第一章 勾股定理 单元自测基础卷- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级勾股定理单元基础卷，45分钟100分，精选各地阶段检测、期末及中考真题，覆盖定理应用与实际问题，渗透数学文化与模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|勾股数判断、逆定理应用、图形面积计算|结合国际数学家大会会徽、梯子靠墙等情境，考几何直观| |填空题|6/24|直角三角形周长、勾股数规律、圆柱侧面路径|融入《周髀算经》文化，考空间观念与抽象能力| |解答题|7/36|定理验证、秋千踏板高度、四边形面积计算|赵爽弦图证明、河水深度测量等实际问题，考推理能力与应用意识|

第一章 勾股定理单元自测基础卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：北师大版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 2．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）下列长度的各组线段中，首尾相连能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26八年级上·云南文山·期末）如图，是斜边的高，则（    ）    A．3 B． C． D．5 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形和小正方形的面积比是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 9．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（2025·广西梧州·一模）如图，在和中，，点B在上．若，，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，若，则的周长为___________． 12．（24-25八年级下·全国·阶段检测）若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是__________三角形． 13．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形中，，则_____． 14．（2026九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，是圆柱底面的直径，．是圆柱的高，．在圆柱的侧面上，过点，有一条绕了四周的路径最短的金属丝，金属丝的长度为________． 15．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 16．（24-25八年级下·广东江门·阶段检测）如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共36分） 17．（4分）　（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的证明方法至今约有500多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形是直角梯形，点在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理． 18．（4分）（25-26七年级上·山东威海·期中）有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度，将秋千往前水平推送（水平距离）时，踏板离地面的垂直高度为（）．求绳索的长度． 19．（5分）　（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 20．（5分）（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． （1）求的长； （2）求的长． 21．（6分）　（24-25八年级下·山东潍坊·阶段检测）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 22．（6分）　（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 23．（6分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 （1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系为 ． 【类比探究】 （2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理单元自测基础卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：北师大版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分情况讨论，避免漏解． 解：由直角三角形两边长为12和13，未明确两条边是直角边还是斜边，分两种情况讨论： ①当12和13均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ②当13为斜边，12为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ∴第三边长的平方是25或313． 2．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 【答案】B 【分析】未明确最大边时，分为斜边、4为斜边两种情况，结合勾股数为正整数的条件求解． 解：分两种情况讨论： 当为斜边长时，，解得， ∵为正整数， ∴； 当为斜边长时，，解得， 此时不是正整数，不符合勾股数要求，舍去． 综上所述，a的值为5． 3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）下列长度的各组线段中，首尾相连能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 解：A． 三边为，，．最长边为，验证：不满足勾股定理，无法组成直角三角形． B． 三边为，，．最长边为，验证：不满足勾股定理，无法组成直角三角形． C． 三边为，，．最长边为，验证：满足勾股定理，能组成直角三角形． D． 三边为，，．最长边为，验证：不满足勾股定理，无法组成直角三角形． 综上，正确答案为C． 故选：C． 4．（25-26八年级上·云南文山·期末）如图，是斜边的高，则（    ）    A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出，再根据等面积法求解即可，掌握等积法，是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵是斜边的高， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形和小正方形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及正方形的面积公式． 根据勾股定理可得大正方形的边长，再根据和差关系得到小正方形的边长，根据正方形的面积公式可得大正方形和小正方形的面积，进一步即可求解． 解：由勾股定理可知大正方形的边长为 则大正方形的面积为：； ∵小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：； 则大正方形和小正方形的面积比是． 故选：D． 6．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理；在中，利用勾股定理，求出，在中，利用勾股定理，求出，再求和即可得出结果． 解：∵， ∴在中，， 即， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴两个书柜之间的距离为2.2米； 故选：B． 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 【答案】D 解：∵在中，，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 9．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到，再在中利用勾股定理求出斜边的长，即可得到的长度． 解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 10．（2025·广西梧州·一模）如图，在和中，，点B在上．若，，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出，再利用全等三角形的对应边相等即可求解． 解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 故选C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，若，则的周长为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据勾股定理，列出方程求出的值，进而求出的值，进而利用三角形的周长公式进行计算即可． 解：∵， ∴设，则． ∵， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·全国·阶段检测）若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是__________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理即可判定三角形是直角三角形． 解：∵， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 13．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形中，，则_____． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理的应用，在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，，最后求得． 解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得， ，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：34． 14．（2026九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，是圆柱底面的直径，．是圆柱的高，．在圆柱的侧面上，过点，有一条绕了四周的路径最短的金属丝，金属丝的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．根据两点之间线段最短，画出剪开后所得的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 解：根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图如图所示，则最短的金属丝的长为． 在中，，， ， 金属丝的长为． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键；设股为，则弦为，根据勾股定理列方程求解． 解：依题意，勾为，设股为，则弦为．由勾股定理，得， 即，整理得，即，解得． 故股为； 故答案为． 16．（24-25八年级下·广东江门·阶段检测）如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解. 解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为. 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共36分） 17．（4分）　（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的证明方法至今约有500多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形是直角梯形，点在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理． 【答案】因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 因为的面积分别为和，梯形的面积为 所以． 所以， 即． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明．证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可． 解：略 18．（4分）（25-26七年级上·山东威海·期中）有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度，将秋千往前水平推送（水平距离）时，踏板离地面的垂直高度为（）．求绳索的长度． 【答案】绳索的长度是 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设，在中，根据勾股定理求解即可． 解：由题意可得． 设，则． 在中，可得． 解得． ∴绳索的长度是． 19．（5分）　（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可． 解：在中，， ， ． 在中，，， ，， ， 是直角三角形，即． ． 20．（5分）（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． （1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 21．（6分）　（24-25八年级下·山东潍坊·阶段检测）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 22．（6分）　（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 【答案】（1），理由：在中， ，，， ， 即， 是直角三角形， ． （2）需花费2700元 【分析】本题考查了勾股定理及其应用，掌握勾股定理及其应用是解本题的关键． （1）由题意可得，即可证得是直角三角形，进而证得； （2）由勾股定理证得，再由“种植花卉的费用为50元/”即可解出． 解：（1）略 （2）由（1）得， 为直角三角形， ，， ， ， （元） 答：需花费2700元． 23．（6分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 （1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系为 ． 【类比探究】 （2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明． 【答案】（1）；（2）改变，， 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， 如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为边作等边，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $