1.5 第1课时 相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 导学案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

1.5  相似三角形的性质

第1课时  相似三角形对应高、角平分线、中线的性质

【学习目标】

 1.使学生了解相似三角形的性质定理，相似三角形对应线段的比等于相似比.

2.能运用相似三角形的性质定理解决数学问题.

【课前检测】

下列图形一定相似的是（    ）

A．有一个锐角相等的两个直角三角形       B.有一个角相等的两个等腰三角形

C．有两边成比例的两个直角三角形         D.有两边成比例的两个等腰三角形

 

【新知探究】

教师叙述：请大家回顾一下“相似三角形的定义”其中定义的两个条件：

（1）                                                        ，

（2）                                                         .

以上就是相似三角形的两个性质，那相似三角形还有没有其他的性质呢？有，又有哪些呢？这节课我们来学习相似三角形的性质.

（一) 相似三角形的性质1的学习

探究1：如图，已知△ABC∽△A′B′C′， AH、A′H′分别为对应边BC，B′C′上的高，

那么 吗？

 

 

 

 

 

 

 

 

教师指引：要证明四条线段成比例，则在哪样的两个三角形中有对应线段成比例呢？应先证三角形相似，再用相似的定义说明.

由此得出：相似三角形对应高的比          .

[几何语言]

∵            

∴            

 

（二) 相似三角形的性质2的学习

探究2：如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ， AT、A′T′ 分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′ 的角平分线. 求证：

 

 

 

由此得出：相似三角形对应的角平分线的比             .

[几何语言]

∵            

∴            

（三) 相似三角形的性质3的学习

议一议：已知△ABC∽△A′B′C′， 若AD、A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线，

那么 成立吗？ 由此你能得出什么结论？

得出结论：相似三角形对应的边上的中线的比           .

 

【基础演练】

1.若两个相似三角形的相似比是，则它们的对应高的比是        ，对应中线的比是          ，对应角平分线的比是           .

 

2.△ABC∽，AB=4，=12，则它们对应边上的高的比是       ，若BC边上的中线为1.5，则上的中线=         

 

3.如图，在中，于点，则与的对应角的角平分线之比为（        ）

 A.              B.        

C.              D.

 

【综合提升】

4.如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.

 (1)试说明：         (2)求这个矩形EFGH的周长.

 

 

 

 

1.5 第1课时 相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 参考答案与解析

 

课前检测

题目：下列图形一定相似的是（）

A．有一个锐角相等的两个直角三角形

B.有一个角相等的两个等腰三角形

C．有两边成比例的两个直角三角形

D.有两边成比例的两个等腰三角形

答案：A

解析：

A：两个直角三角形已有直角相等，再加一组锐角相等，两角对应相等，一定相似。

B：相等的角一个是顶角、一个是底角时，等腰三角形不一定相似。

C：两边成比例，但不保证对应，不一定相似。

D：两边成比例，不保证腰对腰、底对底，不一定相似。

 

新知探究

相似三角形定义两个条件：

（1）对应角相等

（2）对应边成比例

 

探究1 对应高

已知△ABC∽△A′B′C′，AH、A′H′分别为BC，B′C′上的高，求证AH/A'H'等于相似比。

证明思路：

∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'。