第2章 特殊三角形单元自测培优卷- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 浙教版八年级特殊三角形单元自测培优卷，45分钟100分，适配基础测试与周测。融合中考真题与各地期末题，覆盖全等三角形、轴对称、勾股定理等核心知识，注重几何直观与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称图形、直角三角形性质|结合中考真题，考查空间观念| |填空题|6/18|勾股定理应用（《九章算术》）、规律探究|文化传承与创新意识| |解答题|7/58|尺规作图、等边三角形证明、垂直平分线应用|分层设计，培养推理能力与应用意识|

第2章 特殊三角形单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：浙教版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·陕西·中考真题）下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，，点是边的中点，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，直线与相交于点，点在直线上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（     ） A． B．5 C．10 D．13 5．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 6．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，点在线段上，以为边向上作，．以为底边作等腰，使，若，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，则________． 10．（2026·广东广州·一模）如图的小树卡通画是由平移前后的两个等腰三角形和一个矩形组成的．如果图中，那么的度数为___________． 11．（25-26八年级上·北京丰台·期末）图1是某平板电脑支架，图2是它的侧面示意图，若，，则___________°． 12．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？” 译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步．已知1亩＝240平方步，这块田地的面积为______亩． 13．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________． 3 5 7 9 11 … 4 12 24 40 … 5 13 25 41 … 14．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，已知线段c，用尺规作等腰直角三角形，使它的斜边等于c． 16.（8分）（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 17.（8分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，在上截取，连接，． （1）与相等吗？为什么？ （2）求的度数． 18.（8分）（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 19.（8分）（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， ， ， ，， 垂足分别为， （1）证明： ； （2）求的长． 20.（8分）（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中， ，且与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 21.（10分）（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． （1）猜想：如图1所示，当时，则______； （2）探究：如图2所示，当时，请求出的度数； （3）拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $第2章特殊三角形单元自测培优卷 考试时间：45分钟 满分：100分 适用：浙教版八年级单元基础测试、周测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1.(2026陕西·中考真题)下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对 称图形的是（) D 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可. 解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁 的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形： C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，所以是轴对称图形 2.(25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是 边AB的中点，则∠BDC=() B A.60°-∠A B.45°-∠A C.2LA D.30°+5∠A 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据等腰三角形的性质得到即可求解. 解：：在△ABC中，∠ACB=9O°，点D为边AB的中点， :.CD=4D=1AB, 2 .∠DCA=∠A, ∴，∠BDC=∠DCA+∠A=2∠A, 3.(26-27八年级上甘肃张掖·开学考试)如图，直线OA与0B相交于点0，点C 在直线OA上，CD⊥OB于点D,DE∥OA,若∠OCD=55°，则∠BDE的度数为 () C d B D A.55° B.45° C.35° D.25 【答案】C 【分析】根据垂直的定义可知∠BDC=90°，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出 ∠0=35°，根据两直线平行，同位角相等即可求出∠BDE的度数. 解：CD⊥OB, ∴.∠BDC=90°， 在RtAOCD中，∠O+∠OCD=90°， :∠0CD=55°， ∠0=90°-∠0CD=90°-55°=35°， :DE‖OA, ∴.∠BDE=∠O=35° 4.(25-26八年级下·山东菏泽·期末)如图，将一张长方形纸片沿AC折叠，使点B 落在点E处，CE交AD于点F,已知AB=3,BC=7,则△AEF的周长为() A.V58 B.5 C.10 D.13 【答案】C 【分析】由题意易得∠ACB=∠DAC,由折叠的性质可知： AE=AB=3,BC=CE=7,∠ACB=∠ACE,然后可得AF=CF,进而问题可求解. 解：在长方形ABCD中，ADI‖BC, ∴.∠ACB=∠DAC, 由折叠的性质可知：AE=AB=3,BC=CE=7,∠ACB=∠ACE, ∴.∠ACE=∠DAC. .AF=CF, ∴.EF+AF=EF+CF=CE=7, ∴.△AEF的周长为AE+EF+AF=AE+EF+CF=AE+CE=I0 5.(25-26七年级下·辽宁锦州：期中)下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形 的是() A,∠A=90°-∠B B,∠A+∠B=∠C C.AB:BC:AC=1:2:3 D.AC是BC边上的高 【答案】C 解：对于选项A:由∠A=90°-∠B可得∠A+∠B=90°，根据三角形内角和定理可得 ∠C=180°-（∠A+∠B)=90°，则△ABC是直角三角形，故A不符合题意： 对于选项B::∠A+∠B=∠C, 又，∠A+∠B+∠C=180°， .2∠C=180°，即∠C=90°， :.△ABC是直角三角形，故B不符合题意： 对于选项C::AB:BC:AC=1:2:3, 设AB=k,BC=2k,AC=3k .AB+BC=k+2k=3k=AC, .AB、BC、AC无法构成三角形，故C符合题意： 对于选项D:·AC是BC边上的高， .AC⊥BC, ∴.∠ACB=90°， ∴.△ABC是直角三角形，故D不符合题意， 6.(2026四川巴中·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=5 ，以点B为圆心任意长为半径画弧分别交BC、BA于M、N两点，分别以点M、 N为圆心，大于2MW长为半径画弧，两弧交于点P,连接BP并延长交AC于点F, 则△ABF的面积为() C F M B A.3 5 B.3 0 C.3 5 D.3 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式.首先根据勾股定理求出 AC的长，再根据尺规作图可知BF是∠ABC的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距 离相等，结合面积法求出点F到AB的距离（即FC的长），最后计算△ABF的面积. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=5, 由勾股定理得：AC=√AB2-BC2=V132-52=12, 由尺规作图可知，BF是∠ABC的角平分线，过点F作FD⊥AB于点D, C M D IN D ∠C=90°，即FC⊥BC, ..FD=FC. :SMC=S。Ar+S.CBE, CC-B-FD+BC-FC. 2 x12x5x13xFC+x5xFC. 60=13FC+5FC, 18FC=60:解得FC=10 , FD=10 3 .D-x13x9 2 33 7.(25-26七年级下·山东威海期末)如图，点C在线段AB上，以AC为边向上作 RtAACD,∠A=9O°.以BC为底边作等腰△BCE,使CE=BE,若DC=CE,∠ADC=LB ,BC=2W3则AD等于() E D B A.3 B.2 C.1+V5 D.1 【答案】A 【分析】过点E作EH⊥BC于H,根据等腰三角形“三线合一”的性质得出BH=V3,利用 AAS可证明△ACD≌aHEB,根据全等三角形的性质即可得出答案， 解：如图，过点E作EH⊥BC于H, D H B .CE=BE,BC=23. :BH=1BC=3 2 ..DC=CE, ∴.DC=BE, 「∠A=∠EHB=90 在 和 中， ∠ADC=∠B △ACD△HEB DC=BE .△ACD≌aHEB(AAS). :AD=BH=3 8.(25-26八年级下河北张家口期中)如图，A、B两单位分别位于一条封闭街 道的两旁（直线L、凸2是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥.根据 图中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路线的长为() 20 10 60 B不 A.70 B.75 C.85 D.90 【答案】C 【分析】过点A作的垂线，并截取AA等于街道的宽度，即AA=20,连接AB交2于点P ,过点P作PQ1L于点，则线段P№即为天桥所建的位置，此时由A经过天桥走到B的路 线最短，再利用勾股定理求出AB的长即可求解 解：过点A作的垂线，并截取AA等于街道的宽度，即AA'=20,连接AB交于点P,过 点P作P四1L于点Q,则线段P№即为天桥所建的位置，此时由A经过天桥走到B的路线最 短， AM'=Pg=20,AM'∥P9. ∴.线段P可以看作由线段AQ平移得到， .A'P=A0, ..A0+PB=4'P+PB=A'B 过点B作BD⊥AA'于点D,则BD=60,AD=25, ∴.AB=VAD2+BD2=V252+602=65, .AQ+P9+PB=AB+PQ=65+20=85, “由4经过天桥走到8的最短路线的长为85. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9.(26-27八年级上湖北武汉·开学考试)如图，在△ABC中，AB=AC,AD=AE ,∠BAD=40°，则∠EDC= 8- 【答案】20°120度 【分析】设LB=∠C=x,∠ADE=∠AED=y,则有∠EDC+x=y与∠EDC+y=x+40°，联 立方程解方程组即可， 解：依题意，设∠B=∠C=x,∠ADE=∠AED=y, ∠EDC+x=y①， ∠EDC+y=x+40°②， 由①+②得2LEDC=40°， ∴.∠EDC=20° 10.(2026广东广州一模)如图的小树卡通画是由平移前后的两个等腰三角形和 一个矩形组成的.如果图中∠CHF=40°，那么∠A的度数为 G 109 E 【答案】100°/100度 【分析】由平移可得AC∥DF,则LC=∠CHF=40°，根据△ABC是等腰三角形即可求解. 解：由平移可得AC∥DF, ∠C=∠CHF=40°， :△ABC是等腰三角形， ∴.∠B=∠C=40°， .∠A=180°-∠B-∠C=100° 11.(25-26八年级上北京丰台期末)图1是某平板电脑支架，图2是它的侧面示 意图，若EA=ED,∠AED=40°，则∠BDE= 图1 图2 【答案】110 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的 关键。 根据等边对等角得到∠EAD=∠EDA=70°，再由∠BDE=∠AED+∠EAD代入计算即可. 解：：EA=ED,∠AED=40° ∠EAD=∠EDA=18040°=70°， 2 .∠BDE=∠AED+∠EAD=70°+40°=110° 故答案为：110 12.(25-26八年级下·甘肃平凉期末)《九章算术》记载：“今有矩形田，长四 十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？” 译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步.已知1亩= 240平方步，这块田地的面积为一亩. 【分析】设长方形田的宽为x步，对角线长为(60-x)步，利用勾股定理建立方程求解宽，再 计算面积并转换为亩数即可. 解：设宽为x步，则对角线长为(60-x)步， 由勾股定理得：402+x2=(60-x)2, 解得x= 50 3 502000 面积=40× 33平方步， 2000 亩数=3 ÷240= 25 9. 13. (25-26八年级下江西上饶期中)如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2, 那么正整数a、b、c叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表 中的规律，可知m的值为 a 3 5 个 11 6 4 4 12 24 m 0 4 5 1325 n 【答案】60 【分析】先理解题意，再依据表中的规律，得出n=m+1,112=n2-m2,再把n=m+1代入 112=n2-m2计算，即可作答. 解：依据表中的规律，得出n=m+1,11=n2-m2, 即11P=(m+1)2-m2=m2+2m+1-m2=2m+1 .121=2m+1 解得m=60, 14.(25-26九年级下·山东济南自主招生)已知△ABC的中线BD将AC分为两段， 若AB=6,BC=8,BD=5,则AC的长度为 【答案】10 【分析】延长BD到点E,使ED=BD,连接CE,证明△CED≌△ABD,利用全等的性质得到 对应边的长度和关系，根据勾股定理的逆定理和勾股定理求解. 解：延长BD到点E,使ED=BD,连接CE, BD=5, .BE=2BD=10, ·BD是△ABC的中线， :.CD=AD. ,在△CED和△ABD中， CD=AD ∠CDE=∠ADB, ED=BD .ACEDABD(SAS). .∠DCE=∠A,CE=AB=6, CE∥AB, :BC=8, .CE2+BC2=62+82=100, BE2=102=100, .CE2+BC2 BE2, ∴△BCE是直角三角形，且∠BCE=90°， ∴.∠ABC=180°-∠BCE=90°， :4C=VAB+BC2=V6+8=10 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.(8分)(25-26八年级下·全国·单元复习)如图，已知线段c,用尺规作等腰直 角三角形，使它的斜边等于c. C 【答案】如图所示，△ABP即为所求： 【分析】根据等腰直角三角形的性质进行作图，等腰三角形三线合一的性质，以及斜边上的中 线等于斜边的一半. 解：①作一条射线I,以端点A为圆心，c为半径在射线I上画弧，交点为B, ②分别以AB为圆心，大于2MB为半径画弧，弧的交点分别为C~D,连接CD:与MB交 于点E, ③以E为圆心，AE为半径在线段CE上画弧，交于点P,连接AP、BP,故△ABP即为所 求 D 16.(8分) (25-26七年级下·上海期末)如图，己知在△ABC中，∠B=2∠C, BC=2AB,AD是中线，求证：△ABD是等边三角形. D 【答案】证明：，AD是中线， :BD=CD=BC,BC=2BD' BC=2AB. .AB=BD=CD 如图，在CB的延长线上截取BE=AB,连接AE, E.-- B D ∴.BE=DC,∠E=∠BAE, .BE+BD=DC+BD,∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E,即ED=BC, ,∠B=2∠C, .LE=∠C, .AF=AC, :.△AED≌aACB(SAS), .AD=AB, ∴.AD=AB=BD, ∴.△ABD是等边三角形. 【分析】根据已知条件得到AB=BD=CD,在CB的延长线上截取BE=AB,连接AE,得到 ∠E=∠BAE,得到∠E=∠C,由等腰三角形的判定得到AE=AC,根据全等三角形的性质得 到AD=AB,即可得到结论. 解：略 17.(8分)(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AB边的垂直平分 线DE分别交AB、BC于点D、E,在EB上截取EF=EC,连接AF,AF=AC,. (1)∠FAE与∠CAE相等吗？为什么？ (2)求∠BAE的度数. 【答案】(1)相等，理由如下：，EF=EC, ∴.点E是CF的中点， AF=AC, ∴.AE是△ACF的角平分线， ∴.∠FAE=∠CAE (2)45° 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一、线段的垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握 这些性质是解决问题的关键， (I)根据“三线合一”可得AE是△ACF的角平分线，即得结论. (2)根据“三线合一”可得AE是△ACF的高线，从而得到∠AEB=9O°，由垂直平分线的性 质得AE=BE,由“等边对等角”得∠BAE=∠ABE,即可求出结果. 解：(1)略 (2),DE是AB边的垂直平分线， AE=BE, .∠BAE=∠ABE, 由(I)知：AE是△ACF的高线， ∴∠AEB=90°， :∠BAE=∠ABE=180-,∠AEB=45 18.(8分)(25-26八年级下·陕西咸阳期末)如图，△ABC是等边三角形，D是边 AC的中点，BE⊥BC,且AE∥BD,CE交BD于点F. (1)求∠BAE的度数； (2)求证：△BEF是等边三角形. 【答案】(1)30°；(2)证明：：BE⊥BC, ∠EBC=90°， ∴.∠EBA=90°-60°=30°=∠BAE .EA=EB,∠AEB=180°-30°-30°=120°，∠EBF=∠ABE+∠ABD=60° :△ABC是等边三角形， :BC=AC, .EC=EC, :.aECB≌aECA(SSS). ∠BEC=∠AEC=∠AEB=60°】 ,.△BEF是等边三角形. 【分析】)根据等边三角形的性质得到AC=60PABD=∠CBD-ARC=30°根 据平行线的性质即可求出∠BAE的度数： (2)根据垂线的性质得到∠EBC=90°，可知∠EBA=30°=∠BAE,进而得到EA=EB, ∠AEB=120°，∠EBF=60°，根据等边三角形的性质得到BC=AC,证明△ECB≌aECA(SSS) ,得到∠BEC=60°，即可证明△BEF是等边三角形. (1)解：△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°， :D是边AC的中点， ∴.∠ABD=∠CBD=∠ABC=30° AE∥BD, ∠BAE=∠ABD=30°： (2)略. 19.(8分)(25-26七年级下四川成都期末)如图，∠CAB=90°，AC=AB, CD⊥AE,BE⊥AE,垂足分别为D,E,CD=5cm,BE=2cm, (I)证明：△ACD≌aBAE; (2)求DE的长. B D 【答案】(1)证明：·∠CAB=90°， ∴.∠CAD+∠BAE=90°， ,CD⊥AE,BE⊥AE, .∠CDA=∠E=90°， .∠ABE+∠BAE=90°， ∴.∠CAD=∠ABE, 又：AC=AB, :.△ACD≌aBAE(AMS): (2)3cm. 【分析】(I)利用同角的余角相等求出∠CAD=∠ABE,再利用“角角边”证明 △ACD≌ABAE (2)根据全等三角形对应边相等可得AE=CD=5Cm,AD=BE=2Cm,然后计算即可得解. 解：(1)略. (2)解：由(1)知△ACD≌aBAE, .AE=CD=5cm,AD BE =2cm, .DE=AE-AD=5-2=3(cm). 20.(8分)(25-26八年级下·辽宁沈阳期末)如图，△ABC中，BE⊥AC,CD1AB ,且BE=CD,CD与BE相交于点F,连接AF (I)求证：FB=FC: (2)求证：AF垂直平分BC. E B 【答案】(I)证明：BE⊥AC,CD⊥AB, .∠BEC=∠CDB=90° .BE=CD BC=CB :.Rt△BEC≌Rt△CDB(HL) ∴.∠EBC=∠DCB .FB=FC (2)证明：Rt△BEC≌Rt△CDB, ∴.∠ABC=∠ACB :AB=AC, ÷点A在BC的垂直平分线上. FB=FC ∴点F在BC的垂直平分线上， AF垂直平分BC. 【分析】(1)先推导出∠BEC=∠CDB=90°，再根据HL证明Rt△BEC≌Rt△CDB(HL),得到 ∠EBC=∠DCB,则根据等角对等边进行求解即可： (2)根据全等三角形的性质，得到∠ABC=∠ACB,则AB=AC,得到点A在BC的垂直平分 线上，继而推导出点F在BC的垂直平分线上，得到AF垂直平分BC,即可解答. 解：(1)略 (2)略 21.(10分)(24-25八年级上：辽宁葫芦岛期中)已知△ABC与△ADE中，AB=AC ,AD=AE,∠BAC=∠EAD,连接BD与EC相交于点F,BD与AC相交点G. (1)猜想：如图1所示，当∠BAC=60°时，则∠BFC= (2)探究：如图2所示，当∠BAC=90°时，请求出∠BFC的度数： (3)拓展延伸：如图3所示，当AB∥CE,AB=5,EC=8,请求出DF的长度. G B 图1 图2 图3 【答案】(1)60°：(2)∠BFC=90°：(3)3 【分析】(1)先证明△BAD≌aCAE(SAS)得出∠ABD=∠ACE,再结合三角形内角和定理计算 即可得出结果： (2)先证明△BAD≌aCAE(SMS)得出∠ABD=∠ACE,再结合三角形内角和定理计算即可得出 结果： (3)由(1)得△BAD≌△CAE,∠BFC=∠BAC,从而得出BD=CE,利用平行线的性质 证明出∠ACE=∠BAC=∠BFC=∠ABF,从而可得GF=GC,AG=BG,由此计算即可得出 结果 (1)解：∠BAC=∠EAD, ∴.∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ∴.∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴△BAD≌aCAE(SAS). .∠ABD=∠ACE, 在△BAG和△CFG中，∠AGB=∠FGC,∠ABD=∠ACE, .∠BFC=∠BAC. :∠BAC=60°， .∠BFC=60°， (2)解：.'∠BAC=∠EAD .∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD .∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴△BAD≌ACAE(SAS) ∴.∠ABD=∠ACE 在△BAG和△CFG中 :∠AGB=∠FGC,∠ABD=∠ACE .∠BFC=∠BAC .∠BAC=90° .∠BFC=90°. (3)解：由(I)得△BAD≌△CAE,∠BFC=∠BAC, ∴BD=CE, ,AB∥CE, ∴.∠ACE=∠BAC,∠BFC=∠ABF :∠BFC=LBAC, .∠ACE=∠BAC=∠BFC=∠ABF. ∴.GF=GC,AG=BG ..AG+GC=BG+GF. .BF=AC=AB AB=5,EC=8, ∴.DF=BD-BF=EC-AB=3