第2章 特殊三角形 能力提升自测卷 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊三角形单元核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配初中数学单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|等腰三角形腰长判断、直角三角形中线计算|基础概念辨析，如第1题考查等腰三角形三边关系| |填空|6/18|轴对称性质、勾股定理应用|第14题结合正方形面积考查勾股定理推广| |解答题|8/72|勾股定理实际应用、“手拉手”模型证明|第23题“手拉手”模型培养推理能力，第17题自动感应门问题落实应用意识，第24题动态问题体现创新思维|

第2章 特殊三角形能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 【答案】A 【分析】分类讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，进而确定腰长． 【详解】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 2．直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两条直角边，根据勾股定理算出斜边长度；再根据直角三角形斜边中线性质，得到中线长等于斜边的一半． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为和． 由勾股定理得斜边：， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上中线长． 3．如图所示是4个相同的小正方形，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据证明，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵， ， ． 4．如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：点是的中点，， 垂直平分， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 5．如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（   ） A．17 B．18 C．20 D．21 【答案】D 【分析】首先利用勾股定理求得线段的长，然后除以株距即可求得结果． 【详解】解：山坡的高，水平距离， ， 每隔栽一棵茶树， 棵， ∴从上到下共21棵． 6．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 铅笔在笔筒外面的长度=铅笔长度铅笔在笔筒内的长度；铅笔在笔筒外面的长度最小时，在笔筒内的长度最长，即斜放在圆柱形笔筒内的时候，用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 7．已知．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等三角形性质可得，由等腰三角形性质可求的度数，结合角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 9．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可判定②，根据勾股定理与等量代换可得③正确，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：①∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ②如图，设与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故②不正确， ③连接， 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即，故③正确， ④∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④不正确． 10．如图，在四边形中，，，点分别是，上两个动点．当的周长最小时，的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质、三角形的外角性质以及两点之间线段最短．作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，此时的周长最小，利用三角形的外角性质和轴对称的性质，将转化为，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，此时的周长最小， ∵点关于的对称点是，关于的对称点是， ∴，，，， ∵， ∴三点共线，三点共线， 在中，， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，与关于直线对称，连接交直线于点，连接交直线于点，若，，则四边形的周长为___________． 【答案】23 【分析】根据轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：∵与关于直线对称，，， ∴,,, ∴四边形的周长为：． 12．如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________． 【答案】 【分析】“”需要一组直角边、一组斜边分别相等，题目已经给出一组直角边相等，因此只需补充斜边相等的条件． 【详解】解：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵，且、是和的一组对应直角边， 根据“”定理，在已知一组直角边相等的情况下，还需要两个直角三角形的斜边对应相等， ∵在中，是斜边，在中，是斜边， ∴需要添加的一个条件是． 13．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据平行的性质得到，再根据折叠得到即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠， ∴． 14．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 15．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 16．如图，在第一个中，，在上取一点C，延长到，使得，得到第二个；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，则以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出的度数，再总结规律即可解答． 【详解】解：∵在中，， ， ∵是的外角， ； 同理可得， ， ...， ∴点为顶点的等腰三角形的底角的度数为． 三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高的学生面对着自动感应门，缓慢走到离门的地方时()，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的距离． 【答案】 【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得为长方形， ，，， ， 在中，由勾股定理得： ． 18．如图，已知在线段上，与交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明出，再由证明，即可得到． 【详解】证明：， ，即， 在和Rt中， ， ． 19．如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】米 【分析】在中根据勾股定理求出的长度，从而得出的长度，然后根据和勾股定理求出的长度，从而得出答案． 【详解】解：∵是直角三角形，，米，米， ∴（米）， ∵米， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 故梯子的底端在水平方向滑动了0.8米． 20．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 21．如图，等边三角形的边长为6，求： (1)高； (2)等边三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长． （2）根据三角形的面积公式即可求三角形的面积，即可解题． 【详解】（1）解：是等边三角形，是高线， 为的中点，， 在中，． （2）解：由（1）可知，，， 等边三角形的面积． 22．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础． 【初步感知】（1）勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； 【问题解决】（2）如图2，已知，求的长度； 【拓展延伸】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，已知．测得，，求新路比原路短多少千米？ 【答案】 （1）方法一：； 方法二：；整理，得，所以； （2）； （3）新路比原路短千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）根据面积法求解即可； （2）在中，则 ，再根据勾股定理即可求解； （3）设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）因为， 在中，，即，所以 在中，，即，； （3）设，则． 在中，由勾股定理得，解得，即， ∴ ∴新路比原路短千米． 23．综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 (2)如图，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ① ②； 【拓展】 (3)如图，在与中，，，且，若，，连接，，，当，，在同一条直线上，直接写出的面积； 【答案】(1)； (2)证明：∵都是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据等边三角形的性质证明，再由全等三角形的性质以及等边三角形的性质证明即可； （3）同理可证明，然后可得，过点作于点，则、均是等腰直角三角形，则，由勾股定理求解得到，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）略 （3）解：∵，，且 ∴， ∴ ∴，， ∴ 过点作于点，则、均是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ 当点在点右侧时， 此时 ∴； 当点在点左侧时， 此时 ∴， 综上：的面积为或． 24．已知：是等边三角形． (1)如图1，点D是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，点F在的右侧，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点E在边上且是等边三角形，与边交于点M，，，求的长度； (3)如图3，当点D是内任意一点，连接，以为边作等边，点F在的右侧，连接并延长交射线于点E（点E与点F不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)证明：与是等边三角形 ，， (2) (3)或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得到，推出，证明，三线合一，即可得出结果； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：同（1）法可得； ∴， ①当点在线段上时，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 2．直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示是4个相同的小正方形，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（   ） A．17 B．18 C．20 D．21 6．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 7．已知．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．如图，在四边形中，，，点分别是，上两个动点．当的周长最小时，的度数为（） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，与关于直线对称，连接交直线于点，连接交直线于点，若，，则四边形的周长为___________． 12．如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________． 13．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则的度数是________． 14．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 15．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 16．如图，在第一个中，，在上取一点C，延长到，使得，得到第二个；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，则以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为________． 三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高的学生面对着自动感应门，缓慢走到离门的地方时()，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的距离． 18．如图，已知在线段上，与交于点，且．求证：． 19．如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 20．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 21．如图，等边三角形的边长为6，求： (1)高； (2)等边三角形的面积． 22．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础． 【初步感知】（1）勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； 【问题解决】（2）如图2，已知，求的长度； 【拓展延伸】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，已知．测得，，求新路比原路短多少千米？ 23．综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 (2)如图，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ① ②； 【拓展】 (3)如图，在与中，，，且，若，，连接，，，当，，在同一条直线上，直接写出的面积； 24．已知：是等边三角形． (1)如图1，点D是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，点F在的右侧，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点E在边上且是等边三角形，与边交于点M，，，求的长度； (3)如图3，当点D是内任意一点，连接，以为边作等边，点F在的右侧，连接并延长交射线于点E（点E与点F不重合），请直接写出与之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $