3.6 正多边形与圆课件-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“正多边形与圆”展开，涵盖正多边形定义、与圆的关系、相关概念（中心、半径等）及计算。通过观察等边三角形等具体图形发现边角特点导入，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接圆的知识。 其亮点是问题驱动与动手操作结合，如旋转正六边形验证对称性培养几何直观，证明正五边形时由弧相等推理边角相等发展推理意识，将正n边形转化为三角形计算建立模型意识。助力学生发展空间观念，教师可借实例提升教学效率。

3.6 正多边形与圆 说一说：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？ 每个多边形的各边都相等，各内角也相等. 等边三角形 正方形 正五边形 正六边形 各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形. 如果一个正多边形有 n (n ≥ 3) 条边，那么这个正多边形叫作正 n 边形. 如何作一个正多边形呢？ 如图，已知⊙O， (1)用量角器把⊙O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE； ● O ● E ● A ● D ● C ● B (2)五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？ ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∴∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. ∴ 五边形ABCD是正五边形. ∵ ＝， 证明：点A、B、C、D、E把⊙O五等分. ∵＝ 如图，已知⊙O， (1)用量角器把⊙O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE； (2)五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？ ● O ● B ● A ● C ● D ● E 圆被多边形的顶点等分 各边相等，各角相等 多边形是正多边形 弧相等 弦相等，圆周角相等 如图，点A、B、C、D、E、F把⊙O六等分． (1)在一张透明纸上画与下图形状、大小相同的图形，并把它们叠合在一起； (2)把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？再旋转60°呢？ ● A ● B ● O ● F ● E ● C ● D ● A ● B ● O ● F ● E ● C ● D ● A ● B ● F ● E ● C ● D ● A ● B ● F ● E ● C ● D 旋转后的图形与原图完全重合. ● A ● B ● O ● F ● E ● C ● D 你能用图形运动的方法证实六边形ABCDEF是正六边形吗？ 把所画图形绕圆心O旋转60°再旋转60°，可以发现这两个图形仍然重合. 这说明所画六边形的每一条边都与它的邻边相等，每一个角都与它的邻角相等. 因此，所画六边形的六条边相等，六个角也相等，所画六边形是正六边形. 一般地，只有用量角器把一个圆n (n≥3) 等分，依次连接各等分点就得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆. 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心.外接圆的半径叫作正多边形的半径. 半径(r) ● O ● F ● E ● A ● B ● C ● D (中心) ∟ 边心距 (d) 任何正多边形都有一个外接圆. 等分圆周，就可以得到圆内接正多边形. E F C D A B O G . ∟ 解： 如图，连接OA，OB， 根据题意，得∠AOB＝＝60°． ∵OA＝OB， ∴△OAB为正三角形，AB＝OA＝4． 正六边形的周长l＝4×6＝24． 过点O作OG⊥AB，垂足为G． 在Rt△OAG中，OA＝4，AG＝AB＝2， ∴OG＝＝． ∴正六边形的面积 S＝×4××6＝． 半径 边心距 边长的一半 例1：如图，正六边形ABCDEF的半径为4， 求这个正六边形的周长和面积． E F C D A B O G . ∟ 在解决正多边形的有关计算时，通过连接正n边形的中心和各顶点，可以把正n边形划分为n个全等的等腰三角形，再过正n边形的中心作各边的垂线，可以把正n边形划分为2n个全等的直角三角形，从而把一些正多边形的计算问题转化为相应的等腰三角形、直角三角形的计算问题. 正六边形的特殊性： (1)正六边形的半径等于它的外接圆的半径，等于它的边长； (2)连接正六边形相邻的两个顶点与中心，构成的三角形是等边三角形； (3)正六边形可以看成是由一个等边三角形绕着一个顶点连续旋转五次得到的． E F C D A B O G . ∟ 探索正多边形的半径r和边长之间的关系 120° 边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 6 90° 60° 60° 90° 120° r r r r r r 3r 4r 6r 2 · · · 120° 90° 60° 1.基本模型 正n边形的有关计算: 2.正n边形的周长: 3.正n边形的面积： 4.正n边形的每个内角: 5.正n边形的中心角: E F C D 半径r A B O . 边心距d 边长a 1．将一个正十边形绕它的中心至少旋转多少度，就能与它自身重合？ 正五边形呢？ 解：将正十边形绕它的中心至少旋转 36° 就能与它自身重合； 将正五边形绕它的中心至少旋转 72° 就能与它自身重合． 重要结论：旋转角度为的整数倍时，就能与自身重合． 正多边形和圆 正多边形和圆的关系 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正 n 边形各顶点等分其外接圆. 正多边形的 画法 1. 用量角器作图 2. 尺规作图 1. 下列说法中正确的是( ) A．各角相等的圆内接多边形是正多边形 B．各边相等的多边形是正多边形 C．一个圆有且只有一个内接正多边形 D．正多边形的各边相等，各角相等 D 2. 正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( ) A．2 B． C． D．　 A F A E D C B O · 3．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ． 10 4.有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2). 抽象成 4 m O A C D E F M r 解：过点 O 作 OM⊥BC 于 M.在 Rt△OMB 中，OB = 4，MB ===2,利用勾股定理，可得边心距r==2. 亭子地基的面积S=l=. C D O E F A B $