第1章 有理数概念清单速记表（知识清单）数学新教材华东师大版七年级上册

该初中数学有理数知识清单系统梳理了第1章核心内容，涵盖有理数的概念、运算及应用，通过分章节梳理概念、定义及相关概念，搭建从基础概念到运算规律再到实际应用的递进式学习支架。 清单以“概念-定义-相关概念”三维结构呈现知识体系，如“数轴”关联原点等要素培养抽象能力，“加法法则”分同号异号情况细化培养运算能力。特别设计“步骤化指导”如比较负数大小的两步法，助力不同学生高效学习，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第1章 有理数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1.1 有理数的引入 正数与负数 像 -12、-2.5、-237、-0.7 这样的数是负数；像 3、3.5、500、1.2 这样的数是正数。正数前面有时也可放上一个“+”（读作“正”）号，如 7 可以写成 +7。 正数、负数、正负号 零 0 既不是正数，也不是负数。 正数、负数 具有相反意义的量 像零上 3 ℃ 和零下 12 ℃、收入 500 元和支出 237 元、水位升高 1.2 m 和下降 0.7 m 这样的量，都是具有相反意义的量，都可以用正数和负数来表示。 正数、负数、正负号 整数 正整数、0 和负整数统称为整数。 正整数、0、负整数 分数 正分数和负分数统称为分数。 正分数、负分数 有理数 整数和分数统称为有理数。 整数、分数、正有理数、负有理数 数集 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。所有有理数组成的数集叫做有理数集；所有整数组成的数集叫做整数集；所有负数组成的数集叫做负数集；所有正整数和 0 组成的数集叫做非负整数集（即自然数集）。 有理数集、整数集、负数集、自然数集 1.2 数轴 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向、单位长度 用数轴上的点表示有理数 在数轴上，正数在原点的右边，负数在原点的左边。要表示任何一个不为 0 的有理数，可以先根据这个数的正负号确定它在数轴上原点的哪一边，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度，然后画上相应的点。 原点、单位长度、正数、负数 在数轴上比较数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。由此得到数的大小比较法则：正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数。 数轴、正数、负数、大小比较 1.3 相反数 相反数 像 6 和 -6、1.5 和 -1.5 那样，只有正负号不同的两个数称互为相反数，也就是说，其中一个数是另一个数的相反数。 正负号、互为相反数 相反数的几何意义 在数轴上，表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。 数轴、原点、距离 0 的相反数 规定 0 的相反数是 0。 0、相反数 双重符号的化简 在一个数的前面添上“-”号，表示这个数的相反数，如 、；在一个数的前面添上“+”号，仍表示这个数本身，如 、。 相反数、正负号 互为相反数的特征 两个数互为相反数的特征是这两个数的和为 0，即若 、 互为相反数，则 ；反之，若 ，则 、 互为相反数。 相反数、加法法则 1.4 绝对值 绝对值 在数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 。 数轴、原点、距离 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身；0 的绝对值是 0；一个负数的绝对值是它的相反数。即当 时 ；当 时 ；当 时 。 正数、负数、0、相反数 非负数 任何一个有理数的绝对值总是正数或 0（通常也称非负数），即对任意的有理数 ，总有 。 绝对值、非负数 1.5 有理数的大小比较 两个负数比较大小 在数轴上，表示两个负数的两个点中，与原点距离较远的那个点在左边，也就是绝对值大的点在左边。所以，两个负数，绝对值大的反而小。 绝对值、数轴、负数 比较两个负数大小的步骤 比较两个负数的大小可以分两步进行：(1) 分别求出它们的绝对值，并比较其大小；(2) 根据“两个负数，绝对值大的反而小”得出结论。 绝对值、大小比较 有理数大小比较法则 正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数；在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 数轴、正数、负数 1.6 有理数的加法 有理数的加法法则 1.同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加；2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得 0；4.一个数与 0 相加，仍得这个数。 同号、异号、绝对值、相反数 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 。 加法、交换律 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即 。 加法、结合律 1.7 有理数的减法 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 。 减法、相反数、加法 1.8 有理数的加减混合运算 加减法统一成加法 有理数的加减混合运算，可以按照运算顺序从左到右逐步计算，也可以应用有理数的减法法则，把它统一为只有加法运算的和式。 加法、减法、和式 省略加号的和的形式 在一个和式里，通常把各个加数的括号和它们前面的加号省略不写，如 可写成 -8+10-6-4。这个式子仍可看作和式，读作“负 8、正 10、负 6、负 4 的和”，也可读作“负 8 加 10 减 6 减 4”。 和式、加号、读法 1.9 有理数的乘法 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0。 同号、异号、绝对值、0 多个有理数相乘的符号法则 几个不等于 0 的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定：当负乘数的个数为奇数时，积为负；当负乘数的个数为偶数时，积为正。几个不等于 0 的数相乘，首先确定积的正负号，然后把绝对值相乘；几个数相乘，有一个乘数为 0，积就为 0。 负乘数、绝对值、符号 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变，即 。 乘法、交换律 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即 。 乘法、结合律 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即 。 乘法、加法、分配律 1.10 有理数的除法 倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数。 乘积、1 有理数的除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。注意：0 不能作除数。 同号、异号、绝对值、0 除法转化为乘法 除以一个数等于乘以这个数的倒数，即 （）。 除法、倒数、乘法 有理数与整数之商 有理数都可以表示成两个整数之商：任何整数都是它除以 1 所得的商；任何正分数（带分数先化成假分数）都是它的分子除以分母所得的商；任何负分数也可以被看成两个整数（其中一个是负整数）的商。 整数、分数、商 1.11 有理数的乘方 乘方与幂 求几个相同乘数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 乘数、幂、 个相同乘数的积 底数与指数 在 中， 叫做底数， 叫做指数， 读作 的 次方；当把 看作是 的 次方的结果时，也可读作 的 次幂。例如在 中，底数是 2，指数是 3。 底数、指数、幂 指数 1 的省略 一个数可以看作这个数本身的 1 次方，即 ，指数 1 通常省略不写。 底数、指数 幂的符号法则 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 正数、负数、奇次幂、偶次幂 科学记数法 一个绝对值大于 10 的数可以记成 的形式，其中 ， 是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。 10 的幂、正整数、绝对值 1.12 有理数的混合运算 运算的级别 加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方叫做第三级运算。 加法、减法、乘法、除法、乘方 有理数的混合运算 算式中含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算，它是有理数的混合运算。有理数的混合运算应按以下顺序进行：1.先做乘方，再做乘除，最后做加减；2.同级运算，按照从左至右的顺序进行；3.如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 乘方、乘除、加减、括号 1.13 近似数 准确数与近似数 与实际完全符合的数叫做准确数；与实际非常接近的数称为近似数。 准确数、近似数 精确度 一般地，一个近似数四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位。 四舍五入、精确度 进一法 有一些量很难测出它们的准确值，或者没有必要算得它们的准确值，这时可以通过粗略的估算得到需要的近似数；有时近似数也并不是用四舍五入法得到的，如租车问题中不论尾数大小都要向前进一位，即用“进一法”取近似数。 四舍五入、近似数、估算 1.14 用计算器进行计算 用计算器进行计算 遇到复杂的计算，可以利用电子计算器（简称计算器）来完成，按键顺序与算式的书写顺序一致，计算器可以进行加、减、乘、除、乘方等运算。 计算器、乘方键、小数输出 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $