21.1 二次函数 同步练习 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦二次函数定义、判断及实际建模，通过基础巩固与情境应用的分层设计，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义识别、参数求解、表达式转换|单选（如函数判断）、填空（如常数项计算），夯实概念理解| |提升层|实际问题建模、综合应用|解答题（如利润函数、长方体体积），强化数学思维与应用意识|

21.1 二次函数 同步练习 定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫作二次函数,其中x是自变量. 二次函数的判断： 1.函数表达式中关于自变量的式子是整式 . 2.化简整理后自变量的最高次数是2. 3.二次项系数不等于0. 从实际问题中建立二次函数： 1.审清题意 2.找出等量关系 3.列函数表达式 4.写出函数自变量的取值范围 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 5．某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 6．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 7．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 二、填空题 8．把变成一般式，它的常数项为_____． 9．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为_____________． 10．函数是关于的二次函数，则______． 11．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 12．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 三、解答题 13．指出下列二次函数中相应的，，的值： (1)； (2)； (3)． 14．已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 15．已知函数． (1)当为何值时，是关于的二次函数？ (2)当为何值时，是关于的一次函数？ 16．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.1 二次函数 同步练习》参考答案 1．C 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①函数不是二次函数； ②函数是二次函数； ③函数不是二次函数； ④函数是二次函数； ⑤当时，函数不是二次函数； ⑥函数不是二次函数； ∴二次函数有②④，共2个， 故选：B． 3．D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 4．B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 5．A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 6．C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 7．B 【知识点】列一次函数解析式并求值、二次函数的识别 【分析】根据题意列出y与x，z与x的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】由题意得， ∴y是x的一次函数。      ， ∴z是x的二次函数． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的定义，熟练掌握一次函数和二次函数的定义并且正确的列出函数关系式是解题的关键． 8． 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解： ， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 9． 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先把二次函数化成一般式，然后再确定二次项系数和一次项系数，然后再求和即可． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数为2，一次项系数为， ∴二次项系数与一次项系数的和是：． 故答案为：． 10． 【知识点】公式法解一元二次方程、根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 11． 【知识点】列二次函数关系式 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 12． 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 13．(1)，， (2)，， (3)，， 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查的是二次函数的定义，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． （1）直接根据是二次项系数，是一次项系数，是常数项解答即可； （2）先化为一般形式，再根据是二次项系数，是一次项系数，是常数项解答即可； （3）直接根据是二次项系数，是一次项系数，是常数项解答即可； 【详解】（1）， ，，； （2）， ，，； （3）， ，，． 14．(1)， (2)是关于的二次函数 【知识点】列二次函数关系式、二次函数的识别 【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键． （1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 ，； （2）解：依题意，是关于的二次函数． 15．(1) (2) 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误． （1）根据二次函数的定义得出，即可得出； （2）根据一次函数的定义得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 16．(1)； (2)元/件； 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式． （1）根据利润单件利润销售量，即可解决问题； （2）当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价． 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 答案第4页，共6页 答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $