1.5 第1课时 相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 导学案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦相似三角形对应高、角平分线、中线的性质，引导学生掌握对应线段的比等于相似比的定理。通过课前检测巩固相似三角形定义，从已有性质出发探究新结论，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料以“问题探究-推理证明-规范表达”为主线，培养学生推理意识，几何语言表述强化数学表达能力。习题分层设计，综合提升题结合矩形裁剪情境，渗透模型意识，助力学生用数学思维解决实际问题，提升应用能力。

1.5 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 【学习目标】  1.使学生了解相似三角形的性质定理，相似三角形对应线段的比等于相似比. 2.能运用相似三角形的性质定理解决数学问题. 【课前检测】 下列图形一定相似的是（ ） A．有一个锐角相等的两个直角三角形 B.有一个角相等的两个等腰三角形 C．有两边成比例的两个直角三角形 D.有两边成比例的两个等腰三角形 【新知探究】 教师叙述：请大家回顾一下“相似三角形的定义”其中定义的两个条件： （1） ， （2） . 以上就是相似三角形的两个性质，那相似三角形还有没有其他的性质呢？有，又有哪些呢？这节课我们来学习相似三角形的性质. （一) 相似三角形的性质1的学习 探究1：如图，已知△ABC∽△A′B′C′， AH、A′H′分别为对应边BC，B′C′上的高， 那么 吗？ 教师指引：要证明四条线段成比例，则在哪样的两个三角形中有对应线段成比例呢？应先证三角形相似，再用相似的定义说明. 由此得出：相似三角形对应高的比 . [几何语言] ∵ ∴ （二) 相似三角形的性质2的学习 探究2：如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ， AT、A′T′ 分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′ 的角平分线. 求证： 由此得出：相似三角形对应的角平分线的比 . [几何语言] ∵ ∴ （三) 相似三角形的性质3的学习 议一议：已知△ABC∽△A′B′C′， 若AD、A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线， 那么 成立吗？ 由此你能得出什么结论？ 得出结论：相似三角形对应的边上的中线的比 . 【基础演练】 1.若两个相似三角形的相似比是，则它们的对应高的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 . 2.△ABC∽，AB=4，=12，则它们对应边上的高的比是 ，若BC边上的中线为1.5，则上的中线= 3.如图，在中，于点，则与的对应角的角平分线之比为（ ） A. B. C. D. 【综合提升】 4.如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M. (1)试说明： (2)求这个矩形EFGH的周长. 1.5 第1课时 相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 参考答案与解析 课前检测 题目：下列图形一定相似的是（） A．有一个锐角相等的两个直角三角形 B.有一个角相等的两个等腰三角形 C．有两边成比例的两个直角三角形 D.有两边成比例的两个等腰三角形 答案：A 解析： A：两个直角三角形已有直角相等，再加一组锐角相等，两角对应相等，一定相似。 B：相等的角一个是顶角、一个是底角时，等腰三角形不一定相似。 C：两边成比例，但不保证对应，不一定相似。 D：两边成比例，不保证腰对腰、底对底，不一定相似。 新知探究 相似三角形定义两个条件： （1）对应角相等 （2）对应边成比例 探究1 对应高 已知△ABC∽△A′B′C′，AH、A′H′分别为BC，B′C′上的高，求证AH/A'H'等于相似比。 证明思路： ∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'。 AH⊥BC，A'H'⊥B'C'，∠AHB=∠A'H'B'=90°， ∴△ABH∽△A'B'H'，∴AH/A'H' = AB/A'B'。 结论：相似三角形对应高的比等于相似比。 几何语言： ∵△ABC∽△A'B'C'，AH、A'H'是对应边上的高 ∴ AH/A'H' = AB/A'B' =相似比 探究2 对应角平分线 已知△ABC∽△A′B′C′， AT、A′T′分别为∠BAC，∠B′A′C′的角平分线。 证明思路： △ABC∽△A'B'C'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'， 角平分线得∠BAT=∠B'A'T'，∴△ABT∽△A'B'T'，AT/A'T' = AB/A'B'。 结论：相似三角形对应的角平分线的比等于相似比。 几何语言： ∵△ABC∽△A'B'C'，AT、A'T'是对应角平分线 ∴ AT/A'T' = AB/A'B' =相似比 议一议 对应中线 已知△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别为中线。 结论：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比。 小结：相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比。 基础演练 1.若两个相似三角形的相似比是k，则它们的对应高的比是 k ，对应中线的比是 k ，对应角平分线的比是 k。 解析：相似三角形对应线段之比等于相似比。 2.△ABC∽△A₁B₁C₁，AB=4，A₁B₁=12，则它们对应边上的高的比是 1:3，若BC边上的中线为1.5，则B₁C₁边上的中线= 4.5。 解析：相似比4:12=1:3；中线之比等于相似比，1.5/m=1/3，m=4.5。 3.如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，则△ACD与△CBD的对应角的角平分线之比为____。 解析：△ACD∽△CBD，对应角平分线之比等于两三角形相似比AC/BC。（原题选项缺失） 综合提升 4.如图，△ABC是锐角三角形硬纸片，AD是BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，剪下长HG是宽HE2倍的矩形EFGH，EF在BC上，H、G分别在AB、AC，AD交HG于M。 (1)试说明：HG/BC = AM/AD (2)求这个矩形EFGH的周长。 (1)证明： ∵四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC。 ∴△AHG∽△ABC。 AM、AD分别是△AHG、△ABC对应高，相似三角形对应高的比等于相似比， ∴ HG/BC = AM/AD。 (2)解： 设HE=x cm，则HG=2x cm。 MD=HE=x，AM=ADMD=30x。 代入比例式：2x/40=(30x)/30 化简 x/20=(30x)/30 30x=60020x，50x=600，x=12。 HE=12 cm，HG=24 cm。 矩形周长=2×(12+24)=72 cm。 答：矩形EFGH周长为72cm。 学科网（北京）股份有限公司 $