第二章 实数 单元自测基础卷- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级实数单元基础卷，45分钟100分，整合山东淄博、江苏南京等地中考真题及模拟题，适配单元复习与周测，强化基础落实与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|无理数比较、算术平方根、二次根式意义|以中考真题为情境，考查抽象能力与符号意识| |填空题|6/18|根式化简、大小比较、秦九韶公式应用|基础巩固，关联数学文化，培养量感| |解答题|7/58|平方根性质、二次根式运算、规律探究（如第20题）、有理化因式应用（如第21题）|梯度设计，从运算能力到推理意识，体现应用意识与创新意识|

第二章 实数单元自测基础卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：北师大版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 2．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·新疆和田·模拟预测）下列根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·宁夏银川·三模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 7．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）数学活动课上，小李要制作一个长为，宽为的长方形木框，若不考虑拼接，则木框的总长度和围成的面积分别为（    ） A．，4 B．，4 C．，4 D．4， 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2025·江西·中考真题）化简：________ 10．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 11．（2026·天津·中考真题）计算的结果为______． 12．（2026·上海·中考真题）已知，则___________． 13．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，则=________． 14．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． （1）求a和x的值． （2）求的算术平方根． 16.（8分）（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 17.（8分）（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 18.（8分）（25-26八年级下·广东广州·期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 19.（8分）（25-26八年级下·全国·周测）计算： （1）． （2）． 20.（8分）（2026·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ． （2）请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 21.（10分）（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． s 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数单元自测基础卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：北师大版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 2．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 解：的算术平方根是， 故选：B． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 4．（2026·新疆和田·模拟预测）下列根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 对于A选项， 的被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于B选项， ，它的被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于C选项， 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； 对于D选项， ，它的被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 5．（2026·宁夏银川·三模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根和立方根的性质分别计算各选项，即可判断出正确结果． 解：选项A：∵， ∴ A错误，该选项不符合题意； 选项B：∵表示的算术平方根，结果为，不是， ∴ B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵由立方根的性质，可得， ∴C正确，该选项符合题意； 选项D：∵， ∴ D错误，该选项不符合题意． 6．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 7．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 8．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）数学活动课上，小李要制作一个长为，宽为的长方形木框，若不考虑拼接，则木框的总长度和围成的面积分别为（    ） A．，4 B．，4 C．，4 D．4， 【答案】A 【分析】先明确木框总长度为长方形周长，再分别代入公式计算化简即可得到结果． 解：∵=， ∴ ． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2025·江西·中考真题）化简：________ 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 解：∵， ∴． 故答案为2． 10．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 【答案】 解：∵， ∴． 11．（2026·天津·中考真题）计算的结果为______． 【答案】7 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式计算即可． 解： ． 故答案为：7． 12．（2026·上海·中考真题）已知，则___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 13．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，则=________． 【答案】 解：∵， ∴ ． 14．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 【答案】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 解： 将，，代入上式： 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． （1）求a和x的值． （2）求的算术平方根． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根，熟练掌握平方根及算术平方根的意义是解题的关键； （1）根据平方根的意义可得，则可求出a的值，进而得出x的值即可； （2）把（1）中a、x的值代入进行求解即可． （1）解：由题意得：， ， ， ； 即a的值为，x的值为49； （2）解：由（1）可知：，， ， 的算术平方根为5． 16.（8分）（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算乘法，然后化简二次根式即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17.（8分）（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可． （1）解： ； （2）解： ． 18.（8分）（25-26八年级下·广东广州·期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）8 【分析】（1）先求得和的值，根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，再整体代入计算即可． （1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ． 19.（8分）（25-26八年级下·全国·周测）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，二次根式的除法计算，再算加减法即可； （2）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式计算，再算加减法即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20.（8分）（2026·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ． （2）请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】（1）；（2）第n个式子是：n； 证明如下： ． 【分析】（1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律； （1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）略 21.（10分）（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3），理由如下： ， ； （4） 【分析】本题考查了互为有理化因式，分母有理化的概念，正确理解互为有理化因式，分母有理化是解题的关键． ［理解应用］（1）根据互为有理化因式定义，分母有理化定义解答即可； （2）先分母有理化，然后再把被开方数相同的二次根式合并解答即可． ［拓展应用］（3）可以把分子有理化，根据分子相等，再通过比较分母大小进行比较； （4）先把等式左边各项分母有理化，根据为有理数，再列方程求解即可． 解：（1）， 的有理化因式为， 故答案为：； ， 故答案为：． （2）原式 ， ， ； （3）略 （4） ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $