第1章 三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 初中数学三角形单元强化卷，覆盖全等图形、角平分线、中线、垂直平分线等核心知识点，通过基础辨析、折叠探究、重心实践等题型，培养几何直观、推理能力与创新意识，适配单元复习巩固与培优提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等识别、角平分线性质、中线面积计算|第2题结合角平分线距离考查几何直观，第8题以实践情境强化全等判定应用| |填空题|6/18|全等条件补充、折叠角度计算、作图应用|第14题折叠问题培养空间观念，第16题角平分线规律探究渗透数学思维| |解答题|8/72|全等证明、垂直平分线应用、重心性质探究|22题重心性质探究体现创新意识，24题角平分线综合题发展推理能力，契合核心素养要求|

第1章 三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点D作，交于点E， ∵平分，， ∴， 所以点D到的距离是3． 3．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 4．下列语句中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．对于直线a，b，c，如果，，那么 C．若，则 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】运用对顶角性质，平行线性质，平方的性质等知识点，逐个判断选项即可得到结论． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题； B. 根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若，，则，因此B是真命题； C. 若，则或，例如，满足但，因此C是假命题； D. 只有两直线平行时，同旁内角才互补，选项缺少前提条件，因此D是假命题． 5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为23，求出，由此即可得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴， ∴的周长． 6．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本作图得到平分，所以． 【详解】解：由作法得平分， ． 7．若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形三边关系确定绝对值内式子的符号，再去绝对值号化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵是的三边， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴原式 ． 8．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 9．如图所示，摆放一副三角板（，，），其中，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平行线性质及三角形的内角和求得，再利用三角形内角和定理求出，最后根据邻补角互补算出∠α的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．则下列结论中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据，可得，据此可判断①；根据三角形内角和定理可得，再由平角的定义可得，则可得到，再根据，可得，据此可判断③；过点E作，则，由平行线的性质可得，则，即可得到，同理可得，则，据此可判断④；根据现有条件无法证明，据此可判断②． 【详解】解；∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故结论中正确的有①③④． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理，利用，添加即可． 【详解】解：∵在和中，，（公共边）， ∴添加，利用可使． 12．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为___． 【答案】 19 【分析】由是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长为，通过等量代换可得，进而求出的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 的周长为， ， ， ． 13．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 14．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，利用三角形的外角的性质，折叠的性质，计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵将三角形纸片沿折叠， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，，则__________． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的角和分别转化为和，再结合，，即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知，，，， ∴， 即． 16．如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等式的性质可得出，然后根据证明； （2）根据（1）中得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 18．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 【答案】(1)垂直，理由如下： ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵是的一条角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2)8 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质结合得到，再证明即可； （2）由全等三角形可得，而，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 由题意得，， 由（1）可得， ∵的周长为26 ∴ ∴ ∴． 19．如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得； （2）如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，进而利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，， ∴， ∴． 20．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可； （2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，， ， ， （2）解：， ，， 与的周长和为． 21．如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，． (1)当时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设的角平分线与交于点，当时，求． 【答案】(1) (2) 证明：过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据平行线性质和三角形内角和定理计算即可． （2）根据平行线性质计算即可． （3）根据平行线性质和角平分线性质计算即可． 【详解】（1）解：过点作，如图， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴， 如图， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴． 22．综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 23．综合与实践： (1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴； (2) (3)若测量出，则河流，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴若测量出，则河流． 【分析】（1）利用证明即可； （2）在（1）的条件下，，，得到，利用面积相等得到高相等，即，再证明，得到，最后根据计算即可； （3）先证明，得到，，再证明，得到，则，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：在（1）的条件下，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 24．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章三角形（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 2 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B D B B C C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.AC=BD(答案不唯一) 12.19 13.5 14.22° 15.200° 16.60°+ 80° 22025 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(1)证明：，CD=BF .CD+CF=BF+CF,DF=BC, AC⊥BD,EF⊥BD, .∠ACB=∠DFE=90°， 在△ABC和△EDF中 AC=EF ∠ACB=∠EFD BC=DF △ABC≌△EDF(SAS) -4分 (2)证明：，△ABC≌aEDF」 .∠B=∠D, 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB‖DE.8分 18.(1)垂直，理由如下： ,EF垂直平分AB .AE=BE ∵BE=AC ∴.AE=AC ,AD是△ACE的一条角平分线 ∴.∠DAC=∠DAE AD=AD :△MDC≌△ADE(SAS) ∴.∠ADC=∠ADE .'∠ADC+∠ADE=180° ∴.∠ADC=∠ADE=90° .AD1BC:-4分 (2)8 【详解】(1)略 (2)解：.△ADC≌△ADE .CD=DE 由题意得，AF=BF=5, 由(1)可得，AC=AE=BE .△ABC的周长为26 .AC+CD+DE+BE+AF+BF=26 ∴.AC+CD+DE+BE=16 .DE+BE=16÷2=8.---8分 19.(1)125 (2)9 【详解】(1)解：∠A=70,∠ABC=60°， .∠ACB=180°-∠A-∠ABC=50°， .BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &2D8C-ABc=30、∠DcB-号ACB=25、 .∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=125°；-4分 (2)解：如图所示，过点D作DF⊥BC于F, :BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, .DF=DE=2, 1 SAncD=BC:DF=7x2x9=9 E ●入 0 --8分 B F 20.(1)40° (2)33.5 【详解】(1)解：△ABC≌aADE, .∠BAC=∠DAE,即∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠EAC, .∠DAF=∠EAC, .∠CAD=110°，∠BAE=30°， .∠DAF+∠EAC=∠CAD-∠BAE=80°. .∠BAD=40°，---4分 (2)解：△ABC≌△ADE, .AB=AD=10.DE=BC=BE+EC=9. △ADF与△BEF的周长和为AD+BE+DE+AB=10+4.5+9+10=33.5.-8分 21.(1)20°-3分 (2) a+B=60° AAD∥PQ 证明：过点“作 ，如图， 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M --------D P B Q ..MNIPO, .MN II AD II PO. .∠ABP=∠DAB=a,∠ACM=∠CAD=B, .∠ABC=90°，∠ACB=30°， .∠CAB=60 .∠CAB=∠DAB+∠CAD=60°， .∠CAB=∠ABP+LACM=a+B=60°， a+B=60°.---6分 (3)10°--8分 【详解】(1)解：过点A作AD∥P吧，如图， M C N ---D P B ∴∠ABP=∠DAB=a, .a=40°」 ∴.∠ABP=∠DAB=40°， :∠ABC=90°，∠ACB=30°， .∠CAB=60°， .∠CAD=∠CAB-∠DAB, .∠CAD=60°-40°=20°， 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MNI‖P2,AD∥PQ, .MINII AD .∠ACM=∠CAD=20°， :∠ACM=B, .B=20° ---4分 (2)略 (3)解：，∠ABC=90°，∠ACB=30°， .∠CAB=60°」 如图， C M E N P B ,AE为∠CAB的角平分线， .∠CAE=30°， .∠AEM=20° .∠ACM=∠AEM+∠CAE=50°， .∠ABP=a,∠ACM=B .∠ACM=B=50°， 由(2)可知a+B=60°， .a=60°-B=60°-50°=10° 22.(1)=-2分 a5ao=Sar,理由如下： :点G是△ABC的重心， 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .BF=AF=-AB,AE=EC=AC 2 2 :△BCF和△ABC同高，设高为H, 1 11 1 六S.c=2×BFxH=2×2 XABxH=23.c, 同理行5a方5m 1 S..cF=S.wCE=7.e. S.BCF-S.BGC =S.8CE-S.8GC S△BrG=SAGEC -5分 DG 1 (3)4G2 16 (4)S四边形AEGD= 3 【详解】(1)解：AD是三角形ABC的中线， ∴BD=CD, :△ABD和△ACD的底边分别是BD和CD,它们共用同一个顶点A, ∴它们的高相等，设为h, .5.m-xBxh- 1 xDCxh=S (2)解： SABG=SaGC,理由略. (3)解：点G是△ABC的重心， :.BD=DC=IBC 2 :△ADC和△ABC同高，设高为a, 1 11 S.4-xCDxa-zx-xBCxa= 22 2 1 Se.c=.C S.BDG =S.AEG 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理：~△BDG,aGDC等底同高，△CGE,△AEG等底同高， S.BDG=SGDC SACGE=SAAEG S025Ac0c DG 1 ·AG2· -7分 (4)解：如图，连接AG交BC于点M, A 是 的重心， M G △ABC DG GM 1 :由(3)可得出，BGAG2,AE=BE,AD=DC 设DG=x,BG=2x, BG BG2x_2 ·BDBG+GD2x+x3, CG_AG_2 GM_AM-AG_1 同理得CE=AM3,AMAM 3 BD=6,CE=4, BG-4.CG-8 3 BD⊥CE, 5.me-BG-CG-x4x816 2 21 33· .△AGE,△ABG 同高， .设它们的高为b, S.w-AExb,S..wo-ABxb,E-BE-AB, 1 2 2 SA6-)AB×h=7x2AExb=2x)×AExb=2S46. 1 1 2 2 2 :△ABG、△BGM和△ABM同高，设高为C, 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 AGxe,S.soM=GMxc,S.=AMxc, 2 2 AG 2 AM 3, 1 12 21 2 ∴.SABG=5AGXC= -X二×AMXc= 2 23 2xxAM×c=气SABm, 32 3 1 11 1 S.BGM =GMXc= 2 AGxe-5S.mo-x25m-.mw 22 231 3 S。ABG=2S.MEG 1 S.AOM=S.NGM .SG=S4G=2x3S。A8w=3 S.ADG=S.CGM 同理可得， 六a边形on=S.4o+54c=S.0y+S.caw=Scc=16 53。-10分 23.(1)证明：G是AB的中点， ..AG=BG 在△AEG和△BFG中， 「∠A=∠B AG=BG ∠AGE=∠BGF' △AEG≌△BFG(ASA) -3分 14cm (2 6分 (3)若测量出BC=50m,则河流AH=50m,理由如下： .GC=HG,GF=EG,∠HGE=∠CGF, .△HGE≌△CGF(SAS) ∴.∠E=∠F,HE=CF, ,∠E=∠F,GF=EG,∠AGE=∠BGF, △AGE≌△BGF(ASA) 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=BF, .AE-HE=BF-CF, .BC=AH, ∴.若测量出BC=50m,则河流AH=50m.--10分 【详解】(1)略 (2)解：在(1)的条件下，AG=BG,△AEG≌△BFG(ASA) SAAEG=SABFG ,ED⊥AG,FC⊥BG, 5mG5CF .DE=CF, .∠AGE=∠BGF,∠EDG=∠FCG=90°， ,△EDG≌△FCG(AAS) ..DG=CG, .AD=DE,ED=5 cm,CG=2cm, .AD=DE=5 cm,DG=CG=2cm ,AB=2AG=2(AD+DG)=2×(5+2)=14cm (3)略 24.(1)110°，125°：-4分 (2)100°： (3)60°或120°. 【详解】(1)解：，∠A=70° .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°」 :BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, :∠P8c+∠nc8-524ac+∠ac)=5. 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=125 (2)解：如图，连接BC, .∠BEC=130°， .∠EBC+∠ECB=180°-∠BEC=50°， ∠A=70°， ∠EBA+∠ECA=180°-（∠EBC+∠ECB)-∠A=60° :∠ABE,∠ACE的平分线BF,CF相交于点F, A∠EBF+∠BCF-(EBA+∠EC4)=30, ∠BFC=180°-（∠EBC+∠ECB)-(∠EBF+∠ECF)=100° -7分 (3)解：：BP平分∠ABC,BN平分外角∠EBC,∠ABC+∠EBC=180°， &∠PBN-ABc+号Bc=0,即∠MBN-90 因此30°只能是∠M或∠BWM. 根据三角形外角的性质得到∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=I8O°+∠A, ,BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB, :∠NBC+∠NCB=90°+)∠A, 21 :∠BNC=180°-（∠NBC+∠NC)=90-A,即<BNM=90P-∠4， 2 &∠M=180-∠MBN-∠BM-A, 分情况讨论： 若∠M=30,则54=0，解得∠A=60. 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若∠BNM=30,则0-4=0，解得∠A=10: 综上所述，∠A的度数为60°或120°.--12分 11/11函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是() B 粥 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,若CD=3,则点D到AB的距离为() A.4.5 B.4 C.3.5 D.3 3.如图，AD是△1BC中边BC上的中线，E、F分别是B、D的中点，若△1CD的面积为 12 cm ,则 △DEF的面积是() A. 6cm2 B 3cm2 C.1.5cm2 D 4.下列语句中，是真命题的是() A.相等的角是对顶角 B.对于直线a,b,c,如果b∥a,c∥a,那么b∥c 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若a2=b,则a=b D.同旁内角互补 5.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E.△ABC的周长为23，BE=3,则 △ABD的周长为() D E A.14 B.15 C.16 D.17 6.如图，在△ABC中，∠CAB=44°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交 AC,AB于M,N两点：②分别以点M,V为圆心，大于2MW的长为半径作弧，两弧相交于点P:③ 作射线AP,交BC于点E.则∠CAE为() A.13° B.22° C.23 D.43° 7.若a,b,C是△ABC的三边，化简： a+b-d小-la-c-bl=() A.0 B.2a-2c C.-2a+2c D.2b 8.如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点C和点F处，甲看向地面上点B处的视线 与他自己身体的夹角为∠BAC,乙看向地面上点E处的视线与他自己身体的夹角为∠EDF,已知AC⊥BE 于点C,DF⊥BE于点F,图中所有的点都在同一平面内.当AC=DF,∠BAC=∠EDF时，根据全等三 角形的知识可得到BC=EF,这里直接判定△ABC和△DEF全等的依据是() ■■ B A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 218 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 9.如图所示，摆放一副三角板（∠A=∠D=90°，∠C=30°，∠E=45°），其中AC∥EF,则∠的度 数为() 0 A.65° B.70° C.75 D.80° 10.如图，AG∥DF,将一副直角三角板作如下摆放，∠EDF=30°，∠BAC=45°，下列四个结论：① 8BEF:@∠4ED-60:@C4E=∠4Br-13:④若24ED-G,则∠BHE=15.则下列结 论中正确的有() G A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.如图，∠ACB=∠BDA=90°，添加一个条件 使△ACB≌△BDA.(不添加字母和辅助 线) B 12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3Cm,△ABD的周长为l3Cm,则△ABC的周长为 Cm 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 13.如图，在△ABC中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点MN,再分别以 MN为圆心，以大于2MW的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,作DE1AB于 点E,若DE=2,AB=8,△ABC的面积为13，则AC的长为 C D M E B 14.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1=70°， ∠2=132°，则∠A为 B D 15.如图，∠BOF=100°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 100° 16,如图，在△MBC中，已知∠A=60°，点0为△MBC内一点，且∠B0C=140,其中B0平分∠B0, C0平分∠AC0,B0平分B0,C0:平分1C0.B0,平分∠AB0,C0平分 ∠AC0,,以此 418 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BO,C=100°∠B02o2,C= 类推，则 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC=EF,AC⊥BD,EF⊥BD,垂足分别为点C、点F, CD=BF.求证： D E (I)△ABC≌△EDF: ABII DE (2) 18.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边AB,BC于点F,E,BE=AC,AD是△ACE的 一 条角平分线 (I)AD与BC垂直吗？请说明理由， (2)若△ABC的周长为26，AF=5,求BD的长. 19.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB. 518 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B (1)若∠A=70°，∠ABC=60°，求∠BDC的度数； (2)若DE⊥AB于点E,DE=2,BC=9,求△BCD的面积. 20.如图，△ABC≌△ADE,点E在BC边上（不与点B,C重合）DE与AB交于点F. D B (1)若∠CAD=110°，∠BAE=30°，求∠BAD的度数： (2)若AD=10,BE=CE=4.5,求△ADF与△BEF的周长和. 21.如图，已知直线MNIP№，点B为直线PO上一定点，点C为直线MN上的一个动点，连接BC.在直 线MN、PO之间找点A使∠ABC=90°，∠ACB=30°，设∠ABP=,∠ACM=B」 M C C M P B O B (1)当a=40°时，求B的度数. (2)与B有怎样的数量关系？并给出证明. (3)设∠CAB的角平分线AE与MN交于点E,当∠AEM=20°时，求a. 22.综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处悬吊起来，发现纸板处于水平状 态 618 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ D D 图① 图② 图③ 图④ I)如图②，D是△1BC的中线，则△ABD与△ACD 的面积关系为： S4cn(填、<或)； (2)如图③，点G是△ABC的重心，猜想△BFG与△CEG的面积之间的关系，并说明理由： (3)如图③，点G是△ABC的重心，三条中线AD、BE、CF分别交BC、AC、AB于点D、E、F，,求 DG AG的值： (4)如图④，点G是△ABC的重心，且BD⊥CE,若BD=6,CE=4,求四边形AEGD的面积. 23.综合与实践： G B A ① ② ③ ()【基础巩固】如图①，己知AB与EF相交于点G,∠A=∠B.G是AB的中点，求证： △AEG≌△BFG (2)【深入探究】如图②，在(1)的条件下，过点E,F分别作ED⊥AG于点D,FC⊥BG于点C,若 AD=DE ED=5 cm.,CG=2cm 当 时，求1B的长. (3)【拓展探究】如图③，要测量河流AH的长，因为无法测河流附近的点A,可以在AH外任取一点G, 在AH的延长线上任取一点E,连结EG,HG,并且延长HG到点C,使GC=HG;延长EG到点F,使 GF=EG,连结FC并延长到点B,使B,G.A三点在同一条直线上.若测量出BC=50m,则河流 AH=50m,请说明理由. 24.【初步认识】 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,若∠A=70°，则∠ABC+∠ACB=一： ∠BPC=: 【继续探索】 (2)如图2，∠ABE,∠ACE的平分线BF,CF相交于点F,若∠A=70°，∠BEC=130°，求∠BFC的度数： 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB,延 长BP,NC交于点M.在△BMN中，有一个内角为30°，直接写出∠A的度数. 818