 2k = 25， 即 2k² + 2k + 1 = 25， ∴ 2k² + 2k − 24 = 0， 两边同除以 2，得 k² + k − 12 = 0。 因式分解得 (k + 4)(k − 3) = 0， ∴ k₁ = −4，k₂ = 3。 由（1）知方程总有两个不相等的实数根，对任意实数 k 均成立， ∴k 的值为 −4 或 3。 【解析】（1）计算判别式，化简后得 Δ = 1，与 k 无关且恒大于 0。（2）用 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ 构造关于 k 的方程。 【易错点】求出 k = −4 或 3 后，必须回代检验判别式是否满足"两个实数根"的前提。本题因 Δ = 1 > 0 恒成立，两个值都保留。 23.（满分10分） （1）证明：连接 AC。 ∵点 E、F 分别是 AB、BC 的中点， ∴ EF 是 △ABC 的中位线， ∴ EF∥AC 且 EF = AC。 同理，因为点 G、H 分别是 CD、DA 的中点， ∴ HG 是 △ACD 的中位线， ∴ HG∥AC 且 HG = AC。 ∴ EF∥HG 且 EF = HG， ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 （2）解：同理可证 EH∥BD 且 EH = ½BD。 ∵ AC = 8，BD = 6， ∴ EF = AC = 4，EH =BD = 3。 又∵ AC ⊥ BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴ EF ⊥ EH，即 ∠FEH = 90°。 ∴四边形 EFGH 是矩形， 其面积 S = EF × EH = 4 × 3 = 12。 【解析】本题考查中点四边形的性质，核心是三角形的中位线定理。（1）用中位线定理证两组对边分别平行且相等。（2）原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；矩形的面积等于两邻边之积。 【规律总结】中点四边形的形状由原四边形的对角线决定：对角线相等 ⟹ 菱形；对角线互相垂直 ⟹ 矩形；对角线互相垂直且相等 ⟹ 正方形。 24.（满分12分） 解：（1）点 P 从 A 向 B 运动，速度为 1 cm/s，所以 AP = t cm， 故 BP = AB − AP = (6 − t) cm。 点 Q 从 B 向 C 运动，速度为 2 cm/s，所以 BQ = 2t cm。 ∵ 0 ≤ AP ≤ 6 且 0 ≤ BQ ≤ 8， ∴ 0 ≤ t ≤ 6 且 0 ≤ 2t ≤ 8，即 0 ≤ t ≤ 4。 ∴ t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 4。 （2）∵ ∠PBQ = ∠ABC = 90°， ∴S△PBQ = · BP · BQ = (6 − t)(2t) = t(6 − t)。 由题意得 t(6 − t) = 8， 整理得 t² − 6t + 8 = 0， 因式分解得 (t − 2)(t − 4) = 0， ∴ t₁ = 2，t₂ = 4。 ∵ 0 ≤ t ≤ 4，两个值都符合题意。 ∴当 t = 2 或 t = 4 时，△PBQ 的面积等于 8 cm²。 （3）在 Rt△PBQ 中，BP = (6 − t) cm，BQ = 2t cm， 由勾股定理得 PQ² = BP² + BQ²， 即 PQ² = (6 − t)² + (2t)² = 36 − 12t + t² + 4t² = 5t² − 12t + 36。 由题意得 5t² − 12t + 36 = (2)² = 20， 整理得 5t² − 12t + 16 = 0。 Δ = (−12)² − 4×5×16 = 144 − 320 = −176 < 0， ∴该方程没有实数根， 即不存在这样的 t 值，使 PQ 的长等于 2cm。 【解析】本题考查几何动点问题与一元二次方程的结合。（1）用含 t 的式子表示线段长，注意由"其中一点到达终点时另一点也停止"确定 t 的取值范围为 0 ≤ t ≤ 4（因为 Q 点先到达终点）。（2）用面积公式列方程，注意两个根都要检验是否在取值范围内。（3）用勾股定理列出方程后，通过判别式判断方程无解，从而得出"不存在"的结论——这是本题的亮点，考查判别式在实际问题中的应用。 【易错点】①容易忽略 t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 4（而非 t ≤ 6）；②第（2）问求得 t₁ = 2，t₂ = 4 后，必须检验 t = 4 时 Q 点恰好到达点 C，仍在允许范围内，两个值都保留；③第（3）问容易直接"解方程"，实际应先用判别式判断无实数根，从而说明不存在。 25.（满分14分） 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB = BC。 又∵ ∠B = 60°， ∴ △ABC 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）， ∴ AC = AB = 4。 （2）连接 AC，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E。 ∵ △ABC 是等边三角形，AB = 4， ∴AE = AB·sin 60° = 4 ×= 2。 ∵四边形 ABCD 是菱形，AD∥BC， ∴点 P 到 BC 的距离等于 AE = 2。 又∵ AB = BC = CD = 4，AD = 4，t = 2 时 AP = 2， ∴ S△PBC = × BC × 2 = × 4 × 2 = 4。 （3）∵四边形 ABCD 是菱形，AB = 4， ∴ CD = AD = BC = AB = 4。 要使 △PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形， 则相等的两条边中必有一条是 CD， 需分 PC = CD 和 PD = CD 两种情况讨论。 P在射线AD上，AP=t 当0＜t≤4，P在线段AD上：PD=4-t 当t＞4，P在AD延长线上：PD=t-4 ①若 PD = CD，则 PD = 4。 P在线段AD上：4-t=4 可得，t＞0舍去。 P在延长线上：t-4=4 可得，t=8。 ②若 PC = CD，则 PC = 4。 菱形中∠ADC=∠B=60°，若PC=CD=4，则△PCD两边PC=CD=4, 夹角∠PDC=60°，△PCD是等边三角形，得到PD=4 P在线段AD上：4-t=4 可得，t=0舍去。 P在延长线上：t-4=4 可得，t=8,和①得到同一个解。 综上：t=8时，△PCD是以CD为腰的等腰三角形。 【解析】本题是菱形与方程思想的综合探究题。（1）利用菱形邻边相等和 ∠B = 60° 推出等边三角形，得 AC = 4。（2）把 P 到 BC 的距离转化为等边三角形 ABC 的高，用三角形的面积公式计算。（3）是分类讨论题，关键是抓住"以 CD 为腰"分 PC = CD 和 PD = CD 两种情形，同时注意 t > 0 的约束和点 P 在射线 AD 上的位置。 【易错点】①第（2）问求的是 △PBC 的面积（底为 BC），不要误求 △ABP 的面积；②第（3）问必须分类讨论，并完整检验每种情形是否满足 t > 0；③要理解"以 CD 为腰"意味着 CD 是两条相等边之一，因此可能有 PC = CD 或 PD = CD。 1 学科网（北京）股份有限公司 $