第2章 特殊三角形单元自测基础卷- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 浙教版八年级“特殊三角形”单元基础卷，45分钟100分，适配周测/单元复习，融合中考真题与阶段检测题，覆盖轴对称、等腰三角形、勾股定理等核心知识，注重基础巩固与素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|轴对称图形识别、等腰三角形内角计算、勾股数判断|结合中考真题（如2026长沙中考），考查抽象能力与几何直观| |填空题|6/24|等腰三角形周长、直角三角形边长、折叠问题|融入古算诗（红莲湖水深度），体现文化传承与模型意识| |解答题|7/36|尺规作图、筝形证明、实际应用（电脑张角、蚂蚁爬行最短距离）|综合探究题（如直角三角形翻折），发展推理能力与空间观念|

第2章 特殊三角形单元自测基础卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：浙教版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（2026·湖南长沙·中考真题）“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，分情况讨论已知内角的位置，排除不符合三角形内角和的情况即可得到结果． 解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， 分两种情况讨论： ①若为底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理，舍去； ②若为顶角，则两个底角和为， ∴单个底角为． 因此该三角形底角度数为． 3．（2026·河北廊坊·一模）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．，， D．，， 【答案】B 【分析】勾股数需满足两个条件，三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐一判断选项即可． 解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意； B、，且7，24，25都是正整数，故7，24，25是勾股数，该选项符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意； D、，，不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意． 4．（2026·广东·模拟预测）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．直角三角形两个锐角的和等于 【答案】B 【分析】本题考查了命题、定理和证明，熟练掌握它们的定义是解题的关键，根据题意分别找到各定理的逆命题，再判断真假，逆命题为假命题的即符合题意． 解：A．此选项的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意； B．此选项的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，逆命题是假命题，此选项符合题意； C．此选项的逆命题是“等边三角形有一个角等于，且三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意； D．此选项的逆命题是“两个角的和等于的三角形是直角三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意． 故选：B． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则， B．有两个角都是60°的三角形是等边三角形 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题主要考查逆命题和真假命题，对顶角相等，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，能够写出命题的逆命题是解题的关键． 解：A. 逆命题为：如果，那么，是真命题，不符合题意； B. 逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形有两个角都是，真命题，不符合题意； C. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D. 逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选：C． 6．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 8．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到，再在中利用勾股定理求出斜边的长，即可得到的长度． 解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 9．（2026·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 10．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是的两条中线，P点是线段上一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度． 解：如图，连接， 是的中线，， ， ， ，， ， ， ， ， 、、共线时，的值最小， 最小值为的长度，即为． 故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 【答案】10 【分析】分腰长为2和腰长为4两种情况，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长． 解：①当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴2，2，4不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴2，4，4能构成三角形； 此时等腰三角形的周长为； 综上，等腰三角形的周长为． 12．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 【答案】 【分析】利用勾股定理列等式求解，再根据边长为正数取正根即可． 解：∵直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为， ∴由勾股定理得， 整理得， ∵三角形边长为正数， ∴． 13．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． 14．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键．设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点，由直尺宽度可得，即可得到平分，则，最后由直尺平行可得． 解：如图，设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点， 则由直尺宽度可得， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（2026·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 16．（2026·四川南充·中考真题）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可． 解：如图，将长方体的前面和右面展开， ∴； 如图，将长方体的前面和上面展开， ∴， 如图，将长方体的下面和右面展开， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 三、解答题（本大题共7小题，共36分） 17．（4分）　（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，线段，请利用圆规和无刻度直尺作等腰，，使得的面积为． 【答案】如图，即为所求． 【分析】由面积得边上的高为，先作线段的垂直平分线交于点，再截取即可． 解：设边上的高为， 的面积为． ，即， 解得， 故作线段的垂直平分线，并在垂直平分线上截取即可． 18．（4分）（25-26八年级上·云南红河·期末）筝形是指有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形，利用此定义证明如下问题：如图，，．求证：四边形是筝形． 【答案】如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点A和点C都在的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴四边形是筝形． 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等边对等角和等角对等边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，由得到，然后得到，推出，进而得到垂直平分，即可证明四边形是筝形． 解：略 19．（5分）　（2026·陕西渭南·二模）如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由等角对等边可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质即可证明结论． 解：证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20．（5分）（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． （1）折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） （2）若，，求的度数． 【答案】（1）高；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）由折叠可知，即，即可求解； （2）先根据三角形外角的性质求出，根据折叠可知，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． （1）解：由折叠可知， ， 折痕a是的高． （2）解：，， ， 由折叠可知， ， ． 21．（6分）　（25-26八年级上·甘肃定西·期中）如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： （1）为等边三角形； （2）． 【答案】（1）证明：依题意得，， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的判定，三角板中角度的计算，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此可证明结论； （2）根据等边三角形的性质和三角板中角度的特点可证明，据此可证明结论． 解：（1）略 （2）略 22．（6分）　（25-26八年级上·山西太原·期中）某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为． （1）求的长度． （2）若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点D为点B的对应点），顶部边缘点D离桌面的高度为，此时底部边缘点A与点E之间的距离为，求此时电脑顶部边缘上升的高度． 【答案】（1）的长度为；（2）此时电脑顶部边缘上升的高度为 【分析】本题考查了勾股定理： （1）在中，利用勾股定理即可求解； （2）在中，利用勾股定理即可求解； 熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）解：根据题意，得：，，， 在中，由勾股定理， 得：， 答：AB的长度为． （2）∵，，， ∴在中，由勾股定理，得：， ∴此时电脑顶部边缘上升的高度为， 答：此时电脑顶部边缘上升的高度为． 23．（6分）（25-26八年级上·北京·期中）综合与探究 问题情境： 数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动． 如图1，在中，，于点，平分交于点． 初步分析： （1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论； （2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形，添加的条件可以是_______（写出一种即可）； 操作探究： （3）创新小组的同学从图形轴对称的角度进行了如下的探究． 如图2，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上．连接，猜想此时线段与的位置关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴． 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）或 （3），证， 证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，折叠的性质， 对于（1），先根据角平分线定义得，再根据直角三角形的两个锐角互余得，再根据“等角对等边”得出答案； 对于（2），根据角平分线的定义得，进而得出，再根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”得出答案； 对于（3），根据折叠的性质得，再结合（1），根据“内错角相等，两直线平行”得出答案． 解：（1）略 （2）当或时， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：或； （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形单元自测基础卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：浙教版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（2026·湖南长沙·中考真题）“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 3．（2026·河北廊坊·一模）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．，， D．，， 4．（2026·广东·模拟预测）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．直角三角形两个锐角的和等于 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则， B．有两个角都是60°的三角形是等边三角形 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 6．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 10．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是的两条中线，P点是线段上一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 12．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 13．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 14．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______． 15．（2026·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 16．（2026·四川南充·中考真题）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共36分） 17．（4分）　（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，线段，请利用圆规和无刻度直尺作等腰，，使得的面积为． 18．（4分）（25-26八年级上·云南红河·期末）筝形是指有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形，利用此定义证明如下问题：如图，，．求证：四边形是筝形． 19．（5分）　（2026·陕西渭南·二模）如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 20．（5分）（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． （1）折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） （2）若，，求的度数． 21．（6分）　（25-26八年级上·甘肃定西·期中）如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： （1）为等边三角形； （2）． 22．（6分）　（25-26八年级上·山西太原·期中）某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为． （1）求的长度． （2）若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点D为点B的对应点），顶部边缘点D离桌面的高度为，此时底部边缘点A与点E之间的距离为，求此时电脑顶部边缘上升的高度． 23．（6分）（25-26八年级上·北京·期中）综合与探究 问题情境： 数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动． 如图1，在中，，于点，平分交于点． 初步分析： （1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论； （2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形，添加的条件可以是_______（写出一种即可）； 操作探究： （3）创新小组的同学从图形轴对称的角度进行了如下的探究． 如图2，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上．连接，猜想此时线段与的位置关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $