1.5 第2课时 相似三角形面积和周长的性质 导学案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦相似三角形面积和周长的性质，核心知识点为相似三角形面积比等于相似比的平方、周长比等于相似比。课前检测通过对应中线比回顾相似比性质，新知探究以启发式引导学生用面积公式推导面积比，再逻辑证明周长比，构建从旧知到新知的学习支架。 资料特色在于以“动脑筋”探究活动培养学生推理能力，通过例题讲解和分层练习（基础到综合）提升应用意识。学生经历性质推导过程，发展抽象能力，习题设计联系实际计算，助力理解并运用性质解决问题，符合数学核心素养要求。

1.5 相似三角形的性质 第2课时 相似三角形面积和周长的性质 【学习目标】  1.使学生了解相似三角形的性质定理，“相似三角形的面积比等于相似比的平方”. 2.能运用相似三角形的性质定理解决数学中的计算问题. 【课前检测】 已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且，B′D′=4，则BD的长为 . 【新知探究】 教师叙述：请大家回顾一下“相似三角形对应边的比等于相似比”则周长比.面积比与相似比有什么关系呢？ （一) 相似三角形的性质4的学习 动脑筋 如图，已知 △ABC∽△A′B′C′，相似比为k，则S△ABC∶S△△A′B′C′ 的值是多少呢？ 方法总结：用启发式教学，我们看到所求是面积之比，所以用三角形的面积公式之比求两个三角形的面积比，从而得到： 相似三角形的面积比等于 . （二) 相似三角形的性质5的学习 证明：相似三角形的周长比等于相似比. 证明：设△A′B′C′∽△ABC，其相似比为k 则 【例题讲解】 已知△ABC 与△A′B′C′的相似比为，且S△ABC + S△△A′B′C′= 91，求△A′B′C′的面积. 【基础演练】 1.已知△ABC与△DEF的相似且面积比为4:25，则△ABC与△DEF的相似比为 . 2.△ABC与△DEF的相似比为2:1，△DEF的面积为3cm2，△ABC中，AB的长为4cm，则AB边上的高为（ ） A.3cm B.6cm C.12cm D.4cm 3.已知△ABC 与△相似，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，=24cm，求BC，AC，， 的长. 4.如图，在△ABC中， EF∥BC,=,S 四边形BCFE = 8， 求S△ABC . 【综合提升】 5.如图，在中，∥∥，且，则分成三部份的面积比为 A D B C E F G 1.5 第2课时 相似三角形面积和周长的性质 参考答案与解析 课前检测 题目：已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且AC/A'C'=3/2，B′D′=4，则BD的长为 。 答案：6 解析：相似三角形对应中线的比等于相似比，BD/B'D' = AC/A'C' =3/2，BD/4=3/2，解得BD=6。 新知探究 动脑筋：△ABC∽△A′B′C′，相似比k，求面积之比。 解：设AH、A'H'为对应高，BC/B'C'=k，AH/A'H'=k。 S△ABC = 1/2·BC·AH，S△A'B'C'=1/2·B'C'·A'H'。 S△ABC/S△A'B'C' = (BC/B'C')·(AH/A'H')=k·k =k²。 结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 证明：相似三角形的周长比等于相似比。 证明：设△ABC∽△A'B'C'，相似比为k， ∴ AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C' =k， AB=kA'B'，BC=kB'C'，AC=kA'C'。 C△ABC=AB+BC+AC =k(A'B'+B'C'+A'C') C△A'B'C'=A'B'+B'C'+A'C' C△ABC / C△A'B'C' = k(A'B'+B'C'+A'C')/(A'B'+B'C'+A'C') =k。 ∴相似三角形周长比等于相似比。 例题讲解 已知△ABC 与△A′B′C′的相似比为2/3，且S△ABC + S△A′B′C′= 91，求△A′B′C′的面积。 解：面积比等于相似比平方，S△ABC/S△A'B'C' = (2/3)²=4/9。 设S△ABC=4x，S△A'B'C'=9x。 4x+9x=91，13x=91，x=7。 S△A'B'C' = 9×7 =63。 答：△A′B′C′面积为63。 基础演练 1.已知△ABC与△DEF的相似且面积比为4:25，则△ABC与△DEF的相似比为 2:5。 解析：相似比等于面积比算术平方根，√(4/25)=2/5。 2.△ABC与△DEF的相似比为2:1，△DEF的面积为3cm²，△ABC中，AB的长为4cm，则AB边上的高为（B） A.3cm B.6cm C.12cm D.4cm 解析：面积比=(2/1)²=4:1，S△ABC=4×3=12。 S=1/2×底×高，12=1/2×4×h，解得h=6cm。选B。 3.已知△ABC 与△A₁B₁C₁相似，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B₁C₁=24cm，求BC，AC，A₁B₁，A₁C₁的长。 解：周长之比=相似比=60/72=5/6。 AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ =5/6。 15/A₁B₁=5/6，得A₁B₁=18cm； BC/24=5/6，得BC=20cm。 AC=601520=25cm； A₁C₁=721824=30cm。 答：BC=20cm，AC=25cm，A₁B₁=18cm，A₁C₁=30cm。 4.如图，在△ABC中， EF∥BC，AE/EB =1/2，S四边形BCFE = 8，求S△ABC。 解：AE/EB=1/2，AE/AB=1/3。 EF∥BC，△AEF∽△ABC，相似比1/3。 面积比=1/9。设S△AEF=x，S△ABC=9x。 S四边形BCFE=9xx=8x=8，x=1。 S△ABC=9。 答：S△ABC=9。 综合提升 5.如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD:DF:FB=1:2:3，则分成三部分的面积比为1:8:27。 解析：相似比AD:AF:AB=1:3:6，面积比1:9:36。 S₁=1，S₂=91=8，S₃=369=27，S₁:S₂:S₃=1:8:27。 学科网（北京）股份有限公司 $