29.2.2圆心角（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“圆心角”核心内容，涵盖定义、圆的旋转不变性及弧弦圆心角关系定理。通过问题链导入（如圆上两点形成角的特征），结合垂径定理回顾搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以动手探究（剪圆旋转验证不变性）培养几何直观与空间观念，逻辑推理证明定理发展推理能力，例题（如PA+PB最小值）渗透模型意识。采用“探究-证明-应用”教学链，小结系统梳理，助力学生构建知识体系，为教师提供完整教学资源。

人教版(新教材) 九年级上册 29.2 圆的有关性质 29.2.2 圆心角 第二十九章 圆 圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 圆的对称轴有无数条. 注意 （1）不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段. （2）垂径定理中的“直径”可以是直径，也可以是半径、过圆心的直线或线段；“两条弧”指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.垂径定理推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 M' O M A B N 知识回顾 练习：如图29.2-2，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2 ，BD= ，则AB的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解：连接OD. ∵CD⊥AB，CD=2 ， ∴CH=DH= . 在Rt△BHD中，由勾股定理， 得 BH= =1. 设⊙O的半径为r，则OH=r-1. 在Rt △OHD中， OH2+HD2=OD2， 即(r -1)2+( )2=r2， 解得r= ，∴AB=2r=3. D C B A H O B 知识回顾 知识点链接 已知圆中半径为r， 弧对的弦长为a， 圆心到弦的距离为d，则： r²=d²+()²（勾股定理） O 新知导入 如图：已知A、B是⊙O上的任意两点，作射线OA，OB，所得的角有什么特征？ ►∠AOB对了几段弧？ A B C ►如果∠COA=∠AOB,相等吗？ ►如果∠COA=∠AOB，连结AB，AC，►所得线段AB与AC有什么大小关系？ 今天学习与圆有关的重要的角——圆心角 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 环节一：认识圆心角 A B O 1、圆心角定义 圆心角核心条件：顶点在圆心 A B O C ∠ACB不是圆心角 A B O C 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：认识圆心角 A B O 圆心角 ∠AOB 弧 弦AB 2.任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角、弧、弦 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦和弧有怎样的关系？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ O 45° 90° 180° 圆是中心对称图形， 圆心就是它的对称中心； 始终与原图形重合 环节二：认识圆的旋转不变性 探 究 把圆绕圆心旋转任意一个角度， 所得的图形都与原图形重合. 圆是旋转对称图形 3.圆的旋转不变性 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦和弧有怎样的关系？ 环节三：探究圆心角定理 猜想： 圆绕圆心旋转任意角度都能重合， 圆心处的角对应的弧、弦可能相等。 圆具有旋转不变性，利用这个特性，你能证明你的猜想吗？。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究圆心角定理 O A B A' B' (A') (B') 思 考 如图.在⊙O 中，当圆心角∠AOB = ∠A′OB′时，它们所对的弧 和 弦AB和A'B'相等吗？为什么？ ∵∠AOB=∠A'OB'， ∴射线OB与OB'重合. 又OA=OA'，OB=OB'， ∴点A与A'重合，点B与B'重合. 因此，AB与A‘B’重合， 与 重合， 即AB=A'B'， = . 我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转， 使射线OA与OA'重合. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：探究圆心角定理 如图. 等圆⊙O1与⊙O2中，当圆心角∠AOB = ∠A′OB′时，它们所对的弧 和 弦AB和A'B'相等吗？为什么？ O1 A B O2 A′ B′ 思 考 ∵⊙O1与⊙O2是等圆 ∴ ⊙O1与⊙O2能重合 ∵∠AOB = ∠A′OB′ ∴我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA‘重合，由圆的旋转不变性， 弧 和 弦AB和A′B′重合 = AB=A'B' 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：探究圆心角定理 4.圆心角定理： O A′ B′ A B ∵在⊙O中，∠AOB =∠A′OB′ ， ∴ AB =A'B’ ， = . 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 几何语言： 角相等 线段相等 弧相等 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 “在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？ B' A' O B A AB=A'B' ∠AOB∠A'OB' 前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢. 环节四：圆心角、弧、弦的关系 思考 = 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节四：圆心角、弧、弦的关系 根据圆的旋转不变性，同圆或等圆中，弧相等、弦相等、或圆心角相等，这三个只要一个条件成立，能推出其他两个也成立 思考 O A B A' B' (A') (B') = 如图.在⊙O 中，当 = 时，圆心角∠AOB 与∠A′OB′，弦AB和A'B'相等吗？ ∠AOB =∠A′OB′ AB=A'B' AB=A'B' ∠AOB =∠A′OB′ = m = 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节四：圆心角、弧、弦的关系 5.弧、弦、圆心角之间的关系 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. O A′ B′ A B 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 　　 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等 6、弧、弦、圆心角关系定理推论： 简记为：“知一推二”. 环节四：圆心角、弧、弦的关系 注意：弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条，优弧相等或劣弧相等 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 两个圆心角相等 两条弧等 两条弦相等 例题讲解 例1 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵ = ∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形 又∵ ∠ACB=60° ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例2.已知：如图，MN是的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，P是MN上一动点，的半径为1， 求的最小值 解：作B点关于MN的对称点，连结与MN交于点P， 易证得，此时取得最小值． 根据圆的对称性，点在上，且， ∵A是半圆的三等分点，∴， ∴， ∵B是的中点，∴， ∴， ∴， ∵半径为1，∴， ∴，∴的最小值为． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 圆的旋转对称性 圆心角 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 顶点在圆心的角叫做圆心角. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 弧、弦、圆心角 弧、弦、圆心角的关系 课堂小结与知识梳理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 1.下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等 解： A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意； B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意； C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意； D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意； 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等． B 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 2.判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等 ． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等 ． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等 ． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等 ． 解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为 真命题； 对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题； 对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题； 对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题． 真命题 真命题 假命题 假命题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 3.如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 解：∵在中， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， B 课堂演练 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 4. 已知是的弦，若，，则 所对的圆心角的度数为( ) D A. B. C. D. O A B 解：∵ ∴+=4 ∵=4 ∴+= ∴△AOB是直角三角形 即∠AOB=90° 课堂演练 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：如图，过D作于E， 则， ∵点C是直径的三等分点，直径， ∴，，， ∴， ∵点D是弧的三等分点()，∴， ∴，∴， ， ∴， ∴， 课堂演练 5.（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 6.如图，以的顶点为圆心，长为半径作 ， 分别交，于点，，交的延长线于点 . （1）求证： ； （1）证明：连接 . 四边形 是平行四边形， . ， . ， . . （2）若所对的圆心角为 ，求 的度数. （2）解：, . 所对的圆心角为 ,即 ， . 课堂演练 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 7.如图①，是的直径，与 是弦，且 . （1）求证： . （2）若点由圆上运动到圆外，过圆心 ，如图②，是否仍有 ？为什么？ （3）如图③，若点由圆上运动到圆内，过圆心 ，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由. 课堂演练 【证明】如图①, 作于点, 于点， 则， . ， . 又， F ∟ F ∟ . 又,,(垂径定理) . 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 7.如图①，是的直径，与 是弦，且 . （2）若点由圆上运动到圆外，过圆心 ，如图②，是否仍有 ？为什么？ 课堂演练 F ∟ F ∟ 【解】仍有 .理由如下：如图②, 作于点，于点 . ， .连接 ， . ∵在与中, . ∵在与中， . 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 7.如图①，是的直径，与 是弦，且 . （3）如图③，若点由圆上运动到圆内，过圆心 ，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由. 课堂演练 【解】（1）中的结论仍然成立.理由如下： 如图③,作于点，于点 . , 同理（2）得 . 在和中， . . F ∟ F ∟ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 8.（2023秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考期中）如图，在O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E． （1）求证：； （2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积． 课堂演练 （1）证明：连接OC． ∵ ， ∴∠AOC=∠BOC． ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD=CE． （2）解：∵∠AOB=120°， ∠AOC=∠BOC， ∴∠AOC=60°． ∵∠CDO=90°，∴∠OCD=30°， ∵OC=OA=2，∴． ∴， ∴， 同理可得， ∴． O D ∟ E ∟ B A 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 谢谢聆听 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $